# 1 + 2 + 3 + … + 100 = ? Tính Tổng Dãy Số Siêu Nhanh – Chỉ Cần Một Bức Hình

> 1 + 2 + 3 + … + 100 không cần cộng 100 lần. Tổng của một dãy số cách đều là một cái bậc thang: ghép thêm một bậc thang lật ngược là thành hình chữ nhật, rồi chia đôi. Video đi từ bức hình ấy tới 3 bước giải mọi bài tổng dãy cách đều, chỉ ra cái bẫy "hàng cây" khi đếm số số hạng, luyện 3 dạng bài hay gặp ở lớp 4, lớp 5 nâng cao, và tặng thêm một mẹo tính tổng các số lẻ trong một giây.

- Trang bài: https://anim.vn/giai-nhanh/01-tong-day-so/
- Video: https://youtu.be/Ctfzh7pkr_s (9:57)
- Thuộc: Giải nhanh – hiểu sâu
- Bài tập về nhà (PDF, có lời giải): https://anim.vn/media/giai-nhanh-toan-01/bai-tap-ve-nha.pdf

## Mục lục video

- 0:00 1 + 2 + 3 + … + 100 trong 5 giây
- 0:55 Ghép hai bậc thang
- 1:47 Vì sao là 5050?
- 2:30 Dãy cách đều nào cũng ghép được
- 3:30 Bẫy hàng cây: đếm số số hạng
- 4:19 Ba bước và hình thang
- 5:02 Dạng 1: Biết số đầu và số cuối
- 6:29 Dạng 2: Chưa biết số cuối
- 7:36 Dạng 3: Bài toán có lời văn
- 8:39 Mẹo một giây: tổng các số lẻ
- 9:28 Tóm tắt và thử thách

**Ý chính:** tổng của một dãy số cách đều là một cái *bậc thang*. Lấy thêm một bậc thang y hệt, lật ngược lại rồi ghép vào, ta được một hình chữ nhật: cột nào cũng cao bằng **số đầu + số cuối**, và có **số số hạng** cột. Hình chữ nhật ấy là *hai* bậc thang, nên chia đôi.

## Ba bước

1. **Khoảng cách** = số sau − số trước (kiểm tra dãy có cách đều không; không cách đều thì không ghép thành hình chữ nhật được, ví dụ 1, 2, 4, 8).
2. **Số số hạng** = (số cuối − số đầu) : khoảng cách **+ 1**.
3. **Tổng** = (số đầu + số cuối) × số số hạng : 2.

Khi chưa biết số cuối: **số thứ n** = số đầu + (n − 1) × khoảng cách.

## Bẫy hàng cây

Mỗi số là một cái cây, khoảng cách là khoảng trống giữa hai cây. (Số cuối − số đầu) : khoảng cách chỉ cho *số khoảng trống*; số cây luôn nhiều hơn 1. Dãy 3, 7, 11, …, 31: (31 − 3) : 4 = 7 khoảng → **8 số**.

## Vì sao giống công thức diện tích hình thang?

(Đáy lớn + đáy bé) × chiều cao : 2 — cùng một ý: ghép hai hình giống nhau rồi chia đôi. Bậc thang chính là một hình thang: số đầu là đáy bé, số cuối là đáy lớn, số số hạng là chiều cao.

## Các bài trong video

| Bài | Lời giải gọn | Đáp số |
|---|---|---|
| 1 + 2 + 3 + … + 100 | (1 + 100) × 100 : 2 | 5050 |
| 2 + 5 + 8 + 11 + 14 | (2 + 14) × 5 : 2 | 40 |
| 5 + 10 + 15 + … + 200 | 40 số; (5 + 200) × 40 : 2 = 205 × 20 | 4100 |
| Tổng các số lẻ có hai chữ số | 11 + 13 + … + 99, 45 số; 110 : 2 × 45 = 55 × 45 | 2475 |
| Dãy 4, 7, 10, … có 30 số | số cuối 4 + 29 × 3 = 91; (4 + 91) × 30 : 2 = 95 × 15 | 1425 |
| Hội trường 15 hàng, hàng đầu 12 ghế, mỗi hàng hơn 2 ghế | hàng cuối 12 + 14 × 2 = 40; (12 + 40) × 15 : 2 = 26 × 15 | 390 ghế |
| 1 + 3 + 5 + … + 19 (mẹo số lẻ) | 10 số lẻ → 10 × 10 | 100 |

**Mẹo một giây:** tổng các số lẻ liên tiếp tính từ 1 = số số hạng × số số hạng (các "chữ L" 1, 3, 5, 7… ôm nhau thành hình vuông).

**Thử thách cuối video:** 2 + 4 + 6 + … + 100 = ? *(đáp án để riêng, không đăng: 50 số; (2 + 100) × 50 : 2 = 2550)*

## Chuyện bên lề

Người ta hay kể cậu bé Gauss (1777–1855) đã cộng xong một dãy số dài chỉ trong chốc lát; chuyện chép lại lần đầu năm 1856, chi tiết "từ 1 đến 100" là do đời sau thêm vào. Còn ý tưởng ghép hai "số tam giác" thành một hình chữ nhật thì người Hy Lạp theo trường phái Pythagoras đã biết từ hơn 2000 năm trước, khi xếp sỏi thành hình. Nguồn: xem `lich-su.md`.

## Lời thoại video

### 0:00 1 + 2 + 3 + … + 100 trong 5 giây

1 + 2 + 3 + … + 100 bằng bao nhiêu? Bạn có 5 giây. 5050. Không cần cộng 100 lần, chỉ cần một phép nhân và một phép chia. Người ta hay kể rằng, hơn 200 năm trước, ở nước Đức có một cậu học trò tên là Gauss. Thầy giáo ra một bài cộng dài như thế, để cả lớp ngồi im thật lâu. Vậy mà chỉ một lát sau, cậu đã đặt bảng lên bàn thầy, với đáp số đúng. Sau này, cậu trở thành một trong những nhà toán học lớn nhất mọi thời đại. Chuyện thật đến đâu thì không ai chắc. Nhưng cách tính thì có thật, và còn cổ hơn nhiều: hơn 2000 năm trước, người Hy Lạp đã tìm ra nó khi xếp những viên sỏi. Hôm nay, bạn sẽ có trong tay cách ấy: một bức hình, ba bước, và tính được tổng của mọi dãy số cách đều.

### 0:55 Ghép hai bậc thang

Bắt đầu với một tổng nhỏ: 1 + 2 + 3 + 4 + 5. Xếp sỏi thành từng cột: cột 1 viên, cột 2 viên, rồi 3, 4, 5 viên. Ta được một cái bậc thang. Đếm cả bậc thang thì lâu. Nhưng hãy lấy thêm một bậc thang y hệt, lật ngược lại, rồi ghép vào. Vừa khít! Hai bậc thang làm thành một hình chữ nhật. Cột nào cũng cao 6 viên, vì 1 + 5 = 6, 2 + 4 = 6, 3 + 3 = 6. Có 5 cột, mỗi cột 6 viên: 5 × 6 = 30 viên. Nhưng đó là hai bậc thang. Một bậc thang chỉ bằng một nửa: 30 : 2 = 15. Kiểm tra lại nhé: 1 + 2 + 3 + 4 + 5, đúng là 15.

### 1:47 Vì sao là 5050?

Bây giờ quay lại bài 100 số. Bậc thang lần này có 100 cột: cột thấp nhất 1 viên, cột cao nhất 100 viên. Ghép thêm một bậc thang lật ngược. Mỗi cột cao 1 + 100 = 101 viên. 100 cột, mỗi cột 101 viên: 100 × 101 = 10 100. Chia 2, vì ta đã ghép hai bậc thang: 5050. Nhìn lại ba con số vừa dùng. 1 là số đầu. 100 là số cuối. Và 100 cột chính là số số hạng, tức là dãy có bao nhiêu số. Vậy tổng bằng: (số đầu + số cuối) × số số hạng : 2.

### 2:30 Dãy cách đều nào cũng ghép được

Cách ghép này có dùng được cho dãy khác không? Thử dãy 2, 5, 8, 11, 14. Số sau hơn số trước đúng 3 đơn vị. Ta gọi đó là dãy số cách đều, và 3 là khoảng cách. Bậc thang bây giờ mỗi bậc cao thêm 3. Lật ngược một bản rồi ghép vào: vẫn khít. Vì sao khít? Đi từ trái sang phải, cột bên dưới cao thêm 3, thì cột lật ngược bên trên lại thấp đi đúng 3. Bù trừ cho nhau, nên cột nào cũng cao 2 + 14 = 16. 5 cột, mỗi cột 16: 5 × 16 = 80. Chia 2, tổng là 40. Còn nếu dãy không cách đều, ví dụ 1, 2, 4, 8, thì sao? Ghép vào, các cột cao thấp lộn xộn: 9, 6, 6, 9. Không thành hình chữ nhật, nên công thức không dùng được. Vậy hãy nhớ: trước khi dùng công thức, phải kiểm tra dãy có cách đều hay không.

### 3:30 Bẫy hàng cây: đếm số số hạng

Công thức cần số số hạng. Mà đây lại là chỗ nhiều bạn sai nhất. Thử nhé: dãy 3, 7, 11, …, 31 có bao nhiêu số? Nhiều bạn lấy 31 − 3 = 28, chia 4 được 7, rồi trả lời là 7 số. Sai mất rồi. Hãy nghĩ tới hàng cây bên đường. Mỗi số là một cái cây, khoảng cách giữa hai cây là 4. Từ cây đầu tới cây cuối dài 28. 28 : 4 = 7. Nhưng 7 là số khoảng trống, không phải số cây. Số cây luôn nhiều hơn số khoảng trống 1 cây. 7 khoảng thì có 8 cây. Vậy dãy có 8 số. Số số hạng = (số cuối − số đầu) : khoảng cách + 1. Đừng quên cộng 1.

### 4:19 Ba bước và hình thang

Gom lại thành ba bước. Bước 1: tìm khoảng cách, và kiểm tra dãy có cách đều không. Bước 2: đếm số số hạng. (Số cuối − số đầu) : khoảng cách + 1. Bước 3: tính tổng. (Số đầu + số cuối) × số số hạng : 2. Bạn có thấy bước 3 quen không? (Đáy lớn + đáy bé) × chiều cao : 2. Đó là công thức diện tích hình thang. Không phải trùng hợp đâu. Bậc thang của chúng ta chính là một hình thang: số đầu là đáy bé, số cuối là đáy lớn, số số hạng là chiều cao. Ghép hai hình giống nhau rồi chia đôi: một ý tưởng, dùng cho cả hai công thức. Giờ thì luyện tập nào.

### 5:02 Dạng 1: Biết số đầu và số cuối

Dạng 1: tính tổng khi biết số đầu và số cuối. Cứ đi đúng ba bước. Câu a: tính 5 + 10 + 15 + … + 200. Bạn hãy tạm dừng video và thử làm nhé. Bước 1: 10 − 5 = 5, 15 − 10 = 5. Dãy cách đều, khoảng cách là 5. Bước 2: 200 − 5 = 195. Chia 5 được 39. Cộng 1, là 40 số. Bước 3: 5 + 200 = 205. Nhân 40, rồi chia 2. Mẹo nhỏ: chia 2 trước cho nhẹ, 40 : 2 = 20. 205 × 20 = 4100. Câu b: tính tổng các số lẻ có hai chữ số. Tạm dừng và thử nhé. Số lẻ có hai chữ số đầu tiên là 11, cuối cùng là 99, khoảng cách là 2. Số số hạng: 99 − 11 = 88, chia 2 được 44, cộng 1 là 45 số. Tổng: 11 + 99 = 110. Lần này 45 là số lẻ, nên ta chia 2 ở 110, được 55. 55 × 45 = 2475.

### 6:29 Dạng 2: Chưa biết số cuối

Dạng 2: đề chỉ cho số đầu và số số hạng, chưa cho số cuối. Vậy phải tìm số cuối trước. Đề bài: dãy 4, 7, 10, … có tất cả 30 số. Tính tổng của dãy. Số thứ 30 là số nào? Nhiều bạn lấy 4 + 30 × 3 = 94. Lại rơi vào bẫy hàng cây rồi. 30 cái cây thì chỉ có 29 khoảng trống. Từ số đầu tới số thứ 30, ta chỉ bước 29 bước, mỗi bước 3 đơn vị. 29 × 3 = 87. 4 + 87 = 91. Số cuối là 91. Giờ tính tổng. Bạn tạm dừng và tự làm bước này nhé. 4 + 91 = 95. 30 : 2 = 15. 95 × 15 = 1425. Nhớ nhé: số thứ n = số đầu + (n − 1) × khoảng cách. Số bước luôn ít hơn số thứ tự 1 đơn vị.

### 7:36 Dạng 3: Bài toán có lời văn

Dạng 3: bài toán có lời văn. Việc khó nhất là nhận ra có một dãy số cách đều đang trốn trong đề. Một hội trường có 15 hàng ghế. Hàng đầu có 12 ghế. Mỗi hàng sau nhiều hơn hàng trước 2 ghế. Hỏi hội trường có tất cả bao nhiêu ghế? Bạn tạm dừng và thử làm nhé. Số ghế từng hàng là: 12, 14, 16, … Đây là dãy cách đều, khoảng cách là 2, có 15 số. Chưa biết hàng cuối, nên đây là dạng 2. Từ hàng 1 tới hàng 15 có 14 bước. 14 × 2 = 28. 12 + 28 = 40: hàng cuối có 40 ghế. Tổng số ghế: 12 + 40 = 52. 52 : 2 = 26. 26 × 15 = 390 ghế. Và nhìn xem: sơ đồ hội trường lại là một hình thang.

### 8:39 Mẹo một giây: tổng các số lẻ

Phần thưởng cho bạn đã xem tới đây: một mẹo tính trong một giây. 1 + 3 + 5 + 7 + 9 bằng bao nhiêu? 25. Tức là 5 × 5. Vì dãy có 5 số lẻ. Xem hình nhé. Bắt đầu với 1 ô. Thêm 3 ô ôm quanh góc, được hình vuông 2 × 2. Thêm 5 ô nữa, được hình vuông 3 × 3. Thêm 7, rồi thêm 9: hình vuông 5 × 5. Vậy tổng của các số lẻ liên tiếp, tính từ 1, luôn bằng số số hạng nhân với chính nó. Ví dụ: 1 + 3 + 5 + … + 19 có 10 số lẻ. Tổng là 10 × 10 = 100. Bạn thử kiểm tra lại bằng ba bước, xem có ra đúng 100 không nhé.

### 9:28 Tóm tắt và thử thách

Tóm lại. Tổng của một dãy cách đều là một cái bậc thang. Ghép hai bậc thang thành một hình chữ nhật, rồi chia đôi. Ba bước: tìm khoảng cách. Đếm số số hạng, và đừng quên cộng 1. Rồi lấy (số đầu + số cuối) × số số hạng : 2. Thử thách cho bạn: 2 + 4 + 6 + … + 100 bằng bao nhiêu? Viết đáp án của bạn ở phần bình luận nhé. Hẹn gặp lại bạn.