# Tính đơn điệu và cực trị của hàm số – Toán lớp 12, Bài 1

> Học xong bài này bạn làm được ba việc: nhìn dấu đạo hàm để biết hàm số tăng hay giảm, lập bảng biến thiên, và tìm cực đại, cực tiểu mà không cần vẽ đồ thị.

- Trang bài: https://anim.vn/lop-12/toan/bai-01-tinh-don-dieu-va-cuc-tri-cua-ham-so/
- Video: https://youtu.be/iwMATsBYXCs (7:39)
- Thuộc: Toán lớp 12 · Bài 1
- Bài tập về nhà (PDF, có lời giải): https://anim.vn/media/lop12-toan-bai-01/bai-tap-ve-nha.pdf

## Mục lục video

- 0:00 Mở đầu: đỉnh và đáy ở đâu?
- 0:20 Chuyện thùng rượu của Kepler
- 0:55 Đồng biến, nghịch biến và dấu đạo hàm
- 1:42 Bảng biến thiên: 4 bước
- 2:47 Cực đại, cực tiểu
- 3:39 Dạng 1: Đọc đồ thị
- 4:27 Dạng 2: Xét tính đơn điệu
- 5:44 Dạng 3: Tìm cực trị
- 7:13 Kết bài

> Học xong bài này bạn làm được ba việc: nhìn dấu đạo hàm để biết hàm số tăng hay giảm, lập bảng biến thiên, và tìm cực đại, cực tiểu mà không cần vẽ đồ thị.

## 1. Đồng biến, nghịch biến

Đi **từ trái sang phải** trên đồ thị:

- đồ thị **đi lên** → hàm số **đồng biến** (x tăng thì y tăng);
- đồ thị **đi xuống** → hàm số **nghịch biến** (x tăng thì y giảm).

Viết chặt chẽ, trên một khoảng K: đồng biến nghĩa là với mọi x₁ < x₂ trong K thì f(x₁) < f(x₂); nghịch biến thì f(x₁) > f(x₂). Đồng biến hoặc nghịch biến gọi chung là **đơn điệu**.

**Ví dụ 1 (đời sống).** Bạn đạp xe qua một con dốc: nửa đầu độ cao tăng dần (đồng biến theo quãng đường), qua đỉnh dốc thì độ cao giảm dần (nghịch biến).

**Ví dụ 2 (toán).** Hàm số y = −2x + 7 nghịch biến trên ℝ, vì x tăng 1 đơn vị thì y giảm 2 đơn vị. Đồ thị là đường thẳng đi xuống.

## 2. Dấu của đạo hàm cho biết tăng hay giảm

Đạo hàm f′(x) là **độ dốc** của đồ thị tại x. Cho hàm số có đạo hàm trên khoảng K:

- f′(x) > 0 với mọi x thuộc K ⟹ hàm số **đồng biến** trên K;
- f′(x) < 0 với mọi x thuộc K ⟹ hàm số **nghịch biến** trên K.

(Nếu f′(x) ≥ 0 và chỉ bằng 0 tại vài điểm rời nhau thì hàm số vẫn đồng biến.)

**Ví dụ 1.** y = x² − 6x + 5. Ta có y′ = 2x − 6. y′ > 0 khi x > 3, y′ < 0 khi x < 3. Vậy hàm số nghịch biến trên (−∞; 3) và đồng biến trên (3; +∞).

**Ví dụ 2.** y = x³ + 3x. Ta có y′ = 3x² + 3 > 0 với mọi x. Hàm số đồng biến trên ℝ: đồ thị chỉ có đi lên.

## 3. Bảng biến thiên: 4 bước

1. Tìm **tập xác định**.
2. Tính **y′**; tìm các điểm mà y′ = 0 hoặc y′ không tồn tại.
3. Xếp các điểm đó theo thứ tự tăng dần, **lập bảng**: dòng x, dòng dấu của y′, dòng y (mũi tên lên nếu y′ dương, xuống nếu y′ âm).
4. **Kết luận** các khoảng đồng biến, nghịch biến.

**Ví dụ 1.** y = x³ − 3x + 1. Tập xác định ℝ. y′ = 3x² − 3; y′ = 0 ⟺ x = −1 hoặc x = 1.

| x | −∞ |   | −1 |   | 1 |   | +∞ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| y′ |   | + | 0 | − | 0 | + |   |
| y | −∞ | ↗ | 3 | ↘ | −1 | ↗ | +∞ |

Hàm số đồng biến trên (−∞; −1) và (1; +∞); nghịch biến trên (−1; 1).

**Ví dụ 2.** y = −x³ + 12x. y′ = −3x² + 12; y′ = 0 ⟺ x = −2 hoặc x = 2.

| x | −∞ |   | −2 |   | 2 |   | +∞ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| y′ |   | − | 0 | + | 0 | − |   |
| y | +∞ | ↘ | −16 | ↗ | 16 | ↘ | −∞ |

Hàm số nghịch biến trên (−∞; −2) và (2; +∞); đồng biến trên (−2; 2).

## 4. Cực đại, cực tiểu

- Hàm số **đạt cực đại tại x₀** nếu f(x₀) lớn hơn mọi giá trị f(x) ở **gần** x₀ (một "đỉnh đồi").
- Hàm số **đạt cực tiểu tại x₀** nếu f(x₀) nhỏ hơn mọi giá trị f(x) ở **gần** x₀ (một "đáy thung lũng").

**Cách tìm:** nhìn dấu y′ khi x đi qua x₀ (hàm số liên tục tại x₀):

- y′ đổi dấu từ **+ sang −** ⟹ x₀ là điểm **cực đại**;
- y′ đổi dấu từ **− sang +** ⟹ x₀ là điểm **cực tiểu**;
- y′ **không đổi dấu** ⟹ x₀ không phải điểm cực trị.

**Ví dụ 1.** Với y = x³ − 3x + 1 (bảng ở trên): hàm số đạt cực đại tại x = −1, giá trị cực đại y_CĐ = 3; đạt cực tiểu tại x = 1, giá trị cực tiểu y_CT = −1. Chú ý: y(3) = 19 > 3, nên cực đại **không phải** giá trị lớn nhất, nó chỉ cao nhất so với xung quanh.

**Ví dụ 2 (bẫy).** y = (x − 1)³. Ta có y′ = 3(x − 1)², y′ = 0 tại x = 1. Nhưng y′ > 0 ở cả hai bên của 1, không đổi dấu. Hàm số **không có cực trị**.

## Bảng kí hiệu và cách gọi

| Viết | Đọc / nghĩa |
|---|---|
| f′(x), y′ | đạo hàm của hàm số |
| ↗ / ↘ trong bảng biến thiên | đồng biến / nghịch biến |
| x₀ | **điểm cực trị của hàm số** (một số trên trục hoành) |
| f(x₀), y_CĐ, y_CT | **giá trị cực đại / cực tiểu** (gọi tắt là cực trị) |
| M(x₀; f(x₀)) | **điểm cực trị của đồ thị** (một điểm trên mặt phẳng) |
| ‖ (hai gạch dọc) trong bảng | tại đó hàm số không xác định |

## Lỗi hay gặp

1. **Thấy y′ = 0 là kết luận ngay có cực trị.** Phải xem y′ có đổi dấu không. Ví dụ y = (x − 1)³.
2. **Nhầm "điểm cực đại" với "giá trị cực đại".** Hỏi "hàm số đạt cực đại tại đâu" thì trả lời x = −1; hỏi "giá trị cực đại" thì trả lời y = 3.
3. **Tưởng cực đại là giá trị lớn nhất.** Cực trị chỉ so với xung quanh. Thậm chí giá trị cực đại có thể **nhỏ hơn** giá trị cực tiểu (xem bài 3.1 bên dưới).
4. **Quên tập xác định.** Hàm số y = (3x + 1)/(x + 2) có y′ > 0 với mọi x ≠ −2, nhưng không được nói "đồng biến trên ℝ" hay "đồng biến trên (−∞; −2) ∪ (−2; +∞)". Phải nói: đồng biến trên **từng khoảng** (−∞; −2) và (−2; +∞).
5. **Xét dấu y′ sai ở khoảng giữa.** Cách chắc ăn: lấy một số trong khoảng đó thay vào y′. Ví dụ y′ = 3x² − 3, thay x = 0 được −3 < 0.
6. **Đọc đồ thị của y′ mà tưởng là đồ thị của y.** Nếu đề cho đồ thị của y′ thì hàm số đồng biến ở chỗ đồ thị y′ nằm **phía trên** trục hoành, không phải chỗ đồ thị y′ đi lên.

## Bài tập theo dạng

### Dạng 1. Đọc đồ thị, đọc bảng biến thiên

Đi từ trái sang phải: lên là đồng biến, xuống là nghịch biến; đỉnh là cực đại, đáy là cực tiểu.

**Bài 1.1.** Đồ thị hàm số y = f(x) đi lên tới điểm (−2; 3), đi xuống tới điểm (0; −1), đi lên tới điểm (2; 3) rồi đi xuống mãi. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến và các cực trị.

<details><summary>Đáp án</summary>

Đồng biến trên (−∞; −2) và (0; 2); nghịch biến trên (−2; 0) và (2; +∞). Đạt cực đại tại x = −2 và x = 2, y_CĐ = 3; đạt cực tiểu tại x = 0, y_CT = −1.
</details>

**Bài 1.2.** Bảng biến thiên của hàm số y = f(x): x đi qua các mốc −∞, −3, 1, +∞; dấu của y′ lần lượt là −, +, −; giá trị y tại các mốc là +∞, −2, 5, −∞. Câu "hàm số đạt cực đại tại x = 5" đúng hay sai?

<details><summary>Đáp án</summary>

Sai. Hàm số đạt cực đại **tại x = 1**, còn 5 là **giá trị** cực đại. Hàm số đạt cực tiểu tại x = −3, y_CT = −2.
</details>

### Dạng 2. Xét tính đơn điệu bằng đạo hàm

Tập xác định → tính y′ → tìm chỗ y′ = 0 hoặc không tồn tại → bảng biến thiên → kết luận.

**Bài 2.1.** Xét tính đơn điệu của hàm số y = 2x³ + 3x² − 12x + 1.

<details><summary>Đáp án</summary>

y′ = 6x² + 6x − 12 = 6(x − 1)(x + 2); y′ = 0 ⟺ x = −2 hoặc x = 1. Dấu y′: +, −, +. Đồng biến trên (−∞; −2) và (1; +∞); nghịch biến trên (−2; 1). (y(−2) = 21, y(1) = −6.)
</details>

**Bài 2.2.** Xét tính đơn điệu của hàm số y = (3x + 1)/(x + 2).

<details><summary>Đáp án</summary>

Tập xác định: x ≠ −2. y′ = 5/(x + 2)² > 0 với mọi x ≠ −2. Hàm số đồng biến trên từng khoảng (−∞; −2) và (−2; +∞).
</details>

**Bài 2.3.** Xét tính đơn điệu của hàm số y = −x³ + 3x² − 3x + 2.

<details><summary>Đáp án</summary>

y′ = −3x² + 6x − 3 = −3(x − 1)² ≤ 0 với mọi x, chỉ bằng 0 tại x = 1. Hàm số nghịch biến trên ℝ.
</details>

### Dạng 3. Tìm cực trị · bài toán thực tế

Lập bảng biến thiên, xem y′ đổi dấu ở đâu. Bài thực tế: "đỉnh", "đáy", "cao nhất quanh đó" trong đời sống chính là cực đại, cực tiểu của hàm số; nhớ điều kiện của biến.

**Bài 3.1.** Tìm cực trị của hàm số y = x + 4/x.

<details><summary>Đáp án</summary>

Tập xác định: x ≠ 0. y′ = 1 − 4/x² = (x² − 4)/x²; y′ = 0 ⟺ x = ±2. Dấu y′ trên (−∞; −2), (−2; 0), (0; 2), (2; +∞): +, −, −, +. Đạt cực đại tại x = −2, y_CĐ = −4; đạt cực tiểu tại x = 2, y_CT = 4. Ở đây y_CĐ < y_CT!
</details>

**Bài 3.2.** Trong 6 ngày mưa lũ, mực nước sông (tính bằng dm) sau t ngày là h(t) = −t³ + 9t² − 15t + 30, với 0 ≤ t ≤ 6. Nước rút trong thời gian nào, dâng trong thời gian nào? Đỉnh lũ rơi vào ngày nào, cao bao nhiêu?

<details><summary>Đáp án</summary>

h′(t) = −3t² + 18t − 15 = −3(t − 1)(t − 5); h′(t) = 0 ⟺ t = 1 hoặc t = 5. Dấu h′ trên (0; 1), (1; 5), (5; 6): −, +, −. Nước rút trong ngày đầu, dâng từ ngày thứ 1 đến ngày thứ 5, rồi lại rút. Mực nước đạt cực tiểu tại t = 1 (h = 23 dm) và đạt cực đại tại t = 5: đỉnh lũ vào ngày thứ năm, cao 55 dm (lớn hơn cả h(0) = 30 và h(6) = 48).
</details>

**Bài 3.3.** Tìm cực trị của hàm số y = x⁴ − 2x² − 3.

<details><summary>Đáp án</summary>

y′ = 4x³ − 4x = 4x(x − 1)(x + 1); y′ = 0 ⟺ x = −1, 0, 1. Dấu y′: −, +, −, +. Đạt cực tiểu tại x = −1 và x = 1, y_CT = −4; đạt cực đại tại x = 0, y_CĐ = −3.
</details>

## Chuyện bên lề

**Thùng rượu của Kepler.** Năm 1613, nhà thiên văn Johannes Kepler mua rượu ở Linz (Áo). Người bán đo thùng bằng cách chọc một cây que qua lỗ rót tới mép đáy đối diện rồi tính tiền theo độ dài que. Kepler thấy khó tin, bèn ngồi tính xem thùng dáng nào chứa nhiều nhất, và năm 1615 in hẳn một cuốn sách về hình học của thùng rượu. Trong đó có một nhận xét rất đẹp: gần chỗ lớn nhất, giá trị gần như không thay đổi. (Người ta hay kể rằng thùng rượu ấy là để dùng trong đám cưới của ông.)

**Fermat và "độ dốc bằng 0".** Khoảng năm 1636, Pierre de Fermat, một luật sư ở Toulouse (Pháp) làm toán lúc rảnh, biến ý đó thành một phương pháp chung để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất: nhích x đi một chút rồi đòi giá trị "gần như không đổi". Nói theo ngôn ngữ ngày nay: cho đạo hàm bằng 0. Descartes lúc đầu công kích phương pháp này, về sau cũng phải thừa nhận là nó đúng. Vài chục năm sau, Newton và Leibniz mới xây dựng xong phép tính đạo hàm.

**Ngày nay.** Khi huấn luyện một mô hình trí tuệ nhân tạo, máy tính có một "hàm sai số" và phải tìm chỗ nó nhỏ nhất. Cách làm là đi từng bước theo hướng dốc xuống, tức là dùng đạo hàm để dò tới đáy. Thiết kế vỏ lon tốn ít nhôm nhất, định giá bán để lãi nhiều nhất cũng là những bài toán cực trị.

## Trò chơi ở nhà (5 phút)

**"Đoán đồ thị từ dấu".** Một người viết ra một dãy dấu của đạo hàm, ví dụ: + − + hoặc − + + −. Người kia phải vẽ phác trong 20 giây một đường cong khớp với dãy dấu đó, rồi chỉ ra đâu là cực đại, đâu là cực tiểu. Đổi vai. Nâng cấp: thêm dấu ‖ (chỗ hàm số không xác định) vào giữa dãy, hoặc cho hai dấu giống nhau đứng cạnh nhau (+ +) để xem người vẽ có "bịa" ra cực trị không.

## Lời thoại video

### 0:00 Mở đầu: đỉnh và đáy ở đâu?

Một đường tàu lượn: đoạn nào đang leo dốc, đoạn nào lao xuống, đâu là đỉnh, đâu là đáy? Nhìn hình thì ai cũng chỉ được. Nhưng nếu chỉ có công thức, không có hình thì sao? Hôm nay bạn sẽ dùng đạo hàm để biết hàm số tăng hay giảm, và tìm đỉnh, tìm đáy của nó, không cần vẽ đồ thị.

### 0:20 Chuyện thùng rượu của Kepler

Năm 1613, nhà thiên văn Kepler mua một thùng rượu ở nước Áo. Người bán chỉ chọc một cây que vào thùng để tính tiền. Kepler không tin, và ngồi tính lại xem thùng hình dáng nào chứa nhiều nhất. Ông nhận ra một điều lạ: ở gần chỗ lớn nhất, thể tích gần như không đổi. Khoảng 20 năm sau, Fermat, một luật sư người Pháp, biến ý đó thành phương pháp tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất. Descartes từng chê phương pháp này, rồi cũng phải công nhận là nó đúng. Ngày nay ta nói gọn: ở đỉnh và ở đáy, đạo hàm bằng 0.

### 0:55 Đồng biến, nghịch biến và dấu đạo hàm

Đi từ trái sang phải, đồ thị đi lên thì hàm số đồng biến, đồ thị đi xuống thì hàm số nghịch biến. Đạo hàm chính là độ dốc của đồ thị. Trên một khoảng, nếu đạo hàm luôn dương thì hàm số đồng biến; nếu đạo hàm luôn âm thì hàm số nghịch biến. Ví dụ 1: y = x² − 6x + 5. Đạo hàm là 2x − 6. Nó dương khi x > 3, âm khi x < 3. Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; 3), và đồng biến trên khoảng (3; +∞). Ví dụ 2: y = x³ + 3x. Đạo hàm là 3x² + 3, luôn dương. Hàm số đồng biến trên cả tập số thực.

### 1:42 Bảng biến thiên: 4 bước

Khi đạo hàm đổi dấu nhiều lần, ta gom mọi thứ vào một bảng biến thiên, theo 4 bước. Ví dụ 1: y = x³ − 3x + 1. Bước 1, tập xác định là tập số thực. Bước 2, đạo hàm bằng 3x² − 3, bằng 0 tại x = −1 và x = 1. Bước 3, lập bảng. Dòng đầu ghi các mốc của x. Dòng hai ghi dấu của đạo hàm: dương, âm, dương. Dòng ba vẽ mũi tên: dương thì đi lên, âm thì đi xuống, và ghi giá trị 3, −1. Bước 4, kết luận: hàm số đồng biến trên hai khoảng ngoài, nghịch biến trên khoảng (−1; 1). Ví dụ 2: y = −x³ + 12x. Đạo hàm bằng 0 tại −2 và 2, dấu lần lượt là âm, dương, âm. Nên hàm số nghịch biến, rồi đồng biến trên khoảng (−2; 2), rồi lại nghịch biến.

### 2:47 Cực đại, cực tiểu

Nhìn lại bảng của ví dụ 1. Tại x = −1, hàm số đang lên thì quay xuống: đó là một đỉnh. Ta nói hàm số đạt cực đại tại x = −1, giá trị cực đại bằng 3. Tại x = 1, hàm số đang xuống thì quay lên: hàm số đạt cực tiểu tại x = 1, giá trị cực tiểu bằng −1. Quy tắc: đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm thì có cực đại; từ âm sang dương thì có cực tiểu. Chú ý: cực đại chỉ là cao nhất so với xung quanh. Đi xa hơn về bên phải, đồ thị còn lên cao hơn 3. Ví dụ 2 là một cái bẫy: y = (x − 1)³. Đạo hàm bằng 0 tại x = 1, nhưng hai bên đều dương, không đổi dấu. Vậy hàm số không có cực trị.

### 3:39 Dạng 1: Đọc đồ thị

Dạng 1: đọc đồ thị. Cách làm: đi từ trái sang phải. Lên là đồng biến, xuống là nghịch biến, đỉnh là cực đại, đáy là cực tiểu. Cho đồ thị như hình. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến và các cực trị. Bạn tạm dừng video và thử làm. Đồ thị đi lên tới x = −2, xuống tới x = 0, lên tới x = 2, rồi đi xuống. Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; −2) và khoảng (0; 2); nghịch biến trên hai khoảng còn lại. Hàm số đạt cực đại tại x = −2 và x = 2, giá trị cực đại bằng 3; đạt cực tiểu tại x = 0, giá trị cực tiểu bằng −1.

### 4:27 Dạng 2: Xét tính đơn điệu

Dạng 2: xét tính đơn điệu bằng đạo hàm. Cách làm: tìm tập xác định, tính đạo hàm, tìm chỗ đạo hàm bằng 0, lập bảng biến thiên rồi kết luận. Câu a: y = 2x³ + 3x² − 12x + 1. Bạn thử nhé. Đạo hàm bằng 6x² + 6x − 12, tức là 6(x − 1)(x + 2). Nó bằng 0 tại x = −2 và x = 1. Dấu của đạo hàm là dương, âm, dương. Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; −2) và khoảng (1; +∞); nghịch biến trên khoảng (−2; 1). Câu b: y = (3x + 1) / (x + 2). Bạn thử nhé. Tập xác định: x ≠ −2. Đạo hàm bằng 5 / (x + 2)², luôn dương. Nhiều bạn kết luận: đồng biến trên tập số thực. Sai, vì tại x = −2 hàm số không xác định. Phải nói: hàm số đồng biến trên từng khoảng, (−∞; −2) và (−2; +∞).

### 5:44 Dạng 3: Tìm cực trị

Dạng 3: tìm cực trị. Cách làm: lập bảng biến thiên, rồi xem đạo hàm đổi dấu ở đâu. Câu a: tìm cực trị của hàm số y = x + 4/x. Bạn thử nhé. Tập xác định: x ≠ 0. Đạo hàm bằng 1 − 4/x², bằng 0 tại x = −2 và x = 2. Dấu của đạo hàm: dương, âm, rồi qua số 0 vẫn âm, rồi dương. Hàm số đạt cực đại tại x = −2, giá trị cực đại bằng −4; đạt cực tiểu tại x = 2, giá trị cực tiểu bằng 4. Lạ chưa: giá trị cực đại lại nhỏ hơn giá trị cực tiểu. Vì cực trị chỉ so với xung quanh. Câu b: trong 6 ngày mưa lũ, mực nước sông sau t ngày là h = −t³ + 9t² − 15t + 30 (dm). Đỉnh lũ rơi vào ngày nào, cao bao nhiêu? Đạo hàm bằng −3t² + 18t − 15, tức là −3(t − 1)(t − 5). Nó bằng 0 tại t = 1 và t = 5. Dấu của đạo hàm là âm, dương, âm: nước rút, rồi dâng, rồi lại rút. Vậy mực nước đạt cực đại tại t = 5: đỉnh lũ vào ngày thứ năm, cao 55 dm.

### 7:13 Kết bài

Tóm lại. Đạo hàm dương thì hàm số đồng biến, đạo hàm âm thì nghịch biến. Đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm thì có cực đại, từ âm sang dương thì có cực tiểu. Mọi thứ nằm gọn trong một bảng biến thiên. Ngày nay, khi huấn luyện trí tuệ nhân tạo, máy tính cũng dùng đạo hàm để dò xuống đáy của hàm sai số. Làm thêm bài tập về nhà nhé. Hẹn gặp lại bạn ở bài sau.