# Vectơ: các khái niệm mở đầu – Toán lớp 10, Bài 7 > Quả bóng bay về phía khung thành với tốc độ 90 km/h. Thủ môn biết con số ấy vẫn chưa bắt được bóng, vì còn phải biết bóng bay theo hướng nào. Có những đại lượng cần cả độ lớn lẫn hướng. Vectơ là công cụ toán học ghi cả hai thứ ấy bằng một mũi tên. - Trang bài: https://anim.vn/lop-10/toan/bai-07-cac-khai-niem-mo-dau/ - Video: https://youtu.be/FO9ANytmhbU (8:48) - Thuộc: Toán lớp 10 · Bài 7 - Bài tập về nhà (PDF, có lời giải): https://anim.vn/media/lop10-toan-bai-07/bai-tap-ve-nha.pdf ## Mục lục video - 0:00 Mở đầu: biết tốc độ đã đủ chưa? - 0:30 Chữ vectơ từ đâu ra - 0:59 Vectơ và độ dài - 1:57 Cùng phương, cùng hướng - 2:45 Hai vectơ bằng nhau, vectơ-không - 3:44 Dạng 1: Xác định vectơ, tính độ dài - 4:51 Dạng 2: Tìm vectơ bằng nhau - 6:04 Dạng 3: Diễn đạt quan hệ hình học - 7:16 Dạng 4: Biểu diễn lực bằng vectơ - 8:19 Kết bài > Quả bóng bay về phía khung thành với tốc độ 90 km/h. Thủ môn biết con số ấy vẫn chưa bắt được bóng, vì còn phải biết bóng bay **theo hướng nào**. Có những đại lượng cần cả **độ lớn** lẫn **hướng**. Vectơ là công cụ toán học ghi cả hai thứ ấy bằng một mũi tên. Trong bài này, kí hiệu vectơ viết bằng chữ: "vectơ AB", "vectơ u". Khi viết tay, bạn viết AB hoặc u rồi thêm một mũi tên phía trên. ## 1. Vectơ là gì, độ dài của vectơ - **Vectơ** là một đoạn thẳng **có hướng**: trong hai đầu mút, ta nói rõ đâu là **điểm đầu**, đâu là **điểm cuối**. - Vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B gọi là **vectơ AB**. Khi vẽ, đầu mũi tên đặt ở điểm cuối B. - Khi không cần nêu hai đầu mút, ta gọi vectơ bằng một chữ thường: vectơ a, vectơ u, vectơ v… - **Độ dài** của vectơ là khoảng cách từ điểm đầu tới điểm cuối. Kí hiệu bằng hai gạch đứng: |vectơ AB| = AB. **Ví dụ 1.** Với hai điểm A và B có **hai** vectơ khác nhau: vectơ AB và vectơ BA. Chúng dài bằng nhau nhưng đi ngược nhau. **Ví dụ 2.** Tam giác ABC vuông tại B, AB = 6, BC = 8. Theo định lí Pythagore, AC = √(6² + 8²) = 10. Vậy |vectơ AC| = 10. ## 2. Cùng phương, cùng hướng, ngược hướng - Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một vectơ gọi là **giá** của vectơ đó. - Hai vectơ **cùng phương** nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau. - Hai vectơ đã cùng phương thì chỉ có hai khả năng: **cùng hướng** hoặc **ngược hướng**. **Ví dụ 1.** Trong trung tâm thương mại có hai thang cuốn đặt song song, một cái đi lên, một cái đi xuống. Hai vectơ vận tốc cùng phương nhưng ngược hướng. **Ví dụ 2.** Trên giấy kẻ ô, vectơ u đi "sang phải 2 ô, lên 1 ô", vectơ v đi "sang phải 4 ô, lên 2 ô", đặt ở hai chỗ khác nhau. Hai giá song song và cả hai cùng chỉ lên bên phải nên u, v **cùng hướng**, dù v dài gấp đôi. Vectơ x đi "sang phải 3 ô, xuống 3 ô" thì **không cùng phương** với u. Khi đó ta không nói x cùng hướng hay ngược hướng với u. ## 3. Hai vectơ bằng nhau, vectơ-không - Hai vectơ **bằng nhau** nếu chúng **cùng hướng** và **cùng độ dài**. Không cần chung điểm đầu: trượt một vectơ đi chỗ khác, giữ nguyên hướng và độ dài, ta vẫn được chính vectơ đó. - Cho vectơ u và một điểm O, có **đúng một** điểm A sao cho vectơ OA bằng vectơ u. - Vectơ có điểm đầu trùng điểm cuối (vectơ AA, vectơ BB…) gọi là **vectơ-không**. Nó có độ dài 0 và được quy ước là cùng hướng (nên cùng phương) với mọi vectơ. Mọi vectơ-không đều bằng nhau, dùng chung một kí hiệu: số 0 có mũi tên phía trên. **Ví dụ 1.** Hình bình hành MNPQ: vectơ MN và vectơ QP cùng hướng, cùng độ dài nên bằng nhau. Nhưng vectơ MN và vectơ PQ không bằng nhau vì ngược hướng. **Ví dụ 2.** Vẽ vectơ u bất kì và một điểm O. Đặt thước song song với u, từ O kẻ theo đúng hướng của u một đoạn dài bằng u, ta được điểm A. Chỉ có một điểm A như thế. ## Bảng kí hiệu | Viết | Đọc | Ý nghĩa | |---|---|---| | AB có mũi tên phía trên | vectơ AB | đoạn thẳng có hướng, điểm đầu A, điểm cuối B | | a, u, v có mũi tên phía trên | vectơ a, vectơ u, vectơ v | vectơ không nêu rõ hai đầu mút | | \|vectơ AB\| | độ dài vectơ AB | bằng độ dài đoạn thẳng AB | | vectơ a = vectơ b | vectơ a bằng vectơ b | cùng hướng và cùng độ dài | | 0 có mũi tên phía trên | vectơ-không | điểm đầu trùng điểm cuối, độ dài 0 | ## Lỗi hay gặp 1. **Coi vectơ AB và vectơ BA là một.** Điểm đầu đọc và viết trước, điểm cuối đọc và viết sau. Đổi thứ tự là đổi hướng. 2. **Thấy dài bằng nhau là kết luận bằng nhau.** Còn phải cùng hướng. Hai cạnh đối của hình bình hành dài bằng nhau, nhưng viết sai thứ tự chữ là thành hai vectơ ngược hướng. 3. **Nói "ngược hướng" cho hai vectơ không cùng phương.** Chỉ khi cùng phương mới xét cùng hướng hay ngược hướng. 4. **Nghĩ rằng cùng hướng thì bằng nhau.** Cùng hướng mà độ dài khác nhau thì vẫn khác nhau. 5. **Vẽ lực, vận tốc mà không theo tỉ lệ.** Độ dài mũi tên phải tỉ lệ với độ lớn: lực 60 N phải dài gấp rưỡi lực 40 N. ## Bài tập theo dạng ### Dạng 1. Xác định vectơ, tính độ dài *Cách làm:* chỉ rõ điểm đầu, điểm cuối; độ dài vectơ là độ dài đoạn thẳng nối hai điểm ấy. **Bài 1.** Hình thoi ABCD có hai đường chéo AC = 16, BD = 12, cắt nhau tại O. a) Tính độ dài vectơ AB. b) Có bao nhiêu vectơ khác vectơ-không có hai đầu mút là đỉnh của hình thoi?
Đáp án a) Hai đường chéo hình thoi vuông góc và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên OA = 8, OB = 6. Tam giác OAB vuông tại O: AB = √(8² + 6²) = 10. Vậy |vectơ AB| = **10**. b) Bốn đỉnh tạo ra 6 đoạn thẳng (4 cạnh, 2 đường chéo). Mỗi đoạn cho 2 vectơ ngược nhau: 6 · 2 = **12** vectơ.
**Bài 2.** Tam giác DEF vuông tại D có DE = 9, DF = 12. Tính độ dài vectơ EF và vectơ FE.
Đáp án EF = √(9² + 12²) = √225 = 15. Hai vectơ có cùng độ dài: |vectơ EF| = |vectơ FE| = **15** (nhưng hai vectơ này khác nhau).
### Dạng 2. Tìm vectơ cùng phương, cùng hướng, bằng nhau *Cách làm:* tìm các đường thẳng song song hoặc trùng với giá → xét hướng → so độ dài. **Bài 3.** Lục giác đều ABCDEF, tâm O. a) Tìm các vectơ bằng vectơ AB, có điểm đầu và điểm cuối là đỉnh hoặc tâm. b) Vectơ AB và vectơ DE có bằng nhau không?
Đáp án a) Lục giác đều gồm 6 tam giác đều chung đỉnh O nên mọi cạnh và mọi đoạn nối tâm với đỉnh đều dài bằng nhau. Các đường thẳng song song với AB là FC và ED. Đi cùng hướng với vectơ AB có: **vectơ FO, vectơ OC, vectơ ED**. b) DE song song và dài bằng AB, nhưng vectơ DE **ngược hướng** với vectơ AB. Hai vectơ **không bằng nhau**.
**Bài 4.** Trên giấy kẻ ô, vectơ a đi "sang phải 3 ô, lên 1 ô". Vectơ nào sau đây cùng hướng với a, vectơ nào ngược hướng, vectơ nào bằng a: b "sang phải 6 ô, lên 2 ô"; c "sang trái 3 ô, xuống 1 ô"; d "sang phải 1 ô, lên 3 ô"; e "sang phải 3 ô, lên 1 ô"?
Đáp án b cùng hướng với a (dài gấp đôi). c ngược hướng với a. d không cùng phương với a. e **bằng** a (cùng hướng, cùng độ dài), dù đặt ở chỗ khác.
### Dạng 3. Dùng vectơ diễn đạt quan hệ hình học *Cách làm:* vẽ hình; với mỗi đẳng thức vectơ, kiểm tra hai điều: cùng hướng và cùng độ dài. **Bài 5.** I là trung điểm của đoạn thẳng AB. Mỗi khẳng định sau đúng hay sai? a) Vectơ AI bằng vectơ IB. b) Vectơ IA bằng vectơ IB. c) Vectơ AI và vectơ AB cùng hướng.
Đáp án a) **Đúng**: cùng chỉ từ phía A sang phía B, và AI = IB. b) **Sai**: dài bằng nhau nhưng ngược hướng. c) **Đúng**: cùng xuất phát từ A, cùng chỉ về phía B (độ dài khác nhau không ảnh hưởng tới hướng). Ngược lại, nếu vectơ AI bằng vectơ IB thì I là trung điểm của AB: một đẳng thức vectơ nói được cả "ba điểm thẳng hàng" lẫn "I cách đều hai đầu".
**Bài 6.** Cho hình bình hành ABCD. Lấy điểm E sao cho vectơ BE bằng vectơ AB. Chứng minh tứ giác BECD là hình bình hành.
Đáp án ABCD là hình bình hành nên vectơ AB bằng vectơ DC. Mà vectơ BE bằng vectơ AB, nên vectơ BE bằng vectơ DC. Suy ra BE song song với DC và BE = DC. Tứ giác BECD có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau nên là hình bình hành.
### Dạng 4. Biểu diễn lực, vận tốc bằng vectơ *Cách làm:* chọn tỉ lệ; vẽ mũi tên theo đúng hướng của đại lượng; độ dài mũi tên tỉ lệ với độ lớn. **Bài 7.** Bạn Minh đẩy một cái tủ sang phải với lực 60 N. Sàn nhà cản lại bằng lực ma sát 40 N. Quy ước 1 ô ứng với 20 N. a) Vẽ hai vectơ lực. b) Hai vectơ ấy có cùng phương, cùng hướng, bằng nhau không?
Đáp án a) 60 : 20 = 3: lực đẩy là mũi tên dài 3 ô, chỉ sang phải. 40 : 20 = 2: lực ma sát là mũi tên dài 2 ô, chỉ sang trái. b) Cùng nằm ngang nên **cùng phương**; **ngược hướng**; độ dài khác nhau (3 ô và 2 ô). Hai vectơ **không bằng nhau**.
**Bài 8.** Hai bạn An và Bình cùng kéo một chiếc xe chở hàng về bên phải: An kéo 80 N, Bình kéo 120 N. Quy ước 1 ô ứng với 40 N. Hai vectơ lực dài mấy ô? Chúng có bằng nhau không?
Đáp án Lực của An dài 2 ô, lực của Bình dài 3 ô, cùng chỉ sang phải. Hai vectơ cùng phương, cùng hướng, nhưng **không bằng nhau** vì độ dài khác nhau.
## Chuyện bên lề **Vectơ không do một người nghĩ ra trong một ngày.** Khái niệm này hình thành dần trong hơn 200 năm, từ nhu cầu của vật lí và thiên văn: lực, vận tốc đều có cả độ lớn lẫn hướng. **Một người tự học và ý tưởng "coi như là một".** Năm 1835, Giusto Bellavitis, một người Ý tự học toán trong lúc làm việc cho chính quyền thị trấn quê mình, công bố bài viết về các đoạn thẳng "tương đẳng": hai đoạn thẳng song song, dài bằng nhau và cùng hướng thì được coi như nhau. Đó chính là định nghĩa hai vectơ bằng nhau mà bạn vừa học. **Cái tên "vectơ".** Khoảng năm 1843, nhà toán học Ai-len William Rowan Hamilton bắt đầu dùng chữ "vector" theo nghĩa ngày nay. Trong tiếng La-tinh, chữ này nghĩa là "người chuyên chở": vectơ AB "chở" điểm A tới điểm B. Cũng năm 1843, ngày 16 tháng 10, khi đang đi bộ cùng vợ dọc một con kênh ở Dublin, Hamilton nghĩ ra công thức cho một loại số mới và lấy dao nhíp khắc ngay lên thành cầu. **Ngày nay.** Trong trò chơi điện tử, mỗi nhân vật, mỗi quả bóng đều mang một vectơ vận tốc. Ở mỗi khung hình, máy tính dời vật đi đúng theo vectơ ấy: vị trí mới = vị trí cũ + vectơ vận tốc. Trong vật lí, lực, vận tốc, gia tốc đều được biểu diễn bằng vectơ. ## Trò chơi ở nhà (5 phút): "Truy tìm vectơ bằng nhau" Cần: một tờ giấy kẻ ô, hai cây bút khác màu, hai người chơi. 1. Người thứ nhất vẽ một mũi tên bất kì nối hai giao điểm của lưới (ví dụ sang phải 3 ô, lên 2 ô). 2. Người thứ hai có 10 giây để vẽ ở chỗ khác trên tờ giấy: một vectơ **bằng** nó, một vectơ **ngược hướng** với nó, và một vectơ **không cùng phương** với nó. 3. Vẽ đúng cả ba được 1 điểm, rồi đổi vai. Ai được 5 điểm trước thì thắng. Mẹo kiểm tra: hai vectơ bằng nhau khi đếm thấy "sang ngang bấy nhiêu ô, lên (xuống) bấy nhiêu ô" giống hệt nhau. ## Lời thoại video ### 0:00 Mở đầu: biết tốc độ đã đủ chưa? Quả bóng đang bay về phía khung thành, với tốc độ 90 km/h. Thủ môn biết con số ấy rồi. Vậy đã đủ để bắt bóng chưa? Chưa đủ. Anh ấy còn phải biết bóng bay theo hướng nào: góc trái, góc phải, hay giữa khung thành. Có những đại lượng mà một con số không nói hết được. Chúng cần cả độ lớn lẫn hướng. Hôm nay bạn làm quen với vectơ: công cụ toán học ghi cả hai thứ ấy bằng một mũi tên. ### 0:30 Chữ vectơ từ đâu ra Vectơ không do một người nghĩ ra trong một ngày. Năm 1835, Bellavitis, một người Ý tự học toán, đưa ra một ý lạ: hai đoạn thẳng song song, dài bằng nhau và cùng hướng, thì coi như là một. Khoảng năm 1843, nhà toán học Ai-len Hamilton bắt đầu dùng cái tên “vector”. Trong tiếng La-tinh, chữ này nghĩa là “người chuyên chở”: nó chở điểm A tới điểm B. ### 0:59 Vectơ và độ dài Vectơ là một đoạn thẳng có hướng. Nghĩa là trong hai đầu mút, ta nói rõ đâu là điểm đầu, đâu là điểm cuối. Điểm đầu A, điểm cuối B: ta có vectơ AB. Viết AB, rồi thêm một mũi tên phía trên. Khi vẽ, đầu mũi tên đặt ở điểm cuối. Khi không cần nêu hai đầu mút, ta gọi vectơ bằng một chữ thường, như vectơ u, vectơ v. Độ dài của vectơ là khoảng cách từ điểm đầu tới điểm cuối, kí hiệu bằng hai gạch đứng. Ví dụ 1: với hai điểm A và B, có hai vectơ khác nhau: vectơ AB và vectơ BA. Chúng dài bằng nhau, nhưng đi ngược nhau. Ví dụ 2: tam giác ABC vuông tại B, AB = 6, BC = 8. Theo định lí Pythagore, AC = 10. Vậy độ dài vectơ AC bằng 10. ### 1:57 Cùng phương, cùng hướng Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối gọi là giá của vectơ. Hai vectơ cùng phương, nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau. Đã cùng phương thì chỉ có hai khả năng: cùng hướng, hoặc ngược hướng. Ví dụ 1: trong trung tâm thương mại, hai thang cuốn đặt song song, một cái đi lên, một cái đi xuống. Hai vectơ vận tốc cùng phương, nhưng ngược hướng. Ví dụ 2: trên lưới ô vuông, vectơ u và vectơ v nằm trên hai đường song song, cùng chỉ lên bên phải. Chúng cùng hướng, dù vectơ v dài hơn. Còn vectơ x thì nằm chéo sang hướng khác. Nó không cùng phương với vectơ u. Lúc này đừng nói là ngược hướng nhé. Không cùng phương thì không xét cùng hướng hay ngược hướng. ### 2:45 Hai vectơ bằng nhau, vectơ-không Hai vectơ bằng nhau, nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài. Chú ý: không cần chung điểm đầu. Trượt một vectơ đi chỗ khác, giữ nguyên hướng và độ dài, ta vẫn được chính vectơ đó. Ví dụ 1: hình bình hành MNPQ. Vectơ MN và vectơ QP cùng hướng, cùng độ dài, nên bằng nhau. Nhưng vectơ MN và vectơ PQ thì không bằng nhau, vì chúng ngược hướng. Ví dụ 2: cho vectơ u và một điểm O. Có đúng một điểm A để vectơ OA bằng vectơ u: chỉ việc trượt u về gốc O. Còn nếu điểm đầu trùng với điểm cuối thì sao? Ta được vectơ-không. Độ dài của vectơ-không là số 0, và ta quy ước nó cùng hướng với mọi vectơ. Ngày nay, trong trò chơi điện tử, mỗi nhân vật mang một vectơ vận tốc. Ở mỗi khung hình, máy tính dời nhân vật đi đúng theo vectơ ấy. ### 3:44 Dạng 1: Xác định vectơ, tính độ dài Dạng 1: xác định vectơ và tính độ dài. Cách làm: chỉ rõ điểm đầu, điểm cuối; rồi tính độ dài đoạn thẳng nối hai điểm ấy. Bài 1: hình thoi ABCD có hai đường chéo AC = 16, BD = 12, cắt nhau tại O. Câu a: tính độ dài vectơ AB. Câu b: có bao nhiêu vectơ khác vectơ-không, mà điểm đầu và điểm cuối là hai đỉnh của hình thoi? Bạn tạm dừng video và thử làm nhé. Giải câu a. Hai đường chéo của hình thoi vuông góc, và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Nên OA = 8, OB = 6. Tam giác OAB vuông tại O, nên AB = √(8² + 6²) = 10. Độ dài vectơ AB bằng 10. Giải câu b. Có bạn đếm được 6: bốn cạnh và hai đường chéo. Thiếu rồi. Mỗi đoạn thẳng cho hai vectơ ngược nhau. 6 · 2 = 12 vectơ. ### 4:51 Dạng 2: Tìm vectơ bằng nhau Dạng 2: tìm vectơ cùng phương, cùng hướng, bằng nhau. Cách làm: tìm các đường thẳng song song hoặc trùng với giá; rồi xét hướng; cuối cùng so độ dài. Bài 2: lục giác đều ABCDEF, tâm O. Câu a: tìm các vectơ bằng vectơ AB, có điểm đầu và điểm cuối là đỉnh hoặc tâm. Câu b: vectơ AB và vectơ DE có bằng nhau không? Bạn tạm dừng video và thử làm nhé. Giải câu a. Lục giác đều gồm sáu tam giác đều chung đỉnh O. Nên mọi cạnh, và mọi đoạn nối tâm với đỉnh, đều dài bằng nhau. Các đường song song với AB là đường FC và đường ED. Đi cùng hướng với AB, ta có vectơ FO, vectơ OC và vectơ ED. Ba vectơ này bằng vectơ AB. Giải câu b. DE song song với AB, và dài bằng AB. Nhiều bạn vội kết luận là bằng nhau. Nhưng vectơ DE đi ngược hướng với vectơ AB. Vậy chúng không bằng nhau. ### 6:04 Dạng 3: Diễn đạt quan hệ hình học Dạng 3: dùng vectơ để diễn đạt quan hệ hình học. Cách làm: vẽ hình; với mỗi đẳng thức vectơ, kiểm tra hai điều: cùng hướng, và cùng độ dài. Bài 3: I là trung điểm của đoạn thẳng AB. Mỗi khẳng định sau đúng hay sai? Câu a: vectơ AI bằng vectơ IB. Câu b: vectơ IA bằng vectơ IB. Câu c: vectơ AI và vectơ AB cùng hướng. Bạn tạm dừng video và thử làm nhé. Xét câu a. Hai vectơ cùng chỉ từ phía A sang phía B, và dài bằng nhau vì I là trung điểm. Khẳng định đúng. Xét câu b. Hai vectơ dài bằng nhau, nhưng một vectơ chỉ về A, một vectơ chỉ về B: chúng ngược hướng. Khẳng định sai. Xét câu c. Cả hai cùng xuất phát từ A, và cùng chỉ về phía B. Chúng cùng hướng, dù độ dài khác nhau. Khẳng định đúng. Bạn thấy đấy: chỉ một đẳng thức ở câu a đã nói được cả hai điều: ba điểm thẳng hàng, và I cách đều hai đầu. ### 7:16 Dạng 4: Biểu diễn lực bằng vectơ Dạng 4: biểu diễn lực và vận tốc bằng vectơ. Cách làm: chọn tỉ lệ; vẽ mũi tên theo đúng hướng của đại lượng; độ dài mũi tên tỉ lệ với độ lớn. Bài 4: bạn Minh đẩy một cái tủ sang phải, với lực 60 N. Sàn nhà cản lại bằng lực ma sát 40 N. Quy ước một ô ứng với 20 N. Câu a: vẽ hai vectơ lực. Câu b: hai vectơ ấy có cùng phương, cùng hướng, bằng nhau không? Bạn tạm dừng video và thử làm nhé. Giải câu a. 60 : 20 = 3: lực đẩy là mũi tên dài 3 ô, chỉ sang phải. 40 : 20 = 2: lực ma sát là mũi tên dài 2 ô, chỉ sang trái. Giải câu b. Hai mũi tên cùng nằm ngang, nên cùng phương. Chúng ngược hướng, và độ dài cũng khác nhau: 3 ô so với 2 ô. Vậy hai vectơ lực không bằng nhau. ### 8:19 Kết bài Tóm lại. Vectơ là đoạn thẳng có hướng: có điểm đầu, điểm cuối và độ dài. Cùng phương là giá song song hoặc trùng nhau. Khi ấy, hai vectơ cùng hướng hoặc ngược hướng. Bằng nhau là cùng hướng và cùng độ dài. Điểm đầu trùng với điểm cuối thì ta có vectơ-không. Bạn làm thêm bài trong phiếu bài tập về nhà nhé. Hẹn gặp bạn ở bài sau: cộng và trừ vectơ.