# Đường thẳng và mặt phẳng song song – Toán lớp 11, Bài 12

> Một mặt phẳng chứa vô số đường thẳng. Vậy muốn biết một đường thẳng có song song với cả mặt phẳng hay không, phải so nó với bao nhiêu đường? Câu trả lời: chỉ một đường là đủ. Bài này giải thích vì sao, và dùng điều đó để làm gì.

- Trang bài: https://anim.vn/lop-11/toan/bai-12-duong-thang-va-mat-phang-song-song/
- Video: https://youtu.be/Mb8d8BzmYPE (8:39)
- Thuộc: Toán lớp 11 · Bài 12
- Bài tập về nhà (PDF, có lời giải): https://anim.vn/media/lop11-toan-bai-12/bai-tap-ve-nha.pdf

## Mục lục video

- 0:00 Mở đầu: dây điện và mặt đường ray
- 0:23 Chuyện bên lề: sợi dây dích dắc
- 0:55 Ba vị trí tương đối
- 1:43 Dấu hiệu nhận biết
- 3:00 Tính chất giao tuyến
- 3:51 Hai chiều cần nhớ
- 4:21 Dạng 1: Xét đúng sai
- 5:19 Dạng 2: Chứng minh song song
- 6:26 Dạng 3: Tìm giao tuyến
- 7:29 Dạng 4: Bài toán thực tế
- 8:17 Kết bài

> Một mặt phẳng chứa vô số đường thẳng. Vậy muốn biết một đường thẳng có song song với cả mặt phẳng hay không, phải so nó với bao nhiêu đường? Câu trả lời: **chỉ một đường là đủ**. Bài này giải thích vì sao, và dùng điều đó để làm gì.

Quy ước trong bài: kí hiệu `//` nghĩa là "song song"; `(α)`, `(β)` là tên mặt phẳng.

## 1. Ba vị trí của đường thẳng so với mặt phẳng

Bạn phân biệt bằng cách **đếm số điểm chung**.

| Số điểm chung | Vị trí | Kí hiệu |
|---|---|---|
| 0 | d **song song** với (α) | d // (α) |
| đúng 1 | d **cắt** (α) tại điểm M | d ∩ (α) = {M} |
| từ 2 trở lên | d **nằm trong** (α) | d ⊂ (α) |

Không có trường hợp thứ tư: một đường thẳng đã có hai điểm thuộc mặt phẳng thì mọi điểm của nó đều thuộc mặt phẳng.

**Ví dụ 1 (trong phòng bạn).** So với mặt sàn: thanh treo rèm song song; cây lau nhà dựng vào tường thì cắt (tại chỗ đầu lau chạm sàn); mép tấm thảm thì nằm trong.

**Ví dụ 2.** Hình chóp S.MNPQ có hai đường chéo đáy MP, NQ cắt nhau tại O.
- Đường thẳng MP và mặt phẳng (SNQ) chỉ có một điểm chung là O, nên MP cắt (SNQ) tại O.
- Đường thẳng SO có hai điểm S và O cùng thuộc (SNQ), nên SO nằm trong (SNQ).

## 2. Dấu hiệu nhận biết: khi nào a // (α)?

Đếm điểm chung thì khó, vì đường thẳng và mặt phẳng đều kéo dài vô tận. Ta dùng dấu hiệu sau.

> **Nếu đường thẳng a không nằm trong mặt phẳng (α) và a song song với một đường thẳng b nằm trong (α), thì a // (α).**

**Vì sao đúng?** Gọi (β) là mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song a và b. Hai mặt phẳng (α), (β) cắt nhau theo đúng đường thẳng b. Nếu a có một điểm chung M với (α) thì M thuộc cả (β) lẫn (α), tức là M nằm trên b. Khi đó a cắt b tại M, trái với giả thiết a // b. Vậy a không có điểm chung nào với (α).

**Ví dụ 1 (chiếc thang).** Thang dựng nghiêng vào tường. Đường thẳng nối hai chân thang nằm trên mặt đất. Mỗi bậc thang song song với đường thẳng ấy và không nằm trên mặt đất, nên mỗi bậc thang song song với mặt đất, dù thang nghiêng nhiều hay ít.

**Ví dụ 2.** Hình chóp S.ABC. Lấy E trên cạnh SA, F trên cạnh SB sao cho SE = 2/3 SA, SF = 2/3 SB. Theo định lí Thalès đảo, EF // AB. Mà AB nằm trong (ABC), còn EF không nằm trong (ABC). Vậy EF // (ABC).

## 3. Tính chất: giao tuyến song song

> **Cho a // (α). Nếu mặt phẳng (β) chứa a và cắt (α) theo giao tuyến b, thì b // a.**

**Vì sao đúng?** a và b cùng nằm trong (β) nên không thể chéo nhau. Chúng cũng không cắt nhau, vì mọi điểm của b đều thuộc (α), còn a không có điểm chung nào với (α). Hai đường thẳng đồng phẳng, không cắt nhau thì song song.

**Ví dụ 1 (tấm ván dắt xe).** Mép bậc thềm song song với mặt sân. Tựa một tấm ván phẳng lên mép bậc thềm: tấm ván chứa mép thềm và cắt mặt sân theo đường chân ván. Vậy chân ván song song với mép bậc thềm.

**Ví dụ 2.** Vẫn hình chóp S.ABC ở trên, với EF // (ABC). Mặt phẳng (EFC) chứa EF và có điểm chung C với mặt đáy. Vậy giao tuyến của (EFC) và (ABC) là đường thẳng d đi qua C, song song với EF, cũng tức là song song với AB.

**Ghi nhớ thêm.** Cho hai đường thẳng chéo nhau, luôn có đúng một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia. Cách dựng: lấy một điểm trên đường thứ nhất, kẻ qua đó đường thẳng song song với đường thứ hai; hai đường cắt nhau vừa có xác định mặt phẳng cần tìm.

## 4. Bảng tóm tắt

| Muốn gì | Làm gì |
|---|---|
| Chứng minh a // (α) | Tìm b ⊂ (α) với b // a, kiểm tra a không nằm trong (α) |
| Đã có a // (α), cần giao tuyến | Mặt phẳng (β) chứa a, có điểm chung A với (α) ⇒ giao tuyến qua A, song song với a |
| Xác định vị trí của d với (α) | Đếm điểm chung: 0 – song song, 1 – cắt, từ 2 – nằm trong |

## 5. Lỗi hay gặp

1. **Quên điều kiện "a không nằm trong (α)".** Có a // b và b ⊂ (α) vẫn chưa đủ: a có thể nằm ngay trong (α). Luôn viết thêm một dòng kiểm tra.
2. **Tưởng a // (α) thì a song song với mọi đường thẳng trong (α).** Sai: a chỉ song song với những đường thẳng cùng phương với nó; với các đường còn lại trong (α), a chéo nhau.
3. **Tưởng hai đường thẳng cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau.** Hai cạnh kề nhau của mặt bàn cùng song song với sàn nhà nhưng cắt nhau.
4. **Chứng minh song song mà không chỉ ra đường thẳng nào trong mặt phẳng.** Nếu mặt phẳng chưa có sẵn đường thẳng phù hợp, hãy tự tìm: đường trung bình, đường nối hai điểm chia hai cạnh theo cùng tỉ số, cạnh đối của hình bình hành.
5. **Tìm giao tuyến chỉ bằng "nối hai điểm chung"** trong khi mới thấy một điểm chung. Khi một mặt phẳng chứa đường thẳng song song với mặt phẳng kia, chỉ cần một điểm chung: giao tuyến đi qua điểm đó và song song với đường thẳng ấy.

## 6. Bài tập theo dạng

### Dạng 1. Xét đúng sai

**Bài 1.** Cho hai đường thẳng a, b và mặt phẳng (α). Câu nào đúng?
1) a // (α), b ⊂ (α) ⇒ a // b.
2) a // b, b // (α) ⇒ a // (α).
3) a // (α) ⇒ trong (α) có vô số đường thẳng song song với a.

<details><summary>Đáp án</summary>

1) **Sai.** Trên hình hộp chữ nhật, lấy a là một cạnh của mặt trên, (α) là mặt đáy, b là cạnh đáy chạy theo hướng khác: a và b chéo nhau.
2) **Sai.** a có thể nằm trong (α): lấy b là cạnh của mặt trên, a là cạnh đáy nằm ngay dưới nó.
3) **Đúng.** Mỗi mặt phẳng chứa a mà cắt (α) đều cho một giao tuyến song song với a; có vô số mặt phẳng như thế.
</details>

### Dạng 2. Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng

**Bài 2.** Hình chóp S.MNPQ có đáy là hình bình hành tâm O; I là trung điểm của SP.
a) Chứng minh SM // (INQ).
b) OI có song song với (SMP) không?

<details><summary>Đáp án</summary>

a) O là trung điểm MP, I là trung điểm SP nên OI là đường trung bình của tam giác SMP: OI // SM. O thuộc NQ nên OI ⊂ (INQ); SM không nằm trong (INQ). Vậy SM // (INQ).
b) **Không.** O ∈ MP và I ∈ SP nên O, I đều thuộc (SMP): OI nằm trong (SMP).
</details>

**Bài 3.** Hình chóp S.ABC có AC = 8 cm. Lấy D trên SA, E trên SC sao cho SD = 3DA, SE = 3EC. Chứng minh DE // (ABC) và tính DE.

<details><summary>Đáp án</summary>

SD/SA = SE/SC = 3/4 nên DE // AC (Thalès đảo). AC ⊂ (ABC), DE không nằm trong (ABC), vậy DE // (ABC). DE = 3/4 · 8 = **6 cm**.
</details>

### Dạng 3. Tìm giao tuyến nhờ một đường thẳng song song

**Bài 4.** Hình chóp S.MNPQ, đáy là hình bình hành, MN = 12 cm. K thuộc cạnh SM, SK = 1/3 SM. Mặt phẳng (KPQ) cắt cạnh SN tại H. Tính KH. Thiết diện KHPQ là hình gì?

<details><summary>Đáp án</summary>

PQ // MN, MN ⊂ (SMN), PQ không nằm trong (SMN) nên PQ // (SMN). Mặt phẳng (KPQ) chứa PQ và cắt (SMN) theo giao tuyến KH, nên KH // PQ // MN. Trong tam giác SMN: KH/MN = SK/SM = 1/3, vậy KH = **4 cm**. Thiết diện KHPQ có KH // PQ và KH ≠ PQ nên là **hình thang**.
</details>

**Bài 5.** Hình chóp S.MNPQ có đáy là hình bình hành. Tìm giao tuyến của (SMN) và (SPQ).

<details><summary>Đáp án</summary>

S là điểm chung. MN // PQ ⊂ (SPQ) và MN không nằm trong (SPQ) nên MN // (SPQ). Mặt phẳng (SMN) chứa MN, nên giao tuyến là đường thẳng **qua S và song song với MN**.
</details>

### Dạng 4. Bài toán thực tế

**Bài 6.** Một khối bơ hình hộp chữ nhật nằm trên thớt. Lưỡi dao phẳng đi qua một mép trên của khối bơ rồi cắt xiên xuống đáy. Vì sao vết dao ở đáy luôn song song với mép trên ấy?

<details><summary>Đáp án</summary>

Gọi a là mép trên, a' là mép dưới của cùng mặt bên. Mặt bên là hình chữ nhật nên a // a'. a' nằm trong mặt đáy, a thì không, nên a song song với mặt đáy (dấu hiệu). Mặt dao chứa a và cắt mặt đáy theo vết dao b, nên b // a (tính chất). Điều này đúng với mọi độ nghiêng của dao.
</details>

**Bài 7.** Quyển lịch để bàn gồm hai tấm bìa phẳng nối nhau ở gáy lò xo; hai mép dưới nằm trên mặt bàn và song song với nhau. Vì sao gáy lịch song song với mặt bàn?

<details><summary>Đáp án</summary>

Gọi a, b là hai mép dưới, d là gáy lịch. a // b, b nằm trong tấm bìa thứ hai, a không nằm trong tấm ấy, nên a song song với tấm bìa thứ hai. Tấm bìa thứ nhất chứa a và cắt tấm thứ hai theo d, nên d // a. Cuối cùng d // a, a nằm trong mặt bàn, d không nằm trong mặt bàn, nên d song song với mặt bàn.
</details>

## 7. Chuyện bên lề: sợi dây điện đi dích dắc

- Những tuyến tàu điện đầu tiên cấp điện qua chính thanh ray, rất nguy hiểm cho người đi ngang. Năm 1881, tại Triển lãm Điện quốc tế ở Paris, kĩ sư Đức Werner von Siemens cho chạy chiếc tàu điện đầu tiên lấy điện từ dây treo trên cao.
- Khoảng năm 1888, ở thành phố Richmond (Mỹ), Frank Sprague hoàn thiện cách lấy điện này: dây ở trên, cần lấy điện có lò xo ép lên dây, còn thanh ray làm đường về. Hệ thống ấy trở thành khuôn mẫu cho tàu điện khắp thế giới.
- Muốn cần lấy điện luôn chạm dây, sợi dây phải giữ độ cao gần như không đổi so với mặt đường ray, tức là gần như song song với mặt đường ray.
- Chi tiết thú vị: trên đoạn đường thẳng, người ta cố ý mắc dây lệch nhẹ sang trái rồi sang phải, nhìn từ trên xuống thấy dây đi dích dắc. Nhờ vậy thanh than trên cần lấy điện mòn đều, không bị cứa thành rãnh. Từng đoạn dây vì thế **không song song với thanh ray**, nhưng vẫn **song song với mặt đường ray**: đúng như bài học, song song với mặt phẳng không có nghĩa là song song với một đường thẳng cho trước trong mặt phẳng.
- Ngày 3 tháng 4 năm 2007, một đoàn tàu thử nghiệm của Pháp đạt 574,8 km/h, vẫn lấy điện từ sợi dây trên cao. Riêng cho lần chạy ấy, người ta phải tăng lực căng dây để dây đủ "cứng".
- Quanh bạn cũng đầy ví dụ: thanh quét của máy scan chạy song song với mặt kính; đầu cắt của máy cắt laser chạy song song với mặt bàn cắt.

## 8. Trò chơi ở nhà (5 phút)

**"Săn ba vị trí".** Chọn một mặt phẳng trong nhà (mặt bàn, mặt sàn hoặc một bức tường). Trong 3 phút, mỗi người tìm thật nhiều "đường thẳng" (mép đồ vật, cạnh tủ, que, bút…) và xếp vào ba cột: song song, cắt, nằm trong. Với mỗi đường xếp vào cột "song song", phải chỉ ra được **một đường thẳng nằm trong mặt phẳng** song song với nó thì mới được tính điểm.

**Thử thách thêm.** Cầm một tấm bìa cứng, áp một cạnh của nó dọc theo mép bàn rồi nghiêng tấm bìa cho chạm sàn. Bạn đoán trước xem vệt chạm sàn chạy theo hướng nào, rồi kiểm tra. Vì sao?

## Lời thoại video

### 0:00 Mở đầu: dây điện và mặt đường ray

Một đoàn tàu điện lao đi 300 km/h, vậy mà cần lấy điện trên nóc vẫn áp sát vào sợi dây phía trên. Muốn thế, sợi dây phải gần như song song với mặt đường ray suốt chặng đường. Nhưng mặt phẳng chứa vô số đường thẳng. Phải so sợi dây với bao nhiêu đường mới chắc nó song song với cả mặt phẳng? Câu trả lời khá bất ngờ: chỉ một đường là đủ.

### 0:23 Chuyện bên lề: sợi dây dích dắc

Chuyện bắt đầu năm 1881. Tại triển lãm điện ở Paris, kĩ sư Đức Werner von Siemens cho chạy chiếc tàu điện đầu tiên lấy điện từ dây treo trên cao. Khoảng bảy năm sau, ở Richmond nước Mỹ, Frank Sprague hoàn thiện cách làm này, và tàu điện lan khắp thế giới. Chi tiết thú vị: nhìn từ trên xuống, sợi dây đi dích dắc chứ không chạy thẳng theo thanh ray, để cần lấy điện mòn đều. Từng đoạn dây không song song với thanh ray, nhưng vẫn song song với mặt đường ray.

### 0:55 Ba vị trí tương đối

Giữa một đường thẳng và một mặt phẳng chỉ có ba khả năng. Bạn phân biệt bằng cách đếm số điểm chung. Không có điểm chung: đường thẳng song song với mặt phẳng. Đúng một điểm chung: đường thẳng cắt mặt phẳng. Từ hai điểm chung trở lên: cả đường thẳng nằm trong mặt phẳng. Ví dụ 1, trong phòng bạn. So với mặt sàn, thanh treo rèm thì song song, cây lau nhà dựng vào tường thì cắt, mép tấm thảm thì nằm trong. Ví dụ 2. Hình chóp S.MNPQ có hai đường chéo đáy cắt nhau tại O. Đường thẳng MP và mặt phẳng (SNQ) chỉ chung nhau điểm O, nên cắt nhau. Còn đường thẳng SO có hai điểm S và O cùng thuộc mặt phẳng (SNQ), nên nằm trong mặt phẳng ấy.

### 1:43 Dấu hiệu nhận biết

Đếm điểm chung thì khó, vì đường thẳng và mặt phẳng đều kéo dài vô tận. Ta cần một dấu hiệu dễ kiểm tra hơn. Nếu đường thẳng a không nằm trong mặt phẳng (α), và a song song với một đường thẳng b nằm trong (α), thì a // (α). Vì sao? Gọi (β) là mặt phẳng chứa a và b. Nó cắt (α) theo đúng đường thẳng b. Nếu a đâm vào (α) tại một điểm, điểm ấy thuộc cả hai mặt phẳng nên nằm trên b. Thế thì a cắt b: vô lí. Đừng bỏ điều kiện đầu: a nằm sẵn trong (α) thì không gọi là song song. Ví dụ 1: chiếc thang dựng nghiêng vào tường. Đường nối hai chân thang nằm trên mặt đất. Mỗi bậc thang song song với đường ấy, nên song song với mặt đất, dù thang nghiêng bao nhiêu. Ví dụ 2: hình chóp S.ABC. Lấy E trên cạnh SA, F trên cạnh SB, sao cho SE = 2/3 SA, SF = 2/3 SB. Theo định lí Thalès đảo, EF // AB. Mà AB nằm trong mặt đáy, EF thì không. Vậy EF // (ABC).

### 3:00 Tính chất giao tuyến

Chiều ngược lại cũng rất hay dùng. Cho a // (α). Lấy một mặt phẳng (β) chứa a. Nếu (β) cắt (α) theo giao tuyến b, thì b // a. Lí do: a và b cùng nằm trong (β) nên không chéo nhau. Chúng cũng không cắt nhau, vì a không có điểm chung nào với (α). Ví dụ 1: mép bậc thềm song song với mặt sân. Tựa một tấm ván dắt xe lên mép thềm. Chân ván chạm sân theo một đường thẳng song song với mép thềm. Ví dụ 2: trở lại hình chóp S.ABC. Mặt phẳng (EFC) cắt mặt đáy theo giao tuyến nào? C là điểm chung. Mặt phẳng này chứa EF, mà EF song song với đáy. Nên giao tuyến đi qua C và song song với EF, tức là song song với AB.

### 3:51 Hai chiều cần nhớ

Gom lại. Muốn chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng: tìm trong mặt phẳng một đường thẳng song song với nó. Đã có đường thẳng song song với mặt phẳng: mặt phẳng nào chứa nó mà cắt, đều cắt theo giao tuyến song song với nó. Câu hỏi đầu bài đã có lời giải: sợi dây chỉ cần song song với một đường thẳng trên mặt ray. Ngày nay tàu cao tốc vẫn lấy điện như thế. Năm 2007, một đoàn tàu Pháp đạt 574,8 km/h.

### 4:21 Dạng 1: Xét đúng sai

Sang phần bài tập. Dạng 1: xét đúng sai. Cách làm: đếm điểm chung, rồi thử trên một hình hộp chữ nhật để tìm phản ví dụ. Bài 1. Cho hai đường thẳng a, b và mặt phẳng (α). Trong ba câu sau, câu nào đúng? Bạn tạm dừng video và thử nhé. Câu thứ nhất: a // (α), b nằm trong (α), thì a // b. Sai. Lấy a là một cạnh ở mặt trên, b là cạnh đáy chạy theo hướng khác: chúng chéo nhau. Câu thứ hai: a // b, b // (α), thì a // (α). Cũng sai: a có thể nằm ngay trong (α). Câu thứ ba: a // (α) thì trong (α) có vô số đường thẳng song song với a. Đúng: mỗi mặt phẳng chứa a mà cắt (α) đều cho một giao tuyến như thế.

### 5:19 Dạng 2: Chứng minh song song

Dạng 2: chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng. Cách làm: tìm trong mặt phẳng một đường thẳng song song với đường đã cho, kiểm tra đường đã cho không nằm trong mặt phẳng, rồi kết luận. Bài 2. Hình chóp S.MNPQ có đáy là hình bình hành tâm O. Điểm I là trung điểm của SP. Chứng minh SM // (INQ). Trong mặt phẳng (INQ) chưa có sẵn đường nào song song với SM, ta phải đi tìm. Để ý: O là trung điểm của MP, I là trung điểm của SP. Vậy OI là đường trung bình của tam giác SMP, nên OI // SM. OI nằm trong mặt phẳng (INQ), còn SM thì không. Kết luận: SM // (INQ). Hỏi thêm: OI có song song với mặt phẳng (SMP) không? Nhiều bạn đáp ngay là có. Chưa đúng. O và I đều thuộc mặt phẳng (SMP), nên OI nằm trong mặt phẳng đó, chứ không song song.

### 6:26 Dạng 3: Tìm giao tuyến

Dạng 3: tìm giao tuyến nhờ một đường thẳng song song. Cách làm: chỉ ra một đường thẳng song song với mặt phẳng. Giao tuyến sẽ đi qua điểm chung và song song với đường đó. Bài 3. Vẫn hình chóp ấy, đáy là hình bình hành, MN = 12 cm. Điểm K trên cạnh SM, SK = 1/3 SM. Mặt phẳng (KPQ) cắt cạnh SN tại H. Tính KH. PQ // MN, mà MN nằm trong mặt bên (SMN). Vậy PQ song song với mặt bên này. Mặt phẳng (KPQ) chứa PQ và cắt mặt bên ấy theo giao tuyến KH. Do đó KH // PQ, tức là KH // MN. Trong tam giác SMN, theo Thalès, KH : MN = SK : SM = 1/3. Vậy KH dài 4 cm. Thiết diện KHPQ là hình thang.

### 7:29 Dạng 4: Bài toán thực tế

Dạng 4: bài toán thực tế. Cách làm: coi mỗi mép là một đường thẳng, mỗi mặt là một mặt phẳng, rồi dùng dấu hiệu và tính chất. Bài 4. Một khối bơ hình hộp chữ nhật nằm trên thớt. Lưỡi dao phẳng đi qua một mép trên của khối bơ rồi cắt xiên xuống đáy. Vì sao vết dao ở đáy luôn song song với mép trên ấy? Bước 1. Mặt bên khối bơ là hình chữ nhật, nên mép trên song song với mép dưới. Mép dưới nằm trong mặt đáy, mép trên thì không. Theo dấu hiệu, mép trên song song với mặt đáy. Bước 2. Mặt dao chứa mép trên và cắt mặt đáy theo vết dao. Theo tính chất, vết dao song song với mép trên, dù nghiêng dao nhiều hay ít.

### 8:17 Kết bài

Tóm lại. Đường thẳng và mặt phẳng có ba vị trí: song song, cắt nhau, nằm trong. Dấu hiệu song song: không nằm trong mặt phẳng, và song song với một đường thẳng của mặt phẳng. Tính chất: mặt phẳng chứa đường thẳng ấy sẽ cắt theo giao tuyến song song. Bạn vừa luyện bốn dạng. Nhớ làm thêm phiếu bài tập nhé.