# Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn – Toán lớp 10, Bài 4

> Lớp bạn mở quầy cây cảnh ở hội chợ trường. Chỉ có 60 cái chậu và 900 nghìn đồng tiền vốn. Một chậu sen đá tốn 10 nghìn vốn, lãi 5 nghìn. Một chậu xương rồng tốn 20 nghìn vốn, lãi 8 nghìn. Nên trồng mỗi loại bao nhiêu chậu để lãi nhiều nhất?

- Trang bài: https://anim.vn/lop-10/toan/bai-04-he-bat-phuong-trinh-bac-nhat-hai-an/
- Video: https://youtu.be/TZzjXv4TAeY (8:54)
- Thuộc: Toán lớp 10 · Bài 4
- Bài tập về nhà (PDF, có lời giải): https://anim.vn/media/lop10-toan-bai-04/bai-tap-ve-nha.pdf

## Mục lục video

- 0:00 Mở đầu: trồng mấy chậu thì lãi nhất?
- 0:29 Chuyện xưởng gỗ dán năm 1939
- 1:00 Hệ bất phương trình · nghiệm của hệ
- 2:27 Biểu diễn miền nghiệm
- 3:43 Lớn nhất, nhỏ nhất ở các đỉnh
- 4:43 Dạng 1: Nhận biết · kiểm tra nghiệm
- 5:48 Dạng 2: Biểu diễn miền nghiệm
- 6:59 Dạng 3: Bài toán thực tế
- 8:21 Kết bài

> Lớp bạn mở quầy cây cảnh ở hội chợ trường. Chỉ có **60 cái chậu** và **900 nghìn đồng** tiền vốn. Một chậu sen đá tốn 10 nghìn vốn, lãi 5 nghìn. Một chậu xương rồng tốn 20 nghìn vốn, lãi 8 nghìn. Nên trồng mỗi loại bao nhiêu chậu để lãi nhiều nhất?
>
> Trồng toàn xương rồng thì hết vốn trước khi hết chậu. Trồng toàn sen đá thì lãi ít. Đáp án nằm ở đâu đó giữa hai cách ấy, và bài này cho bạn công cụ để tìm ra nó.

## 1. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là gì?

**Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn** là một hệ gồm **hai hay nhiều** bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Cặp số (x₀; y₀) là **nghiệm của hệ** khi nó là nghiệm của **tất cả** các bất phương trình trong hệ. Sai một cái là không phải nghiệm.

**Ví dụ 1 (quầy cây cảnh).** Gọi x là số chậu sen đá, y là số chậu xương rồng.

- Số chậu không âm: x ≥ 0, y ≥ 0.
- Chỉ có 60 cái chậu: x + y ≤ 60.
- Vốn 900 nghìn: 10x + 20y ≤ 900, chia hai vế cho 10 được x + 2y ≤ 90.

Bốn bất phương trình này đi cùng nhau, tạo thành một hệ:

```
 ⎧ x ≥ 0
 ⎪ y ≥ 0
 ⎨ x + y ≤ 60
 ⎩ x + 2y ≤ 90
```

Thử cặp (20; 30), tức 20 chậu sen đá và 30 chậu xương rồng: 20 + 30 = 50 ≤ 60, và 20 + 2 · 30 = 80 ≤ 90. Cả bốn bất phương trình đều đúng, nên (20; 30) là một nghiệm.

**Ví dụ 2.** Hệ gồm x + 2y ≤ 8 và 3x − y > 2.

- Cặp (2; 3): 2 + 6 = 8 ≤ 8 (đúng, vì có dấu bằng); 6 − 3 = 3 > 2 (đúng). **Là nghiệm.**
- Cặp (1; 1): 1 + 2 = 3 ≤ 8 (đúng); nhưng 3 − 1 = 2, mà 2 > 2 là sai. **Không phải nghiệm.**

## 2. Biểu diễn miền nghiệm trên mặt phẳng toạ độ

Tập hợp các điểm có toạ độ là nghiệm của hệ gọi là **miền nghiệm** của hệ. Miền nghiệm của hệ là **giao** (phần chung) các miền nghiệm của từng bất phương trình.

**Cách làm:**

1. Với mỗi bất phương trình, vẽ đường thẳng bờ (có dấu bằng thì nét liền, không có thì nét đứt).
2. Thử một điểm (thường là gốc toạ độ O) để biết nửa nào là nghiệm, rồi **gạch bỏ** nửa còn lại.
3. Làm hết các bất phương trình. **Phần không bị gạch** là miền nghiệm của hệ.

**Ví dụ 1.** Hệ x ≥ 0, y ≥ 0, x + 2y ≤ 6.

- x ≥ 0: gạch bỏ bên trái trục tung.
- y ≥ 0: gạch bỏ bên dưới trục hoành.
- Bờ x + 2y = 6 đi qua (6; 0) và (0; 3). Thử O: 0 ≤ 6, đúng, nên giữ phía có O, gạch bỏ phía kia.

Còn lại miền tam giác với ba đỉnh O(0; 0), A(6; 0), B(0; 3), tính cả ba cạnh.

**Ví dụ 2.** Hệ x − y < 2, y ≤ 3.

- Bờ x − y = 2 vẽ **nét đứt** (dấu < không lấy bờ). Thử O: 0 < 2, đúng, giữ phía có O.
- Bờ y = 3 vẽ nét liền, giữ phía dưới.

Miền nghiệm lần này là một góc kéo dài mãi, không khép kín. Đỉnh góc là điểm (5; 3), nhưng điểm này không thuộc miền nghiệm vì nó nằm trên bờ nét đứt.

## 3. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên miền nghiệm

Miền nghiệm có vô số điểm, không thể thử hết. Nhưng người ta chứng minh được:

> Trên một **miền đa giác**, biểu thức F = ax + by đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất **tại các đỉnh** của đa giác.

Vậy chỉ cần tính F tại từng đỉnh rồi so sánh.

**Ví dụ 1.** F = 2x + y trên miền tam giác O(0; 0), A(6; 0), B(0; 3).

| Đỉnh | O(0; 0) | A(6; 0) | B(0; 3) |
|---|---|---|---|
| F = 2x + y | 0 | **12** | 3 |

Lớn nhất là 12 (tại A), nhỏ nhất là 0 (tại O).

**Ví dụ 2.** Cùng miền đó, G = x + 4y.

| Đỉnh | O(0; 0) | A(6; 0) | B(0; 3) |
|---|---|---|---|
| G = x + 4y | 0 | 6 | **12** |

Lần này lớn nhất lại ở đỉnh B. Đỉnh nào "thắng" là tuỳ biểu thức, nên phải tính đủ mọi đỉnh.

**Trở lại quầy cây cảnh.** Miền nghiệm của hệ ở mục 1 là tứ giác O(0; 0), A(0; 45), B(30; 30), C(60; 0). Đỉnh B là giao của x + y = 60 và x + 2y = 90: trừ vế với vế được y = 30, suy ra x = 30. Tiền lãi (nghìn đồng) là F = 5x + 8y:

| Đỉnh | O | A(0; 45) | B(30; 30) | C(60; 0) |
|---|---|---|---|---|
| F | 0 | 360 | **390** | 300 |

Nên trồng **30 chậu sen đá và 30 chậu xương rồng**, lãi 390 nghìn đồng.

## Bảng tóm tắt

| Việc cần làm | Cách làm |
|---|---|
| Nhận biết hệ | Mỗi bất phương trình có dạng ax + by ≤ c (hoặc <, >, ≥), không có x², xy… |
| Kiểm tra nghiệm | Thay (x; y) vào **từng** bất phương trình, phải đúng hết |
| Bờ nét liền / nét đứt | Có dấu bằng (≤, ≥): nét liền · Không có (<, >): nét đứt |
| Miền nghiệm của hệ | Gạch bỏ từng nửa không phải nghiệm, phần không bị gạch là miền nghiệm |
| Lớn nhất, nhỏ nhất của ax + by | Tính tại các đỉnh của miền đa giác rồi so sánh |

## Lỗi hay gặp

- **Chỉ thử một bất phương trình rồi kết luận.** Nghiệm của hệ phải thoả mãn tất cả.
- **Quên dấu bằng.** 7 ≤ 7 là đúng, nhưng 2 > 2 là sai.
- **Gạch nhầm phía.** Luôn thử một điểm cụ thể (gốc O nếu O không nằm trên bờ) trước khi gạch.
- **Bờ nét đứt mà vẫn vẽ nét liền.** Với dấu < hoặc >, các điểm trên bờ không thuộc miền nghiệm.
- **Thấy 5²x hay 2³y thì bảo "không phải bậc nhất".** 5² chỉ là số 25. Phải nhìn số mũ của **ẩn**.
- **Chỉ tính ở một hai đỉnh.** Đỉnh nào lớn nhất còn tuỳ biểu thức, phải tính đủ.
- **Bài thực tế quên điều kiện x ≥ 0, y ≥ 0.** Số chậu, số sản phẩm không thể âm.

## Bài tập theo dạng

### Dạng 1. Nhận biết hệ · kiểm tra nghiệm

**Bài 1.** Hệ nào là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

a) 2x − y ≤ 1 và x + 4y > 0  b) x − y³ < 2 và x + y ≥ 0  c) 2²x + y ≤ 7 và x ≥ 0

<details><summary>Đáp án</summary>

a) Có. b) Không, vì có y³. c) Có: 2² là số 4, và x ≥ 0 cũng là bất phương trình bậc nhất hai ẩn (viết là x + 0y ≥ 0).
</details>

**Bài 2.** Cho hệ x + y ≤ 5 và 2x − y ≥ 1. Cặp nào là nghiệm: (2; 3), (1; 2), (4; 2)?

<details><summary>Đáp án</summary>

- (2; 3): 5 ≤ 5 đúng; 4 − 3 = 1 ≥ 1 đúng. **Là nghiệm.**
- (1; 2): 3 ≤ 5 đúng; 2 − 2 = 0 ≥ 1 sai. Không phải nghiệm.
- (4; 2): 6 ≤ 5 sai. Không phải nghiệm.
</details>

### Dạng 2. Biểu diễn miền nghiệm

**Bài 3.** Biểu diễn miền nghiệm của mỗi hệ trên mặt phẳng toạ độ.

a) x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 5  b) x + y > 1, x − y ≤ 3

<details><summary>Đáp án</summary>

a) Gạch bên trái trục tung, bên dưới trục hoành, và phía không chứa O của đường x + y = 5. Miền nghiệm là tam giác có đỉnh (0; 0), (5; 0), (0; 5), kể cả ba cạnh.

b) Bờ x + y = 1 vẽ nét đứt; O cho 0 > 1 sai nên gạch phía có O. Bờ x − y = 3 vẽ nét liền; O cho 0 ≤ 3 đúng nên giữ phía có O. Miền nghiệm là một góc không khép kín, đỉnh góc (2; −1) (điểm này không thuộc miền nghiệm).
</details>

### Dạng 3. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất · bài toán thực tế

**Bài 4.** Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của F = x + 3y trên miền tam giác ở bài 3a.

<details><summary>Đáp án</summary>

F(0; 0) = 0, F(5; 0) = 5, F(0; 5) = 15. Lớn nhất 15 tại (0; 5), nhỏ nhất 0 tại (0; 0).
</details>

**Bài 5.** Một tiệm bánh nhỏ làm bánh quy và bánh bông lan theo mẻ. Mỗi mẻ bánh quy cần 2 kg bột, mỗi mẻ bông lan cần 3 kg bột; tiệm có 24 kg bột. Lò chỉ nướng được tối đa 10 mẻ một ngày. Mỗi mẻ bánh quy lãi 60 nghìn, mỗi mẻ bông lan lãi 80 nghìn. Nên làm mỗi loại mấy mẻ để lãi nhiều nhất?

<details><summary>Đáp án</summary>

Gọi x là số mẻ bánh quy, y là số mẻ bông lan. Hệ: x ≥ 0, y ≥ 0, 2x + 3y ≤ 24, x + y ≤ 10.

Miền nghiệm là tứ giác có đỉnh (0; 0), (0; 8), (6; 4), (10; 0). Đỉnh (6; 4) là giao của 2x + 3y = 24 và x + y = 10.

F = 60x + 80y: tại (0; 0) là 0, tại (0; 8) là 640, tại (6; 4) là 680, tại (10; 0) là 600.

Nên làm **6 mẻ bánh quy và 4 mẻ bông lan**, lãi 680 nghìn đồng.
</details>

## Chuyện bên lề

**Xưởng gỗ dán năm 1939.** Cuối những năm 1930, một phòng thí nghiệm của ngành gỗ dán ở Leningrad (Liên Xô) nhờ nhà toán học Leonid Kantorovich một việc nghe rất đời thường: xưởng có nhiều loại máy, làm ra nhiều loại sản phẩm, vậy chia máy nào cho việc nào để làm ra nhiều hàng nhất? Ông viết mọi giới hạn về máy móc thành các bất phương trình bậc nhất, rồi tìm phương án tốt nhất. Năm 1939 ông in kết quả thành một cuốn sách mỏng.

**Cách giải nhanh năm 1947.** Ở Mỹ, George Dantzig tìm ra *phương pháp đơn hình*, một cách đi từ đỉnh này sang đỉnh khác của miền nghiệm để tới đỉnh tốt nhất mà không cần thử hết. Ý "đáp án nằm ở đỉnh" bạn vừa học chính là nền của phương pháp ấy.

**Vì sao gọi là "quy hoạch"?** Tên tiếng Anh của ngành này có chữ *programming*, nhưng không phải lập trình máy tính. Thời đó trong quân đội Mỹ, chữ này nghĩa là lập kế hoạch: lịch huấn luyện, tiếp tế.

**Giải Nobel.** Năm 1975, Kantorovich cùng Tjalling Koopmans được trao giải Nobel Kinh tế vì đóng góp cho lí thuyết phân bổ tối ưu tài nguyên.

**Bài toán khẩu phần ăn.** Nhà kinh tế George Stigler từng đặt câu hỏi: chọn trong 77 loại thực phẩm sao cho đủ chất mà rẻ nhất. Ông ước lượng bằng tay được 39,93 đô la một năm (giá năm 1939). Sau này, khi có phương pháp đơn hình, đáp số chính xác là 39,69 đô la. Ông chỉ lệch 24 xu.

**Ngày nay.** Hãng bay xếp lịch bay và tổ bay, công ty giao hàng chia tuyến xe, nhà máy phối trộn nguyên liệu đều giải bài toán "nhiều giới hạn bậc nhất, tìm phương án tốt nhất", chỉ khác là có hàng nghìn tới hàng triệu ẩn. Ngành toán này tên là **quy hoạch tuyến tính**.

(Nguồn và độ chắc chắn của từng chi tiết: xem `lich-su.md`.)

## Trò chơi ở nhà (5 phút)

**Săn đỉnh.** Hai người chơi, cần giấy kẻ ô.

1. Người A vẽ hai trục toạ độ và tự nghĩ ra hai đường thẳng cắt nhau trong góc phần tư thứ nhất (ví dụ x + y = 6 và x + 3y = 12), rồi gạch bỏ để còn lại một tứ giác.
2. Người B nghĩ ra một biểu thức "điểm số", ví dụ F = 3x + 2y.
3. Mỗi người **đoán trước** đỉnh nào cho F lớn nhất, ghi ra giấy.
4. Cùng tính F tại bốn đỉnh. Ai đoán đúng được 1 điểm. Đổi vai, chơi 3 ván.

Chơi vài ván bạn sẽ thấy: đổi biểu thức là đỉnh thắng đổi theo.

## Lời thoại video

### 0:00 Mở đầu: trồng mấy chậu thì lãi nhất?

Lớp bạn mở quầy cây cảnh ở hội chợ trường. Cả lớp chỉ có 60 cái chậu, và 900 nghìn đồng tiền vốn. Một chậu sen đá tốn 10 nghìn tiền vốn, lãi 5 nghìn. Một chậu xương rồng tốn 20 nghìn, lãi 8 nghìn. Nên trồng mỗi loại bao nhiêu chậu để lãi nhiều nhất? Trồng toàn xương rồng thì hết vốn trước khi hết chậu. Trồng toàn sen đá thì lãi ít. Muốn trả lời, ta cần hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

### 0:29 Chuyện xưởng gỗ dán năm 1939

Câu hỏi kiểu này từng là chuyện lớn của cả một nhà máy. Năm 1939, ở Liên Xô, một xưởng gỗ dán nhờ nhà toán học Kantorovich chia máy cho các sản phẩm, sao cho làm ra nhiều hàng nhất. Ông viết mọi giới hạn về máy móc thành những bất phương trình bậc nhất, rồi tìm phương án tốt nhất. Năm 1947, ở Mỹ, Dantzig tìm ra cách giải nhanh cho loại bài toán này. Còn Kantorovich, năm 1975, được trao giải Nobel Kinh tế.

### 1:00 Hệ bất phương trình · nghiệm của hệ

Ý 1: hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là gì? Ví dụ 1, quầy cây cảnh: gọi x là số chậu sen đá, y là số chậu xương rồng. Số chậu không âm: x ≥ 0, y ≥ 0. Chỉ có 60 cái chậu: x + y ≤ 60. Vốn 900 nghìn: 10x + 20y ≤ 900. Chia cho 10, được x + 2y ≤ 90. Bốn bất phương trình bậc nhất hai ẩn đi cùng nhau, đó là một hệ. Cặp số (x; y) là nghiệm của hệ khi nó thoả mãn tất cả các bất phương trình. Thử 20 chậu sen đá, 30 chậu xương rồng: tổng 50, không quá 60. 20 + 60 = 80, không quá 90. Đây là một nghiệm. Ví dụ 2: hệ gồm x + 2y ≤ 8 và 3x − y > 2. Cặp (2; 3): 2 + 6 = 8, đúng. 6 − 3 = 3 > 2, đúng. Là nghiệm. Cặp (1; 1): 3 < 8, đúng. Nhưng 3 − 1 = 2, hai không lớn hơn hai. Sai một cái là không phải nghiệm.

### 2:27 Biểu diễn miền nghiệm

Ý 2: biểu diễn miền nghiệm trên mặt phẳng toạ độ. Miền nghiệm của hệ là phần chung, tức là giao các miền nghiệm của từng bất phương trình. Cách làm: với mỗi bất phương trình, vẽ đường thẳng bờ, rồi gạch bỏ nửa mặt phẳng không phải nghiệm. Phần không bị gạch chính là miền nghiệm của hệ. Ví dụ 1: hệ x ≥ 0, y ≥ 0, x + 2y ≤ 6. x ≥ 0: gạch bỏ bên trái trục tung. y ≥ 0: gạch bỏ bên dưới trục hoành. Vẽ đường thẳng x + 2y = 6, qua điểm (6; 0) và điểm (0; 3). Thử gốc toạ độ: 0 < 6, đúng. Vậy giữ phía có gốc, gạch bỏ phía kia. Còn lại một miền tam giác, tính cả ba cạnh. Ví dụ 2: hệ x − y < 2 và y ≤ 3. Bờ x − y = 2 vẽ nét đứt, vì dấu < không lấy bờ. Gốc toạ độ thoả mãn, nên giữ phía có gốc. Bờ y = 3 vẽ nét liền, giữ phía dưới. Miền nghiệm lần này kéo dài mãi, không khép kín.

### 3:43 Lớn nhất, nhỏ nhất ở các đỉnh

Ý 3: tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên miền nghiệm. Quay lại miền tam giác, với ba đỉnh: O(0; 0), A(6; 0), B(0; 3). Ví dụ 1: xét biểu thức F = 2x + y, với (x; y) thuộc miền tam giác này. Miền có vô số điểm, không thể thử hết. Nhưng người ta chứng minh được: trên một miền đa giác, biểu thức dạng ax + by đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất tại các đỉnh. Vậy chỉ cần tính tại ba đỉnh. Tại O: F = 0. Tại A: F = 12. Tại B: F = 3. Lớn nhất là 12, tại đỉnh A. Nhỏ nhất là 0, tại đỉnh O. Ví dụ 2, cùng miền đó nhưng đổi biểu thức: G = x + 4y. Tại O bằng 0, tại A bằng 6, tại B bằng 12. Lần này lớn nhất lại ở đỉnh B. Đỉnh nào thắng là tuỳ biểu thức, nên phải tính đủ mọi đỉnh.

### 4:43 Dạng 1: Nhận biết · kiểm tra nghiệm

Dạng 1: nhận biết hệ và kiểm tra nghiệm. Cách làm: mỗi bất phương trình phải là bậc nhất với x và y. Kiểm tra nghiệm thì thay cặp số vào từng bất phương trình. Câu a: hệ nào là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn? Bạn tạm dừng video và thử làm nhé. Hệ thứ nhất: 5² chỉ là số 25, nên vẫn là bậc nhất. Có. Hệ thứ hai có x². Không. Hệ thứ ba có tích xy. Cũng không. Câu b: cặp nào là nghiệm của hệ 2x + y ≤ 7 và x − y > 1? Cặp (3; 1): 6 + 1 = 7, đúng vì có dấu bằng. 3 − 1 = 2 > 1, đúng. Là nghiệm. Cặp (2; 1): 5 < 7, đúng. Nhưng 2 − 1 = 1, không lớn hơn 1. Không phải nghiệm.

### 5:48 Dạng 2: Biểu diễn miền nghiệm

Dạng 2: biểu diễn miền nghiệm. Cách làm: vẽ từng đường thẳng bờ. Thử một điểm để biết giữ phía nào. Gạch bỏ phía còn lại. Phần không bị gạch là miền nghiệm. Câu a: biểu diễn miền nghiệm của hệ x ≥ 0, x + y ≤ 4, x − y ≤ 2. Bạn thử vẽ trước nhé. Bất phương trình đầu: gạch bên trái trục tung. Đường x + y = 4 đi qua (4; 0) và (0; 4). Gốc toạ độ thoả mãn, giữ phía có gốc. Đường x − y = 2 đi qua (2; 0) và (0; −2). Gốc toạ độ cũng thoả mãn. Miền nghiệm là tam giác, với ba đỉnh: (0; 4), (0; −2) và (3; 1). Câu b: nếu đổi thành x + y < 4, không có dấu bằng, thì hình thay đổi thế nào? Nhiều bạn vẫn để nét liền. Đúng ra, bờ đó phải vẽ nét đứt, và miền nghiệm bỏ đi cạnh nằm trên bờ ấy.

### 6:59 Dạng 3: Bài toán thực tế

Dạng 3: bài toán thực tế, tìm phương án tốt nhất. Cách làm: gọi ẩn và lập hệ. Vẽ miền nghiệm, tìm các đỉnh. Tính biểu thức tại từng đỉnh rồi so sánh. Trở lại quầy cây cảnh: 60 cái chậu, vốn 900 nghìn. Sen đá vốn 10 nghìn, lãi 5 nghìn. Xương rồng vốn 20 nghìn, lãi 8 nghìn. Bạn tạm dừng và thử tự giải nhé. Gọi x là số chậu sen đá, y là số chậu xương rồng. Ta đã có hệ: x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 60, x + 2y ≤ 90. Tiền lãi, tính theo nghìn đồng: F = 5x + 8y. Vẽ miền nghiệm: gạch bỏ ngoài hai trục, gạch phía trên đường x + y = 60, gạch phía trên đường x + 2y = 90. Còn lại tứ giác OABC. Đỉnh B là giao của hai đường: trừ vế với vế được y = 30, suy ra x = 30. Tính lãi tại từng đỉnh. Tại O: 0. Tại A, 45 chậu xương rồng: 360. Tại B: 390. Tại C, 60 chậu sen đá: 300. Lớn nhất là 390 nghìn, tại đỉnh B. Vậy nên trồng 30 chậu sen đá và 30 chậu xương rồng.

### 8:21 Kết bài

Tóm lại: hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn gồm hai hay nhiều bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Nghiệm của hệ phải thoả mãn tất cả. Miền nghiệm là phần không bị gạch, sau khi gạch bỏ từng nửa mặt phẳng. Trên miền đa giác, giá trị lớn nhất, nhỏ nhất nằm ở các đỉnh. Ngày nay, hãng bay xếp lịch, xe giao hàng chia tuyến, nhà máy phối nguyên liệu đều dùng ý tưởng này, với hàng nghìn ẩn. Người ta gọi đó là quy hoạch tuyến tính. Làm thêm bài tập về nhà để vẽ miền nghiệm thật nhanh nhé.