# Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian – Toán lớp 11, Bài 10

> Bài mở đầu hình học không gian. Học xong bạn sẽ: vẽ và đọc được hình không gian (nét liền, nét đứt), nắm các tính chất thừa nhận về mặt phẳng, biết ba cách xác định một mặt phẳng, nhận ra hình chóp và hình tứ diện, và tìm được giao tuyến của hai mặt phẳng, giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng.

- Trang bài: https://anim.vn/lop-11/toan/bai-10-duong-thang-va-mat-phang-trong-khong-gian/
- Video: https://youtu.be/YyxsCTbBNbg (7:52)
- Thuộc: Toán lớp 11 · Bài 10
- Bài tập về nhà (PDF, có lời giải): https://anim.vn/media/lop11-toan-bai-10/bai-tap-ve-nha.pdf

## Mục lục video

- 0:00 Mở đầu: hình vẽ đánh lừa mắt
- 0:25 Chuyện bên lề: bàn, ghế, cốc bia
- 0:56 Mặt phẳng và cách vẽ hình
- 1:50 Ba cách xác định mặt phẳng
- 2:35 Nằm trong mặt phẳng, giao tuyến
- 3:28 Hình chóp và hình tứ diện
- 4:22 Dạng 1: Đúng hay sai
- 5:24 Dạng 2: Tìm giao tuyến
- 6:27 Dạng 3: Tìm giao điểm
- 7:23 Kết bài

> Bài mở đầu hình học không gian. Học xong bạn sẽ: vẽ và đọc được hình không gian (nét liền, nét đứt), nắm các tính chất thừa nhận về mặt phẳng, biết ba cách xác định một mặt phẳng, nhận ra hình chóp và hình tứ diện, và tìm được **giao tuyến** của hai mặt phẳng, **giao điểm** của đường thẳng với mặt phẳng.

## 1. Mặt phẳng và cách vẽ hình không gian

Mặt sàn nhà, tấm kính cửa sổ cho ta hình ảnh **một phần** của mặt phẳng. Mặt phẳng thật thì rộng vô hạn và không có bề dày.

- Vẽ mặt phẳng thành một **hình bình hành**, ghi tên trong ngoặc: (P), (Q)…
- Điểm A nằm trên mặt phẳng (P): viết A ∈ (P). Điểm B không nằm trên (P): viết B ∉ (P).

**Ví dụ 1.** Coi mặt sàn là mặt phẳng (P). Con kiến đứng trên sàn là điểm A ∈ (P). Quả bóng bay lơ lửng là điểm B ∉ (P).

**Ba quy tắc vẽ hình không gian** (hình biểu diễn):

1. Đường thẳng vẽ thành đường thẳng, đoạn thẳng vẽ thành đoạn thẳng.
2. Hai đường song song vẫn vẽ song song; hai đường cắt nhau vẫn vẽ cắt nhau.
3. Nét **nhìn thấy** vẽ liền, nét **bị che khuất** vẽ đứt.

**Ví dụ 2.** Vẽ một thùng các-tông (hình hộp chữ nhật): 9 cạnh nhìn thấy vẽ liền, 3 cạnh phía sau vẽ đứt. Mặt trên là hình chữ nhật nhưng trên giấy thành hình bình hành, nên **không được đo góc hay độ dài trên hình vẽ**.

## 2. Các tính chất thừa nhận

Đây là những điều ta công nhận, không chứng minh:

| | Tính chất |
|---|---|
| 1 | Qua hai điểm phân biệt có đúng một đường thẳng. |
| 2 | Qua ba điểm **không thẳng hàng** có đúng một mặt phẳng. Kí hiệu (ABC). |
| 3 | Tồn tại bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng (không đồng phẳng). |
| 4 | Đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc một mặt phẳng thì nằm trọn trong mặt phẳng đó: d ⊂ (P). |
| 5 | Hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì có chung một đường thẳng đi qua điểm đó. Đường thẳng ấy là **giao tuyến**: d = (P) ∩ (Q). |
| 6 | Trong mỗi mặt phẳng, mọi kết quả của hình học phẳng vẫn đúng. |

**Ví dụ 1 (tính chất 4).** Thợ xây áp một cây thước thẳng lên tường: nếu tường phẳng thì cả cạnh thước áp khít; chỗ nào hở là tường chưa phẳng.

**Ví dụ 2 (tính chất 4).** Trong hình chóp S.ABCD, gọi O là giao điểm của AC và BD. Hai điểm S và O đều thuộc (SAC) nên đường thẳng SO nằm trong (SAC).

**Ví dụ 1 (tính chất 5).** Gấp đôi một tờ giấy: hai nửa tờ giấy là hai mặt phẳng, nếp gấp là giao tuyến.

**Ví dụ 2 (tính chất 5).** Hai mặt bên (SBC) và (SCD) của hình chóp S.ABCD có chung S và C nên giao tuyến là đường thẳng SC.

## 3. Ba cách xác định một mặt phẳng

Một mặt phẳng hoàn toàn xác định khi biết:

1. **ba điểm không thẳng hàng** của nó;
2. **một đường thẳng và một điểm nằm ngoài** đường thẳng đó;
3. **hai đường thẳng cắt nhau**.

**Ví dụ 1.** Lá cờ xoay quanh cán cờ: qua một đường thẳng (cán cờ) có vô số mặt phẳng. Giữ thêm một điểm ở mép cờ thì lá cờ đứng yên: chỉ còn đúng một mặt phẳng.

**Ví dụ 2.** Hai lưỡi của một cái kéo đang mở là hai đoạn thẳng cắt nhau ở chốt: chúng luôn cùng nằm trong một mặt phẳng.

## 4. Hình chóp và hình tứ diện

- **Hình chóp**: lấy một đa giác và một điểm S nằm ngoài mặt phẳng chứa đa giác, nối S với các đỉnh. S là **đỉnh**, đa giác là **mặt đáy**, các tam giác chung đỉnh S là **mặt bên**; có cạnh bên và cạnh đáy.
- Hình chóp có đáy n cạnh: n + 1 đỉnh, n + 1 mặt, 2n cạnh.
- **Hình tứ diện** ABCD: bốn điểm không đồng phẳng, 4 mặt tam giác, 6 cạnh. Mặt nào cũng coi là đáy được.

**Ví dụ 1.** Hình chóp có đáy là ngũ giác: 5 mặt bên + 1 đáy = 6 mặt; 5 cạnh bên + 5 cạnh đáy = 10 cạnh.

**Ví dụ 2.** Trong tứ diện ABCD, hai cạnh AC và BD **không cắt nhau**, dù trên hình vẽ chúng có thể "cắt" nhau. Vì nếu chúng cắt nhau thì hai đường thẳng cắt nhau ấy xác định một mặt phẳng chứa cả A, B, C, D: trái với việc bốn đỉnh không đồng phẳng.

## Bảng kí hiệu

| Viết | Đọc |
|---|---|
| A ∈ (P) | điểm A thuộc mặt phẳng (P) |
| B ∉ (P) | điểm B không thuộc mặt phẳng (P) |
| d ⊂ (P) | đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P) |
| d = (P) ∩ (Q) | d là giao tuyến của (P) và (Q) |
| (ABC) | mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C |
| S.ABCD | hình chóp đỉnh S, đáy ABCD |

## Lỗi hay gặp

- **Tin vào hình vẽ**: thấy hai đoạn "cắt nhau" trên giấy rồi kết luận chúng cắt nhau. Hai đường chỉ cắt nhau thật khi **cùng nằm trong một mặt phẳng**.
- Quên điều kiện **không thẳng hàng**: ba điểm thẳng hàng thì có vô số mặt phẳng đi qua.
- Nghĩ hai mặt phẳng có thể chung **đúng một điểm**. Đã chung một điểm là chung cả một đường thẳng.
- Tìm giao tuyến mới có **một** điểm chung đã vội kết luận. Phải đủ hai điểm chung.
- Vẽ cạnh khuất bằng nét liền, làm hình rối và dễ nhìn nhầm.
- Đo góc, đo độ dài ngay trên hình vẽ.

## Bài tập theo dạng

### Dạng 1. Đúng hay sai

**Bài 1.** a) Ba điểm bất kì luôn xác định đúng một mặt phẳng. b) Hai mặt phẳng phân biệt có thể có đúng một điểm chung. c) Cho hình bình hành ABCD và điểm S nằm ngoài mặt phẳng (ABCD). Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua ba trong năm điểm A, B, C, D, S?

<details><summary>Đáp án</summary>

a) Sai: ba điểm thẳng hàng thì có vô số mặt phẳng đi qua.
b) Sai: đã có một điểm chung thì có chung cả một đường thẳng.
c) 7. Có 10 cách chọn ba điểm, nhưng 4 bộ ba lấy từ A, B, C, D chỉ cho một mặt phẳng (ABCD); 6 bộ chứa S cho 6 mặt phẳng (SAB), (SBC), (SCD), (SDA), (SAC), (SBD). Tổng: 1 + 6 = 7.
</details>

**Bài 2.** Một hình chóp có 16 cạnh. Đáy của nó là đa giác mấy cạnh? Hình chóp có mấy mặt?

<details><summary>Đáp án</summary>

2n = 16 nên n = 8: đáy là bát giác. Số mặt: 8 + 1 = 9.
</details>

### Dạng 2. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng

Cách làm: tìm hai điểm chung. Điểm thứ nhất thường thấy ngay; điểm thứ hai là giao của hai đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng, mỗi đường thuộc một mặt.

**Bài 3.** Cho hình chóp S.ABCD, đáy là tứ giác có AD cắt BC tại E. Tìm giao tuyến của: a) (SAC) và (SBD); b) (SAD) và (SBC).

<details><summary>Đáp án</summary>

a) S là điểm chung. Trong (ABCD), gọi O = AC ∩ BD. O ∈ AC ⊂ (SAC), O ∈ BD ⊂ (SBD). Giao tuyến: SO.
b) S là điểm chung. E ∈ AD ⊂ (SAD), E ∈ BC ⊂ (SBC). Giao tuyến: SE.
</details>

**Bài 4.** Cho tứ diện ABCD, M là trung điểm AB, N là trung điểm CD. Tìm giao tuyến của (MCD) và (NAB).

<details><summary>Đáp án</summary>

M ∈ AB ⊂ (NAB) và M ∈ (MCD); N ∈ CD ⊂ (MCD) và N ∈ (NAB). Giao tuyến: MN.
</details>

### Dạng 3. Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng

Cách làm: chọn mặt phẳng phụ chứa đường thẳng → tìm giao tuyến của mặt phẳng phụ với mặt phẳng đã cho → đường thẳng cắt giao tuyến tại giao điểm cần tìm.

**Bài 5.** Hình chóp S.ABCD như bài 3, O = AC ∩ BD, K là trung điểm SD. Tìm giao điểm của BK với (SAC).

<details><summary>Đáp án</summary>

BK ⊂ (SBD). (SBD) ∩ (SAC) = SO. Trong (SBD), BK cắt SO tại I. Vì I ∈ SO ⊂ (SAC) nên I = BK ∩ (SAC).
(Trên hình vẽ BK còn "cắt" SA và SC, nhưng đó chỉ là cắt trên giấy: BK không cùng mặt phẳng với SA hay SC.)
</details>

**Bài 6.** Cho tứ diện ABCD, M là trung điểm AB, N thuộc cạnh AC sao cho AN = 3NC. Tìm giao điểm của MN với (BCD).

<details><summary>Đáp án</summary>

Trong (ABC), AM/AB = 1/2 ≠ 3/4 = AN/AC nên MN không song song BC; gọi P = MN ∩ BC. P ∈ BC ⊂ (BCD) nên P = MN ∩ (BCD).
</details>

## Chuyện bên lề

Điểm là gì? Đường thẳng là gì? Mặt phẳng là gì? Hình học cổ điển từng cố định nghĩa những thứ này, và cố chứng minh cả những điều rất hiển nhiên như "hai mặt phẳng cắt nhau theo một đường thẳng". Người đời sau soát lại thì thấy phép chứng minh cổ ấy còn hổng: nó bỏ qua khả năng hai mặt phẳng chỉ có đúng một điểm chung.

Năm 1899, ở Göttingen (Đức), nhà toán học **David Hilbert** viết cuốn *Cơ sở hình học* và chọn cách khác hẳn: **không định nghĩa** điểm, đường thẳng, mặt phẳng; chỉ nêu ra khoảng hai mươi **tiên đề** nói chúng quan hệ với nhau thế nào, rồi suy ra mọi thứ từ đó. Người ta hay kể rằng ông từng nói đùa: thay ba chữ "điểm, đường thẳng, mặt phẳng" bằng "bàn, ghế, cốc bia" thì hình học vẫn đúng, miễn là chúng thoả mãn các tiên đề.

Các "tính chất thừa nhận" trong bài này phần lớn chính là các tiên đề về mặt phẳng của ông: qua ba điểm không thẳng hàng có đúng một mặt phẳng; đường thẳng có hai điểm thuộc mặt phẳng thì nằm trong mặt phẳng; hai mặt phẳng có một điểm chung thì còn điểm chung nữa; có bốn điểm không đồng phẳng.

**Ngày nay:** mô hình 3D trong trò chơi điện tử và phim hoạt hình được ghép từ lưới tam giác. Ba điểm thì luôn nằm trên một mặt phẳng nên tam giác lúc nào cũng "phẳng"; bốn điểm thì chưa chắc, tứ giác có thể bị vênh.

## Trò chơi ở nhà (5 phút)

1. **Săn giao tuyến**: nhìn quanh phòng, chỉ ra 5 giao tuyến của hai mặt phẳng (mép hai bức tường, nếp gấp quyển vở đang mở…).
2. **Bìa xoay quanh bút**: áp mép một tấm bìa cứng vào cây bút (đường thẳng) rồi xoay bìa quanh bút: có bao nhiêu vị trí? Đặt thêm cục tẩy ở ngoài cây bút và bắt tấm bìa phải chạm cả cục tẩy: còn mấy vị trí? Đó là cách xác định mặt phẳng nào?
3. **Vẽ thùng**: vẽ một cái hộp bất kì trong nhà theo đúng ba quy tắc, rồi đổi góc nhìn và xem nét đứt đổi sang cạnh nào.

## Lời thoại video

### 0:00 Mở đầu: hình vẽ đánh lừa mắt

Bạn nhìn hình này nhé: một hình tứ diện vẽ trên giấy. Hai cạnh tô vàng rõ ràng cắt nhau ở giữa hình, đúng không? Nhưng xoay hình đi một chút mà xem: chúng chẳng hề chạm nhau. Hình vẽ thì phẳng, còn vật thật có chiều sâu, nên mắt rất dễ bị lừa. Hôm nay bạn sẽ học cách vẽ và đọc hình không gian, những điều được thừa nhận về mặt phẳng, rồi cách tìm giao tuyến và giao điểm.

### 0:25 Chuyện bên lề: bàn, ghế, cốc bia

Trước hết, một chút chuyện bên lề. Năm 1899, ở Đức, nhà toán học David Hilbert viết lại nền móng của hình học. Ông không định nghĩa điểm, đường thẳng hay mặt phẳng. Ông chỉ nêu ra khoảng 20 điều được thừa nhận, gọi là tiên đề, rồi suy ra mọi thứ từ đó. Người ta hay kể rằng ông từng nói đùa: thay ba chữ ấy bằng bàn, ghế và cốc bia, hình học vẫn đúng. Những tính chất thừa nhận trong bài hôm nay, phần lớn chính là các tiên đề về mặt phẳng ấy.

### 0:56 Mặt phẳng và cách vẽ hình

Mặt sàn nhà, tấm kính cửa sổ cho ta hình ảnh một phần của mặt phẳng. Mặt phẳng thật thì rộng vô hạn và không có bề dày. Trên giấy, ta vẽ nó thành một hình bình hành và ghi tên trong ngoặc, ví dụ mặt phẳng (P). Ví dụ 1: con kiến đứng trên sàn là điểm A thuộc mặt phẳng (P). Quả bóng bay lơ lửng là điểm B không thuộc mặt phẳng (P). Vẽ hình không gian cần nhớ ba quy tắc. Một: đường thẳng vẫn vẽ thành đường thẳng. Hai: song song vẫn vẽ song song. Ba: nét nhìn thấy vẽ liền, nét bị che khuất vẽ đứt. Ví dụ 2: vẽ một thùng các-tông. Ba cạnh phía sau bị che, nên là ba nét đứt. Để ý nhé: mặt trên của thùng là hình chữ nhật, nhưng trên giấy lại thành hình bình hành. Vì thế đừng đo góc hay độ dài trên hình vẽ.

### 1:50 Ba cách xác định mặt phẳng

Bây giờ là những điều ta thừa nhận, không chứng minh. Qua hai điểm phân biệt có đúng một đường thẳng. Còn qua ba điểm không thẳng hàng có đúng một mặt phẳng. Ba điểm A, B, C như thế xác định mặt phẳng (ABC). Nếu ba điểm thẳng hàng thì sao? Khi đó có vô số mặt phẳng đi qua, giống lá cờ xoay quanh cán cờ. Giữ thêm một điểm ở mép cờ, lá cờ đứng yên. Vậy một đường thẳng và một điểm nằm ngoài nó cũng xác định một mặt phẳng. Cách thứ ba: hai đường thẳng cắt nhau. Hai lưỡi của một cái kéo đang mở luôn cùng nằm trong một mặt phẳng. Còn bốn điểm thì chưa chắc. Có những bộ bốn điểm không cùng nằm trên mặt phẳng nào, ta gọi là không đồng phẳng.

### 2:35 Nằm trong mặt phẳng, giao tuyến

Tiếp theo: nếu một đường thẳng có hai điểm thuộc một mặt phẳng, thì cả đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó. Thợ xây dùng đúng điều này: áp cây thước thẳng lên tường, chỗ nào hở là tường chưa phẳng. Trong hình chóp này, điểm S và điểm O đều thuộc mặt phẳng (SAC), nên đường thẳng SO nằm trong mặt phẳng (SAC). Hai mặt phẳng phân biệt mà có một điểm chung, thì chúng có chung cả một đường thẳng đi qua điểm đó. Đường thẳng ấy gọi là giao tuyến. Gấp đôi một tờ giấy: hai nửa tờ giấy là hai mặt phẳng, nếp gấp chính là giao tuyến. Hai mặt bên (SBC) và (SCD) của hình chóp có chung S và C, nên giao tuyến là đường thẳng SC. Nhớ nhé: muốn tìm giao tuyến, chỉ cần tìm hai điểm chung. Và trong mỗi mặt phẳng, mọi kết quả của hình học phẳng vẫn dùng được.

### 3:28 Hình chóp và hình tứ diện

Giờ đến hai hình quen mặt nhất. Lấy một đa giác và một điểm S nằm ngoài mặt phẳng chứa nó. Nối S với các đỉnh, ta được hình chóp. S là đỉnh, đa giác là mặt đáy, các tam giác chung đỉnh S là mặt bên. Ví dụ 1: hình chóp có đáy là ngũ giác thì có 5 mặt bên, 5 cạnh bên, 5 cạnh đáy. Tổng cộng 6 mặt và 10 cạnh. Hình chóp đáy tam giác còn gọi là hình tứ diện: bốn đỉnh không đồng phẳng, 4 mặt, 6 cạnh. Mặt nào cũng làm đáy được. Ví dụ 2: quay lại hình lúc đầu. Nếu hai cạnh AC và BD cắt nhau, thì cả bốn đỉnh cùng nằm trong một mặt phẳng: vô lí. Nên chúng không cắt nhau. Ngày nay, mô hình ba chiều trong trò chơi điện tử được ghép từ rất nhiều tam giác nhỏ, chính vì ba điểm thì luôn nằm trên một mặt phẳng.

### 4:22 Dạng 1: Đúng hay sai

Dạng 1: nhận biết đúng sai về điểm, đường thẳng, mặt phẳng. Cách làm: soi từng câu với các tính chất thừa nhận, và để ý những chữ như không thẳng hàng, phân biệt. Bài 1 có ba câu. Tạm dừng video và thử làm nhé. Câu a: ba điểm bất kì luôn xác định đúng một mặt phẳng. Sai! Ba điểm thẳng hàng thì có vô số mặt phẳng đi qua. Câu b: hai mặt phẳng phân biệt có thể có đúng một điểm chung. Cũng sai! Đã có một điểm chung thì có chung cả một đường thẳng. Câu c: cho hình bình hành ABCD và điểm S nằm ngoài mặt phẳng chứa nó. Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua ba trong năm điểm này? Có bạn đếm ngay 10, vì có 10 cách chọn ba điểm. Nhưng bốn bộ ba lấy từ bốn đỉnh đáy chỉ cho cùng một mặt phẳng. Còn sáu bộ chứa S cho sáu mặt phẳng khác nhau. Đáp số là 7.

### 5:24 Dạng 2: Tìm giao tuyến

Dạng 2: tìm giao tuyến của hai mặt phẳng. Cách làm: tìm hai điểm chung. Điểm thứ nhất thường thấy ngay. Điểm thứ hai là giao của hai đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng, mỗi đường thuộc một mặt. Bài 2: hình chóp S.ABCD, đáy là tứ giác có AD cắt BC tại E. Tạm dừng video và thử làm nhé. Câu a: hai mặt phẳng (SAC) và (SBD). Điểm chung thứ nhất là S. Trong mặt đáy, AC cắt BD tại O. Điểm O thuộc AC nên thuộc mặt phẳng (SAC), lại thuộc BD nên thuộc mặt phẳng (SBD). Vậy giao tuyến là đường thẳng SO. Câu b: hai mặt phẳng (SAD) và (SBC). Nhìn hình, nhiều bạn tưởng chúng chỉ chung mỗi điểm S. Nhưng AD và BC cùng nằm trong mặt đáy, và cắt nhau tại E. Điểm E thuộc cả hai mặt phẳng, nên giao tuyến là đường thẳng SE.

### 6:27 Dạng 3: Tìm giao điểm

Dạng 3: tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng. Cách làm: chọn một mặt phẳng phụ chứa đường thẳng, tìm giao tuyến của nó với mặt phẳng đã cho, rồi cho đường thẳng cắt giao tuyến. Bài 3: vẫn hình chóp ấy, K là trung điểm của SD. Tìm giao điểm của đường thẳng BK với mặt phẳng (SAC). Tạm dừng video và thử làm nhé. Trên hình, BK cắt cả SA lẫn SC. Nhưng đừng vội: đó chỉ là cắt nhau trên giấy. Đường thẳng BK nằm trong mặt phẳng (SBD). Theo bài 2, mặt phẳng này cắt mặt phẳng (SAC) theo giao tuyến SO. Trong mặt phẳng (SBD), BK cắt SO tại điểm I. Điểm I thuộc BK, lại thuộc SO nên thuộc mặt phẳng (SAC). Vậy I chính là giao điểm cần tìm.

### 7:23 Kết bài

Tóm lại: hình không gian vẽ theo quy tắc, nét khuất là nét đứt. Mặt phẳng được xác định bởi ba điểm không thẳng hàng, bởi một điểm và một đường thẳng, hoặc bởi hai đường thẳng cắt nhau. Tìm giao tuyến: hai điểm chung. Tìm giao điểm: mặt phẳng phụ, rồi giao tuyến. Và nhớ: hai đường thẳng chỉ thật sự cắt nhau khi chúng cùng nằm trong một mặt phẳng. Làm thêm phiếu bài tập để nhớ lâu hơn nhé. Hẹn gặp bạn ở bài sau!