# Phương trình lượng giác cơ bản – Toán lớp 11, Bài 4 > Ở một bến cảng, mực nước biển lên rồi xuống đều đặn, cứ khoảng 12 giờ lại lặp lại. Một con tàu chỉ cập bến được khi nước sâu ít nhất 5 m. Vậy lúc mấy giờ thì nước sâu đúng 5 m? Muốn trả lời, bạn phải giải một phương trình có chứa côsin. Bài này cho bạn bốn "chìa khoá" để giải mọi phương trình kiểu đó. - Trang bài: https://anim.vn/lop-11/toan/bai-04-phuong-trinh-luong-giac-co-ban/ - Video: https://youtu.be/ZoFkpVCsp-Q (9:21) - Thuộc: Toán lớp 11 · Bài 4 - Bài tập về nhà (PDF, có lời giải): https://anim.vn/media/lop11-toan-bai-04/bai-tap-ve-nha.pdf ## Mục lục video - 0:00 Mở đầu: mấy giờ tàu vào cảng? - 0:21 Chuyện bảng dây cung - 0:49 Phương trình tương đương - 1:21 Phương trình sin x = m - 2:20 Phương trình cos x = m - 3:08 Phương trình tan x = m, cot x = m - 3:49 Bốn công thức nghiệm - 4:27 Dạng 1: Giá trị đặc biệt - 5:30 Dạng 2: sin u = sin v, cos u = cos v - 6:58 Dạng 3: Phương trình tan, cot - 7:48 Dạng 4: Bài toán thực tế - 8:53 Kết bài Ở một bến cảng, mực nước biển lên rồi xuống đều đặn, cứ khoảng 12 giờ lại lặp lại. Một con tàu chỉ cập bến được khi nước sâu ít nhất 5 m. Vậy lúc mấy giờ thì nước sâu đúng 5 m? Muốn trả lời, bạn phải giải một phương trình có chứa côsin. Bài này cho bạn bốn "chìa khoá" để giải mọi phương trình kiểu đó. ## 1. Hai phương trình tương đương Hai phương trình **tương đương** khi chúng có **cùng tập nghiệm**. Kí hiệu: $\Leftrightarrow$. - **Ví dụ 1.** $x - 4 = 0$ và $x^3 = 64$ đều chỉ có nghiệm $x = 4$, nên $x - 4 = 0 \Leftrightarrow x^3 = 64$. - **Ví dụ 2.** $x = 3$ và $x^2 = 9$ **không** tương đương, vì phương trình sau có thêm nghiệm $x = -3$. Giải phương trình chính là biến đổi tương đương (cộng, trừ hai vế cùng một số; nhân, chia hai vế với cùng một số khác 0) để đưa nó về dạng đơn giản hơn. ## 2. Phương trình $\sin x = m$ Trên đường tròn lượng giác, sin là **tung độ**. Kẻ đường ngang ở độ cao $m$: - $|m| > 1$: đường ngang không chạm đường tròn, phương trình **vô nghiệm**. - $|m| \le 1$: đường ngang cắt đường tròn tại hai điểm đối xứng nhau qua trục tung, ứng với góc $\alpha$ và $\pi - \alpha$. Quay thêm đủ vòng thì điểm về chỗ cũ, nên mỗi nghiệm được cộng $k2\pi$. $$\sin x = \sin\alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k2\pi \ \text{ hoặc } \ x = \pi - \alpha + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$$ - **Ví dụ 1.** $\sin x = -\dfrac12 = \sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)$ nên $x = -\dfrac{\pi}{6} + k2\pi$ hoặc $x = \pi - \left(-\dfrac{\pi}{6}\right) + k2\pi = \dfrac{7\pi}{6} + k2\pi$. - **Ví dụ 2.** $\sin x = 1$: đường ngang chỉ chạm đường tròn tại một điểm, ở góc $\dfrac{\pi}{2}$. Hai họ nghiệm trùng nhau ($\pi - \dfrac{\pi}{2} = \dfrac{\pi}{2}$), nên chỉ cần viết $x = \dfrac{\pi}{2} + k2\pi$. Góc tính bằng độ thì viết $x = \alpha^\circ + k360^\circ$ hoặc $x = 180^\circ - \alpha^\circ + k360^\circ$. ## 3. Phương trình $\cos x = m$ Côsin là **hoành độ**, nên lần này kẻ đường thẳng đứng. Hai giao điểm đối xứng nhau qua trục hoành: $\alpha$ và $-\alpha$. $$\cos x = \cos\alpha \Leftrightarrow x = \pm\alpha + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$$ - **Ví dụ 1.** $\cos x = \dfrac{\sqrt3}{2} = \cos\dfrac{\pi}{6}$ nên $x = \pm\dfrac{\pi}{6} + k2\pi$. - **Ví dụ 2.** $\cos x = 0{,}3$ không phải giá trị đặc biệt. Bấm máy tính `SHIFT` `cos` `0,3` (chế độ độ) được khoảng $72{,}5^\circ$, nên $x \approx \pm 72{,}5^\circ + k360^\circ$. Cũng như sin: $|m| > 1$ thì vô nghiệm. ## 4. Phương trình $\tan x = m$ và $\cot x = m$ Tang và côtang lặp lại sau mỗi **nửa vòng** ($\pi$): hai điểm đối xứng nhau qua tâm đường tròn có cùng tang. Vì thế chỉ có **một họ nghiệm**, và phương trình **luôn có nghiệm** với mọi $m$. $$\tan x = \tan\alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi \qquad \cot x = \cot\alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$$ - **Ví dụ 1.** $\tan x = \sqrt3 = \tan\dfrac{\pi}{3}$ nên $x = \dfrac{\pi}{3} + k\pi$. - **Ví dụ 2.** $\cot x = \sqrt3 = \cot\dfrac{\pi}{6}$ nên $x = \dfrac{\pi}{6} + k\pi$. Góc tính bằng độ thì cộng $k180^\circ$. ## Bảng tóm tắt | Phương trình | Điều kiện có nghiệm | Nghiệm ($k \in \mathbb{Z}$) | |---|---|---| | $\sin x = \sin\alpha$ | $\lvert m\rvert \le 1$ | $x = \alpha + k2\pi$ hoặc $x = \pi - \alpha + k2\pi$ | | $\cos x = \cos\alpha$ | $\lvert m\rvert \le 1$ | $x = \pm\alpha + k2\pi$ | | $\tan x = \tan\alpha$ | mọi $m$ | $x = \alpha + k\pi$ | | $\cot x = \cot\alpha$ | mọi $m$ | $x = \alpha + k\pi$ | Trường hợp gọn: $\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi$; $\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi}{2} + k2\pi$; $\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$; $\cos x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi$. Quay lại bến cảng: giả sử mực nước sau $t$ giờ là $h = 4 + 2\cos\dfrac{\pi t}{6}$ (mét). Nước sâu 5 m khi $\cos\dfrac{\pi t}{6} = \dfrac12 = \cos\dfrac{\pi}{3}$, tức $\dfrac{\pi t}{6} = \pm\dfrac{\pi}{3} + k2\pi$, hay $t = \pm 2 + 12k$. Trong 12 giờ đầu, đó là lúc 2 giờ ($k = 0$) và lúc 10 giờ ($k = 1$). ## Lỗi hay gặp 1. **Quên họ nghiệm thứ hai của sin** ($\pi - \alpha$), hoặc lấy nhầm $\pm\alpha$ của côsin cho sin. 2. **Không kiểm tra $|m| \le 1$**: $3\cos x = 4$ cho $\cos x = \dfrac43 > 1$, vô nghiệm, không viết công thức được. 3. **Chia mà quên chia phần $k$**: từ $2x = 40^\circ + k360^\circ$ phải ra $x = 20^\circ + k180^\circ$, không phải $x = 20^\circ + k360^\circ$. 4. **Trộn độ với rađian** trong một công thức, kiểu $x = 30^\circ + k2\pi$. Đã dùng độ thì cộng $k360^\circ$ (hoặc $k180^\circ$ với tan, cot). 5. **Cộng $k2\pi$ cho tan, cot**: chu kì của chúng là $\pi$, viết $k2\pi$ sẽ mất một nửa số nghiệm. 6. **Máy tính sai chế độ**: muốn ra độ thì màn hình phải có chữ D, muốn rađian thì chữ R. 7. **Hai vế khác tên** ($\sin 3x = \cos x$): phải đổi về cùng tên trước, $\cos x = \sin(90^\circ - x)$. ## Bài tập theo dạng ### Dạng 1. Phương trình sin, côsin với giá trị đặc biệt Cách làm: đưa về $\sin x = m$ (hoặc $\cos x = m$) → kiểm tra $-1 \le m \le 1$ → đổi $m$ thành sin (côsin) của một góc → viết hai họ nghiệm. **Bài 1.** Giải phương trình: a) $2\sin x + \sqrt2 = 0$; b) $3\cos x = 4$; c) $2\cos x - \sqrt2 = 0$.
Đáp án a) $\sin x = -\dfrac{\sqrt2}{2} = \sin\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)$ nên $x = -\dfrac{\pi}{4} + k2\pi$ hoặc $x = \dfrac{5\pi}{4} + k2\pi$. b) $\cos x = \dfrac43 > 1$: vô nghiệm. c) $\cos x = \dfrac{\sqrt2}{2} = \cos\dfrac{\pi}{4}$ nên $x = \pm\dfrac{\pi}{4} + k2\pi$.
### Dạng 2. Hai vế cùng là sin hoặc cùng là côsin Cách làm: coi mỗi biểu thức là một góc $u$, $v$ rồi áp dụng công thức. Hai vế khác tên thì đổi về cùng tên. **Bài 2.** Giải phương trình (góc tính bằng độ): a) $\cos 3x = \cos(x + 40^\circ)$; b) $\sin 3x = \cos x$.
Đáp án a) $3x = x + 40^\circ + k360^\circ \Rightarrow x = 20^\circ + k180^\circ$; $3x = -x - 40^\circ + k360^\circ \Rightarrow x = -10^\circ + k90^\circ$. b) $\sin 3x = \sin(90^\circ - x)$. $3x = 90^\circ - x + k360^\circ \Rightarrow x = 22{,}5^\circ + k90^\circ$; $3x = 180^\circ - (90^\circ - x) + k360^\circ \Rightarrow x = 45^\circ + k180^\circ$.
### Dạng 3. Phương trình tang, côtang Cách làm: đưa về $\tan u = \tan v$ (hoặc $\cot u = \cot v$) rồi viết $u = v + k\pi$. **Bài 3.** Giải phương trình: a) $\tan(x - 15^\circ) = \sqrt3$; b) $3\cot 2x - \sqrt3 = 0$.
Đáp án a) $\sqrt3 = \tan 60^\circ$ nên $x - 15^\circ = 60^\circ + k180^\circ$, $x = 75^\circ + k180^\circ$. b) $\cot 2x = \dfrac{\sqrt3}{3} = \cot\dfrac{\pi}{3}$ nên $2x = \dfrac{\pi}{3} + k\pi$, $x = \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{k\pi}{2}$.
### Dạng 4. Bài toán thực tế Cách làm: thay số để được phương trình lượng giác → giải ra các họ nghiệm → chọn $k$ hợp điều kiện. **Bài 4.** Một cabin đu quay cách mặt đất $h = 32 + 30\sin\dfrac{\pi t}{15}$ (mét) sau $t$ phút. Trong 30 phút đầu, lúc nào cabin ở độ cao 47 m?
Đáp án $30\sin\dfrac{\pi t}{15} = 15 \Leftrightarrow \sin\dfrac{\pi t}{15} = \dfrac12 = \sin\dfrac{\pi}{6}$. $\dfrac{\pi t}{15} = \dfrac{\pi}{6} + k2\pi \Rightarrow t = 2{,}5 + 30k$; $\dfrac{\pi t}{15} = \dfrac{5\pi}{6} + k2\pi \Rightarrow t = 12{,}5 + 30k$. Trong 30 phút đầu chỉ có $k = 0$: lúc 2,5 phút (đang đi lên) và lúc 12,5 phút (đang đi xuống).
Luyện thêm: phiếu [bài tập về nhà (PDF)](https://anim.vn/media/lop11-toan-bai-04/bai-tap-ve-nha.pdf) (cùng bốn dạng, bài khác). ## Chuyện bên lề - **Bảng lượng giác đầu tiên.** Thuỷ triều lên xuống chủ yếu là do lực hút của Mặt Trăng (và Mặt Trời). Hơn hai nghìn năm trước, nhà thiên văn Hy Lạp Hipparchus (khoảng 190 – khoảng 120 TCN) muốn tính trước đường đi của Mặt Trăng và Mặt Trời. Để làm việc đó, ông lập ra bảng dây cung: với mỗi góc ở tâm, bảng cho độ dài dây cung tương ứng. Đây là bảng lượng giác đầu tiên mà người ta biết đến. - **Tra xuôi và tra ngược.** Tra xuôi là từ góc ra độ dài. Tra ngược là biết giá trị rồi tìm lại góc, cũng chính là việc bạn làm khi giải $\sin x = m$. - **Một bài toán nổi tiếng khác.** Năm 1537, nhà toán học Ý Niccolò Tartaglia in cuốn *Nova Scientia* ("Khoa học mới"), lần đầu dùng toán học để nghiên cứu đường bay của đạn; năm 1638 Galileo chỉ ra đường bay ấy là một parabol. Bài toán tìm góc bắn của họ cũng dẫn tới một phương trình lượng giác. - **Phím $\sin^{-1}$ trên máy tính.** Kí hiệu này do John Herschel đưa ra năm 1813. Nó là "tìm góc khi biết sin", không phải $\dfrac{1}{\sin}$, nên nhiều người khuyên viết là arcsin cho đỡ nhầm. - **Ngày nay.** Bảng dự báo thuỷ triều được tính bằng cách cộng nhiều hàm dạng côsin lại với nhau. Tìm góc từ giá trị lượng giác còn có trong cánh tay rô-bốt (tính góc khớp) và thiết bị dẫn đường. Nguồn và ghi chú kiểm chứng: `lich-su.md`. ## Trò chơi ở nhà 5 phút **Săn nghiệm trên đồng hồ.** Vẽ một đường tròn lên giấy, coi như mặt đồng hồ 12 số (mỗi số cách nhau 30°, số 3 là góc 0°, đi ngược chiều kim đồng hồ). Một người ra đề kiểu "$\sin x = \frac12$", người kia đặt hai hạt đậu vào hai điểm nghiệm (ở đây là vị trí số 2 và số 10) rồi đọc to hai họ nghiệm. Với đề tang hoặc côtang, hai hạt đậu phải nằm đối nhau qua tâm. Ra đề "$\cos x = 2$" để gài bẫy: ai đặt hạt đậu là thua. ## Lời thoại video ### 0:00 Mở đầu: mấy giờ tàu vào cảng? Ở một bến cảng, mực nước biển lên rồi xuống đều đặn, cứ khoảng mười hai giờ lại lặp lại. Một con tàu chỉ cập bến được khi nước sâu ít nhất 5 m. Vậy lúc mấy giờ thì nước sâu đúng 5 m? Muốn trả lời, bạn phải giải một phương trình có chứa côsin. Bài hôm nay: phương trình lượng giác cơ bản. ### 0:21 Chuyện bảng dây cung Nước lên xuống như vậy chủ yếu là do Mặt Trăng. Hơn hai nghìn năm trước, nhà thiên văn Hy Lạp Hipparchus muốn tính trước đường đi của Mặt Trăng và Mặt Trời. Để làm việc đó, ông lập ra bảng dây cung, bảng lượng giác đầu tiên mà người ta biết đến. Tra xuôi thì từ góc ra độ dài. Còn tra ngược, từ giá trị tìm lại góc, chính là việc bạn sắp làm. Còn mấy giờ tàu vào được cảng, cuối phần lí thuyết bạn sẽ tự tính ra. ### 0:49 Phương trình tương đương Trước hết, một khái niệm nhỏ: hai phương trình tương đương là hai phương trình có cùng tập nghiệm. Ví dụ 1: x − 4 = 0 và x³ = 64. Cả hai đều chỉ có nghiệm x = 4, nên chúng tương đương. Ta viết mũi tên hai chiều ⇔. Ví dụ 2: x = 3 và x² = 9. Phương trình sau có thêm nghiệm −3, nên hai phương trình này không tương đương. Giải phương trình chính là biến đổi tương đương, đưa nó về dạng đơn giản hơn. ### 1:21 Phương trình sin x = m Bây giờ giải phương trình: sin x = −1/2. Trên đường tròn lượng giác, sin là tung độ. Kẻ đường ngang ở độ cao −1/2. Đường này cắt đường tròn tại hai điểm: góc −π/6, và góc đối xứng qua trục tung, π − (−π/6), tức là 7π/6. Quay thêm đủ một vòng thì điểm lại về chỗ cũ. Vì thế mỗi nghiệm được cộng thêm k2π, với k là số nguyên. Tổng quát: sin x = sin α khi x = α + k2π, hoặc x = π − α + k2π. Ví dụ 2: sin x = 1. Đường ngang chỉ chạm đường tròn tại một điểm, ở góc π/2. Hai họ nghiệm trùng nhau, nên chỉ cần viết x = π/2 + k2π. Còn nếu vế phải lớn hơn 1 hoặc nhỏ hơn −1, đường ngang không chạm đường tròn: phương trình vô nghiệm. ### 2:20 Phương trình cos x = m Với côsin, ta làm tương tự. Côsin là hoành độ, nên lần này kẻ đường thẳng đứng. Ví dụ 1: cos x = √3/2. Đường thẳng đứng cắt đường tròn tại hai điểm đối xứng qua trục hoành: π/6 và −π/6. Vậy x = ±π/6 + k2π. Tổng quát: cos x = cos α khi x = ±α + k2π. Ví dụ 2: cos x = 0,3, không phải giá trị đặc biệt. Lúc này dùng máy tính: bấm SHIFT, cos, 0,3, được khoảng 72,5°. Nghiệm là x ≈ ±72,5° + k360°. ### 3:08 Phương trình tan x = m, cot x = m Tang và côtang thì khác một chút: chúng lặp lại sau mỗi nửa vòng, tức là sau π. Hai điểm đối xứng nhau qua tâm có cùng tang. Vì thế: tan x = tan α khi x = α + kπ. Chỉ một họ nghiệm. Ví dụ 1: tan x = √3. √3 là tang của π/3, nên x = π/3 + kπ. Côtang cũng vậy. Ví dụ 2: cot x = √3, tức côtang của π/6, nên x = π/6 + kπ. Lưu ý: tang và côtang nhận mọi giá trị, nên hai phương trình này luôn có nghiệm. ### 3:49 Bốn công thức nghiệm Chốt lại bốn công thức. Sin: α và π − α, cộng k2π. Côsin: ±α, cộng k2π. Tang và côtang: α + kπ. Giờ quay lại bến cảng. Mực nước sau t giờ được cho bởi công thức trên màn hình. Nước sâu 5 m khi cos (πt/6) = 1/2, tức là cos (π/3). Suy ra t = ±2 + 12k. Trong 12 giờ đầu, đó là lúc 2 giờ và lúc 10 giờ. Ngày nay, phương trình kiểu này nằm trong bảng dự báo thuỷ triều, cánh tay rô-bốt và thiết bị dẫn đường. ### 4:27 Dạng 1: Giá trị đặc biệt Dạng 1: phương trình sin, côsin với giá trị đặc biệt. Cách làm: đưa về dạng sin x = m, kiểm tra −1 ≤ m ≤ 1, đổi m thành sin của một góc, rồi viết hai họ nghiệm. Bài 1. Câu a: 2 sin x + √2 = 0. Bạn tạm dừng video và thử làm nhé. Chuyển vế rồi chia 2: sin x = −√2/2. Đó là sin của −π/4. Họ thứ nhất: x = −π/4 + k2π. Họ thứ hai: π − (−π/4) là 5π/4, nên x = 5π/4 + k2π. Câu b: 3 cos x = 4. Có bạn viết ngay: x = ±α + k2π. Sai rồi! cos x = 4/3, lớn hơn 1. Côsin không bao giờ vượt quá 1, nên phương trình vô nghiệm. ### 5:30 Dạng 2: sin u = sin v, cos u = cos v Dạng 2: hai vế cùng là sin, hoặc cùng là côsin của hai biểu thức. Cách làm: coi mỗi biểu thức là một góc rồi áp dụng công thức. Góc tính bằng độ thì cộng k360°. Bài 2. Câu a: cos 3x = cos (x + 40°). Bạn thử làm nhé. Trường hợp 1: 3x = x + 40° + k360°. Chuyển x sang trái: 2x = 40° + k360°, nên x = 20° + k180°. Trường hợp 2: 3x = −x − 40° + k360°. 4x = −40° + k360°, nên x = −10° + k90°. Nhớ chia cả phần k360°. Đây là lỗi hay gặp nhất. Câu b: sin 3x = cos x. Hai vế khác tên, nên đổi cos x thành sin (90° − x). Họ 1: 3x = 90° − x, suy ra x = 22,5° + k90°. Họ 2: 3x = 180° − 90° + x, suy ra x = 45° + k180°. ### 6:58 Dạng 3: Phương trình tan, cot Dạng 3: phương trình tang và côtang. Cách làm: đưa về tang của một góc bằng tang của một góc, rồi cộng kπ, hoặc k180°. Bài 3. Câu a: tan (x − 15°) = √3. Bạn thử làm nhé. √3 là tan 60°. Nên x − 15° = 60° + k180°. Vậy x = 75° + k180°. Câu b: 3 cot 2x − √3 = 0. cot 2x = √3/3, là côtang của π/3. Nên 2x = π/3 + kπ. Chia 2: x = π/6 + kπ/2. ### 7:48 Dạng 4: Bài toán thực tế Dạng 4: bài toán thực tế. Cách làm: thay số để được phương trình lượng giác, giải ra các họ nghiệm, rồi chọn k cho hợp điều kiện. Bài 4. Một cabin đu quay cách mặt đất h mét sau t phút, theo công thức trên màn hình. Trong 30 phút đầu, lúc nào cabin ở độ cao 47 m? Bạn thử làm nhé. Cho h = 47: 30 sin = 15, nên sin (πt/15) = 1/2. 1/2 là sin của π/6. Họ 1: πt/15 = π/6 + k2π. Nhân với 15/π: t = 2,5 + 30k. Họ 2: πt/15 = 5π/6 + k2π, nên t = 12,5 + 30k. Trong 30 phút đầu chỉ có k = 0. Vậy cabin ở độ cao 47 m lúc 2 phút rưỡi, khi đang đi lên, và lúc 12 phút rưỡi, khi đang đi xuống. ### 8:53 Kết bài Tóm lại: sin có hai họ nghiệm, α và π − α. Côsin có ±α. Cả hai cộng k2π. Tang và côtang chỉ một họ, cộng kπ. Bốn dạng vừa luyện: giá trị đặc biệt, hai vế cùng tên, tang côtang, và bài toán thực tế. Làm thêm phiếu bài tập để nhớ lâu hơn nhé. Hẹn gặp bạn ở bài sau!