# Vectơ trong mặt phẳng toạ độ – Toán lớp 10, Bài 10 > Một chiếc máy khắc laser không có mắt, nó không "nhìn" thấy mũi tên nào. Bạn chỉ đưa cho nó hai con số, ví dụ 4 và 3, và đầu khắc chạy đúng một đường xiên: sang phải 4, lên trên 3. Bài này cho bạn cách đổi mọi vectơ thành một cặp số. Từ đó, cộng, trừ, đo độ dài, kiểm tra thẳng hàng… đều chỉ còn là phép tính. - Trang bài: https://anim.vn/lop-10/toan/bai-10-vecto-trong-mat-phang-toa-do/ - Video: https://youtu.be/-fXxY2lLqu8 (8:59) - Thuộc: Toán lớp 10 · Bài 10 - Bài tập về nhà (PDF, có lời giải): https://anim.vn/media/lop10-toan-bai-10/bai-tap-ve-nha.pdf ## Mục lục video - 0:00 Mở đầu: hai con số thay một mũi tên? - 0:27 Chuyện máy tính vẽ bằng toạ độ - 1:03 Toạ độ của vectơ - 2:10 Cộng, trừ, nhân theo toạ độ - 3:15 Toạ độ điểm · độ dài · khoảng cách - 4:16 Trung điểm · trọng tâm - 5:13 Dạng 1: Phép toán theo toạ độ - 6:15 Dạng 2: Thẳng hàng · hình bình hành - 7:31 Dạng 3: Bài toán thực tế - 8:36 Kết bài Một chiếc máy khắc laser không có mắt, nó không "nhìn" thấy mũi tên nào. Bạn chỉ đưa cho nó hai con số, ví dụ 4 và 3, và đầu khắc chạy đúng một đường xiên: sang phải 4, lên trên 3. Bài này cho bạn cách đổi **mọi vectơ thành một cặp số**. Từ đó, cộng, trừ, đo độ dài, kiểm tra thẳng hàng… đều chỉ còn là phép tính. ## 1. Toạ độ của vectơ Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, chọn hai **vectơ đơn vị**: $\vec{i}$ hướng theo trục hoành, $\vec{j}$ hướng theo trục tung, mỗi vectơ dài đúng 1 đơn vị. Mỗi vectơ $\vec{u}$ đều viết được theo đúng một cách: $\vec{u} = x\vec{i} + y\vec{j}$. Khi đó ta nói $\vec{u}$ có **toạ độ** $(x; y)$, viết $\vec{u} = (x; y)$. Số $x$ là **hoành độ**, số $y$ là **tung độ**. - **Ví dụ 1.** Đầu bút của máy vẽ đi sang phải 4, lên trên 3. Vectơ dịch chuyển là $4\vec{i} + 3\vec{j}$, tức là $(4; 3)$. - **Ví dụ 2 (có bẫy).** $\vec{w} = -5\vec{j}$. Không thấy $\vec{i}$ đâu, nghĩa là $0\vec{i}$. Vậy $\vec{w} = (0; -5)$, **không phải** $(-5; 0)$. Hai vectơ **bằng nhau** khi và chỉ khi chúng có cùng hoành độ và cùng tung độ. ## 2. Cộng, trừ, nhân với một số Với $\vec{u} = (x; y)$ và $\vec{v} = (x'; y')$: - $\vec{u} + \vec{v} = (x + x';\ y + y')$ - $\vec{u} - \vec{v} = (x - x';\ y - y')$ - $k\vec{u} = (kx;\ ky)$ Hai vectơ **cùng phương** khi vectơ này bằng một số nhân với vectơ kia: $x' = kx$ và $y' = ky$. - **Ví dụ 1.** $\vec{a} = (3; 1)$, $\vec{b} = (-1; 2)$. Khi đó $\vec{a} + \vec{b} = (2; 3)$, $\vec{a} - \vec{b} = (4; -1)$, $2\vec{a} = (6; 2)$. Bạn thử vẽ trên giấy ô li: nối đuôi $\vec{b}$ vào ngọn $\vec{a}$, mũi tên tổng đúng là "sang phải 2, lên 3". - **Ví dụ 2.** $\vec{c} = (6; -4)$ và $\vec{d} = (-9; 6)$: $\dfrac{-9}{6} = \dfrac{6}{-4} = -\dfrac32$ nên $\vec{d} = -\dfrac32\vec{c}$. Hai vectơ cùng phương, và vì số nhân âm nên **ngược hướng**. ## 3. Toạ độ của điểm, độ dài, khoảng cách - Điểm $M(x; y)$ thì $\overrightarrow{OM} = (x; y)$ và $|\overrightarrow{OM}| = \sqrt{x^2 + y^2}$ (định lí Pythagore). - Vectơ nối hai điểm: $\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A;\ y_B - y_A)$. Nhớ câu: **cuối trừ đầu**. - Khoảng cách: $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$. - **Ví dụ 1.** $M(-3; 4)$: $OM = \sqrt{9 + 16} = 5$. - **Ví dụ 2.** $A(-2; 1)$, $B(4; 9)$: $\overrightarrow{AB} = (4 - (-2);\ 9 - 1) = (6; 8)$, $AB = \sqrt{36 + 64} = 10$. ## 4. Trung điểm và trọng tâm - Trung điểm $K$ của đoạn $AB$: $K\left(\dfrac{x_A + x_B}{2};\ \dfrac{y_A + y_B}{2}\right)$. - Trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$: $G\left(\dfrac{x_A + x_B + x_C}{3};\ \dfrac{y_A + y_B + y_C}{3}\right)$. Cả hai đều là **trung bình cộng** của các toạ độ. - **Ví dụ 1.** $A(-2; 1)$, $B(4; 9)$: trung điểm $K(1; 5)$. - **Ví dụ 2.** Thêm $C(1; -4)$: trọng tâm $G\left(\dfrac{-2 + 4 + 1}{3};\ \dfrac{1 + 9 - 4}{3}\right) = (1; 2)$. ## Bảng kí hiệu | Viết | Đọc | Nghĩa | |---|---|---| | $\vec{i}$, $\vec{j}$ | vectơ i, vectơ j | hai vectơ đơn vị của trục hoành, trục tung | | $\vec{u} = (x; y)$ | vectơ u có toạ độ x, y | $\vec{u} = x\vec{i} + y\vec{j}$ | | $\overrightarrow{AB}$ | vectơ AB | điểm đầu A, điểm cuối B | | $\lvert\vec{u}\rvert$ | độ dài vectơ u | $\sqrt{x^2 + y^2}$ | ## Lỗi hay gặp 1. **Lấy đầu trừ cuối.** $\overrightarrow{AB}$ là toạ độ của B trừ toạ độ của A. Trừ ngược lại thì bạn được $\overrightarrow{BA}$, ngược hướng. 2. **Trừ số âm.** $4 - (-3) = 7$, không phải 1. Cứ gặp toạ độ âm thì đóng ngoặc lại rồi mới trừ. 3. **Thiếu một vectơ đơn vị.** $\vec{w} = -5\vec{j}$ có toạ độ $(0; -5)$: thiếu $\vec{i}$ thì hoành độ bằng 0. 4. **Nhầm toạ độ điểm với toạ độ vectơ.** Chỉ khi vectơ có gốc tại O thì toạ độ của vectơ mới trùng toạ độ điểm ngọn. 5. **Hình bình hành sai thứ tự đỉnh.** $ABCD$ là hình bình hành khi $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$ (hoặc $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$), không phải $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$. 6. **Bình phương số âm.** $(-3)^2 = 9$. Độ dài không bao giờ âm. ## Bài tập theo dạng ### Dạng 1. Phép toán vectơ theo toạ độ *Cách làm:* nhân từng vectơ với số của nó, rồi cộng trừ hoành với hoành, tung với tung. Hỏi cùng phương thì so sánh hai tỉ số toạ độ. **Bài 1.** Cho $\vec{u} = (2; -5)$ và $\vec{v} = (-1; 3)$. a) Tính toạ độ của $2\vec{u} - 3\vec{v}$. b) Tìm $m$ để $\vec{w} = (m; 6)$ cùng phương với $\vec{v}$.
Đáp án a) $2\vec{u} = (4; -10)$, $3\vec{v} = (-3; 9)$. Hoành độ: $4 - (-3) = 7$. Tung độ: $-10 - 9 = -19$. Đáp số: $(7; -19)$. b) Tung độ 6 gấp 2 lần 3, nên hoành độ cũng gấp 2 lần $-1$: $m = -2$.
**Bài 2.** Cho $\vec{a} = (-4; 3)$, $\vec{b} = (5; -2)$. Tính toạ độ của $\vec{a} + \vec{b}$ và $3\vec{a} - 2\vec{b}$.
Đáp án $\vec{a} + \vec{b} = (1; 1)$. $3\vec{a} - 2\vec{b} = (-12 - 10;\ 9 + 4) = (-22; 13)$.
### Dạng 2. Thẳng hàng · hình bình hành *Cách làm:* đổi điểm thành vectơ (cuối trừ đầu). Ba điểm thẳng hàng khi hai vectơ chung gốc cùng phương. Hình bình hành thì hai vectơ cạnh đối bằng nhau. **Bài 3.** Cho $A(-3; -1)$, $B(1; 2)$, $C(3; -2)$. a) Ba điểm A, B, C có thẳng hàng không? b) Tìm điểm D để ABCD là hình bình hành.
Đáp án a) $\overrightarrow{AB} = (4; 3)$, $\overrightarrow{AC} = (6; -1)$. Vì $\dfrac46 \ne \dfrac{3}{-1}$ nên hai vectơ không cùng phương: ba điểm không thẳng hàng. b) Cần $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} = (2; -4)$. Gọi $D(x; y)$: $x + 3 = 2$, $y + 1 = -4$. Vậy $D(-1; -5)$.
**Bài 4.** Cho $E(-4; 2)$, $F(2; -1)$, $H(6; -3)$. Chứng tỏ ba điểm thẳng hàng.
Đáp án $\overrightarrow{EF} = (6; -3)$, $\overrightarrow{EH} = (10; -5)$. $\dfrac{6}{10} = \dfrac{-3}{-5} = \dfrac35$ nên $\overrightarrow{EF} = \dfrac35\overrightarrow{EH}$: ba điểm thẳng hàng.
### Dạng 3. Bài toán thực tế *Cách làm:* gắn hệ trục toạ độ, đổi quãng đường thành vectơ, rồi viết điều kiện của đề thành một đẳng thức vectơ. **Bài 5.** Đầu khắc laser ở $A(-5; -2)$, chạy thẳng tới $B(7; 7)$ (đơn vị: cm). Máy khoan một lỗ tại điểm M trên đoạn AB, cách A đúng 1/3 quãng đường. Tính độ dài đường khắc AB và tìm toạ độ điểm M.
Đáp án $\overrightarrow{AB} = (12; 9)$, $AB = \sqrt{144 + 81} = 15$ cm. $\overrightarrow{AM} = \dfrac13\overrightarrow{AB} = (4; 3)$ nên $M(-5 + 4;\ -2 + 3) = (-1; 1)$.
**Bài 6.** Ba cột đèn ở $A(-10; -20)$, $B(50; 10)$, $C(20; 40)$ (đơn vị: mét). Vòi phun nước đặt tại trọng tâm G của tam giác ABC. Tìm toạ độ G và khoảng cách từ G tới cột đèn B.
Đáp án $G\left(\dfrac{-10 + 50 + 20}{3};\ \dfrac{-20 + 10 + 40}{3}\right) = (20; 10)$. $\overrightarrow{GB} = (30; 0)$ nên $GB = 30$ m.
## Chuyện bên lề: khi máy tính bắt đầu vẽ bằng toạ độ Đầu những năm 1960, muốn "nói chuyện" với máy tính thì phải gõ lệnh hoặc đưa thẻ đục lỗ. Năm 1963, ở Mỹ, nghiên cứu sinh Ivan Sutherland hoàn thành chương trình **Sketchpad** làm luận án tiến sĩ. Người dùng cầm một cây bút sáng, vẽ thẳng lên màn hình. Với chiếc máy, hình vẽ không phải là "bức tranh". Mỗi điểm sáng trên màn hình được ghi lại bằng toạ độ của nó. Vì thế, muốn dời một hình, phóng to hay xoay nó, máy chỉ việc tính lại trên các con số, đúng kiểu phép toán vectơ theo toạ độ mà bạn vừa học. Sketchpad được coi là tổ tiên của các phần mềm thiết kế trên máy tính (CAD). Năm 1988, Ivan Sutherland nhận giải Turing, giải thưởng danh giá nhất của ngành khoa học máy tính. **Ngày nay**, bản vẽ một ngôi nhà hay một chiếc ô tô trên máy tính đều được lưu thành toạ độ của các điểm. Máy cắt điều khiển số và máy in 3D cũng nhận lệnh bằng toạ độ: bộ điều khiển đọc từng dòng lệnh để biết động cơ phải đi tới đâu. ## Trò chơi ở nhà (5 phút) **Truy tìm kho báu trên giấy ô li.** Hai người, mỗi người một tờ giấy ô li có vẽ sẵn hệ trục Oxy. 1. Người A bí mật chấm một điểm "kho báu" K có toạ độ nguyên, rồi đọc cho người B một chuỗi 3 vectơ, ví dụ $(3; 2)$, $(-5; 1)$, $(4; -6)$. 2. Người B xuất phát từ gốc O, đi lần lượt theo ba vectơ và phải nói được toạ độ điểm đến **mà không cần vẽ** (chỉ cộng toạ độ). 3. Trúng kho báu thì đổi vai. Nâng cấp: người A chỉ cho biết điểm xuất phát và kho báu, người B phải tìm vectơ cần đi và độ dài đường đi thẳng. ## Lời thoại video ### 0:00 Mở đầu: hai con số thay một mũi tên? Một chiếc máy khắc la-de không có mắt. Nó không nhìn thấy mũi tên nào cả. Bạn chỉ đưa cho nó hai con số: 4 và 3. Thế là đầu khắc chạy đúng một đường xiên: sang phải 4, lên trên 3. Hai con số mà thay được cả một mũi tên sao? Hôm nay bạn sẽ biết cách đổi mọi vectơ thành một cặp số, gọi là toạ độ của vectơ, rồi cộng, trừ, đo độ dài chỉ bằng phép tính. ### 0:27 Chuyện máy tính vẽ bằng toạ độ Máy tính đã học vẽ bằng con số từ hơn 60 năm trước. Năm 1963, ở Mỹ, nghiên cứu sinh Ivan Sutherland hoàn thành một chương trình tên là Sketchpad. Người dùng cầm một cây bút sáng, vẽ thẳng lên màn hình máy tính. Với chiếc máy, mỗi điểm của hình vẽ chỉ là một cặp số toạ độ. Muốn dời, phóng to hay xoay hình, máy chỉ việc tính lại trên những con số đó. Chương trình ấy là tổ tiên của các phần mềm thiết kế ngày nay, và mang về cho ông giải Turing năm 1988. Bây giờ, ta học đúng thứ ngôn ngữ ấy. ### 1:03 Toạ độ của vectơ Trên mặt phẳng toạ độ, ta chọn hai vectơ đơn vị: vectơ i hướng theo trục hoành, vectơ j hướng theo trục tung, mỗi vectơ dài đúng 1 đơn vị. Lấy vectơ u đi sang phải 4, lên trên 3. Nó bằng 4 lần vectơ i, cộng 3 lần vectơ j. Ta viết gọn: vectơ u có toạ độ (4; 3). 4 là hoành độ, 3 là tung độ. Tổng quát: vectơ u = x·i + y·j thì u có toạ độ (x; y). Ví dụ 1: vectơ v = −3i + 2j. Toạ độ của v là (−3; 2). Hoành độ âm, nghĩa là đi sang trái. Ví dụ 2, có bẫy: vectơ w = −5j. Không thấy i đâu, tức là 0 lần i. Toạ độ là (0; −5), chứ không phải (−5; 0). Và hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng có cùng hoành độ và cùng tung độ. ### 2:10 Cộng, trừ, nhân theo toạ độ Có toạ độ rồi, phép toán vectơ thành phép tính số. Cộng thì cộng hoành với hoành, tung với tung. Trừ cũng vậy. Nhân với một số thì nhân cả hai toạ độ. Ví dụ 1: vectơ a = (3; 1). Vectơ b = (−1; 2). Trượt vectơ b tới nối vào ngọn của a. Vectơ tổng đi sang phải 2, lên trên 3: đúng bằng 3 + (−1), và 1 + 2. Vậy a + b = (2; 3). Còn a − b = (4; −1). 2a = (6; 2). Ví dụ 2: vectơ c = (6; −4) và vectơ d = (−9; 6) có cùng phương không? Hai vectơ cùng phương khi vectơ này bằng một số nhân với vectơ kia. −9 : 6 = −3/2. 6 : (−4) cũng bằng −3/2. Vậy d = −3/2 · c. Hai vectơ cùng phương, và vì số nhân âm nên chúng ngược hướng. ### 3:15 Toạ độ điểm · độ dài · khoảng cách Toạ độ của vectơ liên hệ thế nào với toạ độ của điểm? Điểm M có toạ độ (x; y) thì vectơ OM cũng có toạ độ (x; y). Theo định lí Pythagore, độ dài của nó bằng căn bậc hai của x² + y². Ví dụ 1: điểm M(−3; 4). Độ dài OM = √(9 + 16) = 5. Còn vectơ nối hai điểm bất kì A và B thì sao? Lấy toạ độ điểm cuối trừ toạ độ điểm đầu. Ví dụ 2: A(−2; 1), B(4; 9). Vectơ AB = (4 − (−2); 9 − 1) = (6; 8). Khoảng cách AB = √(36 + 64) = 10. Lỗi hay gặp nhất là lấy đầu trừ cuối. Khi đó bạn được vectơ BA, ngược hướng. Nhớ câu: cuối trừ đầu. ### 4:16 Trung điểm · trọng tâm Hai công thức nữa rất hay dùng. Trung điểm của đoạn thẳng: lấy trung bình cộng toạ độ hai đầu mút. Trọng tâm của tam giác: lấy trung bình cộng toạ độ ba đỉnh. Ví dụ 1: A(−2; 1) và B(4; 9). Trung điểm K có hoành độ (−2 + 4) : 2 = 1. Tung độ (1 + 9) : 2 = 5. Ví dụ 2: thêm điểm C(1; −4). Trọng tâm G có hoành độ (−2 + 4 + 1) : 3 = 1. Tung độ (1 + 9 − 4) : 3 = 2. Ngày nay, mọi bản vẽ thiết kế trên máy tính, từ ngôi nhà tới chiếc ô tô, đều được lưu bằng toạ độ. Máy cắt và máy in 3D cũng chạy theo những con số ấy. ### 5:13 Dạng 1: Phép toán theo toạ độ Dạng 1: phép toán vectơ theo toạ độ. Cách làm: nhân từng vectơ với số của nó, rồi cộng trừ hoành với hoành, tung với tung. Hỏi cùng phương thì so sánh hai tỉ số. Bài 1. Cho vectơ u = (2; −5) và vectơ v = (−1; 3). Bạn tạm dừng video và thử làm nhé. Câu a: tính 2u − 3v. 2u = (4; −10). 3v = (−3; 9). Có bạn viết hoành độ là 4 − 3 = 1. Sai rồi! 4 − (−3) là 4 + 3 = 7. Tung độ: −10 − 9 = −19. Đáp số: (7; −19). Câu b: tìm số m để vectơ w = (m; 6) cùng phương với v. Tung độ 6 gấp 2 lần 3. Vậy hoành độ cũng phải gấp 2 lần −1. m = −2. ### 6:15 Dạng 2: Thẳng hàng · hình bình hành Dạng 2: thẳng hàng và hình bình hành. Cách làm: đổi điểm thành vectơ bằng quy tắc cuối trừ đầu. Ba điểm thẳng hàng khi hai vectơ chung gốc cùng phương. Hình bình hành thì có hai vectơ cạnh đối bằng nhau. Bài 2. Cho ba điểm: A(−3; −1), B(1; 2), C(3; −2). Bạn tạm dừng video và thử làm nhé. Câu a: ba điểm có thẳng hàng không? Vectơ AB = (4; 3). Vectơ AC = (6; −1). 4/6 khác 3/(−1), nên hai vectơ không cùng phương. Ba điểm không thẳng hàng. Câu b: tìm điểm D để ABCD là hình bình hành. Đi vòng theo thứ tự các đỉnh, ta cần vectơ AD = vectơ BC. Vectơ BC = (2; −4). Gọi D(x; y) thì vectơ AD = (x + 3; y + 1). x + 3 = 2, nên x = −1. y + 1 = −4, nên y = −5. Điểm D có toạ độ (−1; −5). ### 7:31 Dạng 3: Bài toán thực tế Dạng 3: bài toán thực tế. Cách làm: gắn hệ trục toạ độ, đổi quãng đường thành vectơ, rồi viết điều kiện của đề thành một đẳng thức vectơ. Bài 3. Đầu khắc laser đang ở điểm A(−5; −2), chạy thẳng tới điểm B(7; 7), đơn vị là cm. Trên đường đi, máy khoan một lỗ tại điểm M, cách A đúng 1/3 quãng đường. Đường khắc dài bao nhiêu, và M ở đâu? Bạn tạm dừng video và thử làm nhé. Vectơ AB = (7 − (−5); 7 − (−2)) = (12; 9). Độ dài bằng √(144 + 81) = √225 = 15 cm. Điểm M ở 1/3 quãng đường, nên vectơ AM = 1/3 vectơ AB, tức là (4; 3). Từ A, cộng thêm 4 vào hoành độ, cộng thêm 3 vào tung độ. Điểm M có toạ độ (−1; 1). ### 8:36 Kết bài Tóm lại: mỗi vectơ là một cặp số. Cộng, trừ, nhân với một số: làm trên từng toạ độ. Vectơ nối hai điểm: cuối trừ đầu. Độ dài: căn của tổng hai bình phương. Trung điểm và trọng tâm: lấy trung bình cộng. Bạn làm thêm phiếu bài tập về nhà để nhớ lâu nhé.