# Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số – Toán lớp 12, Bài 2 > Một bài hát mới ra: mấy ngày đầu lượt nghe tăng vọt, rồi giảm dần. Ngày nào được nghe nhiều nhất, và nhiều nhất là bao nhiêu? Học xong bài này bạn trả lời được bằng vài dòng tính. - Trang bài: https://anim.vn/lop-12/toan/bai-02-gia-tri-lon-nhat-va-gia-tri-nho-nhat-cua-ham-so/ - Video: https://youtu.be/RLzIv_rvuKA (7:53) - Thuộc: Toán lớp 12 · Bài 2 - Bài tập về nhà (PDF, có lời giải): https://anim.vn/media/lop12-toan-bai-02/bai-tap-ve-nha.pdf ## Mục lục video - 0:00 Mở đầu: bài hát nghe nhiều nhất ngày nào? - 0:26 Chuyện bản thảo nằm im 100 năm - 1:03 Định nghĩa max, min - 2:09 Trên khoảng: lập bảng biến thiên - 3:09 Trên đoạn: 3 bước - 4:22 Chốt kiến thức · lỗi hay gặp - 4:50 Dạng 1: Đọc bảng biến thiên - 5:33 Dạng 2: Max, min trên một đoạn - 6:48 Dạng 3: Bài toán thực tế - 7:35 Kết bài > Một bài hát mới ra: mấy ngày đầu lượt nghe tăng vọt, rồi giảm dần. Ngày nào được nghe nhiều nhất, và nhiều nhất là bao nhiêu? Học xong bài này bạn trả lời được bằng vài dòng tính. ## 1. Thế nào là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất? Cho hàm số `y = f(x)` xác định trên tập `D`. - Số `M` là **giá trị lớn nhất** của `f(x)` trên `D` nếu có đủ **hai điều**: 1. `f(x) ≤ M` với mọi `x` thuộc `D` (không giá trị nào vượt quá `M`); 2. có một điểm `x₀` thuộc `D` để `f(x₀) = M` (hàm số **đạt được** đúng giá trị đó). Kí hiệu: `M = max f(x)` trên `D`. - Số `m` là **giá trị nhỏ nhất** nếu `f(x) ≥ m` với mọi `x` thuộc `D` và có `x₀` thuộc `D` để `f(x₀) = m`. Kí hiệu: `m = min f(x)` trên `D`. - Khi không nói "trên tập nào" thì hiểu là trên tập xác định của hàm số. **Ví dụ 1 (đọc trên đồ thị).** Hàm số `y = −x² + 4x` trên đoạn `[1; 4]`. Đồ thị là một cung parabol: điểm cao nhất ứng với `x = 2`, điểm thấp nhất nằm ở đầu mút `x = 4`. Vậy `max y = y(2) = 4`, `min y = y(4) = 0`. **Ví dụ 2 (cái bẫy).** Hàm số `y = x` trên khoảng `(0; 2)`. Giá trị của hàm số tiến sát tới 2 nhưng không bao giờ bằng 2 (vì `x` không được bằng 2). Điều thứ hai không thoả mãn, nên hàm số **không có** giá trị lớn nhất. Tương tự, nó cũng không có giá trị nhỏ nhất. ## 2. Trên khoảng, nửa khoảng: lập bảng biến thiên Không có sẵn đồ thị thì lập bảng biến thiên (như ở bài 1), rồi đọc kết quả ở dòng cuối. **Ví dụ 1.** `y = x² + 16/x` trên khoảng `(0; +∞)`. - `y' = 2x − 16/x²`; `y' = 0` khi `x = 2`. - Trên `(0; 2)` đạo hàm âm, trên `(2; +∞)` đạo hàm dương: hàm số đi xuống tới `y(2) = 12` rồi đi lên. - Ở hai đầu, `y` đều tiến ra `+∞`. Vậy `min y = y(2) = 12`, và hàm số không có giá trị lớn nhất. **Ví dụ 2.** `y = 4x / (x² + 1)` trên cả tập số thực. - `y' = 4(1 − x²) / (x² + 1)²`; `y' = 0` khi `x = −1` hoặc `x = 1`. - Dấu của đạo hàm: âm, dương, âm. `y(−1) = −2`, `y(1) = 2`; khi `x` ra rất xa thì `y` chỉ tiến về 0. Vậy `max y = y(1) = 2`, `min y = y(−1) = −2`. ## 3. Trên một đoạn: 3 bước, không cần bảng Hàm số liên tục trên đoạn `[a; b]` thì **chắc chắn có** giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. Tìm chúng như sau: 1. Tìm các điểm **nằm trong** khoảng `(a; b)` mà tại đó `f'(x) = 0` hoặc `f'(x)` không tồn tại. 2. Tính `f` tại các điểm đó, và tính `f(a)`, `f(b)`. 3. Số lớn nhất trong các số vừa tính là `max`, số nhỏ nhất là `min`. **Ví dụ 1.** `y = x³ − 3x² − 9x + 5` trên đoạn `[−2; 2]`. - `y' = 3x² − 6x − 9 = 3(x + 1)(x − 3)`; `y' = 0` khi `x = −1` hoặc `x = 3`. Số 3 nằm ngoài đoạn nên **loại**. - `y(−2) = 3`, `y(−1) = 10`, `y(2) = −17`. - `max y = 10`, `min y = −17`. **Ví dụ 2.** `y = x + 9/x` trên đoạn `[1; 9]`. - `y' = 1 − 9/x²`; trong khoảng `(1; 9)` chỉ có `x = 3`. - `y(1) = 10`, `y(3) = 6`, `y(9) = 10`. - `min y = 6`; `max y = 10`, đạt ở **cả hai** đầu mút. ## Bảng kí hiệu | Viết | Đọc | Nghĩa | |---|---|---| | `max f(x)` trên `D` | giá trị lớn nhất của f trên D | số lớn nhất mà hàm số **đạt được** trên D | | `min f(x)` trên `D` | giá trị nhỏ nhất của f trên D | số nhỏ nhất mà hàm số **đạt được** trên D | | `[a; b]` | đoạn từ a đến b | lấy cả hai đầu mút | | `(a; b)` | khoảng từ a đến b | không lấy hai đầu mút | | `[a; b)` | nửa khoảng | lấy a, không lấy b | ## Lỗi hay gặp - **Quên tính ở hai đầu mút.** Trên một đoạn, giá trị lớn nhất, nhỏ nhất rất hay nằm ở đầu mút. - **Giữ lại điểm nằm ngoài đoạn.** Giải `f'(x) = 0` xong phải kiểm tra từng nghiệm có thuộc `(a; b)` không. - **Thấy số to nhất trong bảng là kết luận ngay.** Phải kiểm tra hàm số có đạt được số đó không: giá trị ở đầu mút không lấy, hay giới hạn ở vô cực, không phải là max hay min. - **Nhầm cực đại với giá trị lớn nhất.** Cực đại chỉ là cao nhất so với xung quanh; giá trị lớn nhất là cao nhất trên cả tập đang xét. - **Bài thực tế quên điều kiện của ẩn** (độ dài phải dương, thời gian không âm…), nên xét hàm số trên sai tập. ## Bài tập theo dạng ### Dạng 1. Đọc giá trị lớn nhất, nhỏ nhất từ bảng biến thiên Cách làm: tìm số lớn nhất, nhỏ nhất ở dòng cuối, rồi kiểm tra hàm số có đạt được số đó không. **Bài 1.** Hàm số `y = f(x)` trên nửa khoảng `[−3; 4)` có bảng biến thiên: | x | −3 | | 0 | | 4 | |---|---|---|---|---|---| | f'(x) | | − | 0 | + | | | f(x) | 2 | ↘ | −1 | ↗ | 5 | Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có).
Đáp án `min f(x) = f(0) = −1`. Không có giá trị lớn nhất: vì `x` không được bằng 4, hàm số chỉ tiến sát tới 5 mà không đạt 5.
**Bài 2.** Hàm số `y = 2x + 1` có giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên: a) đoạn `[−1; 3]`; b) nửa khoảng `[−1; 3)` không?
Đáp án a) `max = y(3) = 7`, `min = y(−1) = −1`. b) `min = −1`; không có giá trị lớn nhất (tiến sát 7 nhưng không đạt).
### Dạng 2. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên một đoạn Cách làm: đúng 3 bước ở mục 3. **Bài 3.** `y = x³ − 6x² + 9x + 2` trên đoạn `[0; 5]`.
Đáp án `y' = 3x² − 12x + 9 = 3(x − 1)(x − 3)`; `x = 1` và `x = 3` đều thuộc đoạn. `y(0) = 2`, `y(1) = 6`, `y(3) = 2`, `y(5) = 22`. Vậy `max y = 22`, `min y = 2`.
**Bài 4.** `y = (x² − 3)eˣ` trên đoạn `[0; 2]`.
Đáp án `y' = (x² + 2x − 3)eˣ = (x − 1)(x + 3)eˣ`; trong đoạn chỉ có `x = 1` (loại `x = −3`). `y(0) = −3`, `y(1) = −2e ≈ −5,4`, `y(2) = e² ≈ 7,4`. Vậy `max y = e²`, `min y = −2e`.
**Bài 5.** `y = x⁴ − 8x² + 3` trên đoạn `[−1; 3]`.
Đáp án `y' = 4x(x − 2)(x + 2)`; trong đoạn có `x = 0`, `x = 2`. `y(−1) = −4`, `y(0) = 3`, `y(2) = −13`, `y(3) = 12`. Vậy `max y = 12`, `min y = −13`.
### Dạng 3. Bài toán thực tế Cách làm: xác định hàm số và tập cần xét (điều kiện của ẩn), tìm max hoặc min, rồi trả lời đúng câu hỏi. **Bài 6.** Sau `t` ngày phát hành (`0 ≤ t ≤ 14`), số lượt nghe mỗi ngày của một bài hát là `N(t) = 60t / (t² + 9)` (nghìn lượt). Ngày nào lượt nghe cao nhất?
Đáp án `N'(t) = 60(9 − t²) / (t² + 9)²`; `N'(t) = 0` khi `t = 3` (vì `t ≥ 0`). `N(0) = 0`, `N(3) = 10`, `N(14) ≈ 4,1`. Ngày thứ 3, với 10 nghìn lượt.
**Bài 7.** An và Bình đi xe đạp trên hai con đường thẳng vuông góc với nhau tại một ngã tư. An xuất phát từ ngã tư, đi về phía bắc với vận tốc 12 km/h. Cùng lúc đó Bình đang ở cách ngã tư 10 km về phía đông và đi về phía ngã tư với vận tốc 16 km/h. Trong lúc Bình chưa tới ngã tư, sau bao lâu hai bạn ở gần nhau nhất?
Đáp án Sau `t` giờ (`0 ≤ t ≤ 5/8`): An cách ngã tư `12t`, Bình cách ngã tư `10 − 16t` (km). Bình phương khoảng cách: `f(t) = (12t)² + (10 − 16t)² = 400t² − 320t + 100`. `f'(t) = 800t − 320 = 0` khi `t = 0,4`. `f(0) = 100`, `f(0,4) = 36`, `f(5/8) = 56,25`. Vậy sau 0,4 giờ (24 phút) hai bạn gần nhau nhất, cách nhau `√36 = 6` km.
## Chuyện bên lề - **Có chắc là có giá trị lớn nhất không?** Không phải lúc nào cũng có. Hàm `y = x` trên khoảng `(0; 2)` là một ví dụ. Nhưng nếu hàm số **liên tục trên một đoạn** `[a; b]` thì chắc chắn có cả giá trị lớn nhất lẫn giá trị nhỏ nhất. - Người chứng minh điều này là **Bernard Bolzano** (1781–1848), một linh mục kiêm nhà toán học ở Praha, vào khoảng những năm 1830, trong bản thảo "Lí thuyết hàm". - Từ năm 1819, Bolzano đã bị cách chức giáo sư ở Đại học Praha vì những bài giảng phản đối chiến tranh, và bị hạn chế xuất bản. Bản thảo ấy **mãi đến năm 1930 mới được in**, gần một trăm năm sau. - Trong lúc đó, nhà toán học Đức Karl Weierstrass đã phát biểu lại định lí này, nên nhiều sách gọi nó là định lí Weierstrass. - **Ngày nay**: doanh nghiệp tìm mức giá cho lợi nhuận lớn nhất; kĩ sư tìm thiết kế tốn ít vật liệu nhất; máy học "học" bằng cách tìm giá trị nhỏ nhất của một hàm sai số. Tất cả đều là bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. ## Trò chơi ở nhà (5 phút) **"Đoán đỉnh".** Hai người chơi, cần giấy bút và máy tính cầm tay. 1. Người ra đề viết kín một hàm số trên đoạn `[0; 5]`, ví dụ `y = x³ − 6x² + 8x + 1`. 2. Người đoán được hỏi giá trị của hàm số tại **đúng 4 điểm** tuỳ chọn, rồi đoán giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên đoạn. 3. Lật đề, cả hai cùng làm 3 bước (tìm điểm có đạo hàm bằng 0, tính ở các điểm đó và hai đầu mút, so sánh) để xem đoán lệch bao nhiêu. Đổi vai. Bài học rút ra: hỏi bừa 4 điểm thì dễ trượt, còn hỏi đúng **hai đầu mút và các điểm đạo hàm bằng 0** thì không bao giờ sai. ## Lời thoại video ### 0:00 Mở đầu: bài hát nghe nhiều nhất ngày nào? Một ca sĩ vừa ra bài hát mới. Mấy ngày đầu, lượt nghe mỗi ngày tăng vọt. Rồi người ta nghe chán, lượt nghe giảm dần. Vậy ngày nào bài hát được nghe nhiều nhất, và nhiều nhất là bao nhiêu? Câu hỏi kiểu này có tên trong toán học: tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số. Hôm nay bạn sẽ biết cách tìm chúng bằng đạo hàm, và cuối video ta quay lại bài hát này. ### 0:26 Chuyện bản thảo nằm im 100 năm Nhưng có chắc là luôn tìm được giá trị lớn nhất không? Khoảng những năm 1830, ở thành phố Praha, một linh mục kiêm nhà toán học tên là Bolzano đã chứng minh: hàm số liên tục trên một đoạn thì chắc chắn có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. Nhưng ông đã bị cách chức giáo sư từ năm 1819, và bản thảo này không được in. Mãi đến năm 1930, tức là gần 100 năm sau, nó mới được xuất bản. Hãy nhớ ba chữ: trên một đoạn. Lát nữa bạn sẽ thấy vì sao chúng quan trọng. ### 1:03 Định nghĩa max, min Cho hàm số f xác định trên tập D. Một số được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số trên D nếu thoả mãn hai điều. Một: mọi giá trị của hàm số trên D đều không vượt quá nó. Hai: hàm số phải đạt được đúng giá trị đó, tại một điểm nào đó thuộc D. Giá trị nhỏ nhất thì tương tự, chỉ đổi chiều so sánh. Kí hiệu là max và min. Ví dụ 1: hàm số y = −x² + 4x, trên đoạn . Điểm cao nhất của đồ thị ứng với x = 2, nên giá trị lớn nhất bằng 4. Điểm thấp nhất nằm ở đầu mút x = 4, nên giá trị nhỏ nhất bằng 0. Ví dụ 2 là một cái bẫy: hàm số y = x, trên khoảng (0; 2). Giá trị của hàm số tiến sát tới 2, nhưng không bao giờ bằng 2, vì x không được bằng 2. Điều thứ hai không thoả mãn. Vậy trên khoảng này, hàm số không có giá trị lớn nhất, và cũng không có giá trị nhỏ nhất. ### 2:09 Trên khoảng: lập bảng biến thiên Khi không có sẵn đồ thị, ta lập bảng biến thiên rồi đọc kết quả từ bảng. Ví dụ 1: y = x² + 16/x, trên khoảng (0; +∞). Đạo hàm y' = 2x − 16/x², bằng 0 tại x = 2. Bên trái số 2 đạo hàm âm, bên phải đạo hàm dương. Hàm số đi xuống tới 12 rồi đi lên. Vậy giá trị nhỏ nhất bằng 12, đạt tại x = 2. Còn ở hai đầu, hàm số đều tiến ra +∞, nên không có giá trị lớn nhất. Ví dụ 2: y = 4x/(x² + 1), trên cả tập số thực. Đạo hàm bằng 0 tại x = −1 và x = 1. Ta có bảng biến thiên như sau. Ở hai phía xa, hàm số chỉ tiến về 0. Nên giá trị lớn nhất bằng 2, tại x = 1; giá trị nhỏ nhất bằng −2, tại x = −1. ### 3:09 Trên đoạn: 3 bước Trên một đoạn thì nhanh hơn nhiều, không cần lập bảng. Chỉ cần 3 bước. Bước 1: tìm các điểm nằm bên trong đoạn mà tại đó đạo hàm bằng 0, hoặc không tồn tại. Bước 2: tính giá trị của hàm số tại các điểm đó, và tại hai đầu mút. Bước 3: số lớn nhất trong các số vừa tính là giá trị lớn nhất, số nhỏ nhất là giá trị nhỏ nhất. Ví dụ 1: y = x³ − 3x² − 9x + 5, trên đoạn . Đạo hàm bằng 0 tại x = −1 và x = 3. Nhưng 3 nằm ngoài đoạn, nên ta loại. Tính ba giá trị: y(−2) = 3, y(−1) = 10, y(2) = −17. Vậy giá trị lớn nhất bằng 10, giá trị nhỏ nhất bằng −17. Ví dụ 2: y = x + 9/x, trên đoạn . Đạo hàm bằng 0 tại x = 3. Ba giá trị cần so sánh là 10, 6 và 10. Giá trị nhỏ nhất bằng 6. Giá trị lớn nhất bằng 10, đạt được ở cả hai đầu mút. ### 4:22 Chốt kiến thức · lỗi hay gặp Tóm lại. Trên một đoạn: so sánh giá trị tại các điểm đạo hàm bằng 0 và tại hai đầu mút. Trên khoảng hoặc nửa khoảng: lập bảng biến thiên, và nhớ rằng hàm số có thể không có giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất. Hai lỗi hay gặp: quên tính ở đầu mút, và giữ lại điểm nằm ngoài đoạn. Ngày nay, doanh nghiệp tìm mức giá cho lợi nhuận lớn nhất, máy học tìm sai số nhỏ nhất: đều là bài toán này. ### 4:50 Dạng 1: Đọc bảng biến thiên Dạng 1: đọc giá trị lớn nhất, nhỏ nhất từ bảng biến thiên. Cách làm: tìm số lớn nhất và số nhỏ nhất ở dòng cuối, rồi kiểm tra xem hàm số có đạt được số đó không. Cho bảng biến thiên của một hàm số trên nửa khoảng [−3; 4). Bạn tạm dừng video và thử làm. Số nhỏ nhất ở dòng cuối là −1, đạt tại x = 0. Vậy giá trị nhỏ nhất bằng −1. Số lớn nhất là 5. Nhiều bạn kết luận ngay: giá trị lớn nhất bằng 5. Sai, vì x không được bằng 4, hàm số chỉ tiến sát tới 5. Hàm số không có giá trị lớn nhất. ### 5:33 Dạng 2: Max, min trên một đoạn Dạng 2: tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên một đoạn. Cách làm: đúng 3 bước vừa học. Câu a: y = x³ − 6x² + 9x + 2, trên đoạn . Bạn thử nhé. Đạo hàm y' = 3x² − 12x + 9, bằng 0 tại x = 1 và x = 3. Cả hai đều nằm trong đoạn. Tính bốn giá trị: y(0) = 2, y(1) = 6, y(3) = 2, y(5) = 22. Vậy giá trị lớn nhất bằng 22, giá trị nhỏ nhất bằng 2. Câu b: y = (x² − 3)eˣ, trên đoạn . Bạn thử nhé. Đạo hàm y' = (x² + 2x − 3)eˣ. Nó bằng 0 tại x = 1 và x = −3; ta loại −3. y(0) = −3; y(1) = −2e ≈ −5,4; y(2) = e² ≈ 7,4. Vậy giá trị lớn nhất bằng e², giá trị nhỏ nhất bằng −2e. ### 6:48 Dạng 3: Bài toán thực tế Dạng 3: bài toán thực tế. Cách làm: xác định hàm số và đoạn cần xét, rồi tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất như dạng 2. Quay lại bài hát lúc đầu. Sau t ngày, số lượt nghe mỗi ngày, tính bằng nghìn lượt, là 60t/(t² + 9), với t từ 0 đến 14. Ngày nào lượt nghe cao nhất? Bạn tạm dừng video và thử làm. Đạo hàm bằng 60(9 − t²) chia cho mẫu bình phương. Nó bằng 0 khi t = 3, vì t không âm. Tính ba giá trị: N(0) = 0, N(3) = 10, N(14) ≈ 4,1. Vậy bài hát được nghe nhiều nhất vào ngày thứ 3, với 10 nghìn lượt. ### 7:35 Kết bài Tóm lại, giá trị lớn nhất phải là giá trị mà hàm số thật sự đạt được. Trên đoạn thì dùng 3 bước; trên khoảng thì lập bảng biến thiên. Bạn vừa luyện 3 dạng: đọc bảng biến thiên, tìm trên một đoạn, và bài toán thực tế. Hẹn gặp bạn ở bài sau.