# Công thức lượng giác – Toán lớp 11, Bài 2

> Bài 2 Toán lớp 11: Công thức lượng giác. Nội dung: công thức cộng, công thức nhân đôi (cho b = a), biến tích thành tổng, biến tổng thành tích.

- Trang bài: https://anim.vn/lop-11/toan/bai-02-cong-thuc-luong-giac/
- Video: https://youtu.be/tMNcbcGNb0Y (9:37)
- Thuộc: Toán lớp 11 · Bài 2
- Bài tập về nhà (PDF, có lời giải): https://anim.vn/media/lop11-toan-bai-02/bai-tap-ve-nha.pdf

## Mục lục video

- 0:00 Mở đầu: sin(a + b) có tách được không?
- 0:27 Chuyện: nhân bằng phép cộng
- 1:03 Công thức cộng
- 2:11 Công thức nhân đôi
- 3:00 Biến tích thành tổng
- 3:49 Biến tổng thành tích
- 4:37 Chốt kiến thức, lên dây đàn
- 5:07 Dạng 1: Tính bằng công thức cộng
- 6:19 Dạng 2: Công thức nhân đôi
- 7:24 Dạng 3: Đổi tích và tổng
- 8:24 Dạng 4: Bài toán thực tế
- 9:10 Kết bài

## Mở đầu: sin(30° + 45°) có bằng sin 30° + sin 45° không?

Thử nhé: sin 30° + sin 45° ≈ 0,5 + 0,71 = 1,21. Lớn hơn 1, mà sin thì không bao giờ vượt quá 1. Vậy **không được tách** sin(a + b) thành sin a + sin b.

Bài này cho bạn bốn nhóm công thức để tách cho đúng: **cộng**, **nhân đôi**, **tích thành tổng**, **tổng thành tích**. Tin vui: chỉ cần nhớ nhóm đầu, ba nhóm sau đều suy ra được.

## 1. Công thức cộng

| | |
|---|---|
| cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b | cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b |
| sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b | sin(a − b) = sin a cos b − cos a sin b |
| tan(a + b) = (tan a + tan b) / (1 − tan a tan b) | tan(a − b) = (tan a − tan b) / (1 + tan a tan b) |

**Mẹo nhớ:** *cos thì cos cos, sin sin, đổi dấu. Sin thì sin cos, cos sin, giữ dấu.*

- **Ví dụ 1 (tách góc).** sin 105° = sin(60° + 45°) = sin 60° cos 45° + cos 60° sin 45° = (√3/2)(√2/2) + (1/2)(√2/2) = (√6 + √2)/4.
- **Ví dụ 2 (gộp ngược lại).** cos 50° cos 20° + sin 50° sin 20° chính là vế phải của cos(a − b), nên bằng cos 30° = √3/2.

## 2. Công thức nhân đôi (cho b = a)

- sin 2a = 2 sin a cos a
- cos 2a = cos² a − sin² a = 2cos² a − 1 = 1 − 2sin² a
- tan 2a = 2 tan a / (1 − tan² a)

Suy ngược lại được **công thức hạ bậc**: cos² a = (1 + cos 2a)/2, sin² a = (1 − cos 2a)/2.

- **Ví dụ 1.** Góc nhọn a có sin a = 3/5 thì cos a = 4/5, nên sin 2a = 2 · 3/5 · 4/5 = 24/25.
- **Ví dụ 2.** 2 sin 15° cos 15° = sin 30° = 1/2 (nhìn ra mẫu "2 sin cos" là xong).

## 3. Biến tích thành tổng

Cộng (hoặc trừ) hai công thức cộng với nhau, một nửa số hạng triệt tiêu:

- cos a cos b = ½ [cos(a − b) + cos(a + b)]
- sin a sin b = ½ [cos(a − b) − cos(a + b)]
- sin a cos b = ½ [sin(a − b) + sin(a + b)]

- **Ví dụ 1.** sin 75° · sin 15° = ½ (cos 60° − cos 90°) = ½ (1/2 − 0) = 1/4.
- **Ví dụ 2.** sin 52,5° · cos 7,5° = ½ (sin 45° + sin 60°) = (√2 + √3)/4.

## 4. Biến tổng thành tích

Đặt u = a − b, v = a + b rồi đọc ngược nhóm 3:

- cos u + cos v = 2 cos((u+v)/2) cos((u−v)/2)
- cos u − cos v = **−**2 sin((u+v)/2) sin((u−v)/2)
- sin u + sin v = 2 sin((u+v)/2) cos((u−v)/2)
- sin u − sin v = 2 cos((u+v)/2) sin((u−v)/2)

**Mẹo nhớ:** cos + cos = 2 cos cos · cos − cos = −2 sin sin · sin + sin = 2 sin cos · sin − sin = 2 cos sin (luôn là *nửa tổng* rồi *nửa hiệu*).

- **Ví dụ 1.** sin 75° + sin 15° = 2 sin 45° cos 30° = √6/2.
- **Ví dụ 2.** cos 75° − cos 15° = −2 sin 45° sin 30° = −√2/2.

## Bảng tóm tắt

| Nhóm | Công thức lõi | Dấu hiệu dùng |
|---|---|---|
| Cộng | cos(a ± b) = cos a cos b ∓ sin a sin b; sin(a ± b) = sin a cos b ± cos a sin b | góc lạ = tổng/hiệu hai góc quen |
| Nhân đôi | sin 2a = 2 sin a cos a; cos 2a = cos² a − sin² a | thấy "2 sin cos", thấy góc 2a |
| Hạ bậc | cos² a = (1 + cos 2a)/2; sin² a = (1 − cos 2a)/2 | thấy bình phương |
| Tích → tổng | có hệ số ½ | tích hai sin/cos, tổng hoặc hiệu hai góc "đẹp" |
| Tổng → tích | có hệ số 2, nửa tổng và nửa hiệu | tổng/hiệu hai sin hoặc hai cos |

## Lỗi hay gặp

1. **Tách sin(a + b) = sin a + sin b.** Sai. Phải dùng công thức cộng.
2. **Nhầm dấu của cos:** cos(a **+** b) lại có dấu **trừ** ở giữa, cos(a − b) có dấu cộng. Sin thì giữ nguyên dấu.
3. **Quên xét dấu theo góc phần tư** khi tìm cos a từ sin a (hoặc ngược lại). Ví dụ sin a = 5/13 với π/2 < a < π thì cos a = **−**12/13, không phải 12/13.
4. **Quên dấu trừ đứng đầu** trong cos u − cos v = −2 sin sin.
5. **Quên hệ số:** tích thành tổng có ½, tổng thành tích có 2.
6. **sin 2a = 2 sin a** là sai; đúng là 2 sin a cos a.

## Bài tập theo dạng

### Dạng 1. Tính giá trị lượng giác bằng công thức cộng

*Cách làm:* tách góc thành tổng/hiệu hai góc quen thuộc → tìm giá trị còn thiếu, chú ý dấu → thay vào công thức.

**Bài 1.** a) Tính cos 165°. b) Cho sin a = 5/13, π/2 < a < π. Tính sin(a + π/6). c) Tính tan 105°.

<details><summary>Đáp án</summary>

a) cos 165° = cos(120° + 45°) = cos 120° cos 45° − sin 120° sin 45° = −√2/4 − √6/4 = −(√6 + √2)/4.

b) Góc phần tư thứ hai nên cos a = −12/13. sin(a + π/6) = (5/13)(√3/2) + (−12/13)(1/2) = (5√3 − 12)/26.

c) tan 105° = tan(60° + 45°) = (√3 + 1)/(1 − √3) = −2 − √3.
</details>

### Dạng 2. Dùng công thức nhân đôi

*Cách làm:* tìm đủ sin a và cos a rồi thay vào; đề cho sin a ± cos a thì bình phương hai vế.

**Bài 2.** a) Cho sin a = −4/5, π < a < 3π/2. Tính sin 2a. b) Biết sin a − cos a = 1/3. Tính sin 2a. c) Tính sin² 15°.

<details><summary>Đáp án</summary>

a) Góc phần tư thứ ba nên cos a = −3/5. sin 2a = 2 · (−4/5) · (−3/5) = 24/25.

b) Bình phương: 1 − 2 sin a cos a = 1/9, tức 1 − sin 2a = 1/9. Vậy sin 2a = 8/9.

c) sin² 15° = (1 − cos 30°)/2 = (2 − √3)/4.
</details>

### Dạng 3. Đổi qua lại giữa tích và tổng

*Cách làm:* thấy tích thì đổi thành tổng, thấy tổng thì đổi thành tích, sao cho xuất hiện góc đặc biệt.

**Bài 3.** a) Tính sin 37,5° · sin 7,5°. b) Tính sin 50° + sin 10° − cos 20°. c) Tính cos 82,5° · cos 37,5°.

<details><summary>Đáp án</summary>

a) ½ (cos 30° − cos 45°) = (√3 − √2)/4.

b) sin 50° + sin 10° = 2 sin 30° cos 20° = cos 20°. Biểu thức bằng cos 20° − cos 20° = 0.

c) ½ (cos 45° + cos 120°) = (√2 − 1)/4.
</details>

### Dạng 4. Bài toán thực tế

*Cách làm:* nhận ra mẫu công thức → viết gọn lại → rồi mới tính.

**Bài 4.** Một cầu thủ sút bóng với góc sút α. Tầm bay xa (mét) là L = 80 sin α cos α. a) Viết gọn công thức. b) Sút góc nào thì bóng bay xa nhất?

<details><summary>Đáp án</summary>

a) L = 40 · 2 sin α cos α = 40 sin 2α.

b) sin 2α lớn nhất bằng 1 khi 2α = 90°, tức α = 45°. Khi đó L = 40 m.
</details>

**Bài 5.** Hai dây đàn phát ra y = sin(2π · 440t) + sin(2π · 444t). Viết y thành tích. Tai nghe thấy gì?

<details><summary>Đáp án</summary>

y = 2 sin(2π · 442t) cos(2π · 2t): một nốt 442 Hz, to nhỏ nhấp nhô 4 lần mỗi giây.
</details>

## Chuyện bên lề

**Nhân bằng phép cộng.** Khoảng năm 1580, trên đảo Hven (khi đó thuộc Đan Mạch), nhà thiên văn Tycho Brahe đo vị trí các vì sao chính xác chưa từng có. Nhưng để dùng được số đo, ông và các trợ lí phải nhân hàng nghìn con số bảy, tám chữ số, toàn bằng tay. Lúc đó chưa có máy tính, cũng chưa có logarit.

Năm 1580, nhà toán học Paul Wittich tới thăm đài quan sát và chỉ cho Tycho một mẹo: muốn nhân hai số, hãy coi chúng là cos a và cos b, tra bảng tìm a và b, rồi dùng cos a cos b = ½ [cos(a − b) + cos(a + b)]. Phép nhân biến thành hai lần tra bảng, một phép cộng và một lần chia đôi. Cách này có cái tên rất khó đọc là *prosthaphaeresis* (tiếng Hy Lạp, nghĩa là "cộng và trừ").

Ai là người đầu tiên nghĩ ra thì các nhà sử học chưa thống nhất: công thức đã xuất hiện trong bản thảo của Johannes Werner từ khoảng năm 1510, và nhiều người khác (Bürgi, Clavius…) cũng góp phần. Chỉ biết rằng nó được dùng suốt mấy chục năm, cho tới khi John Napier công bố logarit năm 1614, một cách đổi nhân thành cộng gọn hơn nhiều.

**Ngày nay.** Khi lên dây đàn, bạn gảy hai dây cùng lúc. Nếu chúng lệch nhau một chút, ví dụ 440 Hz và 444 Hz, công thức tổng thành tích cho biết bạn sẽ nghe một nốt 442 Hz có độ to nhấp nhô 4 lần mỗi giây (gọi là *phách*). Vặn dây tới khi tiếng nhấp nhô chậm dần rồi mất hẳn là hai dây đã khớp. Công thức tích thành tổng còn nằm trong mọi chiếc radio: nhân hai sóng với nhau sẽ ra hai sóng có tần số tổng và hiệu.

## Trò chơi ở nhà (5 phút)

**Nghe phách.** Mở hai ứng dụng phát âm (tone generator) trên hai điện thoại: một máy 440 Hz, một máy 443 Hz. Đếm xem trong 10 giây âm thanh "nhấp nhô" bao nhiêu lần (khoảng 30 lần, tức 3 lần mỗi giây, đúng bằng 443 − 440). Đổi máy thứ hai thành 441 Hz rồi đoán trước khi nghe. Cuối cùng, viết công thức tổng thành tích cho trường hợp vừa thử.

## Lời thoại video

### 0:00 Mở đầu: sin(a + b) có tách được không?

sin(30° + 45°) có bằng sin 30° + sin 45° không? Thử nhé: 0,5 + khoảng 0,71, ra 1,21. Lớn hơn 1! Mà sin thì không bao giờ vượt quá 1. Vậy là không tách kiểu đó được. Hôm nay bạn sẽ có bốn nhóm công thức để tách cho đúng: cộng, nhân đôi, tích thành tổng, và tổng thành tích.

### 0:27 Chuyện: nhân bằng phép cộng

Khoảng năm 1580, trên một hòn đảo nhỏ ở Đan Mạch, nhà thiên văn Tycho Brahe phải nhân hàng nghìn con số rất dài, toàn bằng tay. Lúc đó chưa có máy tính, cũng chưa có logarit. Nhà toán học Wittich mang tới một mẹo: dùng lượng giác để đổi phép nhân thành phép cộng. Tích của hai côsin bằng một nửa tổng của hai côsin khác. Chỉ cần tra bảng, cộng lại, rồi chia đôi. Mẹo này được dùng suốt mấy chục năm, cho tới khi logarit ra đời năm 1614. Và nó chính là một trong bốn nhóm công thức hôm nay.

### 1:03 Công thức cộng

Nhóm 1: công thức cộng. cos(a − b) = cos a · cos b + sin a · sin b. cos(a + b) thì dấu ở giữa đổi thành trừ. sin(a + b) = sin a · cos b + cos a · sin b. Với a − b thì ở giữa là dấu trừ. Mẹo nhớ: cos thì cos cos, sin sin, đổi dấu. Sin thì sin cos, cos sin, giữ dấu. Tang cũng có công thức cộng, như trên màn hình. Ví dụ 1: sin 105°. Tách thành 60° + 45°. Áp dụng công thức sin của tổng, ra (√6 + √2) / 4. Ví dụ 2, đi ngược lại: cos 50° · cos 20° + sin 50° · sin 20°. Đây là vế phải của cos(a − b). Gộp lại thành cos 30°, bằng √3 / 2.

### 2:11 Công thức nhân đôi

Nhóm 2: công thức nhân đôi. Chỉ cần cho b = a. sin 2a = 2 sin a · cos a. cos 2a = cos² a − sin² a, và còn hai dạng nữa như trên màn hình. Suy ngược lại, ta có công thức hạ bậc: cos² a = (1 + cos 2a) / 2. Ví dụ 1: góc nhọn a có sin a = 3/5, nên cos a = 4/5. sin 2a = 2 · 3/5 · 4/5, ra 24/25. Ví dụ 2: 2 · sin 15° · cos 15°. Đó chính là sin 30°, bằng 1/2.

### 3:00 Biến tích thành tổng

Nhóm 3: biến tích thành tổng. Đây chính là mẹo của Tycho Brahe. Cộng hai công thức cos của hiệu và cos của tổng, phần sin nhân sin triệt tiêu. Ta được: cos a · cos b = ½ . Tương tự, ta có thêm hai công thức, cho sin nhân sin, và sin nhân cos. Ví dụ 1: sin 75° · sin 15°. Hiệu là 60°, tổng là 90°. ½ (cos 60° − cos 90°) = 1/4. Ví dụ 2: sin 52,5° · cos 7,5°. Bằng ½ (sin 45° + sin 60°).

### 3:49 Biến tổng thành tích

Nhóm 4: đi chiều ngược lại, biến tổng thành tích. cos + cos = 2 cos nửa tổng · cos nửa hiệu. cos − cos = −2 sin · sin. Nhớ dấu trừ đứng đầu. sin + sin = 2 sin · cos. sin − sin = 2 cos · sin. Ví dụ 1: sin 75° + sin 15°. Nửa tổng là 45°, nửa hiệu là 30°. 2 · sin 45° · cos 30° = √6 / 2. Ví dụ 2: cos 75° − cos 15° = −2 · sin 45° · sin 30°, ra −√2 / 2.

### 4:37 Chốt kiến thức, lên dây đàn

Chốt lại: mọi thứ đều mọc ra từ công thức cộng. Cho b = a thì được nhân đôi. Cộng trừ hai công thức thì được tích thành tổng, rồi tổng thành tích. Ngày nay, bạn gặp chúng khi lên dây đàn ghi-ta. Hai dây lệch nhau một chút: 440 Hz và 444 Hz. Công thức tổng thành tích cho một nốt 442 Hz, to nhỏ nhấp nhô 4 lần mỗi giây. Khi tiếng nhấp nhô biến mất, hai dây đã khớp nhau.

### 5:07 Dạng 1: Tính bằng công thức cộng

Dạng 1: tính giá trị lượng giác bằng công thức cộng. Cách làm: tách góc thành tổng hoặc hiệu của hai góc quen thuộc, tìm giá trị còn thiếu và chú ý dấu, rồi thay vào công thức. Bài 1. Câu a: tính cos 165°. Bạn tạm dừng video và thử làm. 165° = 120° + 45°. Dùng công thức cos của tổng, rồi thay số: −√2/4 − √6/4. Kết quả: −(√6 + √2) / 4. Câu b: cho sin a = 5/13, a nằm giữa π/2 và π. Tính sin(a + π/6). Bạn thử nhé. Có bạn viết ngay cos a = 12/13. Sai rồi. Góc a nằm ở góc phần tư thứ hai nên cos âm: −12/13. Thay vào: sin a · √3/2 + cos a · 1/2. Đáp số: (5√3 − 12) / 26.

### 6:19 Dạng 2: Công thức nhân đôi

Dạng 2: dùng công thức nhân đôi. Cách làm: tìm đủ sin a và cos a rồi thay vào. Nếu đề cho tổng hoặc hiệu của sin và cos, hãy bình phương hai vế. Bài 2. Câu a: cho sin a = −4/5, a nằm giữa π và 3π/2. Tính sin 2a. Bạn tạm dừng và thử làm. Góc phần tư thứ ba, cos cũng âm: cos a = −3/5. sin 2a = 2 · (−4/5) · (−3/5), ra 24/25. Câu b: biết sin a − cos a = 1/3. Tính sin 2a. Bạn thử nhé. Bình phương hai vế: sin² a + cos² a − 2 sin a · cos a = 1/9. Tức là 1 − sin 2a = 1/9. Vậy sin 2a = 8/9.

### 7:24 Dạng 3: Đổi tích và tổng

Dạng 3: đổi qua lại giữa tích và tổng. Cách làm: thấy tích thì đổi thành tổng, thấy tổng thì đổi thành tích, sao cho xuất hiện góc đặc biệt. Bài 3. Câu a: tính sin 37,5° · sin 7,5°. Bạn tạm dừng và thử làm. Hiệu hai góc là 30°, tổng là 45°. ½ (cos 30° − cos 45°), ra (√3 − √2) / 4. Câu b: tính sin 50° + sin 10° − cos 20°. Bạn thử nhé. Gộp hai sin trước: nửa tổng là 30°, nửa hiệu là 20°. 2 · sin 30° · cos 20°, đúng bằng cos 20°. cos 20° − cos 20°. Biểu thức bằng 0.

### 8:24 Dạng 4: Bài toán thực tế

Dạng 4: bài toán thực tế. Cách làm: nhận ra mẫu công thức, viết gọn lại, rồi mới tính. Bài 4. Một cầu thủ sút bóng với góc sút α. Tầm bay xa, tính bằng mét, là 80 · sin α · cos α. Câu a: viết gọn công thức. Câu b: sút góc nào thì bóng bay xa nhất? Bạn tạm dừng và thử làm. 80 sin α cos α = 40 · 2 sin α cos α, tức là 40 sin 2α. Sin lớn nhất bằng 1, khi 2α = 90°. Vậy sút góc 45°, bóng bay xa nhất, 40 mét.

### 9:10 Kết bài

Tóm lại, có bốn nhóm công thức. Công thức cộng: cos thì đổi dấu, sin thì giữ dấu. Nhân đôi: sin 2a = 2 sin a · cos a. Tích thành tổng thì có ½. Tổng thành tích thì có số 2, cùng nửa tổng và nửa hiệu. Và luôn để ý dấu theo góc phần tư. Làm thêm phiếu bài tập về nhà để nhớ lâu nhé. Hẹn gặp bạn ở bài sau.