# Đường tiệm cận của đồ thị hàm số – Toán lớp 12, Bài 3 > Học xong bài này bạn sẽ: nhìn một đồ thị là chỉ ra được tiệm cận ngang, tiệm cận đứng, tiệm cận xiên; biết tìm từng loại bằng giới hạn; và hiểu tiệm cận nói gì trong một tình huống thực tế. - Trang bài: https://anim.vn/lop-12/toan/bai-03-duong-tiem-can-cua-do-thi-ham-so/ - Video: https://youtu.be/jM0M41P15WI (8:42) - Thuộc: Toán lớp 12 · Bài 3 - Bài tập về nhà (PDF, có lời giải): https://anim.vn/media/lop12-toan-bai-03/bai-tap-ve-nha.pdf ## Mục lục video - 0:00 Mở đầu: cốc trà nguội tới đâu? - 0:29 Cái tên 2 200 năm tuổi - 0:58 Tiệm cận ngang - 1:50 Tiệm cận đứng - 2:44 Tiệm cận xiên - 3:33 Nhìn hai chỗ là ra - 4:03 Dạng 1: Đọc tiệm cận từ đồ thị - 5:00 Dạng 2: Tìm tiệm cận ngang, đứng - 6:18 Dạng 3: Tìm tiệm cận xiên - 7:09 Dạng 4: Bài toán thực tế - 8:17 Kết bài > Học xong bài này bạn sẽ: nhìn một đồ thị là chỉ ra được tiệm cận ngang, tiệm cận đứng, tiệm cận xiên; biết tìm từng loại bằng giới hạn; và hiểu tiệm cận nói gì trong một tình huống thực tế. ## Mở đầu: cốc trà nguội tới đâu? Pha một cốc trà nóng 90 °C rồi để quên trong căn phòng 25 °C. Lúc đầu trà nguội rất nhanh, sau đó chậm dần. Một tiếng sau nó còn khoảng 25,5 °C: sát nhiệt độ phòng nhưng không xuống thấp hơn. Vẽ nhiệt độ theo thời gian, bạn được một đường cong cứ **bám dần** vào đường thẳng nằm ngang y = 25. Đường thẳng mà đồ thị bám dần như thế gọi là **đường tiệm cận**. ## 1. Tiệm cận ngang Đường thẳng **y = y₀** là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) nếu $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = y_0 \quad \text{hoặc} \quad \lim_{x \to -\infty} f(x) = y_0.$$ Nói bằng lời: x chạy ra **vô cực**, còn y tiến tới **một số**. **Ví dụ 1 (bình nước muối).** Bình có 2 lít nước lọc. Bạn rót thêm x lít nước muối loại 30 g/l. Lượng muối là 30x gam, lượng nước là x + 2 lít, nên nồng độ là $$C(x) = \frac{30x}{x + 2} \ \text{(g/l)}.$$ Khi x → +∞ thì C(x) → 30. Rót càng nhiều, nồng độ càng gần 30 g/l nhưng không bao giờ đạt, vì trong bình luôn còn 2 lít nước lọc. Tiệm cận ngang: **y = 30**. **Ví dụ 2.** $y = \dfrac{4x - 1}{2x + 3}$. Chia cả tử và mẫu cho x: $$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{4x - 1}{2x + 3} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{4 - \frac{1}{x}}{2 + \frac{3}{x}} = \frac{4}{2} = 2.$$ Tiệm cận ngang: **y = 2**. ## 2. Tiệm cận đứng Đường thẳng **x = x₀** là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x) nếu **ít nhất một** trong các giới hạn một bên tại x₀ là vô cực: $$\lim_{x \to x_0^+} f(x) = \pm\infty \quad \text{hoặc} \quad \lim_{x \to x_0^-} f(x) = \pm\infty.$$ Nói bằng lời: x tiến tới **một số**, còn y chạy ra **vô cực**. **Ví dụ 1 (đi chậm thì lâu).** Quãng đường 60 km, đi với vận tốc v (km/h) thì mất $t = \dfrac{60}{v}$ giờ. Khi v → 0⁺ thì t → +∞: đi càng chậm càng lâu tới, đồ thị dựng đứng lên và bám vào trục tung. Tiệm cận đứng: **v = 0**. **Ví dụ 2.** $y = \dfrac{x + 1}{x - 2}$. Mẫu bằng 0 tại x = 2, ở đó tử bằng 3 ≠ 0. Khi x → 2⁺ thì y → +∞; khi x → 2⁻ thì y → −∞. Tiệm cận đứng: **x = 2**. ## 3. Tiệm cận xiên Đường thẳng **y = ax + b (a ≠ 0)** là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f(x) nếu $$\lim_{x \to +\infty} \big[f(x) - (ax + b)\big] = 0 \quad \text{hoặc} \quad \lim_{x \to -\infty} \big[f(x) - (ax + b)\big] = 0.$$ Nói bằng lời: ra xa, **khoảng cách theo chiều dọc** giữa đồ thị và đường thẳng co dần về 0. **Ví dụ 1.** $y = \dfrac{x}{2} + \dfrac{2}{x}$. Khi x rất lớn, $\dfrac{2}{x}$ gần như bằng 0, nên đồ thị áp sát đường thẳng $y = \dfrac{x}{2}$. Tiệm cận xiên: **y = x/2**. **Ví dụ 2.** $y = \dfrac{x^2 + 3x + 1}{x + 1}$. Tử bậc hai, mẫu bậc nhất nên ta chia tử cho mẫu: $x^2 + 3x + 1 = (x + 1)(x + 2) - 1$, do đó $$y = x + 2 - \frac{1}{x + 1}.$$ Phần $\dfrac{1}{x + 1}$ tiến về 0 khi x → ±∞. Tiệm cận xiên: **y = x + 2**. **Cách tổng quát** (khi không chia được đa thức): $a = \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{f(x)}{x}$, rồi $b = \lim\limits_{x \to +\infty} [f(x) - ax]$. Nếu a = 0 thì đó là tiệm cận ngang. ## Bảng tóm tắt | Loại | x tiến tới | y tiến tới | Phương trình | |---|---|---|---| | Tiệm cận ngang | ±∞ | một số y₀ | y = y₀ | | Tiệm cận đứng | một số x₀ (từ trái hoặc phải) | ±∞ | x = x₀ | | Tiệm cận xiên | ±∞ | sát đường thẳng ax + b | y = ax + b (a ≠ 0) | **Mẹo với hàm phân thức** (đa thức chia đa thức), nhìn hai chỗ: 1. **x → ±∞:** bậc tử < bậc mẫu thì tiệm cận ngang là y = 0; bậc tử = bậc mẫu thì tiệm cận ngang là y = (tỉ số hai hệ số cao nhất); bậc tử = bậc mẫu + 1 thì có tiệm cận xiên (chia đa thức). 2. **Điểm làm mẫu bằng 0:** nếu ở đó hàm số tiến ra vô cực thì có tiệm cận đứng. ## Lỗi hay gặp - **"Mẫu bằng 0 là có tiệm cận đứng."** Chưa chắc. Nếu tử cũng bằng 0 tại đó thì phải rút gọn rồi tính giới hạn. Ví dụ $y = \dfrac{x^2 - 9}{x - 3} = x + 3$ (x ≠ 3): khi x → 3 thì y → 6, nên x = 3 không phải tiệm cận đứng. Đồ thị chỉ là một đường thẳng thủng một lỗ. - **"Đồ thị không bao giờ cắt tiệm cận."** Sai. Điều kiện chỉ nói về lúc x ra vô cực. Ở gần, đồ thị vẫn có thể cắt tiệm cận ngang hoặc tiệm cận xiên của nó, thậm chí cắt vô số lần. - **Lấy nhầm hệ số.** Với $y = \dfrac{6x + 5}{2x - 4}$, tiệm cận ngang là y = 6/2 = 3, không phải y = 6. - **Quên xét cả hai phía vô cực.** Hàm có căn có thể có hai tiệm cận ngang khác nhau, ví dụ $y = \dfrac{\sqrt{4x^2 + 1}}{x}$ có y = 2 (khi x → +∞) và y = −2 (khi x → −∞). - **Viết tiệm cận là một con số.** Tiệm cận là **đường thẳng**, phải viết phương trình: "x = 2", "y = 3", không viết "tiệm cận đứng là 2". - **Đã có tiệm cận xiên mà vẫn đi tìm tiệm cận ngang ở cùng phía.** Khi x → +∞ mà đồ thị đã áp sát một đường xiên thì ở phía đó không còn tiệm cận ngang. ## Bài tập theo dạng ### Dạng 1. Đọc tiệm cận từ đồ thị Cách làm: nhánh nằm ngang dần về đâu thì đó là tiệm cận ngang; nhánh dựng đứng ở đâu thì đó là tiệm cận đứng. **Bài 1.** Một đồ thị có hai nhánh. Khi x → +∞ và x → −∞, đồ thị sát dần đường y = 1. Bên trái x = −2 đồ thị vọt lên, bên phải x = −2 đồ thị lao xuống. a) Viết bốn giới hạn tương ứng. b) Chỉ ra các tiệm cận.
Đáp án a) $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 1$, $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = 1$, $\lim\limits_{x \to -2^-} f(x) = +\infty$, $\lim\limits_{x \to -2^+} f(x) = -\infty$. b) Tiệm cận ngang y = 1, tiệm cận đứng x = −2. (Đó là đồ thị của $y = \dfrac{x - 1}{x + 2}$.)
**Bài 2.** Biết $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = -3$, $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = 4$ và $\lim\limits_{x \to 1^-} f(x) = -\infty$. Đồ thị có ít nhất những tiệm cận nào?
Đáp án Hai tiệm cận ngang y = −3 và y = 4; một tiệm cận đứng x = 1.
### Dạng 2. Tìm tiệm cận ngang, tiệm cận đứng Cách làm: tính giới hạn tại vô cực để tìm tiệm cận ngang; xét điểm làm mẫu bằng 0 để tìm tiệm cận đứng. **Bài 3.** Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \dfrac{6x + 5}{2x - 4}$.
Đáp án $\lim\limits_{x \to \pm\infty} y = \dfrac{6}{2} = 3$ nên tiệm cận ngang là y = 3. Tại x = 2 mẫu bằng 0, tử bằng 17 ≠ 0, $\lim\limits_{x \to 2^+} y = +\infty$ nên tiệm cận đứng là x = 2.
**Bài 4.** Đường thẳng x = 3 có phải tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \dfrac{x^2 - 9}{x - 3}$ không?
Đáp án Không. Với x ≠ 3 thì y = x + 3, nên $\lim\limits_{x \to 3} y = 6$, không phải vô cực.
**Bài 5.** Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \dfrac{3}{x^2 - 4}$.
Đáp án Bậc tử nhỏ hơn bậc mẫu nên tiệm cận ngang là y = 0. Mẫu bằng 0 tại x = 2 và x = −2, tử bằng 3 ≠ 0 nên có hai tiệm cận đứng x = 2 và x = −2.
### Dạng 3. Tìm tiệm cận xiên Cách làm: với phân thức bậc hai trên bậc nhất, chia tử cho mẫu; phần thương bậc nhất là tiệm cận xiên. **Bài 6.** Tìm tiệm cận xiên và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \dfrac{2x^2 - 3x + 4}{x - 1}$.
Đáp án $2x^2 - 3x + 4 = (x - 1)(2x - 1) + 3$ nên $y = 2x - 1 + \dfrac{3}{x - 1}$. Tiệm cận xiên y = 2x − 1; tiệm cận đứng x = 1.
**Bài 7.** Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = \dfrac{x^2 - 4x}{x + 1}$.
Đáp án $x^2 - 4x = (x + 1)(x - 5) + 5$ nên $y = x - 5 + \dfrac{5}{x + 1}$. Tiệm cận xiên y = x − 5 (và tiệm cận đứng x = −1).
### Dạng 4. Bài toán thực tế Cách làm: viết hàm số, tìm tiệm cận, rồi nói ý nghĩa của tiệm cận trong tình huống đó. **Bài 8.** Trong một trò chơi, bạn đã đấu 20 trận, thắng 8. Giả sử từ giờ bạn thắng liên tiếp x trận nữa. a) Viết tỉ lệ thắng p(x). b) Tìm tiệm cận ngang và nêu ý nghĩa. c) Cần thắng liền bao nhiêu trận để tỉ lệ thắng đạt 80%?
Đáp án a) $p(x) = \dfrac{8 + x}{20 + x}$. b) $\lim\limits_{x \to +\infty} p(x) = 1$ nên tiệm cận ngang là y = 1: thắng mãi thì tỉ lệ tiến sát 100% nhưng không bao giờ chạm, vì 12 trận thua vẫn còn đó. c) $\dfrac{8 + x}{20 + x} = 0{,}8 \Rightarrow 8 + x = 16 + 0{,}8x \Rightarrow x = 40$. Phải thắng liền 40 trận.
**Bài 9.** Một bạn đã làm 10 bài kiểm tra, điểm trung bình 6. Giả sử từ giờ bài nào bạn cũng được 10 điểm, và làm thêm x bài. Viết điểm trung bình theo x, tìm tiệm cận ngang và nêu ý nghĩa.
Đáp án Tổng điểm là 60 + 10x, số bài là 10 + x, nên $m(x) = \dfrac{60 + 10x}{10 + x}$. $\lim\limits_{x \to +\infty} m(x) = 10$: tiệm cận ngang y = 10. Điểm trung bình tiến sát 10 nhưng không bao giờ bằng 10.
## Chuyện bên lề **Cái tên hơn 2 200 năm tuổi.** Từ "asymptote" (tiệm cận) đến từ tiếng Hy Lạp *asumptōtos*, nghĩa là "không rơi vào nhau", tức không gặp nhau. Người đưa ra thuật ngữ này là Apollonius xứ Perga, nhà hình học Hy Lạp sống vào khoảng năm 200 trước Công nguyên, được người đời sau gọi là "Nhà hình học vĩ đại". Trong bộ sách tám quyển về các đường conic, ông dành quyển II để nghiên cứu đường hypebol và các tiệm cận của nó. Cũng chính bộ sách ấy đặt ra ba cái tên parabol, elip, hypebol. **Tên là "không gặp nhau", nhưng ngày nay được phép gặp.** Apollonius dùng từ này cho mọi đường thẳng không cắt đường cong. Ngày nay định nghĩa đã khác: tiệm cận là đường thẳng mà khoảng cách từ đồ thị tới nó tiến về 0 khi ra vô cực. Vì thế đồ thị vẫn có thể cắt tiệm cận của nó, thậm chí cắt vô số lần (ví dụ một đường lượn sóng tắt dần quanh một đường thẳng). **Vào tiếng Anh năm 1656.** Trích dẫn sớm nhất được ghi nhận là của triết gia Thomas Hobbes: các tiệm cận "cứ tới gần hơn, gần hơn nữa, nhưng không bao giờ chạm". **Cốc trà và Newton.** Năm 1701, Newton công bố quy luật làm nguội: vật nguội nhanh hay chậm tuỳ vào chênh lệch nhiệt độ với xung quanh. Hệ quả là nhiệt độ cốc trà giảm theo một đường cong có tiệm cận ngang đúng bằng nhiệt độ phòng. (Đây là mô hình gần đúng.) **Ngày nay dùng vào đâu?** Mỗi khi vẽ đồ thị một hàm số, tiệm cận là "đường dẫn" cho biết dáng đồ thị ở xa. Còn ngoài đời, tiệm cận là những giới hạn không vượt qua được: cốc trà không nguội hơn nhiệt độ phòng, bình nước muối không mặn hơn nước rót vào, tỉ lệ thắng không vượt 100%. ## Trò chơi 5 phút ở nhà **"Về đích mà không tới đích".** Đứng cách tường 4 mét. Mỗi lượt, bạn bước một nửa quãng còn lại: 2 m, rồi 1 m, rồi 0,5 m… Ghi lại khoảng cách tới tường sau mỗi lượt và chấm lên giấy kẻ ô (trục ngang là số lượt, trục dọc là khoảng cách). Các chấm bám dần vào trục ngang: đó là một tiệm cận ngang y = 0. Hỏi nhau: sau bao nhiêu lượt thì khoảng cách nhỏ hơn 1 cm? (Đáp án: 4 m = 400 cm, cần 400/2ⁿ < 1, tức n = 9 lượt.) ## Lời thoại video ### 0:00 Mở đầu: cốc trà nguội tới đâu? Pha một cốc trà nóng 90 °C, rồi để quên trên bàn, trong căn phòng 25 °C. Lúc đầu trà nguội rất nhanh, sau đó chậm dần. Một tiếng sau, nó còn khoảng 25,5 °C: sát nhiệt độ phòng, nhưng không xuống thấp hơn. Đồ thị cứ bám dần vào một đường thẳng nằm ngang. Đường thẳng ấy gọi là đường tiệm cận. Hôm nay bạn sẽ nhận ra 3 loại tiệm cận: ngang, đứng, xiên, và biết cách tìm từng loại. ### 0:29 Cái tên 2 200 năm tuổi Cái tên này đã hơn 2 200 năm tuổi. Nhà hình học Hy Lạp Apollonius, khi nghiên cứu đường hypebol, thấy có hai đường thẳng mà đường cong càng kéo dài càng sát lại, nhưng không bao giờ chạm. Ông gọi chúng bằng một từ Hy Lạp, nghĩa là: không gặp nhau. Nhưng ngày nay, nghĩa đã rộng hơn. Đồ thị vẫn có thể cắt tiệm cận của nó, thậm chí cắt vô số lần. Điều quan trọng duy nhất: càng ra xa, khoảng cách giữa hai đường càng tiến về 0. ### 0:58 Tiệm cận ngang Loại thứ nhất: tiệm cận ngang. Nếu khi x → +∞, hoặc x → −∞, mà y tiến tới một số y₀, thì đường thẳng y = y₀ là tiệm cận ngang. Ví dụ 1. Bình có 2 lít nước lọc. Bạn rót thêm x lít nước muối, loại 30 gam một lít. Nồng độ muối trong bình là 30x chia cho x + 2. Rót càng nhiều, nồng độ càng gần 30, nhưng không bao giờ đạt, vì trong bình luôn còn 2 lít nước lọc. Đường thẳng y = 30 là tiệm cận ngang. Ví dụ 2: y = (4x − 1)/(2x + 3). Chia cả tử và mẫu cho x. Khi x tiến ra vô cực, 1/x và 3/x tiến về 0, còn lại 4/2 = 2. Vậy tiệm cận ngang là y = 2. ### 1:50 Tiệm cận đứng Loại thứ hai: tiệm cận đứng. Nếu khi x tiến tới x₀, từ bên trái hoặc bên phải, mà y tiến ra +∞ hoặc −∞, thì đường thẳng x = x₀ là tiệm cận đứng. Ví dụ 1. Quãng đường 60 km, đi với vận tốc v thì mất 60/v giờ. Đi càng chậm, thời gian càng dài. Khi v → 0⁺, thời gian tiến ra +∞. Đồ thị dựng đứng lên, bám vào trục tung. Đường thẳng v = 0 là tiệm cận đứng. Ví dụ 2: y = (x + 1)/(x − 2). Mẫu bằng 0 tại x = 2, còn tử bằng 3, khác 0. Khi x → 2⁺, y tiến ra +∞; khi x → 2⁻, y tiến ra −∞. Vậy x = 2 là tiệm cận đứng. ### 2:44 Tiệm cận xiên Loại thứ ba: tiệm cận xiên. Đường thẳng y = ax + b, với a ≠ 0, là tiệm cận xiên, nếu hiệu giữa y của đồ thị và ax + b tiến về 0 khi x tiến ra vô cực. Ví dụ 1: y = x/2 + 2/x. Khi x rất lớn, 2/x gần như bằng 0. Đồ thị áp sát đường thẳng y = x/2. Bạn nhìn đoạn nối giữa hai đường: nó co dần về 0. Ví dụ 2: y = (x² + 3x + 1)/(x + 1). Tử bậc hai, mẫu bậc nhất: ta chia tử cho mẫu, được x + 2 − 1/(x + 1). Phần phân thức tiến về 0, nên tiệm cận xiên là y = x + 2. ### 3:33 Nhìn hai chỗ là ra Tóm lại, với hàm phân thức, bạn chỉ cần nhìn hai chỗ. Một: x tiến ra vô cực. Bậc tử bằng bậc mẫu, hoặc nhỏ hơn, thì có tiệm cận ngang. Bậc tử lớn hơn bậc mẫu đúng 1, thì có tiệm cận xiên. Hai: những điểm làm mẫu bằng 0. Nếu ở đó hàm số tiến ra vô cực, ta có tiệm cận đứng. Ngoài đời, tiệm cận là những giới hạn không vượt qua được: cốc trà không nguội hơn nhiệt độ phòng, bình nước muối không mặn hơn nước rót vào. ### 4:03 Dạng 1: Đọc tiệm cận từ đồ thị Dạng 1: đọc tiệm cận từ đồ thị. Cách làm: nhánh nằm ngang dần về đâu, đó là tiệm cận ngang. Nhánh dựng đứng ở đâu, đó là tiệm cận đứng. Cho đồ thị như hình. Câu a: viết các giới hạn tại vô cực, và khi x → −2. Câu b: chỉ ra các tiệm cận. Bạn tạm dừng video và thử làm. Câu a. Ra xa về bên phải, đồ thị sát dần đường y = 1: giới hạn tại +∞ bằng 1. Về bên trái cũng vậy: giới hạn tại −∞ bằng 1. Bên trái −2, đồ thị vọt lên: giới hạn bên trái là +∞. Bên phải −2, đồ thị lao xuống: giới hạn bên phải là −∞. Câu b. Tiệm cận ngang là y = 1. Tiệm cận đứng là x = −2. ### 5:00 Dạng 2: Tìm tiệm cận ngang, đứng Dạng 2: tìm tiệm cận ngang và tiệm cận đứng bằng giới hạn. Cách làm: tính giới hạn tại vô cực để tìm tiệm cận ngang. Rồi xét điểm làm mẫu bằng 0 để tìm tiệm cận đứng. Câu a: tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số y = (6x + 5)/(2x − 4). Bạn thử làm nhé. Chia tử và mẫu cho x: giới hạn tại vô cực bằng 6/2 = 3. Tiệm cận ngang là y = 3, chứ không phải y = 6. Mẫu bằng 0 tại x = 2. Ở đó tử bằng 17, khác 0, nên khi x → 2⁺, y tiến ra +∞. Tiệm cận đứng là x = 2. Câu b: đường thẳng x = 3 có phải tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = (x² − 9)/(x − 3) không? Nhiều bạn thấy mẫu bằng 0 tại 3 là trả lời có ngay. Nhưng tử cũng bằng 0 tại 3. Rút gọn, ta được x + 3. Khi x → 3, y tiến tới 6, không phải vô cực. Vậy x = 3 không phải tiệm cận đứng. Đồ thị chỉ là một đường thẳng, thủng một lỗ. ### 6:18 Dạng 3: Tìm tiệm cận xiên Dạng 3: tìm tiệm cận xiên. Cách làm: với phân thức bậc hai trên bậc nhất, chia tử cho mẫu. Phần thương bậc nhất chính là tiệm cận xiên. Tìm tiệm cận xiên và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = (2x² − 3x + 4)/(x − 1). Bạn tạm dừng và thử chia nhé. Chia tử cho mẫu: thương là 2x − 1, dư 3. Vậy y = 2x − 1 + 3/(x − 1). Hiệu giữa y và 2x − 1 là 3/(x − 1), tiến về 0 khi x ra vô cực. Vậy tiệm cận xiên là y = 2x − 1. Còn tại x = 1, mẫu bằng 0, tử bằng 3, nên y tiến ra vô cực. Tiệm cận đứng là x = 1. ### 7:09 Dạng 4: Bài toán thực tế Dạng 4: bài toán thực tế. Cách làm: viết hàm số, tìm tiệm cận, rồi nói xem đường tiệm cận ấy có ý nghĩa gì. Trong một trò chơi, bạn đã đấu 20 trận, thắng 8. Từ giờ, giả sử bạn thắng liên tiếp x trận nữa. Câu a: viết tỉ lệ thắng theo x. Câu b: tìm tiệm cận ngang và nêu ý nghĩa. Câu c: cần thắng liền bao nhiêu trận để đạt 80%? Bạn thử nhé. Câu a. Số trận thắng là 8 + x, tổng số trận là 20 + x. Tỉ lệ thắng p = (8 + x)/(20 + x). Câu b. Khi x → +∞, p tiến tới 1. Tiệm cận ngang là y = 1. Ý nghĩa: thắng mãi, tỉ lệ tiến sát 100% nhưng không bao giờ chạm, vì 12 trận thua vẫn còn đó. Câu c. Cho p = 0,8: 8 + x = 16 + 0,8x. Suy ra x = 40. Phải thắng liền 40 trận. Càng gần tiệm cận, mỗi phần trăm càng đắt. ### 8:17 Kết bài Tóm lại. Tiệm cận ngang: x ra vô cực, y tiến tới một số. Tiệm cận đứng: x tiến tới một số, y ra vô cực. Tiệm cận xiên: x ra vô cực, đồ thị áp sát một đường thẳng xiên. Bạn vừa luyện 4 dạng: đọc đồ thị, tìm tiệm cận ngang và đứng, tìm tiệm cận xiên, bài toán thực tế. Làm thêm bài tập về nhà để nhớ lâu nhé.