# Mệnh đề – Toán lớp 10, Bài 1 > Quán trà sữa treo biển: "Nếu mua 2 ly thì được tặng 1 ly." Bạn chỉ mua 1 ly mà vẫn được tặng. Quán có nói sai không? Học xong bài này bạn trả lời được ngay: không. Và bạn sẽ biết cách nói "ngược lại" một câu sao cho đúng, cách đảo một câu "nếu… thì…", và hai kí hiệu ∀, ∃. - Trang bài: https://anim.vn/lop-10/toan/bai-01-menh-de/ - Video: https://youtu.be/A9ySuxG86Zg (8:26) - Thuộc: Toán lớp 10 · Bài 1 - Bài tập về nhà (PDF, có lời giải): https://anim.vn/media/lop10-toan-bai-01/bai-tap-ve-nha.pdf ## Mục lục video - 0:00 Mở đầu: quán trà sữa có nói sai? - 0:40 Mệnh đề · mệnh đề chứa biến - 1:31 Mệnh đề phủ định - 2:28 Kéo theo · đảo · tương đương - 3:42 Với mọi ∀ · tồn tại ∃ - 4:49 Dạng 1: Nhận biết mệnh đề - 5:34 Dạng 2: Lập mệnh đề phủ định - 6:43 Dạng 3: Kéo theo · đảo · tương đương - 7:50 Kết bài > Quán trà sữa treo biển: **"Nếu mua 2 ly thì được tặng 1 ly."** Bạn chỉ mua 1 ly mà vẫn được tặng. Quán có nói sai không? > Học xong bài này bạn trả lời được ngay: **không**. Và bạn sẽ biết cách nói "ngược lại" một câu sao cho đúng, cách đảo một câu "nếu… thì…", và hai kí hiệu ∀, ∃. ## 1. Mệnh đề **Mệnh đề** là một câu khẳng định **hoặc đúng, hoặc sai**, không thể vừa đúng vừa sai. - Ví dụ 1: "Hà Nội là thủ đô của Việt Nam." → mệnh đề **đúng**. - Ví dụ 2: "17 chia hết cho 3." → vẫn là mệnh đề, nhưng là mệnh đề **sai**. Câu hỏi ("Mấy giờ rồi?"), câu cảm thán ("Phở ngon quá!"), câu cầu khiến ("Hãy đóng cửa lại!") **không phải mệnh đề**, vì không xét được đúng sai. **Mệnh đề chứa biến** là câu có chứa biến, chưa biết đúng hay sai; thay biến bằng một giá trị cụ thể thì mới thành mệnh đề. - Ví dụ 1: "n là số nguyên tố". Thay n = 7 được mệnh đề đúng; thay n = 8 được mệnh đề sai. - Ví dụ 2: "x + 2 > 10". Với x = 9 thì đúng (11 > 10); với x = 1 thì sai (3 > 10). ## 2. Mệnh đề phủ định Muốn phủ định mệnh đề P, ta **thêm (hoặc bớt)** chữ "không", "không phải" vào trước vị ngữ. Kí hiệu: $\overline{P}$, đọc là "không P". **P đúng thì $\overline{P}$ sai. P sai thì $\overline{P}$ đúng.** - Ví dụ 1: P: "21 là số nguyên tố" (sai, vì 21 = 3 · 7). $\overline{P}$: "21 không phải là số nguyên tố" (đúng). - Ví dụ 2: Q: "√2 không phải là số hữu tỉ" (đúng). Câu đã có chữ "không" nên phủ định là bớt đi: $\overline{Q}$: "√2 là số hữu tỉ" (sai). ## 3. Mệnh đề kéo theo · mệnh đề đảo Mệnh đề "**Nếu P thì Q**" gọi là mệnh đề kéo theo, kí hiệu **P ⇒ Q**. Nó **chỉ sai trong một trường hợp: P đúng mà Q sai**. | P | Q | P ⇒ Q | |:-:|:-:|:-:| | Đ | Đ | Đ | | Đ | S | **S** | | S | Đ | Đ | | S | S | Đ | - Ví dụ 1 (quán trà sữa): P: "mua 2 ly", Q: "được tặng 1 ly". Bạn mua 1 ly, tức P sai, nên dù được tặng hay không, quán vẫn không nói sai. Quán chỉ sai khi bạn mua 2 ly mà không được tặng. - Ví dụ 2: "Nếu một số chia hết cho 6 thì số đó chia hết cho 3." → đúng (đây là một định lí). Khi P ⇒ Q đúng, ta nói: **P là điều kiện đủ để có Q**, **Q là điều kiện cần để có P**. (Chia hết cho 6 là *đủ* để chia hết cho 3. Chia hết cho 3 là *cần* để chia hết cho 6.) **Mệnh đề đảo** của P ⇒ Q là **Q ⇒ P** (đổi chỗ P và Q). - Đảo của ví dụ 2: "Nếu một số chia hết cho 3 thì số đó chia hết cho 6." → **sai**, vì 9 chia hết cho 3 mà không chia hết cho 6. - Vậy: đảo của một mệnh đề đúng **chưa chắc** đúng. Muốn chỉ ra một câu "nếu… thì…" sai, chỉ cần **một phản ví dụ**. ## 4. Mệnh đề tương đương Mệnh đề "**P khi và chỉ khi Q**" (hay "P nếu và chỉ nếu Q") gọi là mệnh đề tương đương, kí hiệu **P ⇔ Q**. Nó đúng khi **cả P ⇒ Q lẫn Q ⇒ P đều đúng**. Khi đó P là **điều kiện cần và đủ** để có Q. - Ví dụ 1: "Một số chia hết cho 10 khi và chỉ khi chữ số tận cùng của nó bằng 0." → đúng. - Ví dụ 2: "Tam giác ABC cân tại A khi và chỉ khi góc B bằng góc C." → đúng (cả hai chiều đều là định lí). ## 5. Kí hiệu ∀ và ∃ - **∀** đọc là "với mọi". **∃** đọc là "tồn tại" (có ít nhất một). - Ví dụ 1: "∀x ∈ ℝ, x² − 2x + 1 ≥ 0" → đúng, vì x² − 2x + 1 = (x − 1)² ≥ 0. - Ví dụ 2: "∃n ∈ ℕ, n² = n" → đúng, chỉ cần chỉ ra một số: n = 1. Mẹo: mệnh đề "∀" muốn **đúng** phải chứng minh cho mọi giá trị, muốn **sai** chỉ cần một phản ví dụ. Mệnh đề "∃" muốn **đúng** chỉ cần chỉ ra một giá trị. **Phủ định:** ∀ đổi thành ∃, ∃ đổi thành ∀, rồi phủ định luôn tính chất phía sau. - Ví dụ 1: "Mọi học sinh lớp 10A đều thích bóng đá." → phủ định: "Có một học sinh lớp 10A không thích bóng đá." - Ví dụ 2: phủ định của "∀x ∈ ℝ, x² > 0" là "∃x ∈ ℝ, x² ≤ 0". ## Bảng kí hiệu | Kí hiệu | Đọc là | Ý nghĩa | |:-:|---|---| | $\overline{P}$ | không P | phủ định của P | | P ⇒ Q | P suy ra Q (nếu P thì Q) | mệnh đề kéo theo | | Q ⇒ P | | mệnh đề đảo của P ⇒ Q | | P ⇔ Q | P khi và chỉ khi Q | mệnh đề tương đương | | ∀ | với mọi | | | ∃ | tồn tại | có ít nhất một | Bảng đổi dấu khi phủ định: `>` ↔ `≤` · `<` ↔ `≥` · `=` ↔ `≠` · "chia hết" ↔ "không chia hết". ## Lỗi hay gặp 1. **Tưởng câu sai thì không phải mệnh đề.** "17 chia hết cho 3" sai, nhưng vẫn là mệnh đề. 2. **Coi câu chứa biến là mệnh đề.** "x − 4 = 0" chưa biết đúng sai, chỉ là mệnh đề chứa biến. 3. **Phủ định "mọi… đều…" thành "mọi… đều không…".** Phủ định đúng là "có (ít nhất) một… không…". 4. **Phủ định dấu `>` thành `<`.** Phải là `≤` (quên mất trường hợp bằng). 5. **Nghĩ P ⇒ Q đúng thì Q ⇒ P cũng đúng.** Đảo phải xét riêng. 6. **Lẫn điều kiện cần với điều kiện đủ.** Trong P ⇒ Q: P (đứng trước mũi tên) là **đủ**, Q (đứng sau) là **cần**. 7. **Cho rằng "nếu P thì Q" sai khi P sai.** P sai thì mệnh đề kéo theo luôn đúng. ## Bài tập theo dạng ### Dạng 1. Nhận biết mệnh đề, xét tính đúng sai *Cách làm:* hỏi "câu này có đúng hoặc sai được không?". Được thì là mệnh đề, rồi kiểm tra đúng hay sai. Câu hỏi, cảm thán, cầu khiến, câu chứa biến: không phải. **Bài 1.** Câu nào là mệnh đề? Nếu là mệnh đề thì đúng hay sai? a) 51 là số nguyên tố. b) Bạn ăn sáng chưa? c) x − 4 = 0. d) Tổng ba góc của một tam giác bằng 180°.
Đáp án a) Mệnh đề sai (51 = 3 · 17). b) Không (câu hỏi). c) Không (mệnh đề chứa biến). d) Mệnh đề đúng.
**Bài 2.** Xét tính đúng sai: a) $2^{10} < 1000$. b) Phương trình $x^2 - 5x + 6 = 0$ có hai nghiệm nguyên.
Đáp án a) Sai, vì $2^{10} = 1024$. b) Đúng, hai nghiệm là 2 và 3.
### Dạng 2. Lập mệnh đề phủ định *Cách làm:* thêm hoặc bớt chữ "không"; ∀ ↔ ∃; đổi dấu `>` → `≤`, `=` → `≠`. **Bài 3.** Phủ định mỗi mệnh đề rồi xét tính đúng sai của mệnh đề phủ định. a) P: "123 chia hết cho 3." b) Q: "∀n ∈ ℕ, n² > n."
Đáp án a) $\overline{P}$: "123 không chia hết cho 3." Vì 1 + 2 + 3 = 6 chia hết cho 3 nên P đúng, $\overline{P}$ sai. b) $\overline{Q}$: "∃n ∈ ℕ, n² ≤ n." Đúng, chẳng hạn n = 1 (hoặc n = 0).
**Bài 4.** Phủ định mệnh đề "Có một bạn trong nhóm đã nộp bài."
Đáp án "Mọi bạn trong nhóm đều chưa nộp bài." (Không phải "có một bạn chưa nộp bài".)
### Dạng 3. Kéo theo · đảo · tương đương *Cách làm:* xác định P và Q, viết "nếu P thì Q", đổi chỗ để có mệnh đề đảo. Muốn chỉ ra câu sai: tìm một phản ví dụ. **Bài 5.** Với số tự nhiên n, cho P: "n là số nguyên tố lớn hơn 2." Q: "n là số lẻ." Phát biểu P ⇒ Q, mệnh đề đảo, xét tính đúng sai.
Đáp án P ⇒ Q: "Nếu n là số nguyên tố lớn hơn 2 thì n là số lẻ." Đúng (số nguyên tố chẵn duy nhất là 2). Đảo: "Nếu n là số lẻ thì n là số nguyên tố lớn hơn 2." Sai (phản ví dụ: n = 15 là số lẻ, nhưng 15 = 3 · 5 không phải số nguyên tố). Vậy P và Q không tương đương; "n là số lẻ" là điều kiện cần nhưng chưa đủ để "n là số nguyên tố lớn hơn 2".
**Bài 6.** Điền "cần", "đủ" hoặc "cần và đủ": "n chia hết cho 4" là điều kiện … để "n là số chẵn".
Đáp án Điều kiện **đủ** (chia hết cho 4 thì chẵn; ngược lại 6 chẵn mà không chia hết cho 4 nên không phải điều kiện cần).
Thêm bài để in ra làm: [bài tập về nhà (PDF)](https://anim.vn/media/lop10-toan-bai-01/bai-tap-ve-nha.pdf). ## Chuyện bên lề - **Từ đâu ra?** Ở Hy Lạp cổ, người ta tranh luận rất nhiều (ở toà án, quảng trường, trường triết học) và cần phân biệt lập luận *đúng* với lập luận chỉ *nghe có vẻ đúng*. **Aristotle** (384–322 trước Công nguyên) là người đầu tiên biến cách lập luận thành một môn học có hệ thống. - **Lấy cả câu làm đơn vị.** Logic của Aristotle xoay quanh các "hạng từ" (người, động vật…). Người dựng logic lấy **mệnh đề** làm viên gạch nhỏ nhất là **Chrysippus** và phái Khắc kỷ, thế kỉ 3 trước Công nguyên. Phần lớn sách của họ đã thất lạc, tới thế kỉ 20 mới được đánh giá lại. - **Biến đúng–sai thành phép tính.** **George Boole** (1815–1864, người Anh) là con một người thợ đóng giày, gần như tự học, 19 tuổi đã mở trường riêng. Năm 1854 ông in cuốn *An Investigation of the Laws of Thought*, trong đó dùng 1 và 0 thay cho đúng và sai rồi tính toán với chúng như với số. Trước đó Leibniz từng có ý tưởng tương tự nhưng ít ai biết tới. - **Ngày nay.** Năm 1937, **Claude Shannon**, khi đó là học viên cao học ở MIT, chỉ ra rằng phép tính đúng–sai của Boole dùng được để thiết kế mạch điện đóng–ngắt. Mọi chip trong máy tính, điện thoại đều dựng từ các "cổng logic" như thế. Khi lập trình, bạn gặp lại đúng những thứ trong bài này: `if … then`, `and`, `or`, `not`, kiểu dữ liệu `bool` (đặt theo tên Boole). Nguồn và độ chắc chắn của từng chi tiết: xem `lich-su.md`. ## Trò chơi ở nhà (5 phút) **"Bắt lỗi lời hứa".** Một người nói một câu "nếu… thì…" (ví dụ: "Nếu trời mưa thì mình ở nhà"). Người kia kể một tình huống (trời nắng, vẫn ở nhà) và hỏi: "Lời hứa có bị phá không?". Ai trả lời sai thì mất lượt. Nhớ: lời hứa chỉ bị phá khi **vế "nếu" xảy ra mà vế "thì" không xảy ra**. **"Nói ngược".** Một người nói câu có chữ "mọi" hoặc "có một" ("Mọi con mèo đều sợ nước"), người kia phải nói câu phủ định đúng trong 5 giây ("Có một con mèo không sợ nước"). ## Lời thoại video ### 0:00 Mở đầu: quán trà sữa có nói sai? Quán trà sữa treo biển: nếu mua 2 ly thì được tặng 1 ly. Bạn chỉ mua 1 ly, mà vẫn được tặng. Vậy quán có nói sai không? Muốn trả lời, ta cần một khái niệm gọi là mệnh đề. Hơn 2 300 năm trước, ở Hy Lạp, Aristotle là người đầu tiên biến cách lập luận thành một môn học có hệ thống. Đến năm 1854, George Boole, con một người thợ đóng giày và gần như tự học, dùng số 1 và số 0 thay cho đúng và sai, rồi tính toán với chúng như với số. Hôm nay ta học mệnh đề, cùng cách phủ định, kéo theo và tương đương. ### 0:40 Mệnh đề · mệnh đề chứa biến Mệnh đề là một câu khẳng định, hoặc đúng, hoặc sai, không thể vừa đúng vừa sai. Ví dụ 1: Hà Nội là thủ đô của Việt Nam. Câu này đúng, nên là mệnh đề đúng. Ví dụ 2: 17 chia hết cho 3. Câu này sai, nhưng vẫn là mệnh đề, một mệnh đề sai. Còn câu hỏi, câu cảm thán, câu cầu khiến thì không phải mệnh đề. Mấy giờ rồi? Phở ngon quá! Đều không xét được đúng sai. Bây giờ xét câu: n là số nguyên tố. Chưa biết n thì chưa biết đúng hay sai. Thay n = 7, ta được mệnh đề đúng. Thay n = 8, ta được mệnh đề sai. Câu như vậy gọi là mệnh đề chứa biến. Tương tự, x + 2 > 10: x = 9 thì đúng, x = 1 thì sai. ### 1:31 Mệnh đề phủ định Lan nói: hôm nay là thứ Hai. Huy cãi lại: hôm nay không phải thứ Hai. Câu của Huy là mệnh đề phủ định của câu Lan nói. Muốn phủ định mệnh đề P, ta thêm, hoặc bớt, chữ “không” hay “không phải” vào trước vị ngữ. Kí hiệu là P gạch ngang, đọc là “không P”. P đúng thì “không P” sai. P sai thì “không P” đúng. Ví dụ 1. P: 21 là số nguyên tố. Phủ định: 21 không phải là số nguyên tố. P sai, vì 21 = 3 · 7, nên phủ định của nó đúng. Ví dụ 2. Q: √2 không phải là số hữu tỉ. Ở đây đã có chữ “không”, nên phủ định là bớt đi: √2 là số hữu tỉ. Q đúng, nên phủ định của Q sai. ### 2:28 Kéo theo · đảo · tương đương Mệnh đề dạng “nếu P thì Q” gọi là mệnh đề kéo theo, kí hiệu P ⇒ Q. Nó chỉ sai trong đúng một trường hợp: P đúng mà Q sai. Quay lại quán trà sữa. P là mua 2 ly, Q là được tặng 1 ly. Bạn mua 1 ly, tức là P sai, nên quán không hề nói sai. Ví dụ 2: nếu một số chia hết cho 6 thì số đó chia hết cho 3. Đây là mệnh đề đúng, một định lí. Khi đó ta nói P là điều kiện đủ để có Q, còn Q là điều kiện cần để có P. Đổi chỗ P và Q, ta được mệnh đề đảo: Q ⇒ P. Nếu một số chia hết cho 3 thì số đó chia hết cho 6. Câu này sai, vì 9 chia hết cho 3 mà không chia hết cho 6. Vậy mệnh đề đảo của một mệnh đề đúng chưa chắc đã đúng. Khi cả chiều xuôi lẫn chiều đảo đều đúng, ta có mệnh đề tương đương: P khi và chỉ khi Q (P ⇔ Q). Chẳng hạn: một số chia hết cho 10 khi và chỉ khi chữ số tận cùng của nó bằng 0. Lúc này P là điều kiện cần và đủ để có Q. ### 3:42 Với mọi ∀ · tồn tại ∃ Còn hai kí hiệu nữa. Chữ A lộn ngược (∀) đọc là “với mọi”. Chữ E quay ngược (∃) đọc là “tồn tại”. Ví dụ 1: với mọi số thực x, x² − 2x + 1 ≥ 0. Đúng, vì vế trái chính là (x − 1)². Ví dụ 2: tồn tại số tự nhiên n, để n² = n. Đúng, vì chỉ cần chỉ ra một số, chẳng hạn n = 1. Còn phủ định thì sao? “Mọi” đổi thành “tồn tại”, “tồn tại” đổi thành “mọi”, rồi phủ định luôn tính chất phía sau. Mọi học sinh lớp 10A đều thích bóng đá. Phủ định là: có một học sinh lớp 10A không thích bóng đá. Chú ý, phủ định không phải là: mọi học sinh đều không thích bóng đá. Bằng kí hiệu: phủ định của “∀x, x² > 0” là “∃x, x² ≤ 0”. ### 4:49 Dạng 1: Nhận biết mệnh đề Dạng 1: nhận biết mệnh đề và xét tính đúng sai. Cách làm: hỏi xem câu đó có đúng hoặc sai được không. Nếu được thì kiểm tra tiếp. Bài 1. Trong bốn câu sau, câu nào là mệnh đề? Bạn tạm dừng video và thử làm nhé. Câu a là mệnh đề, và là mệnh đề sai, vì 51 = 3 · 17. Câu b là câu hỏi, không phải mệnh đề. Câu c chứa biến x, chưa biết đúng sai, nên chỉ là mệnh đề chứa biến, chưa phải mệnh đề. Câu d là mệnh đề đúng. Vậy có 2 mệnh đề: câu a và câu d. ### 5:34 Dạng 2: Lập mệnh đề phủ định Dạng 2: lập mệnh đề phủ định. Cách làm: thêm hoặc bớt chữ “không”. Gặp “mọi” thì đổi thành “tồn tại”, và ngược lại. Dấu > đổi thành ≤, dấu = đổi thành ≠. Bài 2, câu a. Phủ định mệnh đề: 123 chia hết cho 3, rồi xét tính đúng sai. Bạn thử trước nhé. Phủ định là: 123 không chia hết cho 3. Tổng các chữ số là 1 + 2 + 3 = 6, chia hết cho 3. Nên mệnh đề gốc đúng, mệnh đề phủ định sai. Sang câu b. Phủ định mệnh đề: với mọi số tự nhiên n, n² > n. “Mọi” đổi thành “tồn tại”. Còn dấu >, nhiều bạn đổi thành <. Chưa đúng, phải là ≤. Phủ định là: tồn tại số tự nhiên n, n² ≤ n. Mệnh đề này đúng, chẳng hạn với n = 1. ### 6:43 Dạng 3: Kéo theo · đảo · tương đương Dạng 3: kéo theo, đảo và tương đương. Cách làm: xác định P và Q, viết “nếu P thì Q”, rồi đổi chỗ để có mệnh đề đảo. Muốn chỉ ra câu sai, chỉ cần một phản ví dụ. Bài 3. Cho số tự nhiên n. P: n là số nguyên tố lớn hơn 2. Q: n là số lẻ. Hãy phát biểu mệnh đề P ⇒ Q, mệnh đề đảo, và xét tính đúng sai. Bạn tạm dừng và thử làm nhé. Chiều xuôi: nếu n là số nguyên tố lớn hơn 2 thì n là số lẻ. Đúng, vì số nguyên tố chẵn duy nhất là 2. Chiều đảo: nếu n là số lẻ thì n là số nguyên tố lớn hơn 2. Sai, vì 15 là số lẻ, mà 15 = 3 · 5, không phải số nguyên tố. Chiều đảo sai, nên P và Q không tương đương. Nói cách khác, n lẻ là điều kiện cần, nhưng chưa đủ, để n là số nguyên tố lớn hơn 2. ### 7:50 Kết bài Tóm lại. Mệnh đề là câu khẳng định đúng hoặc sai. Phủ định: P đúng thì “không P” sai. Kéo theo chỉ sai khi P đúng mà Q sai. Đảo là đổi chỗ. Tương đương là đúng cả hai chiều. Phủ định của “mọi” là “tồn tại”, và ngược lại. Năm 1937, Claude Shannon dùng chính phép tính đúng sai của Boole để thiết kế mạch điện. Mọi máy tính và điện thoại hôm nay đều chạy trên nền đó. Bạn vừa luyện ba dạng bài về mệnh đề. Hẹn gặp bạn ở bài sau.