# Giá trị lượng giác của góc lượng giác – Toán lớp 11, Bài 1 > Bạn bấm máy tính sin 750° và máy trả về 0,5, y hệt sin 30°. Nhưng làm gì có tam giác vuông nào chứa góc 750°? Bài này giải thích chuyện đó qua ba thứ: góc lượng giác, rađian và đường tròn lượng giác. - Trang bài: https://anim.vn/lop-11/toan/bai-01-gia-tri-luong-giac-cua-goc-luong-giac/ - Video: https://youtu.be/6ypOcSU_0yc (8:14) - Thuộc: Toán lớp 11 · Bài 1 - Bài tập về nhà (PDF, có lời giải): https://anim.vn/media/lop11-toan-bai-01/bai-tap-ve-nha.pdf ## Mục lục video - 0:00 Mở đầu: sin 750° = ? - 0:20 Chuyện bên lề: độ và rađian - 0:55 Góc lượng giác - 1:41 Rađian và độ dài cung - 2:33 Đường tròn lượng giác - 3:30 Hệ thức và góc liên quan - 4:39 Dạng 1: Đổi đơn vị, độ dài cung - 5:27 Dạng 2: Góc lớn, góc âm - 6:12 Dạng 3: Biết một, tính còn lại - 7:03 Dạng 4: Bài toán thực tế - 7:46 Kết bài Bạn bấm máy tính `sin 750°` và máy trả về `0,5`, y hệt `sin 30°`. Nhưng làm gì có tam giác vuông nào chứa góc 750°? Bài này giải thích chuyện đó qua ba thứ: **góc lượng giác**, **rađian** và **đường tròn lượng giác**. ## 1. Góc lượng giác: góc kể lại một chuyển động quay Góc hình học chỉ đi từ 0° đến 180°. Góc lượng giác thì ghi lại cả **cách quay**: một tia quay quanh gốc O từ **tia đầu** đến **tia cuối**. - Quay **ngược chiều kim đồng hồ** là chiều **dương**; quay **cùng chiều kim đồng hồ** là chiều **âm**. - Tia có thể quay nhiều vòng, nên số đo có thể lớn hơn 360° hoặc âm. - Cùng tia đầu, cùng tia cuối thì các số đo hơn kém nhau một số nguyên lần 360°: số đo = α + k·360° (k ∈ ℤ). **Ví dụ 1.** Cánh cửa xoay ở sảnh khách sạn quay theo chiều dương đúng một vòng rồi thêm 50°. Số đo góc quay là 360° + 50° = 410°. **Ví dụ 2.** Bạn vặn nắp chai theo chiều kim đồng hồ ba phần tư vòng. Số đo là −270°. Tia cuối lúc này trùng với tia cuối của góc 90°, vì −270° = 90° − 360°. ## 2. Rađian và độ dài cung Lấy một cung tròn **dài đúng bằng bán kính**. Góc ở tâm chắn cung đó là **1 rađian** (1 rad ≈ 57,3°). Cả đường tròn dài 2πR nên một vòng là 2π rad. Suy ra: > **180° = π rad** - Độ → rađian: nhân với π/180. - Rađian → độ: nhân với 180/π. **Ví dụ 1.** 72° = 72 · π/180 = 2π/5. **Ví dụ 2.** 7π/6 = 7/6 · 180° = 210°. Cái lợi của rađian: **độ dài cung l = R·α** (α tính bằng rađian), không còn hệ số π/180 lằng nhằng. **Ví dụ 3.** Vòng xuyến bán kính 10 m, xe đi qua cung 3π/5 rad thì quãng đường là 10 · 3π/5 = 6π ≈ 18,85 m. **Ví dụ 4.** Cùng vòng xuyến đó, xe đi qua cung 45°. Phải đổi trước: 45° = π/4, rồi l = 10 · π/4 ≈ 7,85 m. (Viết 10 · 45 = 450 m là sai.) ## 3. Đường tròn lượng giác Đường tròn tâm O (gốc toạ độ), **bán kính 1**, điểm gốc A(1; 0). Từ A quay một góc α thì dừng ở điểm M(x; y). Khi đó: | Kí hiệu | Nghĩa | Điều kiện | |---|---|---| | cos α = x | hoành độ của M | mọi α | | sin α = y | tung độ của M | mọi α | | tan α = sin α / cos α | | cos α ≠ 0 | | cot α = cos α / sin α | | sin α ≠ 0 | Vì M nằm trên đường tròn bán kính 1 nên −1 ≤ sin α ≤ 1 và −1 ≤ cos α ≤ 1. Quay thêm bao nhiêu vòng thì M vẫn ở chỗ cũ: sin(α + k2π) = sin α, cos(α + k2π) = cos α. **Dấu theo góc phần tư:** | | I | II | III | IV | |---|---|---|---|---| | cos | + | − | − | + | | sin | + | + | − | − | | tan, cot | + | − | + | − | **Ví dụ 1.** α = 7π/6 (tức 210°). M nằm ở góc phần tư III nên cả cos và sin đều âm: cos 7π/6 = −√3/2, sin 7π/6 = −1/2. **Ví dụ 2.** 750° = 2 · 360° + 30°. Quay hết hai vòng, M dừng đúng chỗ của góc 30°. Vậy sin 750° = sin 30° = 1/2. Đó là lí do máy tính trả về 0,5. **Bảng giá trị nên thuộc:** | α | 0 | π/6 (30°) | π/4 (45°) | π/3 (60°) | π/2 (90°) | |---|---|---|---|---|---| | sin α | 0 | 1/2 | √2/2 | √3/2 | 1 | | cos α | 1 | √3/2 | √2/2 | 1/2 | 0 | | tan α | 0 | √3/3 | 1 | √3 | không xác định | | cot α | không xác định | √3 | 1 | √3/3 | 0 | ## 4. Hệ thức cơ bản và góc liên quan đặc biệt Từ định lí Pythagore trên đường tròn bán kính 1: - sin²α + cos²α = 1 - 1 + tan²α = 1/cos²α - 1 + cot²α = 1/sin²α - tan α · cot α = 1 Bốn cặp góc đặc biệt, nhớ bằng câu **"cos đối, sin bù, phụ chéo, hơn kém π tan cot"**: | Cặp góc | Giữ nguyên | Còn lại | |---|---|---| | Đối nhau (α và −α) | cos(−α) = cos α | đổi dấu | | Bù nhau (α và π − α) | sin(π − α) = sin α | đổi dấu | | Phụ nhau (α và π/2 − α) | sin(π/2 − α) = cos α, tan(π/2 − α) = cot α | (chéo nhau) | | Hơn kém π (α và π + α) | tan(π + α) = tan α, cot(π + α) = cot α | sin, cos đổi dấu | **Ví dụ 1.** cos(−60°) = cos 60° = 1/2. **Ví dụ 2.** sin 150° = sin(180° − 30°) = sin 30° = 1/2. ## Lỗi hay gặp 1. **Quên dấu.** Viết sin 210° = sin 30° = 1/2. Góc 210° ở góc phần tư III nên sin âm: sin 210° = −1/2. Luôn xác định góc phần tư trước khi ghi dấu. 2. **Dùng độ trong công thức l = R·α.** Công thức chỉ đúng khi α ở rađian. 3. **Máy tính để sai chế độ.** Bấm sin(π/6) khi máy đang ở chế độ độ (D) sẽ ra 0,0091… chứ không phải 0,5. Kiểm tra chữ D hay R trên màn hình. 4. **Lấy căn mà quên ±.** Từ sin²α = 144/169 phải viết sin α = ±12/13, rồi mới chọn dấu theo khoảng của α. 5. **Nhầm chiều quay.** Chiều dương là ngược chiều kim đồng hồ; kim đồng hồ thật thì quay theo chiều âm. 6. **Nhầm hai góc hơn kém π với hai góc bù.** sin(π − α) = sin α nhưng sin(π + α) = −sin α. ## Bài tập theo dạng ### Dạng 1. Đổi đơn vị và tính độ dài cung Nhớ 180° = π rad. Tính cung thì góc phải ở rađian. **Bài 1.** a) Đổi 108° sang rađian. b) Đổi −5π/9 sang độ. c) Kim phút đồng hồ dài 12 cm. Trong 25 phút, đầu kim vạch một cung dài bao nhiêu?
Đáp án a) 108 · π/180 = **3π/5**. b) −5/9 · 180° = **−100°**. c) 25 phút là 25/60 = 5/12 vòng, tức 5/12 · 2π = 5π/6 rad. l = 12 · 5π/6 = **10π ≈ 31,4 cm**.
**Bài 2.** Một bánh pizza tròn đường kính 32 cm được cắt thành các miếng bằng nhau, mỗi miếng có góc ở tâm 40°. Tính độ dài phần viền (cung) của một miếng.
Đáp án R = 16 cm; 40° = 2π/9 rad. l = 16 · 2π/9 = **32π/9 ≈ 11,2 cm**.
### Dạng 2. Giá trị lượng giác của góc lớn, góc âm Bỏ bớt số vòng nguyên → xác định điểm trên đường tròn → xét dấu. **Bài 3.** Tính: a) cos 1125°. b) sin(−870°).
Đáp án a) 1125° = 45° + 3 · 360° nên cos 1125° = cos 45° = **√2/2**. b) −870° + 3 · 360° = 210° = 180° + 30°, góc phần tư III, tung độ âm: sin(−870°) = **−1/2** (không phải 1/2).
**Bài 4.** Tính: a) tan(13π/4). b) cos(−20π/3).
Đáp án a) 13π/4 = π/4 + 3π nên tan(13π/4) = tan(π/4) = **1**. b) −20π/3 + 8π = 4π/3 (góc phần tư III): cos(4π/3) = −cos(π/3) = **−1/2**.
### Dạng 3. Biết một giá trị, tính các giá trị còn lại Dùng sin²α + cos²α = 1 tìm bình phương → chọn dấu theo góc phần tư → tính tan, cot. **Bài 5.** Cho cos α = −5/13 và π < α < 3π/2. Tính sin α, tan α, cot α.
Đáp án sin²α = 1 − 25/169 = 144/169. Góc phần tư III nên sin α < 0: **sin α = −12/13**. **tan α = 12/5**, **cot α = 5/12**.
**Bài 6.** Cho sin α = −7/25 và 3π/2 < α < 2π. Tính cos α, tan α, cot α.
Đáp án cos²α = 1 − 49/625 = 576/625. Góc phần tư IV nên cos α > 0: **cos α = 24/25**. **tan α = −7/24**, **cot α = −24/7**.
### Dạng 4. Bài toán thực tế về chuyển động quay Đổi số vòng ra rađian (1 vòng = 2π) → l = R·α. **Bài 7.** Một vòng quay khổng lồ bán kính 30 m, quay một vòng hết 15 phút. Trong 4 phút, cabin quay một góc bao nhiêu và đi được bao xa?
Đáp án 4 phút là 4/15 vòng. Góc: 4/15 · 2π = **8π/15 rad = 96°**. Quãng đường: 30 · 8π/15 = **16π ≈ 50,3 m**.
**Bài 8.** Bánh xe máy đường kính 60 cm quay 5 vòng mỗi giây. Hỏi xe chạy với tốc độ khoảng bao nhiêu km/h?
Đáp án Mỗi giây bánh quay góc 5 · 2π = 10π rad. R = 0,3 m nên mỗi giây xe đi 0,3 · 10π = 3π ≈ 9,42 m, tức khoảng **33,9 km/h**.
## Chuyện bên lề **Vì sao một vòng là 360 độ?** Không ai biết chắc. Các nhà thiên văn Hy Lạp cổ như Hipparchus đã chia đường tròn thành 360 phần. Người ta hay kể rằng con số này đến từ hệ đếm 60 của người Babylon, hoặc vì nó gần bằng số ngày trong năm, hoặc đơn giản vì 360 có tới 24 ước nên rất dễ chia. Dù lí do nào thì 360 vẫn là con số do con người chọn, không có sẵn trong hình tròn. **Rađian: lấy bán kính làm thước.** Khoảng năm 1714, nhà toán học Anh Roger Cotes mô tả cách đo góc tự nhiên hơn: lấy chính bán kính làm thước đo cung. Ông có đủ mọi thứ, trừ cái tên. **Cái tên đến muộn 160 năm.** Từ "radian" lần đầu được in ra ngày 5 tháng 6 năm 1873, trong một đề thi ở Queen's College, Belfast, do James Thomson soạn (ông là anh trai của nhà vật lí Lord Kelvin). Cùng thời, Thomas Muir ở Scotland còn phân vân giữa "rad", "radial" và "radian", rồi cũng chọn "radian". **Ngày nay.** Mọi ngôn ngữ lập trình tính `sin`, `cos` theo rađian. Sóng âm trong tai nghe, điện xoay chiều, tín hiệu Wi-Fi, phép xoay nhân vật trong trò chơi đều là sin và cos của một góc tăng mãi theo thời gian, tức một góc lượng giác quay rất nhiều vòng. ## Trò chơi ở nhà (5 phút) **Đo 1 rađian bằng sợi dây.** Lấy một cái đĩa hoặc nắp nồi tròn và một sợi dây. 1. Cắt sợi dây dài đúng bằng bán kính của đĩa. 2. Uốn sợi dây ôm theo mép đĩa, đánh dấu hai đầu, nối hai dấu với tâm. Góc vừa có là 1 rađian. Ước lượng xem nó khoảng bao nhiêu độ (đáp án: gần 57°). 3. Đặt nối tiếp sợi dây quanh mép đĩa. Cần bao nhiêu sợi mới hết một vòng? (Hơn 6 một chút, vì 2π ≈ 6,28.) **Thử máy tính.** Bấm sin 30°, sin 390°, sin 750°, sin(−330°). Vì sao bốn kết quả giống nhau? Rồi đổi máy sang chế độ rađian và bấm sin(π/6) để kiểm tra. ## Lời thoại video ### 0:00 Mở đầu: sin 750° = ? Bạn lấy máy tính, bấm thử sin 750°. Máy trả về 0,5, y hệt sin 30°. Lạ nhỉ: tam giác vuông nào có góc 750° đâu? Hôm nay bạn sẽ hiểu vì sao, qua ba thứ: góc lượng giác, đơn vị rađian, và đường tròn lượng giác. ### 0:20 Chuyện bên lề: độ và rađian Trước hết, một chút chuyện bên lề. Một vòng tròn có 360° là thói quen từ thời cổ đại. Người ta hay kể rằng nó đến từ hệ đếm 60 của người Babylon. Nhưng 360 chỉ là con số do con người chọn. Khoảng năm 1714, nhà toán học Anh Roger Cotes nhận ra một cách đo tự nhiên hơn: lấy chính bán kính làm thước đo cung tròn. Phải đến năm 1873, cái tên rađian mới lần đầu được in ra, trong một đề thi ở Belfast của thầy James Thomson. ### 0:55 Góc lượng giác Góc hình học chỉ đi từ 0° đến 180°. Góc lượng giác thì khác: nó kể lại một chuyển động quay. Một tia quay quanh gốc, từ tia đầu đến tia cuối. Quay ngược chiều kim đồng hồ là chiều dương. Quay cùng chiều kim đồng hồ là chiều âm. Ví dụ 1: tia quay theo chiều dương đúng một vòng, rồi thêm 50°. Số đo là 360° + 50° = 410°. Ví dụ 2: tia quay theo chiều âm 3/4 vòng. Số đo là −270°. Để ý nhé: tia cuối lúc này trùng với tia cuối của góc 90°. Cùng tia đầu, cùng tia cuối, các số đo chỉ hơn kém nhau một số nguyên lần 360°. ### 1:41 Rađian và độ dài cung Giờ đến rađian. Lấy một cung tròn dài đúng bằng bán kính. Góc ở tâm chắn cung đó là 1 rađian. Cả đường tròn dài 2π lần bán kính, nên một vòng là 2π rađian. Suy ra 180° = π rađian. Đổi độ sang rađian thì nhân với π/180. Đổi ngược lại thì nhân với 180/π. Ví dụ 1: 72° = 72 · π/180 = 2π/5. Ví dụ 2: 7π/6 = 7/6 · 180° = 210°. Cái lợi của rađian: độ dài cung bằng bán kính nhân số đo góc. Bán kính 10 m, góc 3π/5, thì cung dài 6π m, khoảng 18,85 m. ### 2:33 Đường tròn lượng giác Bây giờ là nhân vật chính: đường tròn lượng giác. Tâm ở gốc toạ độ, bán kính bằng 1, điểm gốc A nằm trên trục hoành. Từ A, quay một góc α, ta dừng ở điểm M. Hoành độ của M là cos α. Tung độ của M là sin α. tan = sin chia cos, cot = cos chia sin. Ví dụ 1: góc 7π/6. Điểm M nằm ở góc phần tư thứ III, nên cả cos và sin đều âm. cos = −√3/2, sin = −1/2. Ví dụ 2: quay lại góc 750°. Đó là hai vòng cộng thêm 30°. Quay hết hai vòng, điểm M dừng đúng chỗ của góc 30°. Vì thế sin 750° = sin 30° = 1/2. Thêm bớt bao nhiêu vòng, sin và cos vẫn thế. ### 3:30 Hệ thức và góc liên quan Điểm M nằm trên đường tròn bán kính 1, nên theo Pythagore: sin²α + cos²α = 1. Từ đó có thêm: 1 + tan²α = 1/cos²α, và tan α · cot α = 1. Đường tròn còn cho ta bốn cặp góc đặc biệt, nhớ bằng câu: cos đối, sin bù, phụ chéo, hơn kém π tan cot. Cos đối: hai góc đối nhau có cos bằng nhau. Ví dụ 1: cos(−60°) = cos 60° = 1/2. Sin bù: hai góc bù nhau có sin bằng nhau. Ví dụ 2: sin 150° = sin 30° = 1/2. Phụ chéo: hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng cos góc kia. Hơn kém π thì tan và cot giữ nguyên. Các giá trị còn lại trong mỗi cặp thì đổi dấu. Ngày nay, từ sóng âm trong tai nghe đến hình xoay trong trò chơi, máy tính đều tính bằng sin và cos của góc rađian. ### 4:39 Dạng 1: Đổi đơn vị, độ dài cung Dạng 1: đổi đơn vị và tính độ dài cung. Cách làm: nhớ 180° = π. Muốn tính cung thì góc phải ở rađian. Bài 1. Tạm dừng video và thử làm nhé. Câu a: 108 · π/180, rút gọn được 3π/5. Câu b: −5π/9 · 180/π = −100°. Câu c: cả vòng là 60 phút, nên trong 25 phút kim quay 5/12 vòng, tức 5π/6 rađian. Đầu kim vạch cung dài 12 · 5π/6 = 10π, khoảng 31,4 cm. ### 5:27 Dạng 2: Góc lớn, góc âm Dạng 2: tính giá trị lượng giác của góc lớn hoặc góc âm. Cách làm: bỏ bớt số vòng nguyên, xác định điểm trên đường tròn, rồi xét dấu. Bài 2. Tạm dừng video và thử làm nhé. Câu a: 1125° = 45° + 3 vòng. Nên cos 1125° = cos 45° = √2/2. Câu b: −870°, cộng thêm ba vòng được 210°. 210° = 180° + 30°. Có bạn vội viết sin bằng 1/2. Sai dấu rồi! Điểm này nằm ở góc phần tư thứ III, tung độ âm. sin(−870°) = −1/2. ### 6:12 Dạng 3: Biết một, tính còn lại Dạng 3: biết một giá trị, tính các giá trị còn lại. Cách làm: dùng sin²α + cos²α = 1, rồi chọn dấu theo góc phần tư. Bài 3: cos α = −5/13, α nằm giữa π và 3π/2. Tạm dừng video và thử làm nhé. sin²α = 1 − 25/169 = 144/169. Vậy sin α = 12/13 hoặc −12/13. Chọn cái nào? Góc nằm ở góc phần tư thứ III nên sin âm: sin α = −12/13. tan α = sin α / cos α = 12/5. cot α = 5/12. ### 7:03 Dạng 4: Bài toán thực tế Dạng 4: bài toán thực tế về chuyển động quay. Cách làm: đổi số vòng ra rađian, mỗi vòng là 2π, rồi dùng công thức độ dài cung. Bài 4: một vòng quay khổng lồ bán kính 30 m, quay một vòng hết 15 phút. Trong 4 phút, cabin quay góc bao nhiêu và đi được bao xa? Tạm dừng video và thử làm nhé. 4 phút là 4/15 vòng. Nhân với 2π, được góc 8π/15 rađian, tức 96°. Quãng đường bằng bán kính nhân góc: 30 · 8π/15 = 16π, khoảng 50,3 m. ### 7:46 Kết bài Tóm lại: góc lượng giác có chiều, và có thể quay nhiều vòng. 180° = π rađian, độ dài cung bằng bán kính nhân góc. Trên đường tròn lượng giác, cos là hoành độ, sin là tung độ, dấu thì xem theo góc phần tư. Và đừng quên: sin²α + cos²α = 1. Làm thêm phiếu bài tập để nhớ lâu hơn nhé. Hẹn gặp bạn ở bài sau!