# Hệ thức lượng trong tam giác – Toán lớp 10, Bài 6 > Định lí Pythagore chỉ dùng được cho tam giác vuông. Bài này cho bạn ba công cụ dùng được cho mọi tam giác: định lí côsin, định lí sin và các công thức diện tích. Có chúng, chỉ cần biết ba yếu tố (trong đó có ít nhất một cạnh) là tính được mọi thứ còn lại. Việc đó gọi là giải tam giác. - Trang bài: https://anim.vn/lop-10/toan/bai-06-he-thuc-luong-trong-tam-giac/ - Video: https://youtu.be/ICcStwi9bbM (8:22) - Thuộc: Toán lớp 10 · Bài 6 - Bài tập về nhà (PDF, có lời giải): https://anim.vn/media/lop10-toan-bai-06/bai-tap-ve-nha.pdf ## Mục lục video - 0:00 Mở đầu: Pythagore chịu thua - 0:26 Định lí già hơn chữ côsin - 0:53 Định lí côsin - 2:14 Định lí sin - 3:03 Công thức diện tích - 4:05 Dạng 1: Hai cạnh và góc xen giữa - 5:00 Dạng 2: Một cạnh và hai góc - 5:58 Dạng 3: Biết ba cạnh - 6:59 Dạng 4: Bài toán thực tế - 8:01 Kết bài > Định lí Pythagore chỉ dùng được cho tam giác **vuông**. Bài này cho bạn ba công cụ dùng được cho **mọi** tam giác: định lí côsin, định lí sin và các công thức diện tích. Có chúng, chỉ cần biết ba yếu tố (trong đó có ít nhất một cạnh) là tính được mọi thứ còn lại. Việc đó gọi là **giải tam giác**. **Quy ước.** Trong tam giác ABC: cạnh a = BC đối diện góc A, cạnh b = CA đối diện góc B, cạnh c = AB đối diện góc C; p là nửa chu vi; S là diện tích; R, r là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp. ## 1. Định lí côsin - a² = b² + c² − 2bc · cos A - b² = c² + a² − 2ca · cos B - c² = a² + b² − 2ab · cos C Nhớ bằng lời: **bình phương một cạnh bằng tổng bình phương hai cạnh kia, trừ hai lần tích của chúng nhân côsin góc xen giữa.** Nếu A = 90° thì cos A = 0, "phần đuôi" biến mất và còn lại a² = b² + c²: định lí Pythagore chính là trường hợp riêng của định lí côsin. **Ví dụ 1.** Hai que dài 3 và 5 ghim chung một đầu, mở góc 120°. Khoảng cách x giữa hai đầu que: x² = 3² + 5² − 2 · 3 · 5 · cos 120° = 9 + 25 + 15 = 49, nên x = 7. (cos 120° = −½ nên "trừ" thành "cộng": góc tù làm cạnh đối diện dài ra.) Đảo công thức lại, biết ba cạnh thì tính được góc: - cos A = (b² + c² − a²) : (2bc) **Ví dụ 2.** Tam giác có ba cạnh 7, 13, 15. Góc đối diện cạnh 13 có côsin bằng (7² + 15² − 13²) : (2 · 7 · 15) = 105 : 210 = ½, nên góc đó bằng 60°. ## 2. Định lí sin - a : sin A = b : sin B = c : sin C = 2R Mỗi cạnh luôn **đi cặp với góc đối diện nó**, và tỉ số nào cũng bằng đường kính đường tròn ngoại tiếp. **Ví dụ 1.** Tam giác có hai góc 45° và 30°; cạnh đối diện góc 30° dài 7. Cạnh x đối diện góc 45° thoả mãn x : sin 45° = 7 : sin 30° = 14, nên x = 14 · sin 45° = 7√2 ≈ 9,9. **Ví dụ 2.** Tam giác đều cạnh 6: 2R = 6 : sin 60° = 4√3, nên R = 2√3 ≈ 3,5. ## 3. Công thức diện tích | Biết gì | Công thức | |---|---| | Hai cạnh và góc xen giữa | S = ½ · ab · sin C = ½ · bc · sin A = ½ · ca · sin B | | Ba cạnh | S = √(p(p − a)(p − b)(p − c)) (công thức Heron), p = (a + b + c) : 2 | | Nửa chu vi và r | S = p · r | | Ba cạnh và R | S = abc : (4R) | Vì sao có công thức đầu? Vì b · sin C chính là chiều cao hạ xuống cạnh a. **Ví dụ 1.** Hai cạnh 6 và 10, góc xen giữa 30°: S = ½ · 6 · 10 · sin 30° = 15. **Ví dụ 2.** Ba cạnh 9, 10, 17: p = 18, S = √(18 · 9 · 8 · 1) = √1296 = 36. Suy ra thêm r = S : p = 2. ## Chọn công cụ nào? | Đề cho | Dùng | |---|---| | Hai cạnh và góc xen giữa | Định lí côsin (tìm cạnh thứ ba) | | Ba cạnh | Định lí côsin dạng cos A = … (tìm góc), Heron (diện tích) | | Một cạnh và hai góc | Tính góc thứ ba, rồi định lí sin | | Một cạnh, góc đối diện nó, hỏi R | Định lí sin: 2R = a : sin A | ## Lỗi hay gặp - **Dùng Pythagore cho tam giác không vuông.** Thiếu phần −2bc · cos A là sai ngay. - **Sai dấu khi góc tù.** cos của góc tù là số âm, nên −2bc · cos A thành số **dương**. - **Ghép sai cặp trong định lí sin.** Cạnh phải đi với góc **đối diện** nó, không phải góc kề. Đề cho một cạnh và hai góc thì thường phải tính góc thứ ba trước. - **Lấy nhầm góc không xen giữa** trong S = ½ · ab · sin C: góc C phải là góc tạo bởi hai cạnh a và b. - **Quên p là NỬA chu vi** trong công thức Heron. - **Máy tính để nhầm chế độ radian.** Bài này tính bằng độ: kiểm tra máy đang ở chế độ độ (D/DEG). - **Bấm máy tìm góc từ sin** chỉ ra góc nhọn, trong khi góc tù bù với nó cũng có cùng sin. Muốn biết góc tù hay nhọn, hãy tính **côsin** (côsin âm là góc tù). ## Bài tập theo dạng ### Dạng 1. Biết hai cạnh và góc xen giữa **Bài 1.** Tam giác MNP có MN = 8, MP = 15, góc M = 60°. Tính NP và diện tích tam giác.
Đáp án NP² = 8² + 15² − 2 · 8 · 15 · cos 60° = 289 − 120 = 169, nên **NP = 13**. (Dùng Pythagore ra 17 là sai, vì góc M không vuông.) S = ½ · 8 · 15 · sin 60° = **30√3 ≈ 52**.
**Bài 2.** Tam giác có hai cạnh 5 và 16, góc xen giữa 120°. Tính cạnh thứ ba.
Đáp án x² = 25 + 256 − 2 · 5 · 16 · (−½) = 281 + 80 = 361, nên **x = 19**.
### Dạng 2. Biết một cạnh và hai góc **Bài 3.** Tam giác DEF có góc D = 60°, góc E = 75°, DE = 10. Tính EF và bán kính R của đường tròn ngoại tiếp.
Đáp án Góc F = 180° − 60° − 75° = 45° (đối diện cạnh DE). Cạnh EF đối diện góc D: EF : sin 60° = 10 : sin 45°, nên **EF = 5√6 ≈ 12,2**. 2R = 10 : sin 45° = 10√2, nên **R = 5√2 ≈ 7,1**.
**Bài 4.** Tam giác HIK có góc H = 45°, góc K = 30°, HI = 6. Tính IK.
Đáp án HI đối diện góc K, IK đối diện góc H: IK : sin 45° = 6 : sin 30° = 12, nên **IK = 6√2 ≈ 8,5**.
### Dạng 3. Biết ba cạnh **Bài 5.** Tam giác có ba cạnh 4, 13, 15. a) Tam giác này nhọn, vuông hay tù? b) Tính diện tích. c) Tính đường cao ứng với cạnh dài nhất.
Đáp án a) Góc lớn nhất đối diện cạnh 15: cos = (4² + 13² − 15²) : (2 · 4 · 13) = −40 : 104 = −5/13 < 0, nên đó là góc tù: **tam giác tù**. b) p = 16; S = √(16 · 12 · 3 · 1) = √576 = **24**. c) S = ½ · 15 · h nên h = 48 : 15 = **3,2**.
**Bài 6.** Tam giác RST có RS = 11, ST = 13, RT = 20. Gọi M là trung điểm của RT. Tính cos R và độ dài SM.
Đáp án cos R = (11² + 20² − 13²) : (2 · 11 · 20) = 352 : 440 = **0,8**. Trong tam giác RSM (RS = 11, RM = 10, góc R xen giữa): SM² = 121 + 100 − 2 · 11 · 10 · 0,8 = 45, nên **SM = 3√5 ≈ 6,71**.
### Dạng 4. Bài toán thực tế **Bài 7.** Màn hình rạp chiếu phim rộng 6 m. Ghế của bạn cách mép trái màn hình 14 m, cách mép phải 10 m. Góc nhìn trọn màn hình của bạn là bao nhiêu độ? Nếu đổi sang ghế cách hai mép 8 m và 10 m thì sao?
Đáp án Ghế 1: cos α = (14² + 10² − 6²) : (2 · 14 · 10) = 260 : 280 = 13/14, nên **α ≈ 22°**. Ghế 2: cos β = (8² + 10² − 6²) : (2 · 8 · 10) = 128 : 160 = 0,8, nên **β ≈ 37°**. Ngồi gần hơn thì góc nhìn rộng hơn.
**Bài 8.** Một chiếc đèn bàn có hai đoạn cần nối nhau bằng khớp: đoạn dưới dài 30 cm, đoạn trên dài 40 cm. Khi khớp mở góc 120°, đầu đèn cách chân cần bao nhiêu xăng-ti-mét?
Đáp án d² = 30² + 40² − 2 · 30 · 40 · cos 120° = 2500 + 1200 = 3700, nên **d = 10√37 ≈ 60,8 cm**.
## Chuyện bên lề **Định lí côsin già hơn cả chữ "côsin".** Khoảng năm 300 trước Công nguyên, trong bộ sách *Cơ sở*, Euclid đã viết hai mệnh đề (một cho tam giác tù, một cho tam giác nhọn) có nội dung đúng bằng định lí côsin. Nhưng thời đó chưa có lượng giác, nên ông phải phát biểu bằng hình học: hình vuông dựng trên cạnh này lớn hơn (hoặc nhỏ hơn) tổng hai hình vuông kia đúng bằng hai lần một hình chữ nhật. **Al-Kashi và "Chìa khoá số học".** Năm 1427, tại Samarkand (nay thuộc Uzbekistan), nhà toán học và thiên văn Jamshid al-Kashi hoàn thành cuốn *Chìa khoá số học*, trong đó ông trình bày cách giải tam giác từ nhiều kiểu dữ kiện khác nhau. Ba năm trước đó, cũng chính ông tính 2π chính xác tới 16 chữ số thập phân. Ở Pháp, có khi người ta vẫn gọi định lí côsin là "định lí Al-Kashi". **Kí hiệu như ngày nay đến muộn hơn nhiều.** Người đầu tiên viết định lí bằng kí hiệu đại số là François Viète ở thế kỉ 16; dạng a² = b² + c² − 2bc · cos A quen thuộc chỉ có từ đầu thế kỉ 19. Còn định lí sin cho tam giác phẳng được Nasir al-Din al-Tusi phát biểu và chứng minh ở thế kỉ 13. **Đo cả một nước bằng tam giác.** Muốn đo khoảng cách rất xa, người ta chỉ cần đo thật kĩ **một cạnh** rồi đo **các góc**: định lí sin cho ra mọi cạnh còn lại, tam giác này nối tiếp tam giác kia. Năm 1615, nhà toán học Hà Lan Willebrord Snell dùng một chuỗi 33 tam giác như thế để đo khoảng cách giữa hai thành phố cách nhau hơn một trăm ki-lô-mét. Cách làm này (gọi là tam giác đạc) được dùng để lập bản đồ suốt mấy trăm năm, cho tới khi các hệ thống vệ tinh định vị ra đời từ thập niên 1980. ## Trò chơi ở nhà (5 phút) **Đoán rồi tính.** Lấy hai cây bút (hoặc hai que) và một thước đo độ. 1. Đo độ dài hai que. Chụm một đầu lại, mở một góc tuỳ ý và đo góc đó. 2. Mỗi người **đoán** khoảng cách giữa hai đầu que. 3. Tính bằng định lí côsin (bấm máy), rồi đo lại bằng thước. Ai đoán gần nhất thắng. 4. Thử với một góc tù: khoảng cách dài hơn hay ngắn hơn so với khi mở góc vuông? Vì sao? ## Lời thoại video ### 0:00 Mở đầu: Pythagore chịu thua Lấy hai que, một que dài 3, một que dài 5, ghim chung một đầu như cái com-pa. Mở góc 90°: hai đầu que cách nhau √34, nhờ định lí Pythagore. Mở rộng ra 120° thì sao? Pythagore chịu thua, vì tam giác không còn vuông. Hôm nay bạn sẽ có ba công cụ cho mọi tam giác: định lí côsin, định lí sin, và công thức diện tích. ### 0:26 Định lí già hơn chữ côsin Định lí đầu tiên còn già hơn cả chữ côsin. Khoảng năm 300 trước Công nguyên, Euclid đã viết nó trong bộ sách Cơ sở, nhưng bằng hình vuông và hình chữ nhật, vì lượng giác khi ấy chưa ra đời. Năm 1427, ở Samarkand, nhà toán học al-Kashi trình bày cách giải tam giác trong cuốn “Chìa khoá số học”. Đến nay, ở Pháp, nhiều người vẫn gọi đây là định lí Al-Kashi. ### 0:53 Định lí côsin Quy ước: trong tam giác ABC, cạnh a đối diện góc A, cạnh b đối diện góc B, cạnh c đối diện góc C. Định lí côsin: a² = b² + c² − 2bc · cos A. Nhớ bằng lời: bình phương một cạnh, bằng tổng bình phương hai cạnh kia, trừ hai lần tích của chúng nhân côsin góc xen giữa. Nếu góc A vuông thì cos A = 0, phần đuôi biến mất, còn lại đúng định lí Pythagore. Ví dụ 1, hai que lúc nãy: 9 + 25 − 2 · 3 · 5 · cos 120°. cos 120° = −1/2, nên trừ thành cộng 15. Được 49. Hai đầu que cách nhau đúng 7. Đảo công thức lại, biết ba cạnh sẽ tính được góc: cos A = (b² + c² − a²) : 2bc. Ví dụ 2: tam giác có ba cạnh 7, 13, 15. Góc đối diện cạnh 13 có côsin bằng (49 + 225 − 169) : 210, tức 1/2. Góc đó bằng 60°. ### 2:14 Định lí sin Định lí sin: a : sin A = b : sin B = c : sin C = 2R. R là bán kính đường tròn ngoại tiếp, tức đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác. Điều cần nhớ: mỗi cạnh luôn đi cặp với góc đối diện nó. Ví dụ 1: tam giác có hai góc 45° và 30°. Cạnh đối diện góc 30° dài 7. Tìm cạnh x, đối diện góc 45°. x : sin 45° = 7 : sin 30° = 14. Vậy x = 7√2 ≈ 9,9. Ví dụ 2: tam giác đều cạnh 6. 2R = 6 : sin 60°, nên R = 2√3 ≈ 3,5. ### 3:03 Công thức diện tích Diện tích tam giác bằng một nửa tích hai cạnh, nhân sin góc xen giữa: S = ½ · ab · sin C. Vì sao? Vì b · sin C chính là chiều cao. Ví dụ 1: hai cạnh 6 và 10, góc xen giữa 30°. S = ½ · 6 · 10 · ½ = 15. Chỉ biết ba cạnh thì dùng công thức Heron: S = √(p(p − a)(p − b)(p − c)), với p là nửa chu vi. Ví dụ 2: ba cạnh 9, 10, 17. Nửa chu vi là 18. S = √(18 · 9 · 8 · 1) = 36. Còn hai công thức nữa: S = p · r (r là bán kính đường tròn nội tiếp), và S = abc : 4R (R là bán kính đường tròn ngoại tiếp). Trước khi có vệ tinh định vị, bản đồ của cả một nước được đo đúng theo cách này: đo một cạnh và các góc, rồi giải từng tam giác nối tiếp nhau. ### 4:05 Dạng 1: Hai cạnh và góc xen giữa Dạng 1: biết hai cạnh và góc xen giữa. Cách làm: dùng định lí côsin để tính cạnh thứ ba, dùng một nửa tích hai cạnh nhân sin góc xen giữa để tính diện tích. Bài 1. Tam giác MNP có MN = 8, MP = 15, góc M = 60°. Tính NP và diện tích tam giác. Bạn tạm dừng video và thử làm. Có bạn dùng Pythagore: √(64 + 225) = 17. Sai rồi, vì góc M không vuông. Phải trừ thêm 2 · 8 · 15 · cos 60°, tức trừ 120. Còn 169. Vậy NP = 13. S = ½ · 8 · 15 · sin 60° = 30√3 ≈ 52. ### 5:00 Dạng 2: Một cạnh và hai góc Dạng 2: biết một cạnh và hai góc. Cách làm: tính góc thứ ba trước, rồi dùng định lí sin, ghép mỗi cạnh với góc đối diện nó. Bài 2. Tam giác DEF có góc D = 60°, góc E = 75°, cạnh DE = 10. Tính cạnh EF và bán kính đường tròn ngoại tiếp. Bạn thử làm nhé. Góc F = 180° − 60° − 75° = 45°. Đây là góc đối diện cạnh DE. Cạnh EF thì đối diện góc D. Theo định lí sin: EF : sin 60° = 10 : sin 45°. Suy ra EF = 5√6 ≈ 12,2. 2R cũng bằng 10 : sin 45°, tức 10√2. Vậy R = 5√2 ≈ 7,1. ### 5:58 Dạng 3: Biết ba cạnh Dạng 3: biết ba cạnh. Cách làm: tính góc bằng định lí côsin, tính diện tích bằng công thức Heron. Bài 3. Tam giác có ba cạnh 4, 13, 15. Câu a: tam giác này nhọn, vuông hay tù? Câu b: tính diện tích. Câu c: tính đường cao ứng với cạnh dài nhất. Câu a. Chỉ cần xét góc lớn nhất, là góc đối diện cạnh 15. Côsin của nó bằng (16 + 169 − 225) : (2 · 4 · 13) = −5/13. Côsin âm, nên đó là góc tù. Đây là tam giác tù. Câu b. Nửa chu vi bằng 16. S = √(16 · 12 · 3 · 1) = 24. Câu c. Diện tích bằng một nửa đáy nhân chiều cao, nên đường cao bằng 2 · 24 : 15 = 3,2. ### 6:59 Dạng 4: Bài toán thực tế Dạng 4: bài toán thực tế. Cách làm: vẽ tam giác, ghi những gì đã biết, rồi chọn định lí. Có góc xen giữa hoặc đủ ba cạnh thì côsin. Có cặp cạnh và góc đối diện thì sin. Bài 4. Màn hình rạp chiếu phim rộng 6 m. Ghế của bạn cách mép trái màn hình 14 m, cách mép phải 10 m. Góc nhìn trọn màn hình của bạn là bao nhiêu độ? Nếu đổi sang ghế cách hai mép 8 m và 10 m thì sao? Ba cạnh đã biết, cần tìm góc đối diện cạnh 6 m. Côsin bằng (196 + 100 − 36) : (2 · 14 · 10), tức 13/14. Bấm máy, góc nhìn khoảng 22°. Ghế thứ hai: côsin bằng (64 + 100 − 36) : 160 = 0,8. Góc nhìn khoảng 37°. Ngồi gần hơn, màn hình trông rộng hơn hẳn. ### 8:01 Kết bài Tóm lại: có góc xen giữa hai cạnh, hoặc biết đủ ba cạnh, thì dùng định lí côsin. Có một cạnh và góc đối diện nó, thì dùng định lí sin. Diện tích: một nửa tích hai cạnh nhân sin góc xen giữa, hoặc công thức Heron. Bạn làm thêm phiếu bài tập về nhà để nhớ lâu nhé.