# Tập hợp và các phép toán trên tập hợp – Toán lớp 10, Bài 2 > Lớp bạn có 40 người. 25 bạn mê phim hoạt hình, 20 bạn mê truyện tranh. Nhưng 25 + 20 = 45, nhiều hơn cả sĩ số lớp. 5 bạn "thừa" ở đâu ra? Không ai đếm sai cả: có những bạn mê cả hai nên bị đếm hai lần. Học xong bài này, bạn sẽ đếm đúng những trường hợp như thế. - Trang bài: https://anim.vn/lop-10/toan/bai-02-tap-hop-va-cac-phep-toan-tren-tap-hop/ - Video: https://youtu.be/cpLCKt_cXxM (9:10) - Thuộc: Toán lớp 10 · Bài 2 - Bài tập về nhà (PDF, có lời giải): https://anim.vn/media/lop10-toan-bai-02/bai-tap-ve-nha.pdf ## Mục lục video - 0:00 Mở đầu: 5 bạn thừa ở đâu? - 0:23 Chuyện hai vòng tròn - 0:46 Tập hợp · phần tử · tập rỗng - 1:31 Tập con · hai tập bằng nhau - 2:16 Các tập hợp số · khoảng, đoạn - 3:05 Giao và hợp - 3:56 Hiệu và phần bù - 4:28 Số phần tử của hợp - 5:02 Dạng 1: Viết tập hợp · dùng kí hiệu - 5:57 Dạng 2: Giao, hợp, hiệu của hai tập - 7:03 Dạng 3: Khoảng và đoạn - 8:05 Dạng 4: Bài toán đếm thực tế - 8:50 Kết bài > Lớp bạn có 40 người. 25 bạn mê phim hoạt hình, 20 bạn mê truyện tranh. Nhưng 25 + 20 = 45, nhiều hơn cả sĩ số lớp. 5 bạn "thừa" ở đâu ra? > Không ai đếm sai cả: có những bạn mê cả hai nên bị đếm hai lần. Học xong bài này, bạn sẽ đếm đúng những trường hợp như thế. ## 1. Tập hợp, phần tử, tập rỗng Một **tập hợp** gồm các **phần tử**. Có hai cách mô tả một tập hợp. **Cách 1: liệt kê các phần tử** (viết trong ngoặc nhọn, cách nhau bằng dấu chấm phẩy). - Ví dụ 1: tập các nốt nhạc S = {Đô; Rê; Mi; Pha; Son; La; Si}. Số phần tử của S là 7, viết n(S) = 7. - Ví dụ 2: tập các chữ số lẻ L = {1; 3; 5; 7; 9}, n(L) = 5. **Cách 2: chỉ ra tính chất đặc trưng** của các phần tử. - Ví dụ 1: B = {x ∈ ℕ | x là ước của 12}. Liệt kê ra: B = {1; 2; 3; 4; 6; 12}. Ta có 4 ∈ B, còn 5 ∉ B. - Ví dụ 2: K = {x ∈ ℤ | −2 ≤ x < 3} = {−2; −1; 0; 1; 2}. Chú ý −2 được lấy (dấu ≤), còn 3 thì không (dấu <). **Tập rỗng** (kí hiệu ∅) là tập không có phần tử nào. - Ví dụ 1: tập các tháng có 32 ngày. - Ví dụ 2: tập nghiệm thực của phương trình x² = −4. ## 2. Tập con, hai tập hợp bằng nhau Nếu **mọi** phần tử của T đều thuộc S thì T là **tập con** của S, viết T ⊂ S. - Ví dụ 1: T = {Đô; Mi; Son} là tập con của tập bảy nốt nhạc S. - Ví dụ 2: với B = {1; 2; 3; 4; 6; 12} thì {1; 2; 3} ⊂ B, nhưng {1; 5} ⊄ B vì 5 ∉ B. Tập rỗng là tập con của mọi tập hợp: ∅ ⊂ A. Hai tập hợp **bằng nhau** nếu chúng có đúng những phần tử như nhau (thứ tự liệt kê không quan trọng). - Ví dụ 1: {x ∈ ℤ | x² = 9} = {−3; 3}. - Ví dụ 2: {−3; 3} = {3; −3}; tập các ước tự nhiên của 4 bằng {1; 2; 4}. ## 3. Các tập hợp số. Khoảng, đoạn, nửa khoảng Các tập hợp số lồng vào nhau như búp bê Nga: **ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ**. - Ví dụ 1: −5 ∈ ℤ nhưng −5 ∉ ℕ. - Ví dụ 2: √5 ∈ ℝ nhưng √5 ∉ ℚ. Với số thực, ta hay dùng khoảng, đoạn, nửa khoảng: | Kí hiệu | Nghĩa | Tên | |---|---|---| | (a; b) | a < x < b | khoảng | | [a; b] | a ≤ x ≤ b | đoạn | | [a; b) | a ≤ x < b | nửa khoảng | | (a; b] | a < x ≤ b | nửa khoảng | | (a; +∞) | x > a | khoảng | | [a; +∞) | x ≥ a | nửa khoảng | | (−∞; b) | x < b | khoảng | | (−∞; b] | x ≤ b | nửa khoảng | Ngoặc vuông: **có lấy** đầu mút. Ngoặc tròn: **không lấy**. Ở −∞ và +∞ luôn dùng ngoặc tròn. - Ví dụ 1: ngăn mát tủ lạnh giữ từ 2 °C đến 8 °C, tính cả hai đầu: đó là đoạn [2; 8]. Bỏ hai đầu mút đi thì thành khoảng (2; 8). - Ví dụ 2: các số từ −1 đến dưới 3 là nửa khoảng [−1; 3). Mọi số lớn hơn −1 là khoảng (−1; +∞). ## 4. Ba phép toán: giao, hợp, hiệu | Phép toán | Kí hiệu | Gồm những phần tử… | Trên biểu đồ Ven | |---|---|---|---| | Giao | A ∩ B | thuộc **cả** A **và** B | phần chung của hai vòng | | Hợp | A ∪ B | thuộc A **hoặc** thuộc B | cả hai vòng gộp lại | | Hiệu | A ∖ B | thuộc A nhưng **không** thuộc B | phần chỉ riêng A | Khi B ⊂ A, hiệu A ∖ B còn gọi là **phần bù** của B trong A, kí hiệu CAB. - Ví dụ 1: A = {An; Bảo; Chi; Duy} là nhóm mê phim, B = {Chi; Duy; Giang} là nhóm mê truyện. A ∩ B = {Chi; Duy} · A ∪ B = {An; Bảo; Chi; Duy; Giang} · A ∖ B = {An; Bảo} · B ∖ A = {Giang}. - Ví dụ 2 (khoảng, đoạn): [1; 5] ∩ (3; 7) = (3; 5] · [1; 5] ∪ (3; 7) = [1; 7) · phần bù của (−∞; 2) trong ℝ là [2; +∞). Mẹo với khoảng và đoạn: vẽ từng tập lên trục số. Giao là phần được phủ **hai lần**, hợp là phần được phủ **ít nhất một lần**. Sau đó xét riêng từng đầu mút. ## 5. Đếm số phần tử của hợp **n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)** Cộng n(A) với n(B) thì phần chung bị đếm hai lần, nên phải trừ bớt một lần. - Ví dụ 1 (câu đố đầu bài): nếu cả lớp ai cũng mê ít nhất một thứ thì 40 = 25 + 20 − n(A ∩ B), suy ra có 5 bạn mê cả hai. - Ví dụ 2: một nhóm có 12 bạn biết đàn, 9 bạn biết hát, 4 bạn biết cả hai. Số bạn biết ít nhất một thứ là 12 + 9 − 4 = 17. ## Bảng kí hiệu | Kí hiệu | Đọc là | Dùng giữa | |---|---|---| | ∈, ∉ | thuộc, không thuộc | phần tử và tập hợp | | ⊂ | là tập con của | hai tập hợp | | ∅ | tập rỗng | | | n(A) | số phần tử của A | | | A ∩ B | A giao B | hai tập hợp | | A ∪ B | A hợp B | hai tập hợp | | A ∖ B | A trừ B (hiệu) | hai tập hợp | | CAB | phần bù của B trong A | khi B ⊂ A | ## Lỗi hay gặp 1. **Lẫn ∈ với ⊂.** Số 3 là một phần tử nên viết 3 ∈ B. Muốn dùng ⊂ thì phải là tập hợp: {3} ⊂ B. 2. **Viết lặp phần tử khi lấy hợp.** Phần tử chung chỉ viết một lần. 3. **Nghĩ A ∖ B và B ∖ A giống nhau.** Đổi thứ tự là ra tập khác. 4. **Sai ngoặc ở đầu mút.** ℝ ∖ [4; +∞) = (−∞; 4), không phải (−∞; 4]: số 4 đã bị bỏ đi. 5. **Quên tập rỗng và chính nó** khi liệt kê các tập con. 6. **Cộng thẳng n(A) + n(B)** mà quên trừ phần giao. ## Bài tập theo dạng ### Dạng 1. Viết tập hợp, dùng kí hiệu Cách làm: đọc kĩ điều kiện rồi liệt kê. Phần tử dùng ∈, ∉; tập hợp dùng ⊂. **Bài 1.** Cho C = {x ∈ ℤ | −2 ≤ x < 3}. a) Liệt kê các phần tử của C. b) Điền ∈, ∉ hoặc ⊂: 3 ▢ C; 0 ▢ C; {−1; 1} ▢ C.
Đáp án a) C = {−2; −1; 0; 1; 2}, n(C) = 5 (lấy −2, không lấy 3). b) 3 ∉ C; 0 ∈ C (0 là phần tử, không dùng ⊂); {−1; 1} ⊂ C.
**Bài 2.** Viết tập D = {x ∈ ℕ | x là bội của 4, x < 25} bằng cách liệt kê. D có bao nhiêu phần tử?
Đáp án D = {0; 4; 8; 12; 16; 20; 24}, n(D) = 7. Đừng quên số 0.
### Dạng 2. Giao, hợp, hiệu của hai tập hữu hạn Cách làm: liệt kê từng tập, vẽ biểu đồ Ven, đọc kết quả theo từng vùng. **Bài 3.** A là tập các số nguyên tố nhỏ hơn 12, B là tập các số tự nhiên lẻ nhỏ hơn 10. Tìm a) A ∩ B; b) A ∪ B; c) A ∖ B.
Đáp án A = {2; 3; 5; 7; 11}, B = {1; 3; 5; 7; 9}. a) A ∩ B = {3; 5; 7}. b) A ∪ B = {1; 2; 3; 5; 7; 9; 11} (7 phần tử). c) A ∖ B = {2; 11}.
**Bài 4.** Cho E = {a; b; c; d}, F = {c; d; e}. Tìm E ∩ F, E ∪ F, E ∖ F, F ∖ E.
Đáp án E ∩ F = {c; d}; E ∪ F = {a; b; c; d; e}; E ∖ F = {a; b}; F ∖ E = {e}.
### Dạng 3. Phép toán với khoảng và đoạn Cách làm: vẽ từng tập lên trục số. Giao lấy phần phủ hai lần, hợp lấy phần phủ ít nhất một lần. **Bài 5.** Cho A = (−2; 3], B = [1; 5). Tìm a) A ∩ B; b) A ∪ B; c) ℝ ∖ [4; +∞).
Đáp án a) [1; 3] (1 và 3 đều thuộc cả hai tập). b) (−2; 5) (−2 và 5 đều không được lấy). c) (−∞; 4) (số 4 bị bỏ).
**Bài 6.** Tìm (−∞; 2] ∩ [−1; 6) và [0; 3) ∪ [3; 8].
Đáp án (−∞; 2] ∩ [−1; 6) = [−1; 2]. [0; 3) ∪ [3; 8] = [0; 8] (số 3 thuộc tập thứ hai nên không bị hở).
### Dạng 4. Bài toán đếm trong thực tế Cách làm: vẽ biểu đồ Ven, rồi dùng n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B). **Bài 7.** Một câu lạc bộ có 45 bạn. 28 bạn biết bơi, 23 bạn biết chơi ghi ta, 6 bạn không biết cả hai. Hỏi bao nhiêu bạn biết cả hai?
Đáp án Số bạn biết ít nhất một môn: 45 − 6 = 39. Ta có 39 = 28 + 23 − n(A ∩ B) nên n(A ∩ B) = 51 − 39 = 12 bạn.
**Bài 8.** Trong 36 khách của một quán, 20 người gọi phở, 15 người gọi bún, 7 người gọi cả hai. Bao nhiêu người không gọi món nào trong hai món đó?
Đáp án Gọi ít nhất một món: 20 + 15 − 7 = 28. Không gọi món nào: 36 − 28 = 8 người.
## Chuyện bên lề **Hai vòng tròn mang tên người không đặt tên cho nó.** Năm 1880, nhà lô-gích người Anh John Venn (1834–1923) đưa kiểu hình các vòng tròn chồng lên nhau vào một bài báo. Chính ông lại gọi chúng là "vòng tròn Euler", vì Leonhard Euler đã dùng vòng tròn để minh hoạ lập luận từ năm 1768. Phải đến năm 1918, nhà lô-gích Clarence Irving Lewis mới gọi là "biểu đồ Venn" (sách tiếng Việt viết là biểu đồ Ven). Điểm riêng của Venn: hình của ông luôn vẽ đủ mọi vùng chồng nhau có thể có, rồi mới xét vùng nào rỗng. **Lí thuyết tập hợp từng bị công kích dữ dội.** Georg Cantor mở đầu lí thuyết tập hợp hiện đại bằng một bài báo năm 1874. Leopold Kronecker phản đối gay gắt, gọi Cantor là "kẻ làm hư hỏng thanh niên". Nhiều năm sau, năm 1926, David Hilbert bênh vực: "Không ai đuổi được chúng ta ra khỏi thiên đường mà Cantor đã tạo ra." **Kí hiệu còn khá trẻ.** ∩ và ∪ do Giuseppe Peano đưa ra năm 1888, ∈ năm 1889. Kí hiệu ∅ được nhóm Bourbaki in lần đầu năm 1939; André Weil lấy nó từ chữ Ø trong bảng chữ cái Na Uy. **Ngày nay.** Mỗi lần bạn lọc sản phẩm ("giày" VÀ "dưới 500 nghìn") hay gõ tìm kiếm có VÀ, HOẶC, máy tính đang lấy giao và hợp của các tập hợp. Trong cơ sở dữ liệu, ba phép giao, hợp, hiệu có hẳn ba lệnh riêng. (Nguồn và độ chắc chắn của từng chi tiết: xem `lich-su.md`.) ## Trò chơi ở nhà (5 phút) **Biểu đồ Ven của gia đình.** Vẽ hai vòng tròn chồng nhau trên giấy: vòng A là "món mình thích", vòng B là "món bố (hoặc mẹ) thích". Mỗi người kể 5 món, rồi cùng xếp từng món vào đúng vùng. - Đọc to A ∩ B (món cả hai cùng thích: tối nay ăn món này!), A ∖ B, B ∖ A. - Đếm n(A), n(B), n(A ∩ B) rồi kiểm tra công thức n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B). - Thử thêm vòng thứ ba cho một người nữa: có mấy vùng tất cả? (8 vùng, tính cả vùng bên ngoài.) ## Lời thoại video ### 0:00 Mở đầu: 5 bạn thừa ở đâu? Lớp bạn có 40 người. 25 bạn mê phim hoạt hình, 20 bạn mê truyện tranh. 25 + 20 = 45, nhiều hơn cả sĩ số lớp! 5 bạn thừa ra ở đâu? Không ai đếm sai cả. Có những bạn đã được đếm hai lần. Hôm nay, ta dùng tập hợp và các phép toán trên tập hợp để đếm cho đúng. ### 0:23 Chuyện hai vòng tròn Cách dễ nhất để thấy điều đó là vẽ hai vòng tròn chồng lên nhau. Năm 1880, nhà lô-gích người Anh John Venn đưa kiểu hình này vào một bài báo. Chính ông lại gọi chúng là vòng tròn Euler, vì Euler đã vẽ vòng tròn như thế từ hơn 100 năm trước. Phải đến năm 1918, người ta mới gọi tên là biểu đồ Ven. ### 0:46 Tập hợp · phần tử · tập rỗng Nhắc lại: một tập hợp gồm các phần tử. Có hai cách mô tả tập hợp. Cách 1, liệt kê. Ví dụ, tập S gồm 7 nốt nhạc: Đô, Rê, Mi, Pha, Son, La, Si. Số phần tử của S là 7. Cách 2, chỉ ra tính chất đặc trưng. Ví dụ, tập B gồm các số tự nhiên là ước của 12. Liệt kê ra, B = {1; 2; 3; 4; 6; 12}. 4 ∈ B, còn 5 ∉ B. Tập không có phần tử nào gọi là tập rỗng, kí hiệu ∅. Ví dụ, tập các tháng có 32 ngày, hay tập nghiệm thực của phương trình x² = −4. ### 1:31 Tập con · hai tập bằng nhau Lấy ba nốt Đô, Mi, Son làm tập T. Mọi phần tử của T đều nằm trong S, nên T là tập con của S: T ⊂ S. Ví dụ 2: {1; 2; 3} là tập con của B. Còn {1; 5} thì không, vì 5 ∉ B. Cẩn thận chỗ này: số 3 là một phần tử, nên ta viết 3 ∈ B. Tập chỉ chứa số 3 mới là tập con của B: {3} ⊂ B. Tập rỗng là tập con của mọi tập hợp. Hai tập có đúng những phần tử như nhau thì bằng nhau. Ví dụ, tập các số nguyên có bình phương bằng 9 chính là {−3; 3}. Đổi thứ tự liệt kê, vẫn là tập đó. ### 2:16 Các tập hợp số · khoảng, đoạn Các tập hợp số lồng vào nhau như búp bê Nga. Số tự nhiên nằm trong số nguyên, số nguyên nằm trong số hữu tỉ, số hữu tỉ nằm trong số thực. Ví dụ, −5 là số nguyên nhưng không là số tự nhiên. √5 là số thực nhưng không là số hữu tỉ. Với số thực, ta hay gặp khoảng và đoạn. Ngăn mát tủ lạnh giữ từ 2 đến 8 độ, tính cả hai đầu. Đó là đoạn , viết bằng ngoặc vuông. Bỏ hai đầu mút đi thì thành khoảng (2; 8), viết bằng ngoặc tròn. Ví dụ 2: các số từ −1 đến dưới 3 là một nửa khoảng: [−1; 3). Còn mọi số lớn hơn −1 là khoảng (−1; +∞). ### 3:05 Giao và hợp Giờ tới ba phép toán. Gọi A là nhóm bạn mê phim, B là nhóm bạn mê truyện. A = {An; Bảo; Chi; Duy}. B = {Chi; Duy; Giang}. Giao của A và B gồm những phần tử thuộc cả hai tập: Chi và Duy. Đó là phần chung của hai vòng tròn. Hợp của A và B gồm những phần tử thuộc A hoặc thuộc B: cả năm bạn. Chi và Duy chỉ viết một lần. Ví dụ 2, với khoảng và đoạn: lấy và (3; 7). Phần giao là chỗ cả hai cùng phủ: (3; 5]. Phần hợp là chỗ có ít nhất một tập phủ: [1; 7). ### 3:56 Hiệu và phần bù Phép thứ ba là hiệu. A ∖ B gồm những phần tử thuộc A nhưng không thuộc B. Nhóm mê phim, bỏ đi những bạn mê cả truyện, còn lại An và Bảo. Đổi thứ tự thì khác: B ∖ A chỉ còn Giang. Khi B là tập con của A, hiệu này còn gọi là phần bù của B trong A. Ví dụ 2: phần bù của (−∞; 2) trong tập số thực là [2; +∞). Số 2 không thuộc tập ban đầu, nên phải thuộc phần bù. ### 4:28 Số phần tử của hợp Quay lại câu đố đầu bài. Cộng 25 với 20, những bạn mê cả hai bị đếm hai lần, nên phải trừ bớt một lần. n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B) Nếu cả lớp ai cũng mê ít nhất một thứ, thì 40 = 45 − phần giao. Phần giao là 5 bạn. Ngày nay, mỗi lần bạn gõ tìm kiếm có chữ VÀ hay chữ HOẶC, máy tính đang lấy giao và hợp của các tập hợp. ### 5:02 Dạng 1: Viết tập hợp · dùng kí hiệu Dạng 1: viết tập hợp và dùng kí hiệu. Cách làm: đọc kĩ điều kiện rồi liệt kê. Phần tử dùng kí hiệu ∈, tập hợp dùng kí hiệu ⊂. Câu a. Cho C gồm các số nguyên x, với −2 ≤ x < 3. Hãy liệt kê các phần tử của C. Tạm dừng video và thử làm. −2 được lấy, còn 3 thì không. Vậy C = {−2; −1; 0; 1; 2}. C có 5 phần tử. Câu b. Điền kí hiệu thích hợp vào ô trống. Ô thứ nhất: 3 ∉ C. Ô thứ hai: số 0 là một phần tử, nên điền ∈, không phải ⊂. Ô thứ ba: {−1; 1} ⊂ C. ### 5:57 Dạng 2: Giao, hợp, hiệu của hai tập Dạng 2: tìm giao, hợp, hiệu của hai tập hữu hạn. Cách làm: liệt kê từng tập, vẽ biểu đồ Ven, rồi đọc kết quả theo từng vùng. Cho A gồm các số nguyên tố nhỏ hơn 12, B gồm các số tự nhiên lẻ nhỏ hơn 10. Tìm A ∩ B, A ∪ B và A ∖ B. Tạm dừng video và thử làm. A = {2; 3; 5; 7; 11}. B = {1; 3; 5; 7; 9}. 3, 5, 7 có ở cả hai tập, xếp vào giữa. 2 và 11 chỉ thuộc A. 1 và 9 chỉ thuộc B. Câu a: A ∩ B là vùng giữa, gồm 3, 5, 7. Câu b: A ∪ B là cả ba vùng, có 7 phần tử. Câu c: A ∖ B là vùng chỉ thuộc A, gồm 2 và 11. ### 7:03 Dạng 3: Khoảng và đoạn Dạng 3: phép toán với khoảng và đoạn. Cách làm: vẽ từng tập lên trục số. Giao lấy phần phủ hai lần, hợp lấy phần phủ ít nhất một lần. Câu a. Tìm (−2; 3] ∩ [1; 5). Tạm dừng video và thử làm. Hai tập cùng phủ từ 1 đến 3. Số 1 và số 3 đều thuộc cả hai tập. Vậy giao là đoạn . Câu b. Tìm hợp của hai tập đó. Phủ ít nhất một lần là từ −2 đến 5. −2 và 5 đều không được lấy. Vậy hợp là khoảng (−2; 5). Câu c. Lấy tập số thực, trừ đi [4; +∞). Bỏ đi mọi số từ 4 trở lên, kể cả số 4. Nhiều bạn vẫn viết ngoặc vuông ở 4, sai. Đáp án là (−∞; 4). ### 8:05 Dạng 4: Bài toán đếm thực tế Dạng 4: bài toán đếm trong thực tế. Cách làm: vẽ biểu đồ Ven, rồi dùng công thức số phần tử của hợp. Một câu lạc bộ có 45 bạn. 28 bạn biết bơi, 23 bạn biết chơi ghi ta, 6 bạn không biết cả hai. Hỏi bao nhiêu bạn biết cả hai? Tạm dừng video và thử làm. Trước hết, số bạn biết ít nhất một môn là 45 − 6 = 39. Đó là số phần tử của hợp. Thay vào công thức: 39 = 28 + 23 − phần giao. Phần giao bằng 51 − 39 = 12. Vậy có 12 bạn biết cả hai. ### 8:50 Kết bài Tóm lại: tập hợp có phần tử, có tập con, và có cả tập rỗng. Giao là phần chung. Hợp là gộp lại. Hiệu là phần chỉ thuộc tập thứ nhất. Và khi đếm phần tử của hợp, nhớ trừ đi phần giao. Làm thêm bài tập về nhà để thật thành thạo nhé.