# Dãy số – Toán lớp 11, Bài 5

> Một, một, hai, ba, năm, tám… Bạn đoán được số tiếp theo không? Là 13, vì mỗi số bằng tổng hai số đứng ngay trước. Những con số xếp hàng theo thứ tự như vậy là một dãy số. Học xong bài này bạn sẽ biết: dãy số là gì, có mấy cách cho một dãy số, và khi nào dãy tăng, giảm, bị chặn.

- Trang bài: https://anim.vn/lop-11/toan/bai-05-day-so/
- Video: https://youtu.be/wSTCnKbuRGg (8:36)
- Thuộc: Toán lớp 11 · Bài 5
- Bài tập về nhà (PDF, có lời giải): https://anim.vn/media/lop11-toan-bai-05/bai-tap-ve-nha.pdf

## Mục lục video

- 0:00 Mở đầu: số tiếp theo là mấy?
- 0:24 Chuyện dãy Fibonacci
- 0:57 Dãy số là gì
- 1:53 Bốn cách cho dãy số
- 2:58 Dãy số tăng, dãy số giảm
- 3:47 Dãy số bị chặn
- 4:28 Dạng 1: Tìm số hạng
- 5:30 Dạng 2: Tìm số hạng tổng quát
- 6:18 Dạng 3: Tăng giảm · bị chặn
- 7:07 Dạng 4: Bài toán thực tế
- 8:01 Kết bài

> Một, một, hai, ba, năm, tám… Bạn đoán được số tiếp theo không? Là 13, vì mỗi số bằng tổng hai số đứng ngay trước. Những con số xếp hàng theo thứ tự như vậy là một **dãy số**. Học xong bài này bạn sẽ biết: dãy số là gì, có mấy cách cho một dãy số, và khi nào dãy tăng, giảm, bị chặn.

## 1. Dãy số là gì

**Dãy số** là một hàm số xác định trên tập số nguyên dương: cứ mỗi số thứ tự n (1, 2, 3, …) cho ra đúng một số, kí hiệu **uₙ**. Viết gọn cả dãy là (uₙ).

- u₁ là **số hạng đầu**, uₙ là **số hạng thứ n**, còn gọi là **số hạng tổng quát**.
- Dãy chỉ có m số hạng (n chạy từ 1 tới m) là **dãy số hữu hạn**: u₁ là số hạng đầu, uₘ là số hạng cuối. Không ghi gì thêm thì hiểu là dãy **vô hạn**.

**Ví dụ 1 (hữu hạn).** Một rạp hát có 6 hàng ghế. Hàng 1 có 8 ghế, mỗi hàng sau nhiều hơn hàng trước 2 ghế. Số ghế từng hàng tạo thành dãy 8, 10, 12, 14, 16, 18. Dãy có 6 số hạng, số hạng đầu là 8, số hạng cuối là 18.

**Ví dụ 2 (vô hạn).** Các số nguyên dương chia hết cho 3, xếp tăng dần: 3, 6, 9, 12, … Dãy kéo dài mãi, số hạng tổng quát là uₙ = 3n.

## 2. Bốn cách cho một dãy số

| Cách | Cho cái gì | Ví dụ |
|---|---|---|
| ① Liệt kê | Viết hết các số hạng (chỉ khi dãy hữu hạn, ít số hạng) | 8, 10, 12, 14, 16, 18 |
| ② Công thức số hạng tổng quát | Công thức tính uₙ theo n | uₙ = n² + 1 |
| ③ Hệ thức truy hồi | Số hạng đầu + cách tính số hạng sau từ số hạng trước | u₁ = 3, uₙ = 2uₙ₋₁ − 1 (n ≥ 2) |
| ④ Mô tả | Nói bằng lời số hạng thứ n là gì | uₙ là chữ số thứ n sau dấu phẩy của số π |

**Ví dụ 1 (công thức).** uₙ = n² + 1. Thay n = 1, 2, 3, 4 được 2, 5, 10, 17. Muốn số hạng thứ 10 thì thay luôn n = 10: u₁₀ = 10² + 1 = 101.

**Ví dụ 2 (truy hồi).** u₁ = 3, uₙ = 2uₙ₋₁ − 1. Tính lần lượt: u₂ = 2·3 − 1 = 5, u₃ = 2·5 − 1 = 9, u₄ = 2·9 − 1 = 17. Truy hồi thì phải đi từng bước, không nhảy thẳng tới u₁₀ được.

Cùng một dãy có thể cho bằng nhiều cách. Dãy 3, 6, 9, 12, … vừa là "các số nguyên dương chia hết cho 3" (mô tả), vừa là uₙ = 3n (công thức), vừa là u₁ = 3, uₙ = uₙ₋₁ + 3 (truy hồi).

## 3. Dãy số tăng, dãy số giảm

- (uₙ) **tăng** nếu uₙ₊₁ > uₙ với mọi n (số hạng sau luôn lớn hơn số hạng trước).
- (uₙ) **giảm** nếu uₙ₊₁ < uₙ với mọi n.

**Cách xét:** tính hiệu uₙ₊₁ − uₙ rồi xem dấu. Hiệu luôn dương thì dãy tăng, luôn âm thì dãy giảm.

**Ví dụ 1.** uₙ = 4n − 3. Ta có uₙ₊₁ = 4(n + 1) − 3 = 4n + 1, nên uₙ₊₁ − uₙ = (4n + 1) − (4n − 3) = 4 > 0. Dãy tăng.

**Ví dụ 2.** uₙ = 7 − 3n. Ta có uₙ₊₁ − uₙ = [7 − 3(n + 1)] − (7 − 3n) = −3 < 0. Dãy giảm.

Có những dãy **không tăng cũng không giảm**, ví dụ −1, 1, −1, 1, … (cứ lên rồi xuống).

## 4. Dãy số bị chặn

- (uₙ) **bị chặn trên** nếu có số M sao cho uₙ ≤ M với mọi n (có "trần").
- (uₙ) **bị chặn dưới** nếu có số m sao cho uₙ ≥ m với mọi n (có "sàn").
- (uₙ) **bị chặn** nếu vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới: m ≤ uₙ ≤ M với mọi n.

**Ví dụ 1.** uₙ = 1/n: 1, 1/2, 1/3, 1/4, … Mọi số hạng đều lớn hơn 0 và không vượt quá 1, tức là 0 < uₙ ≤ 1. Dãy bị chặn.

**Ví dụ 2.** uₙ = 3n: 3, 6, 9, … Mọi số hạng đều từ 3 trở lên nên dãy bị chặn dưới. Nhưng nó lớn mãi, không số nào giữ lại được, nên không bị chặn trên. Vậy dãy **không bị chặn**.

## Bảng kí hiệu

| Kí hiệu | Đọc là | Nghĩa |
|---|---|---|
| (uₙ) | dãy số u n | cả dãy u₁, u₂, u₃, … |
| u₁ | u một | số hạng đầu |
| uₙ | u n | số hạng thứ n (số hạng tổng quát) |
| uₙ₊₁, uₙ₋₁ | u n cộng một, u n trừ một | số hạng đứng ngay sau, ngay trước uₙ |
| ℕ* | N sao | tập các số nguyên dương 1, 2, 3, … |

## Lỗi hay gặp

1. **Nhầm n với uₙ.** n là số thứ tự (vị trí), uₙ mới là giá trị. Với uₙ = n² + 1 thì "số hạng thứ 3" là u₃ = 10, không phải 3.
2. **Đoán công thức mà không thử lại.** Dãy 2, 5, 8, 11, … mỗi bước thêm 3, nhiều bạn viết ngay uₙ = 3n + 2. Thử n = 1 được 5, sai. Công thức đúng là uₙ = 3n − 1. Luôn thử lại với n = 1 và n = 2.
3. **Truy hồi mà quên số hạng đầu.** Chỉ viết uₙ = uₙ₋₁ + 3 thì chưa xác định được dãy; phải có thêm u₁.
4. **Chỉ so vài số hạng đầu rồi kết luận tăng, giảm.** Tăng hay giảm phải đúng **với mọi n**. Hãy xét dấu của uₙ₊₁ − uₙ với n bất kì.
5. **Tưởng dãy nào cũng hoặc tăng hoặc giảm.** Dãy −1, 1, −1, 1, … không tăng cũng không giảm.
6. **Nhầm "bị chặn dưới" với "bị chặn".** uₙ = 3n có sàn (uₙ ≥ 3) nhưng không có trần, nên không bị chặn.

## Bài tập theo dạng

### Dạng 1. Tìm số hạng của dãy

Có công thức thì thay n vào. Có truy hồi thì tính lần lượt từ số hạng đầu.

**Bài 1.** Cho uₙ = n² − 2n. Viết 4 số hạng đầu và tìm u₂₀.

<details><summary>Đáp án</summary>

Thay n = 1, 2, 3, 4: được −1, 0, 3, 8. u₂₀ = 20² − 2·20 = 400 − 40 = **360**.
</details>

**Bài 2.** Cho u₁ = 1, uₙ = uₙ₋₁ + n (n ≥ 2). Viết 5 số hạng đầu.

<details><summary>Đáp án</summary>

u₂ = 1 + 2 = 3, u₃ = 3 + 3 = 6, u₄ = 6 + 4 = 10, u₅ = 10 + 5 = 15. Năm số hạng đầu: **1, 3, 6, 10, 15**.
</details>

**Bài 3.** Cho uₙ = 2n² − 3. Số 69 là số hạng thứ mấy?

<details><summary>Đáp án</summary>

2n² − 3 = 69 ⇒ n² = 36 ⇒ n = 6 (n nguyên dương). Số 69 là **số hạng thứ 6**.
</details>

### Dạng 2. Tìm công thức số hạng tổng quát

Viết vài số hạng đầu, tìm quy luật, rồi thử lại với n = 1.

**Bài 4.** Dãy số tăng gồm tất cả các số nguyên dương chia cho 3 dư 2. Tìm uₙ.

<details><summary>Đáp án</summary>

Các số hạng đầu: 2, 5, 8, 11, … mỗi số hơn số trước 3. **uₙ = 3n − 1** (thử n = 1 được 2, đúng). Viết kiểu truy hồi: u₁ = 2, uₙ = uₙ₋₁ + 3.
</details>

**Bài 5.** Tìm uₙ của dãy 1/2, 2/3, 3/4, 4/5, …

<details><summary>Đáp án</summary>

Tử là số thứ tự n, mẫu hơn tử 1 đơn vị: **uₙ = n/(n + 1)**.
</details>

### Dạng 3. Xét tính tăng, giảm và bị chặn

Tăng, giảm: xét dấu của uₙ₊₁ − uₙ. Bị chặn: tìm số chặn trên, số chặn dưới.

**Bài 6.** Cho uₙ = (2n + 1)/n. Dãy tăng hay giảm? Có bị chặn không?

<details><summary>Đáp án</summary>

uₙ = 2 + 1/n, uₙ₊₁ = 2 + 1/(n + 1). Vì 1/(n + 1) < 1/n nên uₙ₊₁ < uₙ: **dãy giảm**.
1/n > 0 nên uₙ > 2; 1/n ≤ 1 nên uₙ ≤ 3. Vậy 2 < uₙ ≤ 3: **dãy bị chặn**.
</details>

**Bài 7.** Xét tính tăng, giảm của: a) uₙ = 6n − 5; b) uₙ = 10 − 4n; c) uₙ = (−2)ⁿ.

<details><summary>Đáp án</summary>

a) uₙ₊₁ − uₙ = 6 > 0: **tăng**. b) uₙ₊₁ − uₙ = −4 < 0: **giảm**. c) −2, 4, −8, 16, … lúc lên lúc xuống: **không tăng, không giảm**.
</details>

### Dạng 4. Bài toán thực tế

Gọi tên đại lượng theo n, viết vài số hạng đầu, rồi tìm công thức hoặc hệ thức truy hồi.

**Bài 8.** Thả một quả bóng từ độ cao 160 cm. Sau mỗi lần chạm đất, bóng nảy lên cao bằng một nửa lần trước. Gọi hₙ (cm) là độ cao sau lần nảy thứ n. Viết hệ thức truy hồi, tính h₄ và nhận xét về dãy.

<details><summary>Đáp án</summary>

h₁ = 80, hₙ = ½·hₙ₋₁ (n ≥ 2). Tính lần lượt: 80, 40, 20, 10, nên **h₄ = 10 cm**.
Dãy **giảm** (bóng nảy thấp dần) và **bị chặn**: 0 < hₙ ≤ 80.
</details>

**Bài 9.** Một quán trà sữa ngày đầu bán được 30 cốc, mỗi ngày sau bán nhiều hơn ngày trước 6 cốc. Gọi cₙ là số cốc bán trong ngày thứ n. Tìm cₙ và tính c₇.

<details><summary>Đáp án</summary>

c₁ = 30, cₙ = cₙ₋₁ + 6, nên cₙ = 30 + 6(n − 1) = **6n + 24**. c₇ = **66 cốc**.
</details>

## Chuyện bên lề

**Bài toán đếm thỏ.** Năm 1202, nhà toán học Ý Leonardo xứ Pisa, thường gọi là Fibonacci, viết cuốn *Liber Abaci* ("Sách tính"). Trong đó có một bài toán: mỗi tháng, mỗi đôi thỏ lớn đẻ thêm một đôi con, và đôi con từ tháng thứ hai cũng bắt đầu đẻ. Số đôi thỏ qua từng tháng chính là 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …

**Nhưng ông không phải người đầu tiên.** Từ nhiều thế kỷ trước, các học giả Ấn Độ đã gặp đúng dãy này khi đếm số cách ghép âm ngắn (1 nhịp) và âm dài (2 nhịp) trong thơ tiếng Phạn. Hemachandra viết ra quy tắc "số sau bằng tổng hai số trước" vào khoảng năm 1150, tức khoảng 50 năm trước Fibonacci; trước ông còn có Gopala và Virahanka.

**Cái tên đến sau cùng.** Tên gọi "dãy Fibonacci" mãi tới thế kỷ 19 mới có, do nhà toán học Pháp Édouard Lucas đặt.

**Ngày nay.** Dãy số có mặt trong lãi ngân hàng (số tiền sau mỗi kì), dự báo dân số, và trong mọi vòng lặp của máy tính: giá trị sau được tính từ giá trị trước, đúng là một hệ thức truy hồi. Trên mạng còn có cả một bách khoa toàn thư về dãy số nguyên (OEIS, do Neil Sloane bắt đầu sưu tầm từ năm 1964), hiện có hơn 390 000 dãy. Gõ vài số hạng đầu vào đó, bạn sẽ biết dãy mình vừa gặp tên là gì.

## Trò chơi ở nhà (5 phút)

**"Đoán luật".** Hai người chơi. Người ra đề nghĩ thầm một quy luật (ví dụ "nhân đôi rồi cộng 1") và đọc 4 số hạng đầu. Người kia phải nói số hạng thứ 5, rồi nói quy luật bằng công thức uₙ hoặc hệ thức truy hồi. Đúng cả hai được 2 điểm, đúng một được 1 điểm, rồi đổi vai. Chơi 3 lượt; ai ra được dãy mà người kia không đoán nổi (nhưng luật phải giải thích được) thì được thưởng thêm 1 điểm.

## Lời thoại video

### 0:00 Mở đầu: số tiếp theo là mấy?

1, 1, 2, 3, 5, 8. Bạn đoán xem, số tiếp theo là số mấy? Là 13, vì mỗi số bằng tổng hai số đứng ngay trước nó. Những con số xếp hàng theo thứ tự như vậy gọi là một dãy số. Hôm nay ta học: dãy số là gì, cho một dãy số bằng cách nào, và khi nào dãy tăng, giảm, hay bị chặn.

### 0:24 Chuyện dãy Fibonacci

Dãy số vừa rồi rất nổi tiếng. Năm 1202, nhà toán học Ý Fibonacci đưa nó vào một bài toán đếm thỏ: mỗi tháng, mỗi đôi thỏ lớn đẻ thêm một đôi con. Nhưng ông không phải người đầu tiên. Khoảng 50 năm trước đó, ở Ấn Độ, học giả Hemachandra đã gặp đúng dãy này khi đếm cách ghép âm ngắn, âm dài trong thơ. Còn cái tên “dãy Fibonacci” thì mãi tới thế kỷ 19 mới có, do nhà toán học Pháp Lucas đặt.

### 0:57 Dãy số là gì

Ví dụ 1: một rạp hát có 6 hàng ghế. Hàng 1 có 8 ghế, mỗi hàng sau nhiều hơn hàng trước 2 ghế. Ta được dãy: 8, 10, 12, 14, 16, 18. Mỗi số là một số hạng. Số hạng thứ nhất kí hiệu là u₁, thứ hai là u₂. Dãy này chỉ có 6 số hạng, nên gọi là dãy số hữu hạn: 8 là số hạng đầu, 18 là số hạng cuối. Ví dụ 2: các số nguyên dương chia hết cho 3, xếp tăng dần: 3, 6, 9, 12, cứ thế mãi. Đây là dãy số vô hạn. Số hạng thứ n bằng 3n. Ta gọi u(n) là số hạng tổng quát. Nói gọn: dãy số là một hàm số, cứ mỗi số thứ tự n nguyên dương cho ra đúng một số u(n).

### 1:53 Bốn cách cho dãy số

Có 4 cách cho một dãy số. Cách 1: liệt kê, như dãy ghế rạp hát. Chỉ dùng được khi dãy hữu hạn và ít số hạng. Cách 2: cho công thức số hạng tổng quát. Ví dụ: u(n) = n² + 1. Thay n = 1, 2, 3, 4, ta được 2, 5, 10, 17. Muốn số hạng thứ 10, thay luôn n = 10: được 101. Cách 3: cho hệ thức truy hồi, tức là cho số hạng đầu, và cách tính số hạng sau từ số hạng trước. Ví dụ: u₁ = 3, u(n) = 2u(n−1) − 1. Lần lượt ta có 3, 5, 9, 17. Truy hồi thì phải đi từng bước, không nhảy thẳng tới số hạng thứ 10 được. Cách 4: mô tả bằng lời. Ví dụ, u(n) là chữ số thứ n sau dấu phẩy của số π: 1, 4, 1, 5, 9.

### 2:58 Dãy số tăng, dãy số giảm

Dãy số tăng nếu số hạng sau luôn lớn hơn số hạng trước, với mọi n. Dãy số giảm nếu số hạng sau luôn nhỏ hơn số hạng trước. Cách xét: lấy số hạng sau trừ số hạng trước, rồi xem dấu của hiệu. Ví dụ 1: u(n) = 4n − 3. Số hạng sau là 4(n + 1) − 3, tức là 4n + 1. Hiệu bằng 4, luôn dương. Vậy dãy tăng. Ví dụ 2: u(n) = 7 − 3n. Hiệu bằng −3, luôn âm. Vậy dãy giảm. Cẩn thận: dãy −1, 1, −1, 1, cứ lên rồi xuống, thì không tăng cũng không giảm.

### 3:47 Dãy số bị chặn

Dãy số bị chặn trên nếu mọi số hạng đều không vượt quá một số cố định nào đó. Bị chặn dưới nếu mọi số hạng đều không nhỏ hơn một số cố định. Vừa chặn trên vừa chặn dưới thì gọi là dãy số bị chặn. Ví dụ 1: u(n) = 1/n: 1, 1/2, 1/3, 1/4. Mọi số hạng đều lớn hơn 0 và không vượt quá 1. Dãy này bị chặn. Ví dụ 2: u(n) = 3n. Mọi số hạng đều từ 3 trở lên, nên bị chặn dưới. Nhưng nó lớn mãi, không có trần nào giữ lại: không bị chặn trên, nên không bị chặn.

### 4:28 Dạng 1: Tìm số hạng

Dạng 1: tìm số hạng của dãy. Có công thức thì thay n vào. Có truy hồi thì tính lần lượt từ số hạng đầu. Câu a: u(n) = n² − 2n. Viết 4 số hạng đầu và tìm u₂₀. Bạn tạm dừng video và thử làm. Thay n = 1, 2, 3, 4: được −1, 0, 3, 8. Còn u₂₀ = 400 − 40 = 360. Câu b: u₁ = 1, u(n) = u(n−1) + n. Viết 5 số hạng đầu. Bạn thử nhé. u₂ = 1 + 2 = 3. u₃ = 3 + 3 = 6. Tiếp tục: 6 + 4 = 10, 10 + 5 = 15. 5 số hạng đầu là 1, 3, 6, 10, 15.

### 5:30 Dạng 2: Tìm số hạng tổng quát

Dạng 2: tìm công thức số hạng tổng quát. Cách làm: viết vài số hạng đầu, tìm quy luật, rồi thử lại với n = 1. Đề bài: dãy tăng gồm các số nguyên dương chia cho 3 dư 2. Tìm u(n). Bạn tạm dừng và thử làm. Các số hạng đầu là 2, 5, 8, 11. Mỗi số hơn số trước 3 đơn vị. Nhiều bạn viết ngay: u(n) = 3n + 2. Thử n = 1: được 5, trong khi số hạng đầu là 2. Sai rồi. Công thức đúng là u(n) = 3n − 1. Viết kiểu truy hồi cũng được: u₁ = 2, u(n) = u(n−1) + 3.

### 6:18 Dạng 3: Tăng giảm · bị chặn

Dạng 3: xét tính tăng giảm và bị chặn. Tăng giảm thì xét dấu của hiệu. Bị chặn thì tìm số chặn trên, chặn dưới. Cho u(n) = (2n + 1)/n. Dãy tăng hay giảm? Có bị chặn không? Bạn tạm dừng và thử làm. Trước hết, tách u(n) thành 2 + 1/n. Số hạng sau bằng 2 + 1/(n + 1). Mẫu lớn hơn thì phân số nhỏ hơn, nên số hạng sau nhỏ hơn số hạng trước. Dãy giảm. Về tính bị chặn: 1/n luôn dương, nên u(n) > 2. 1/n không vượt quá 1, nên u(n) ≤ 3. Vậy dãy bị chặn: 2 < u(n) ≤ 3.

### 7:07 Dạng 4: Bài toán thực tế

Dạng 4: bài toán thực tế. Cách làm: gọi tên đại lượng theo n, viết vài số hạng đầu, rồi tìm công thức hoặc hệ thức truy hồi. Thả một quả bóng từ độ cao 160 cm. Sau mỗi lần chạm đất, bóng nảy lên cao bằng một nửa lần trước. Gọi h(n) là độ cao sau lần nảy thứ n. Viết hệ thức truy hồi, tính h₄, và nhận xét về dãy. Bạn tạm dừng và thử làm. Lần nảy đầu, bóng lên 80 cm. Vậy h₁ = 80. Mỗi lần sau bằng nửa lần trước: h(n) = ½ h(n−1). Tính lần lượt: 80, 40, 20, 10. Vậy h₄ = 10 cm. Dãy này giảm, vì bóng nảy thấp dần. Và bị chặn: mọi độ cao đều lớn hơn 0, và không vượt quá 80.

### 8:01 Kết bài

Tóm lại: dãy số là hàm số trên tập số nguyên dương, mỗi n cho một u(n). 4 cách cho dãy số: liệt kê, công thức tổng quát, truy hồi, mô tả. Số hạng sau lớn hơn thì dãy tăng, nhỏ hơn thì dãy giảm. Có trần và có sàn thì bị chặn. Ngày nay, dãy số có mặt trong lãi ngân hàng, dự báo dân số, và trong mọi vòng lặp của máy tính. Trên mạng còn có cả một bách khoa toàn thư về dãy số nguyên, với hơn 390 000 dãy. Bạn làm thêm bài tập về nhà để nhớ lâu nhé.