# Hai đường thẳng song song trong không gian – Toán lớp 11, Bài 11

> Đặt hai chiếc bút chì lên bàn: chúng hoặc cắt nhau, hoặc song song. Giờ bạn nhấc một chiếc lên cao rồi xoay nó đi một chút. Hai chiếc bút không chạm nhau, kéo dài mãi cũng không gặp nhau, nhưng rõ ràng chúng không song song. Trong không gian, "không cắt nhau" chưa chắc đã là "song song". Bài này gọi tên trường hợp lạ đó và nêu ba tính chất của hai đường thẳng song song trong không gian.

- Trang bài: https://anim.vn/lop-11/toan/bai-11-hai-duong-thang-song-song/
- Video: https://youtu.be/qZ7vrlLJTQs (7:42)
- Thuộc: Toán lớp 11 · Bài 11
- Bài tập về nhà (PDF, có lời giải): https://anim.vn/media/lop11-toan-bai-11/bai-tap-ve-nha.pdf

## Mục lục video

- 0:00 Mở đầu: không cắt nhau = song song?
- 0:27 Chuyện bên lề: tiên đề song song
- 1:00 Bốn vị trí tương đối
- 2:00 Tính chất 1 và 2
- 2:51 Ba giao tuyến và hệ quả
- 4:10 Dạng 1: Xét vị trí tương đối
- 5:14 Dạng 2: Chứng minh song song
- 6:20 Dạng 3: Giao tuyến song song
- 7:11 Kết bài

Đặt hai chiếc bút chì lên bàn: chúng hoặc cắt nhau, hoặc song song. Giờ bạn nhấc một chiếc lên cao rồi xoay nó đi một chút. Hai chiếc bút không chạm nhau, kéo dài mãi cũng không gặp nhau, nhưng rõ ràng chúng **không song song**. Trong không gian, "không cắt nhau" chưa chắc đã là "song song". Bài này gọi tên trường hợp lạ đó và nêu ba tính chất của hai đường thẳng song song trong không gian.

## 1. Bốn vị trí tương đối của hai đường thẳng

Hai đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng gọi là **đồng phẳng**.

| | Vị trí | Số điểm chung |
|---|---|---|
| Đồng phẳng | cắt nhau | 1 |
| Đồng phẳng | song song | 0 |
| Đồng phẳng | trùng nhau | vô số |
| **Không đồng phẳng** | **chéo nhau** | 0 |

- **Song song** = đồng phẳng + không có điểm chung.
- **Chéo nhau** = không có mặt phẳng nào chứa cả hai đường thẳng (nên chúng cũng không có điểm chung).
- Hai đường thẳng song song thì xác định đúng một mặt phẳng chứa chúng.

**Ví dụ 1.** Hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH (đáy dưới ABCD, đáy trên EFGH, E ở trên A, F trên B, G trên C, H trên D).
AB và BC cắt nhau tại B. AB và EF song song (cùng nằm trong mặt trước ABFE). AB và FG chéo nhau.

**Ví dụ 2.** Hình chóp S.ABCD, O là giao điểm hai đường chéo của đáy. SO và AB có chéo nhau không?
Giả sử SO và AB đồng phẳng. Mặt phẳng đó chứa A, B, O nên chính là mặt đáy (ABCD). Nhưng S không thuộc mặt đáy: vô lí. Vậy SO và AB chéo nhau.

> Cách chứng minh hai đường thẳng chéo nhau: lấy mặt phẳng chứa một đường và một điểm của đường kia, rồi chỉ ra một điểm còn lại nằm ngoài mặt phẳng đó.

## 2. Tính chất 1 và 2

**Tính chất 1.** Trong không gian, qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng, có **đúng một** đường thẳng song song với đường thẳng đó.
(Vì điểm M và đường thẳng d xác định đúng một mặt phẳng; trong mặt phẳng ấy ta trở về hình học phẳng.)

**Tính chất 2.** Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau: a // c, b // c ⇒ a // b.

**Ví dụ 1.** Ba sợi dây điện căng giữa hai cột (coi là ba đường thẳng). Dây 1 song song với dây 2, dây 2 song song với dây 3, nên dây 1 song song với dây 3, dù ba dây không cùng nằm trong một mặt phẳng.

**Ví dụ 2.** Trong hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH: AB // DC, DC // HG nên AB // HG, dù AB nằm ở mặt đáy còn HG nằm ở mặt trên. Bốn điểm A, B, G, H vì thế cùng nằm trong một mặt phẳng.

## 3. Tính chất 3: định lí ba giao tuyến

Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy **hoặc đồng quy, hoặc đôi một song song**.

- Đồng quy: ba mặt của hình hộp gặp nhau ở một đỉnh (ba cạnh xuất phát từ đỉnh đó).
- Đôi một song song: ba mặt bên của một thanh sô-cô-la hình tam giác (ba cạnh dài).

**Hệ quả (rất hay dùng).** Nếu hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) song song với hai đường thẳng đó, hoặc trùng với một trong hai.

**Ví dụ 1.** Chiếc máy tính xách tay đang mở: mép trên màn hình song song với mép trước bàn phím. Bản lề là giao tuyến của mặt màn hình và mặt bàn phím, nên bản lề song song với cả hai mép ấy.

**Ví dụ 2.** Tứ diện ABCD, M và N là trung điểm của AB và AC. MN là đường trung bình của tam giác ABC nên MN // BC. Hai mặt phẳng (DMN) và (DBC) có chung điểm D, lần lượt chứa MN và BC song song. Vậy giao tuyến là đường thẳng qua D và song song với BC.

## Bảng kí hiệu

| Viết | Đọc | Nghĩa |
|---|---|---|
| a // b | a song song với b | đồng phẳng, không có điểm chung |
| a ∩ b = {M} | a cắt b tại M | có đúng một điểm chung |
| a ≡ b | a trùng b | mọi điểm đều chung |
| a ⊂ (P) | a nằm trong (P) | mọi điểm của a thuộc mặt phẳng (P) |
| (P) ∩ (Q) = d | (P) cắt (Q) theo giao tuyến d | d gồm mọi điểm chung của hai mặt phẳng |

## Lỗi hay gặp

1. **"Không cắt nhau thì song song."** Chỉ đúng trong mặt phẳng. Trong không gian, không cắt nhau thì có thể song song hoặc chéo nhau.
2. **"Không song song thì cắt nhau."** Cũng sai: không song song (và không trùng) thì có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.
3. **Nhìn hình vẽ rồi kết luận.** Trên giấy, hai đường chéo nhau có thể trông như cắt nhau, và hai đường cắt nhau có thể trông như chéo nhau. Phải lập luận bằng mặt phẳng: có mặt phẳng nào chứa cả hai không?
4. **Quên "phân biệt"** trong tính chất 2: nếu a và b trùng nhau thì không gọi là song song.
5. **Tìm giao tuyến chỉ bằng một điểm chung.** Một điểm chưa xác định được đường thẳng. Cần thêm điểm chung thứ hai, hoặc thêm phương (song song với hai đường thẳng song song nằm trong hai mặt phẳng).
6. **"a // b, c cắt a thì c cắt b."** Chỉ đúng trong mặt phẳng; trong không gian c và b có thể chéo nhau.

## Bài tập theo dạng

### Dạng 1. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng

Cách làm: tìm xem có mặt phẳng nào chứa cả hai không. Có: chỉ còn cắt nhau hoặc song song. Không: chéo nhau.

**Bài 1.** Hình chóp S.ABCD, đáy là hình bình hành tâm O; M là trung điểm của SC. Xét vị trí tương đối của: a) AM và SO; b) OM và SA; c) BM và AD.

<details><summary>Đáp án</summary>

a) Cắt nhau. Cả hai cùng nằm trong mặt phẳng (SAC) và là hai đường trung tuyến của tam giác SAC.
b) Song song. O, M là trung điểm của AC, SC nên OM là đường trung bình của tam giác SAC.
c) Chéo nhau. Mặt phẳng chứa AD và B là (ABCD), mà M không thuộc (ABCD).
</details>

**Bài 2.** Hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH. Xét vị trí tương đối của: a) BC và EH; b) BF và DH; c) BD và EG.

<details><summary>Đáp án</summary>

a) Song song: BC // AD và AD // EH.
b) Song song: BF // CG và CG // DH (hoặc BF // AE, AE // DH).
c) Chéo nhau: EG // AC (ACGE là hình bình hành), mà AC cắt BD nên EG không song song với BD; hai đường nằm ở mặt trên và mặt đáy nên không có điểm chung. Không song song, không có điểm chung: chéo nhau.
</details>

### Dạng 2. Chứng minh hai đường thẳng song song

Cách làm: tìm đường trung bình hoặc dùng Thalès đảo trong một tam giác, rồi nối lại bằng tính chất "cùng song song với đường thẳng thứ ba".

**Bài 3.** Tứ diện ABCD có CD = 12. G, K là trọng tâm của các tam giác ABC, ABD; P, Q là trung điểm của AC, AD. a) Chứng minh GK // CD và tính GK. b) Chứng minh GK // PQ.

<details><summary>Đáp án</summary>

a) Gọi I là trung điểm AB. IG/IC = IK/ID = 1/3 nên GK // CD (Thalès đảo trong tam giác ICD) và GK = CD/3 = 4.
b) PQ là đường trung bình của tam giác ACD nên PQ // CD (PQ = 6). GK và PQ phân biệt, cùng song song với CD nên GK // PQ.
</details>

### Dạng 3. Giao tuyến của hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song

Cách làm: tìm một điểm chung, rồi kẻ qua điểm đó đường thẳng song song với hai đường thẳng song song đã có.

**Bài 4.** Hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (ABGH) và (CDEF).

<details><summary>Đáp án</summary>

Trong mặt bên ADHE, gọi I = AH ∩ DE: I thuộc cả hai mặt phẳng. Hai mặt phẳng lần lượt chứa AB và CD song song với nhau, nên giao tuyến là đường thẳng qua I, song song với AB. Tương tự K = BG ∩ CF cũng là điểm chung. Giao tuyến là đường thẳng IK; nó đi qua tâm của hình hộp.
</details>

Thêm bài để luyện: xem phiếu **Bài tập về nhà** (PDF).

## Chuyện bên lề

- Khoảng năm 300 trước Công nguyên, Euclid viết bộ "Cơ sở" với năm định đề. Định đề thứ năm, nói về đường song song, dài và rắc rối hơn hẳn bốn định đề kia. Suốt khoảng hai nghìn năm, nhiều nhà toán học cố chứng minh nó từ bốn định đề còn lại mà không ai thành công.
- Năm 1795, nhà toán học Scotland John Playfair viết lại nó trong một cuốn sách giáo khoa bằng một câu gọn: qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng chỉ có một đường thẳng song song với đường thẳng đó. Ý này đã có từ trước (Proclus ở thế kỉ 5 từng nêu), nhưng ngày nay người ta gọi nó là tiên đề Playfair. Tính chất 1 của bài chính là câu ấy, phát biểu cho không gian.
- Năm 1829, Lobachevsky công bố một hình học trong đó qua một điểm có nhiều hơn một đường song song. Ông không gặp mâu thuẫn nào. Đến năm 1868, Beltrami chứng minh rằng định đề thứ năm thật sự không thể suy ra từ các định đề còn lại. Thứ "hình học mới" này gọi là hình học phi Euclid.
- Ngày nay, khi thiết kế đường ống trong toà nhà hay cánh tay rô-bốt, phần mềm luôn phải tính xem các trục thẳng cắt nhau, song song hay chéo nhau, và nếu chéo nhau thì cách nhau bao xa, để chúng không va vào nhau.

## Trò chơi 5 phút ở nhà

Lấy một hộp bánh hoặc hộp giày và ba chiếc que (đũa, bút chì). Một người đặt hai que dọc theo hai cạnh bất kì của hộp, người kia phải nói ngay: cắt nhau, song song hay chéo nhau, và chỉ ra mặt phẳng chứa cả hai (nếu có). Đổi vai sau mỗi lượt. Câu khó: đặt que thứ ba sao cho nó song song với que thứ nhất và chéo với que thứ hai.

## Lời thoại video

### 0:00 Mở đầu: không cắt nhau = song song?

Đặt hai chiếc bút chì lên bàn. Chúng hoặc cắt nhau, hoặc song song. Giờ nhấc một chiếc lên cao, rồi xoay nó đi một chút. Hai chiếc bút không chạm nhau, kéo dài mãi cũng không gặp nhau. Vậy chúng có song song không? Không! Trong không gian, không cắt nhau chưa chắc đã song song. Hôm nay bạn sẽ biết gọi tên trường hợp lạ này, và ba tính chất của hai đường thẳng song song trong không gian.

### 0:27 Chuyện bên lề: tiên đề song song

Khoảng năm 300 trước Công nguyên, Euclid viết bộ Cơ sở. Định đề thứ năm của ông, nói về đường song song, rắc rối đến mức suốt 2000 năm người ta cố chứng minh nó mà không được. Năm 1795, nhà toán học Scotland John Playfair viết lại nó thật gọn: qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng, chỉ có một đường song song với đường thẳng đó. Đến năm 1829, Lobachevsky thử cho rằng có nhiều hơn một đường như thế. Ông không gặp mâu thuẫn nào, và một thứ hình học mới ra đời.

### 1:00 Bốn vị trí tương đối

Trước hết, một từ mới: hai đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng gọi là đồng phẳng. Khi đồng phẳng, chúng giống hệt hình học phẳng: cắt nhau, song song, hoặc trùng nhau. Còn nếu không có mặt phẳng nào chứa cả hai, ta nói hai đường thẳng chéo nhau. Vậy song song nghĩa là đồng phẳng và không có điểm chung. Chéo nhau cũng không có điểm chung, nhưng không đồng phẳng. Ví dụ 1: hình hộp chữ nhật này. AB và BC cắt nhau tại B. AB và EF song song, vì cùng nằm trong mặt trước. Còn AB và FG thì chéo nhau. Ví dụ 2: hình chóp S.ABCD, O là giao điểm hai đường chéo của đáy. SO và AB có chéo nhau không? Giả sử chúng đồng phẳng. Mặt phẳng đó chứa A, B và O, nên chính là mặt đáy. Nhưng đỉnh S không nằm trong đáy. Vô lí! Vậy SO và AB chéo nhau.

### 2:00 Tính chất 1 và 2

Tính chất 1: trong không gian, qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng, có đúng một đường thẳng song song với đường thẳng đó. Vì điểm và đường thẳng ấy xác định đúng một mặt phẳng, và trong mặt phẳng đó ta trở về hình học phẳng quen thuộc. Tính chất 2: hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau. Ví dụ 1: ba sợi dây điện căng giữa hai cột. Dây 1 song song với dây 2, dây 2 song song với dây 3. Vậy dây 1 song song với dây 3, dù ba dây không cùng nằm trong một mặt phẳng. Ví dụ 2: trở lại hình hộp chữ nhật. AB // DC, DC // HG. Suy ra AB // HG, dù chúng nằm ở hai mặt khác nhau.

### 2:51 Ba giao tuyến và hệ quả

Tính chất 3 nói về ba mặt phẳng. Nếu chúng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt, thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy, hoặc đôi một song song. Đồng quy: như ba mặt của hình hộp gặp nhau ở một đỉnh. Đôi một song song: như ba mặt bên của một thanh sô-cô-la hình tam giác. Từ đó có một hệ quả rất hay dùng: hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song, thì giao tuyến của chúng, nếu có, sẽ song song với hai đường thẳng đó, hoặc trùng với một trong hai. Ví dụ 1: chiếc máy tính xách tay đang mở. Mép trên màn hình song song với mép trước bàn phím. Nên bản lề, tức giao tuyến của hai mặt, song song với cả hai mép ấy. Ví dụ 2: tứ diện ABCD, M và N là trung điểm của AB và AC. MN là đường trung bình nên MN // BC. Hai mặt phẳng (DMN) và (DBC) có chung điểm D, lại chứa hai đường song song. Vậy giao tuyến là đường thẳng qua D, song song với BC. Ngày nay, khi thiết kế đường ống trong toà nhà hay cánh tay rô-bốt, phần mềm luôn phải tính xem các trục thẳng cắt nhau, song song hay chéo nhau, để chúng không va vào nhau.

### 4:10 Dạng 1: Xét vị trí tương đối

Dạng 1: xét vị trí tương đối của hai đường thẳng. Cách làm: trước hết tìm xem có mặt phẳng nào chứa cả hai không. Có thì chỉ còn cắt nhau hoặc song song. Không thì chéo nhau. Bài 1: hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O, M là trung điểm của SC. Tạm dừng video và thử làm nhé. Câu a: AM và SO. Nhìn hình, nhiều bạn vội trả lời là chéo nhau. Chưa đúng! Cả hai cùng nằm trong mặt phẳng (SAC), và là hai đường trung tuyến của tam giác SAC. Chúng cắt nhau. Câu b: OM và SA. Trong tam giác SAC, OM là đường trung bình, nên OM // SA. Câu c: BM và AD. Mặt phẳng chứa AD và điểm B chính là mặt đáy, mà M không nằm trong đáy. Vậy BM và AD chéo nhau.

### 5:14 Dạng 2: Chứng minh song song

Dạng 2: chứng minh hai đường thẳng song song. Cách làm: tìm đường trung bình, hoặc dùng định lí Thalès đảo trong một tam giác, rồi nối lại bằng tính chất cùng song song với đường thẳng thứ ba. Bài 2: tứ diện ABCD có CD = 12. G và K là trọng tâm của hai tam giác ABC và ABD. P và Q là trung điểm của AC và AD. Tạm dừng video và thử làm nhé. Câu a: gọi I là trung điểm của AB. Trọng tâm nằm trên trung tuyến, cách chân trung tuyến một phần ba độ dài. Nên IG : IC = IK : ID = 1/3. Theo Thalès đảo trong tam giác ICD, GK // CD, và GK bằng một phần ba CD, tức là bằng 4. Câu b: PQ là đường trung bình của tam giác ACD, nên PQ // CD. Cùng song song với CD, vậy GK // PQ.

### 6:20 Dạng 3: Giao tuyến song song

Dạng 3: tìm giao tuyến của hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song. Cách làm: tìm một điểm chung, rồi kẻ qua điểm đó đường thẳng song song với hai đường đã cho. Bài 3: hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (ABGH) và (CDEF). Tạm dừng video và thử làm nhé. Trong mặt bên trái, AH cắt DE tại I. Điểm I thuộc cả hai mặt phẳng. Hai mặt phẳng lại chứa AB và CD song song với nhau. Vậy giao tuyến là đường thẳng qua I, song song với AB. Tương tự, trong mặt bên phải, BG cắt CF tại K. Giao tuyến chính là đường thẳng IK, và nó đi qua tâm của hình hộp.

### 7:11 Kết bài

Tóm lại: trong không gian, hai đường thẳng có bốn vị trí: cắt nhau, song song, trùng nhau, và chéo nhau. Song song là đồng phẳng và không có điểm chung. Không cắt nhau thì chưa chắc đã song song. Ba tính chất: qua một điểm có đúng một đường song song; cùng song song với đường thứ ba thì song song với nhau; ba giao tuyến thì đồng quy hoặc đôi một song song. Làm thêm phiếu bài tập để nhớ lâu hơn nhé. Hẹn gặp bạn ở bài sau!