# Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180° – Toán lớp 10, Bài 5

> Ở lớp 9 bạn đã biết sin, cos, tan, cot của góc nhọn trong tam giác vuông. Nhưng tam giác thật ngoài đời có cả góc tù. Bài này mở rộng bốn giá trị ấy cho mọi góc từ 0° đến 180°, và giải thích vì sao máy tính cho cos 120° = −0,5.

- Trang bài: https://anim.vn/lop-10/toan/bai-05-gia-tri-luong-giac-cua-mot-goc-tu-0-den-180/
- Video: https://youtu.be/cW6MrQGZXcs (7:33)
- Thuộc: Toán lớp 10 · Bài 5
- Bài tập về nhà (PDF, có lời giải): https://anim.vn/media/lop10-toan-bai-05/bai-tap-ve-nha.pdf

## Mục lục video

- 0:00 Mở đầu: cos 120° âm?
- 0:27 Chữ sin từ đâu ra
- 1:00 Nửa đường tròn đơn vị
- 1:55 Tan, cot và dấu của góc tù
- 2:46 Hai góc bù nhau
- 3:39 Dạng 1: Tính giá trị biểu thức
- 4:36 Dạng 2: Rút gọn biểu thức
- 5:39 Dạng 3: Biết tan, tính biểu thức
- 6:23 Dạng 4: Bài toán thực tế
- 7:13 Kết bài

> Ở lớp 9 bạn đã biết sin, cos, tan, cot của **góc nhọn** trong tam giác vuông. Nhưng tam giác thật ngoài đời có cả góc tù. Bài này mở rộng bốn giá trị ấy cho mọi góc từ 0° đến 180°, và giải thích vì sao máy tính cho cos 120° = −0,5.

## 1. Nửa đường tròn đơn vị

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, vẽ nửa đường tròn tâm O, **bán kính 1**, nằm phía trên trục hoành. Đó là **nửa đường tròn đơn vị**.

Với mỗi góc α (0° ≤ α ≤ 180°) có **đúng một** điểm M(x₀; y₀) trên nửa đường tròn sao cho góc giữa tia Ox và tia OM bằng α. Khi đó:

- **sin α = y₀** (tung độ của M)
- **cos α = x₀** (hoành độ của M)

Với góc nhọn, định nghĩa này trùng với lớp 9: tam giác vuông có cạnh huyền OM = 1 nên "đối chia huyền" = y₀ : 1 = y₀.

**Ví dụ 1.** α = 90°: M nằm ở đỉnh nửa đường tròn, M(0; 1). Vậy sin 90° = 1, cos 90° = 0.

**Ví dụ 2.** α = 180°: M nằm ở đầu bên trái, M(−1; 0). Vậy sin 180° = 0, cos 180° = −1.

## 2. Tan, cot và dấu của góc tù

- **tan α = sin α : cos α** (khi cos α ≠ 0, tức α ≠ 90°)
- **cot α = cos α : sin α** (khi sin α ≠ 0, tức α ≠ 0° và α ≠ 180°)

**Ví dụ 1.** tan 90° không xác định (vì cos 90° = 0). cot 0° và cot 180° cũng không xác định (vì sin bằng 0).

Khi α là **góc tù**, điểm M nằm bên trái trục tung nhưng vẫn ở phía trên trục hoành, nên:

| | sin α | cos α | tan α | cot α |
|---|---|---|---|---|
| Góc nhọn | + | + | + | + |
| Góc tù | **+** | **−** | **−** | **−** |

**Ví dụ 2.** α = 150°. Tia OM hợp với phần bên trái của trục hoành một góc 30°. Tam giác vuông có cạnh huyền 1 nên M cao ½ và cách trục tung √3/2 về bên trái: M(−√3/2; ½). Vậy sin 150° = ½, cos 150° = −√3/2, tan 150° = −√3/3, cot 150° = −√3.

## 3. Hai góc bù nhau

Hai góc **bù nhau** có tổng bằng 180° (α và 180° − α). Hai điểm của chúng trên nửa đường tròn đơn vị **đối xứng nhau qua trục tung**: cùng tung độ, hoành độ đối nhau. Vì thế:

- sin(180° − α) = sin α
- cos(180° − α) = −cos α
- tan(180° − α) = −tan α (α ≠ 90°)
- cot(180° − α) = −cot α (0° < α < 180°)

Nhớ gọn: **"sin bù"** (hai góc bù nhau thì sin bằng nhau, ba giá trị còn lại đối nhau).

**Ví dụ 1.** cos 120° = −cos 60° = −½ (đúng con số máy tính cho).

**Ví dụ 2.** tan 135° = −tan 45° = −1.

## Bảng giá trị nên nhớ

| α | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | 120° | 135° | 150° | 180° |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| sin α | 0 | ½ | √2/2 | √3/2 | 1 | √3/2 | √2/2 | ½ | 0 |
| cos α | 1 | √3/2 | √2/2 | ½ | 0 | −½ | −√2/2 | −√3/2 | −1 |
| tan α | 0 | √3/3 | 1 | √3 | ‖ | −√3 | −1 | −√3/3 | 0 |
| cot α | ‖ | √3 | 1 | √3/3 | 0 | −√3/3 | −1 | −√3 | ‖ |

(‖ = không xác định.) Chỉ cần nhớ ba cột 30°, 45°, 60°; ba cột 120°, 135°, 150° suy ra bằng "sin bù".

## Bảng kí hiệu

| Kí hiệu | Đọc là | Nghĩa |
|---|---|---|
| sin α | sin an-pha | tung độ của điểm M ứng với góc α |
| cos α | côsin an-pha | hoành độ của điểm M |
| tan α | tang an-pha | sin α : cos α |
| cot α | côtang an-pha | cos α : sin α |
| sin² α | sin bình phương an-pha | (sin α)² |

## Lỗi hay gặp

1. **Quên dấu trừ của góc tù**: viết cos 120° = ½. Góc tù thì cos, tan, cot đều âm; chỉ sin dương.
2. **Đổi dấu cả sin**: viết sin 150° = −½. Sin của hai góc bù nhau **bằng nhau**.
3. **Bình phương mà vẫn để âm**: cos² 150° = (−√3/2)² = ¾, không phải −¾.
4. **Lẫn "bù" với "phụ"**: phụ nhau (tổng 90°) thì sin góc này bằng cos góc kia; bù nhau (tổng 180°) thì sin bằng sin.
5. **Tin máy tính khi tìm góc từ sin**: bấm tìm x từ sin x = 0,5 máy chỉ trả 30°, nhưng 150° cũng thoả mãn. Phải tự xét góc nhọn hay tù.
6. **Tính tan 90°, cot 0°, cot 180°**: các giá trị này không xác định (máy báo lỗi).
7. **Máy tính để nhầm đơn vị**: phải ở chế độ "độ" (chữ D trên màn hình).

## Bài tập theo dạng

### Dạng 1. Tính giá trị biểu thức

Cách làm: đưa góc tù về góc nhọn bù với nó → đặt đúng dấu → thay số trong bảng.

**Bài 1.** Tính:
a) sin 150° + cos 120°
b) cos² 150° − tan 135°
c) 2sin 135° · cos 135° + cot 90°

<details><summary>Đáp án</summary>

a) ½ + (−½) = **0**.
b) cos² 150° = (−√3/2)² = ¾; tan 135° = −1 nên −tan 135° = +1. Kết quả **7/4**.
c) 2 · (√2/2) · (−√2/2) + 0 = **−1**.
</details>

### Dạng 2. Rút gọn biểu thức

Cách làm: tìm các cặp góc có tổng 180° → sin bằng nhau; cos, tan, cot đối nhau → rút gọn.

**Bài 2.** Rút gọn:
a) cos 35° + cos 145° + sin 130° − sin 50°
b) sin(180° − α) · cot α − 2cos(180° − α), với 0° < α < 90°

<details><summary>Đáp án</summary>

a) cos 145° = −cos 35°, sin 130° = sin 50° nên biểu thức bằng **0**.
b) = sin α · cot α − 2 · (−cos α) = cos α + 2cos α = **3cos α**.
</details>

### Dạng 3. Biết tan (hoặc cot), tính giá trị biểu thức

Cách làm: chia cả tử và mẫu cho cos α (hoặc sin α) để chỉ còn tan α (hoặc cot α), rồi thay số.

**Bài 3.** Cho tan α = −2. Tính P = (sin α + 4cos α) : (3sin α − cos α).

<details><summary>Đáp án</summary>

tan α < 0 nên α tù, cos α ≠ 0. Chia tử và mẫu cho cos α: P = (tan α + 4) : (3tan α − 1) = (−2 + 4) : (−6 − 1) = **−2/7**.
</details>

### Dạng 4. Bài toán thực tế về chuyển động tròn

Cách làm: đặt gốc toạ độ ở tâm quay → tìm góc đã quay → độ cao so với tâm = bán kính · sin α; chiều ngang so với tâm = bán kính · cos α.

**Bài 4.** Một tua-bin gió có trục cao 80 m, cánh dài 40 m. Đầu cánh xuất phát ở vị trí nằm ngang bên phải, quay ngược chiều kim đồng hồ, 12 giây một vòng.
a) Sau 5 giây, đầu cánh ở độ cao bao nhiêu mét?
b) Lúc đó đầu cánh cách cột theo phương ngang bao nhiêu mét, về phía nào?

<details><summary>Đáp án</summary>

a) Góc quay: 5/12 · 360° = 150°. Cao hơn trục: 40 · sin 150° = 20 m. Độ cao: 80 + 20 = **100 m**.
b) 40 · cos 150° = −20√3 ≈ −34,6. Đầu cánh cách cột khoảng **34,6 m về bên trái**.
</details>

## Chuyện bên lề

**Chữ "sin" là một lần đọc nhầm.** Lượng giác sinh ra từ thiên văn, và ngay từ đầu nó gắn với **đường tròn**, không phải tam giác vuông. Thế kỉ 2 trước Công nguyên, Hipparchus (Hy Lạp) lập bảng độ dài **dây cung**; bảng dây cung của Ptolemy sau đó đã đi tới cung 180°. Khoảng năm 500, nhà toán học Ấn Độ Aryabhata lập bảng **nửa dây cung**, tiện hơn nhiều, và nửa dây cung chia cho bán kính chính là sin ngày nay. Tiếng Phạn gọi dây cung là *jya* ("dây của cây cung").

Sang tiếng Ả Rập, *jya* được phiên âm thành một chữ vô nghĩa, rồi về sau bị đọc thành *jaib*, một từ có nghĩa là "nếp gấp". Thế kỉ 12, khi dịch sách Ả Rập sang tiếng Latin, người châu Âu dịch luôn "nếp gấp" thành *sinus*. Chữ sin ta dùng hôm nay là kết quả của chuỗi phiên âm rồi dịch nhầm đó.

Tên gọi "lượng giác" (trigonometry) thì trẻ hơn nhiều: nó xuất hiện lần đầu năm 1595, trên bìa một cuốn sách của Bartholomaeus Pitiscus. Đến năm 1748, Leonhard Euler đưa sin, cos vào giải tích, coi chúng là những hàm số như ta học ở lớp 11.

**Ngày nay dùng vào đâu?** Mỗi lần một nhân vật trong game xoay người, máy tính tính toạ độ mới bằng x′ = x cos θ − y sin θ và y′ = x sin θ + y cos θ, với θ là góc bất kì chứ không riêng góc nhọn. Định vị vệ tinh, đo đạc bản đồ cũng phải giải những tam giác có góc tù; bài sau (định lí côsin, định lí sin) sẽ cần đúng các giá trị bạn vừa học.

## Trò chơi ở nhà 5 phút: "Đồng hồ lượng giác"

Vẽ nửa đường tròn bán kính 10 cm trên giấy kẻ ô (coi 10 cm là 1 đơn vị), dùng thước đo góc đánh dấu các góc 30°, 60°, 100°, 135°, 160°.

1. Một người đọc một góc; người kia đo tung độ và hoành độ của điểm tương ứng (chia cho 10) rồi đoán sin, cos.
2. Kiểm tra bằng máy tính. Sai dưới 0,05 thì được 1 điểm.
3. Câu hỏi thưởng: tìm hai góc khác nhau có cùng sin. Ai giải thích được bằng hình thì được 2 điểm.

## Lời thoại video

### 0:00 Mở đầu: cos 120° âm?

Ở lớp 9, sin là cạnh đối chia cạnh huyền, trong một tam giác vuông. Nhưng góc 120° là góc tù. Không tam giác vuông nào chứa nổi nó. Vậy mà bạn bấm máy tính thử xem: cos 120° ra −0,5. Côsin mà lại âm ư? Hôm nay bạn sẽ hiểu sin, côsin của góc tù là gì, và vì sao lại có dấu trừ.

### 0:27 Chữ sin từ đâu ra

Thật ra, sin không sinh ra từ tam giác vuông, mà từ đường tròn. Khoảng năm 500, nhà toán học Ấn Độ Aryabhata lập bảng độ dài nửa dây cung của đường tròn, để phục vụ thiên văn. Tiếng Phạn gọi dây cung là “jya”. Sang tiếng Ả Rập, chữ ấy bị đọc chệch thành một từ nghĩa là “nếp gấp”. Thế kỉ 12, người châu Âu dịch từ “nếp gấp” sang tiếng Latin, thành “sinus”. Chữ sin ra đời từ một lần đọc nhầm. Vậy muốn hiểu sin của góc tù, ta quay về đường tròn.

### 1:00 Nửa đường tròn đơn vị

Vẽ hệ trục toạ độ, rồi vẽ nửa đường tròn tâm O, bán kính bằng 1, nằm phía trên trục hoành. Đó là nửa đường tròn đơn vị. Với mỗi góc α từ 0° đến 180°, có đúng một điểm M trên nửa đường tròn, sao cho góc giữa tia Ox và tia OM bằng α. Định nghĩa mới: sin α là tung độ của điểm M. cos α là hoành độ của điểm M. Với góc nhọn, định nghĩa này khớp với lớp 9: cạnh huyền OM = 1, nên đối chia huyền chính là tung độ. Ví dụ 1: góc 90°. Điểm M ở đỉnh, toạ độ (0; 1). Vậy sin 90° = 1, cos 90° = 0. Ví dụ 2: góc 180°. Điểm M có toạ độ (−1; 0). sin 180° = 0, cos 180° = −1.

### 1:55 Tan, cot và dấu của góc tù

tan α = sin α : cos α. cot α = cos α : sin α. Mẫu phải khác 0. Nên tan 90° không xác định. cot 0° và cot 180° cũng không xác định. Bây giờ cho điểm M chạy sang góc tù. M nằm bên trái trục tung, nên hoành độ âm: cos α < 0. M vẫn ở phía trên trục hoành, nên sin α > 0. sin dương chia cos âm, nên tan và cot của góc tù cũng âm. Ví dụ: góc 150°. Tia OM hợp với trục hoành bên trái một góc 30°. Tam giác vuông có cạnh huyền bằng 1, nên tung độ là 1/2, hoành độ là −√3/2. Vậy sin 150° = 1/2, cos 150° = −√3/2.

### 2:46 Hai góc bù nhau

Hai góc bù nhau là hai góc có tổng 180°, như 60° và 120°. Hai điểm của chúng trên nửa đường tròn đối xứng nhau qua trục tung: cùng tung độ, hoành độ đối nhau. Vậy hai góc bù nhau có sin bằng nhau, còn cos, tan, cot thì đối nhau. Nhớ gọn hai chữ: sin bù. Ví dụ 1: cos 120° = −cos 60° = −1/2. Đúng con số máy tính cho lúc đầu. Ví dụ 2: tan 135° = −tan 45° = −1. Cẩn thận khi bấm máy tìm góc: sin x = 0,5, máy chỉ trả 30°, nhưng 150° cũng đúng. Ngày nay, mỗi lần nhân vật trong game xoay người, máy tính đều dùng sin và cos của đủ mọi góc để tính toạ độ mới.

### 3:39 Dạng 1: Tính giá trị biểu thức

Dạng 1: tính giá trị biểu thức. Cách làm: đưa góc tù về góc nhọn bù với nó, đặt đúng dấu, rồi thay số trong bảng. Bài 1. Câu a: sin 150° + cos 120°. Bạn tạm dừng video và thử làm. sin 150° = sin 30° = 1/2. cos 120° = −cos 60° = −1/2. Tổng bằng 0. Câu b: cos² 150° − tan 135°. Có bạn viết cos² 150° = −3/4. Sai rồi: số âm bình phương lên thành dương, 3/4. tan 135° = −1. Trừ −1 là cộng 1. Kết quả: 7/4.

### 4:36 Dạng 2: Rút gọn biểu thức

Dạng 2: rút gọn biểu thức. Cách làm: tìm các cặp góc có tổng 180°, rồi dùng sin bằng nhau, cos đối nhau. Bài 2. Câu a: cos 35° + cos 145° + sin 130° − sin 50°. 35 + 145 = 180, nên hai côsin đối nhau, cộng lại bằng 0. 130 và 50 cũng bù nhau, nên hai sin bằng nhau, trừ đi bằng 0. Cả biểu thức bằng 0. Câu b: sin(180° − α) · cot α − 2cos(180° − α). Thay sin(180° − α) = sin α, cos(180° − α) = −cos α. sin α · cot α = cos α. Trừ hai lần −cos α là cộng 2cos α. Kết quả: 3cos α.

### 5:39 Dạng 3: Biết tan, tính biểu thức

Dạng 3: biết tan, tính giá trị biểu thức. Cách làm: chia cả tử và mẫu cho cos α, để mọi thứ biến thành tan. Bài 3. Cho tan α = −2. Tính P = (sin α + 4cos α) : (3sin α − cos α). tan α < 0 nên α là góc tù, cos α ≠ 0, ta chia được. Chia tử và mẫu cho cos α: tử thành tan α + 4, mẫu thành 3tan α − 1. Thay tan α = −2: tử bằng 2, mẫu bằng −7. Vậy P = −2/7.

### 6:23 Dạng 4: Bài toán thực tế

Dạng 4: bài toán thực tế về chuyển động tròn. Cách làm: đặt gốc toạ độ ở tâm quay, tìm góc đã quay, rồi dùng sin cho độ cao, cos cho chiều ngang. Nhớ nhân với bán kính. Bài 4. Một tua-bin gió có trục cao 80 m, cánh dài 40 m. Đầu cánh xuất phát ở vị trí nằm ngang bên phải, quay ngược chiều kim đồng hồ, 12 giây một vòng. Sau 5 giây, đầu cánh cao bao nhiêu mét? 5 giây là 5/12 vòng, tức 150°. sin 150° = 1/2. Đầu cánh cao hơn trục: 40 · 1/2 = 20 m. Cộng độ cao trục 80 m: đầu cánh ở độ cao 100 m.

### 7:13 Kết bài

Tóm lại: trên nửa đường tròn đơn vị, sin là tung độ, cos là hoành độ. Góc tù thì sin dương, còn cos, tan, cot âm. Hai góc bù nhau: sin bằng nhau, ba giá trị còn lại đối nhau. Bạn làm thêm phiếu bài tập về nhà để nhớ lâu nhé.