# Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số – Toán lớp 12, Bài 4

> Chỉ có công thức, không có máy tính: làm sao vẽ đúng dáng đồ thị? Tính vài điểm rồi nối lại rất dễ sai (nối xuyên qua chỗ hàm số không xác định, bỏ sót đỉnh, đáy). Bài này cho bạn một sơ đồ ba bước dùng được cho mọi hàm số, rồi áp dụng cho hai họ hàm hay gặp nhất: hàm bậc ba và hàm phân thức.

- Trang bài: https://anim.vn/lop-12/toan/bai-04-khao-sat-su-bien-thien-va-ve-do-thi-cua-ham-so/
- Video: https://youtu.be/jSyqGvZBq2w (7:57)
- Thuộc: Toán lớp 12 · Bài 4
- Bài tập về nhà (PDF, có lời giải): https://anim.vn/media/lop12-toan-bai-04/bai-tap-ve-nha.pdf

## Mục lục video

- 0:00 Mở đầu: nối điểm sai ở đâu?
- 0:27 Chuyện Newton đếm 72 dáng đường cong
- 0:52 Sơ đồ khảo sát · hàm bậc ba
- 2:01 Các dáng đồ thị hàm bậc ba
- 2:44 Hàm phân thức: tiệm cận đứng, ngang
- 3:40 Hàm phân thức: tiệm cận xiên
- 4:31 Dạng 1: Khảo sát hàm bậc ba
- 5:35 Dạng 2: Khảo sát hàm phân thức
- 6:32 Dạng 3: Bài toán thực tế
- 7:32 Kết bài

Chỉ có công thức, không có máy tính: làm sao vẽ đúng dáng đồ thị? Tính vài điểm rồi nối lại rất dễ sai (nối xuyên qua chỗ hàm số không xác định, bỏ sót đỉnh, đáy). Bài này cho bạn một **sơ đồ ba bước** dùng được cho mọi hàm số, rồi áp dụng cho hai họ hàm hay gặp nhất: **hàm bậc ba** và **hàm phân thức**.

## 1. Sơ đồ khảo sát hàm số

1. **Tìm tập xác định.**
2. **Xét sự biến thiên:**
   - tính đạo hàm `y'`, tìm các điểm tại đó `y' = 0` hoặc `y'` không tồn tại;
   - xét dấu `y'` để biết khoảng đồng biến, nghịch biến;
   - tìm cực trị;
   - tìm giới hạn ở vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận (nếu có);
   - gom tất cả vào **bảng biến thiên**.
3. **Vẽ đồ thị** dựa vào bảng biến thiên. Nên chấm thêm vài điểm đặc biệt (giao điểm với trục tung, trục hoành) và để ý tính đối xứng.

## 2. Hàm bậc ba `y = ax³ + bx² + cx + d` (a ≠ 0)

**Ví dụ 1 (có hai cực trị).** `y = x³ + 3x² − 2`

- Tập xác định: ℝ.
- `y' = 3x² + 6x = 3x(x + 2)`; `y' = 0` khi `x = −2` hoặc `x = 0`.
- Dấu `y'`: `+` trên (−∞; −2), `−` trên (−2; 0), `+` trên (0; +∞).
- Cực đại tại `x = −2`, `y = 2`; cực tiểu tại `x = 0`, `y = −2`.
- `x → −∞` thì `y → −∞`; `x → +∞` thì `y → +∞`.

| x | −∞ | | −2 | | 0 | | +∞ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| y' | | + | 0 | − | 0 | + | |
| y | −∞ | ↗ | 2 | ↘ | −2 | ↗ | +∞ |

- Đồ thị: chấm (−2; 2) và (0; −2), vẽ đường cong đi lên, xuống, rồi lên. Tâm đối xứng là I(−1; 0), nằm chính giữa hai điểm cực trị.

**Ví dụ 2 (không có cực trị).** `y = −x³ − 2x + 3`

- `y' = −3x² − 2 < 0` với mọi x: hàm số nghịch biến trên ℝ, không có cực trị.
- `x → −∞` thì `y → +∞`; `x → +∞` thì `y → −∞`. Bảng biến thiên chỉ có một mũi tên đi xuống.
- Đồ thị cắt trục tung tại (0; 3), cắt trục hoành tại (1; 0). Tâm đối xứng I(0; 3).

**Ghi nhớ về đồ thị hàm bậc ba**

- Chỉ có hai kiểu: **có hai cực trị** (khi `y' = 0` có hai nghiệm phân biệt) hoặc **không có cực trị**.
- `a > 0`: nhánh cuối (bên phải) đi lên. `a < 0`: nhánh cuối đi xuống.
- **Không có tiệm cận.**
- Luôn có **một tâm đối xứng**: điểm có hoành độ là nghiệm của `y'' = 0`, tức `x = −b/(3a)`.

## 3. Hàm phân thức

### a) Bậc nhất trên bậc nhất: `y = (ax + b)/(cx + d)`

**Ví dụ 1.** `y = (x − 3)/(x + 1)`

- Tập xác định: `x ≠ −1`.
- `y' = 4/(x + 1)² > 0`: đồng biến **trên từng khoảng** (−∞; −1) và (−1; +∞); không có cực trị.
- `x → ±∞` thì `y → 1`: **tiệm cận ngang** `y = 1`.
- `x → −1⁻` thì `y → +∞`, `x → −1⁺` thì `y → −∞`: **tiệm cận đứng** `x = −1`.

| x | −∞ | | −1 | | +∞ |
|---|---|---|---|---|---|
| y' | | + | ‖ | + | |
| y | 1 | ↗ +∞ | ‖ | −∞ ↗ | 1 |

- Đồ thị: kẻ hai tiệm cận trước; chấm (0; −3) và (3; 0); vẽ hai nhánh ôm lấy hai tiệm cận. Tâm đối xứng là giao điểm hai tiệm cận: I(−1; 1).

### b) Bậc hai trên bậc nhất: `y = (ax² + bx + c)/(px + q)`

**Ví dụ 2.** `y = (x² − 3x + 3)/(x − 1)`

- Tập xác định: `x ≠ 1`. Chia tử cho mẫu: `y = x − 2 + 1/(x − 1)`.
- Phần `1/(x − 1)` tiến tới 0 khi `x → ±∞`, nên đồ thị bám dần vào đường thẳng `y = x − 2`: đó là **tiệm cận xiên**. Tiệm cận đứng: `x = 1`.
- `y' = 1 − 1/(x − 1)²`; `y' = 0` khi `x = 0` hoặc `x = 2`.
- Cực đại tại `x = 0`, `y = −3`; cực tiểu tại `x = 2`, `y = 1`.

| x | −∞ | | 0 | | 1 | | 2 | | +∞ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| y' | | + | 0 | − | ‖ | − | 0 | + | |
| y | −∞ | ↗ | −3 | ↘ −∞ | ‖ | +∞ ↘ | 1 | ↗ | +∞ |

- Đồ thị: kẻ hai tiệm cận, chấm (0; −3) và (2; 1), vẽ hai nhánh. Tâm đối xứng I(1; −1).

**Ghi nhớ về đồ thị hàm phân thức**

- Gồm **hai nhánh rời nhau**, không bao giờ nối qua tiệm cận đứng.
- Giao điểm của hai tiệm cận là **tâm đối xứng**; hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai tiệm cận là hai **trục đối xứng**.

## Bảng tóm tắt

| Hàm số | Tiệm cận | Cực trị | Đối xứng |
|---|---|---|---|
| Bậc ba | không có | 2 hoặc 0 | tâm đối xứng tại `x = −b/(3a)` |
| Bậc nhất / bậc nhất | đứng + ngang | không có | tâm = giao điểm hai tiệm cận |
| Bậc hai / bậc nhất | đứng + xiên | 2 hoặc 0 | tâm = giao điểm hai tiệm cận |

## Lỗi hay gặp

- **Nối hai nhánh qua tiệm cận đứng.** Tại chỗ hàm số không xác định, đồ thị bị đứt.
- **Kết luận "đồng biến trên tập xác định"** cho hàm phân thức. Phải nói "trên từng khoảng (−∞; …) và (…; +∞)".
- **Sai giới hạn khi a âm.** Với hàm bậc ba có `a < 0`: `x → −∞` thì `y → +∞`, và ngược lại.
- **Quên hai gạch đứng** trong bảng biến thiên tại điểm hàm số không xác định.
- **Vẽ đồ thị trước khi kẻ tiệm cận**: hai nhánh dễ bị lệch dáng. Hãy kẻ tiệm cận trước.
- **Tưởng cực đại luôn lớn hơn cực tiểu.** Ở ví dụ 2 mục 3b, giá trị cực đại là −3 còn giá trị cực tiểu là 1, vì hai điểm nằm trên hai nhánh khác nhau.

## Bài tập theo dạng

### Dạng 1: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm bậc ba

**Bài 1.** Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số `y = −x³ + 6x² − 9x + 4`.

<details><summary>Lời giải</summary>

Tập xác định ℝ. `y' = −3x² + 12x − 9 = −3(x − 1)(x − 3)`, bằng 0 tại `x = 1`, `x = 3`. Dấu `y'`: −, +, −.
`x → −∞` thì `y → +∞`; `x → +∞` thì `y → −∞` (vì a âm).
Cực tiểu tại `x = 1`, `y = 0`; cực đại tại `x = 3`, `y = 4`.
Đồ thị cắt trục tung tại (0; 4); chạm trục hoành tại `x = 1`, cắt tại `x = 4` (vì `y = −(x − 1)²(x − 4)`). Tâm đối xứng I(2; 2).
</details>

**Bài 2.** Tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số `y = x³ − 9x² + 20`.

<details><summary>Đáp án</summary>

`y'' = 6x − 18 = 0` khi `x = 3`; `y(3) = 27 − 81 + 20 = −34`. Tâm đối xứng I(3; −34).
</details>

### Dạng 2: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm phân thức

**Bài 3.** Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số `y = (x + 2)/(x − 1)`.

<details><summary>Lời giải</summary>

Tập xác định `x ≠ 1`. `y' = −3/(x − 1)² < 0`: nghịch biến trên từng khoảng (−∞; 1) và (1; +∞), không có cực trị.
Tiệm cận đứng `x = 1` (`x → 1⁻` thì `y → −∞`, `x → 1⁺` thì `y → +∞`); tiệm cận ngang `y = 1`.
Đồ thị cắt trục tung tại (0; −2), cắt trục hoành tại (−2; 0). Tâm đối xứng I(1; 1).
</details>

**Bài 4.** Tìm các tiệm cận và cực trị của hàm số `y = (x² + 5)/(x − 2)`.

<details><summary>Đáp án</summary>

`y = x + 2 + 9/(x − 2)`. Tiệm cận đứng `x = 2`, tiệm cận xiên `y = x + 2`.
`y' = 1 − 9/(x − 2)² = 0` khi `x = −1` hoặc `x = 5`. Cực đại tại `x = −1`, `y = −2`; cực tiểu tại `x = 5`, `y = 10`.
</details>

### Dạng 3: Bài toán thực tế

**Bài 5.** Bạn đã chơi 20 ván cờ và thắng 8 ván. Từ giờ, giả sử bạn thắng liên tiếp x ván nữa. Tỉ lệ thắng thay đổi thế nào? Có khi nào đạt 100% không? Cần thắng liên tiếp bao nhiêu ván để đạt 70%?

<details><summary>Lời giải</summary>

`f(x) = (x + 8)/(x + 20)`, `x ≥ 0`. `f'(x) = 12/(x + 20)² > 0`: tỉ lệ thắng luôn tăng, bắt đầu từ `f(0) = 0,4`.
`x → +∞` thì `f(x) → 1`: tiệm cận ngang `y = 1`. Tỉ lệ sát dần 100% nhưng không bao giờ chạm tới (vì `x + 8 < x + 20`).
`f(x) = 0,7` khi `x + 8 = 0,7x + 14`, tức `x = 20` ván.
</details>

## Chuyện bên lề

**Newton đi đếm dáng đường cong.** Đường bậc hai chỉ có ba dáng quen thuộc: elip, parabol, hypebol. Lên bậc ba thì rối hơn hẳn. Vào những năm 1660–1670, Isaac Newton thử xếp loại mọi đường cong bậc ba và đếm được 72 dáng, chia thành bốn nhóm. Bảng xếp loại được in năm 1704, kèm trong cuốn sách về ánh sáng của ông.

**Bảng in có 72, tổng cộng là 78.** Năm 1717, James Stirling in một cuốn sách mở rộng công trình của Newton và bổ sung 4 dáng chưa có trong bảng in. Về sau thêm 2 dáng nữa được công bố. Tổng cộng: 78 dáng. (Có tài liệu cho rằng trong bản thảo riêng, Newton đã tìm ra cả 6 dáng ấy nhưng không đưa vào bảng in.)

**Còn hàm số trong bài thì sao?** 78 dáng là của đường cong bậc ba nói chung (phương trình bậc ba theo cả x và y). Đồ thị hàm số `y = ax³ + bx² + cx + d` chỉ là một góc rất nhỏ trong đó, nên chỉ có vài dáng như bạn vừa học.

**Ngày nay.** Chữ trên màn hình và hình vẽ vector (logo, biểu tượng) thường được ghép từ rất nhiều đoạn cong bậc ba ngắn, gọi là đường cong Bézier, theo tên kĩ sư Pierre Bézier, người dùng chúng để thiết kế vỏ xe hơi trong thập niên 1960.

Nguồn và độ chắc chắn của từng chi tiết: xem `lich-su.md`.

## Trò chơi ở nhà (5 phút)

**Đoán dáng trước, kiểm tra sau.** Một người viết ra một hàm bậc ba hoặc hàm phân thức bất kì. Người kia có 60 giây để phác dáng đồ thị trên giấy, chỉ cần đúng: mấy cực trị, tiệm cận ở đâu, nhánh cuối đi lên hay đi xuống. Sau đó mở một phần mềm vẽ đồ thị để kiểm tra. Đúng dáng được 1 điểm, đúng cả vị trí cực trị và tiệm cận được 2 điểm. Đổi vai sau mỗi lượt.

## Lời thoại video

### 0:00 Mở đầu: nối điểm sai ở đâu?

Cho bạn một công thức: y = (x − 3)/(x + 1). Không bấm máy, bạn vẽ đồ thị của nó thế nào? Nhiều bạn tính vài điểm rồi nối lại. Nhưng nối như thế này là sai, vì tại x = −1 hàm số không xác định, đồ thị bị đứt làm hai nhánh. Hôm nay bạn sẽ học một sơ đồ 3 bước, để vẽ đúng dáng đồ thị mà không cần đoán.

### 0:27 Chuyện Newton đếm 72 dáng đường cong

Chuyện vẽ dáng đường cong từng làm khó cả Newton. Hơn 300 năm trước, ông thử xếp loại mọi đường cong bậc ba, và đếm được 72 dáng khác nhau. Bảng xếp loại ấy được in năm 1704. Về sau, người ta còn tìm thêm 6 dáng nữa, tổng cộng là 78. May cho bạn: đồ thị hàm số bậc ba trong bài này chỉ có vài dáng thôi.

### 0:52 Sơ đồ khảo sát · hàm bậc ba

Ý 1: sơ đồ khảo sát hàm số, gồm 3 bước. Bước 1: tìm tập xác định. Bước 2: xét sự biến thiên. Tính đạo hàm, xét dấu, tìm cực trị, tìm giới hạn và tiệm cận, rồi gom tất cả vào bảng biến thiên. Bước 3: dựa vào bảng biến thiên để vẽ đồ thị. Ví dụ 1: hàm bậc ba y = x³ + 3x² − 2. Tập xác định là ℝ. y′ = 3x² + 6x, bằng 0 tại x = −2 và x = 0. Dấu của đạo hàm lần lượt là +, −, +. Khi x → −∞ thì y → −∞, khi x → +∞ thì y → +∞. Vậy hàm số đi lên tới cực đại bằng 2, đi xuống tới cực tiểu bằng −2, rồi lại đi lên. Giờ vẽ đồ thị. Chấm điểm cực đại, điểm cực tiểu, rồi vẽ đường cong đi theo các mũi tên. Tâm đối xứng là điểm (−1; 0), nằm giữa hai điểm cực trị.

### 2:01 Các dáng đồ thị hàm bậc ba

Ví dụ 2: y = −x³ − 2x + 3. y′ = −3x² − 2, luôn âm. Hàm số nghịch biến trên cả ℝ, không có cực trị. Bảng biến thiên chỉ có một mũi tên đi xuống, từ +∞ về −∞. Cắt trục tung tại (0; 3), cắt trục hoành tại (1; 0). Tâm đối xứng chính là điểm (0; 3). Tóm lại, đồ thị hàm bậc ba chỉ có hai kiểu: có hai cực trị, hoặc không có cực trị nào. Hệ số a > 0 thì nhánh cuối đi lên, a < 0 thì nhánh cuối đi xuống. Hàm bậc ba không có tiệm cận, và luôn có một tâm đối xứng.

### 2:44 Hàm phân thức: tiệm cận đứng, ngang

Ý 2: hàm phân thức. Trở lại hàm số ở đầu bài: y = (x − 3)/(x + 1). Tập xác định: x ≠ −1. y′ = 4/(x + 1)², luôn dương. Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định, không có cực trị. Khi x → ±∞ thì y → 1, nên đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang. Khi x → −1 thì y tiến ra vô cực, nên đường thẳng x = −1 là tiệm cận đứng. Trong bảng biến thiên, tại −1 ta kẻ hai gạch đứng. Vẽ đồ thị: kẻ hai đường tiệm cận trước. Cắt trục tung tại (0; −3), cắt trục hoành tại (3; 0). Hai nhánh ôm lấy hai đường tiệm cận, và không bao giờ nối với nhau. Giao điểm của hai tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị.

### 3:40 Hàm phân thức: tiệm cận xiên

Ví dụ 2: y = (x² − 3x + 3)/(x − 1). Chia tử cho mẫu, ta viết lại: y = x − 2 + 1/(x − 1). Phần đuôi tiến tới 0 khi x ra vô cực, nên đồ thị bám dần vào đường thẳng y = x − 2. Đó là tiệm cận xiên. Tiệm cận đứng là đường thẳng x = 1. y′ = 1 − 1/(x − 1)², bằng 0 tại x = 0 và x = 2. Lập bảng biến thiên: cực đại bằng −3 tại x = 0, cực tiểu bằng 1 tại x = 2. Kẻ hai tiệm cận, chấm hai điểm cực trị, rồi vẽ hai nhánh. Hai nhánh đối xứng nhau qua giao điểm của hai tiệm cận, là điểm (1; −1).

### 4:31 Dạng 1: Khảo sát hàm bậc ba

Dạng 1: khảo sát và vẽ đồ thị hàm bậc ba. Cách làm: đi đúng 3 bước. Tập xác định, bảng biến thiên, rồi vẽ đồ thị qua các điểm đặc biệt. Khảo sát hàm số y = −x³ + 6x² − 9x + 4. Bạn tạm dừng video và thử làm nhé. y′ = −3x² + 12x − 9, tức là −3(x − 1)(x − 3). Nó bằng 0 tại x = 1 và x = 3. Hệ số a âm, nên dấu đạo hàm là −, +, −. Chỗ hay sai là giới hạn: a âm thì khi x → −∞, y → +∞, và ngược lại. Cực tiểu bằng 0 tại x = 1, cực đại bằng 4 tại x = 3. Đồ thị cắt trục tung tại điểm (0; 4); chạm trục hoành tại x = 1 và cắt tại x = 4. Tâm đối xứng là điểm (2; 2).

### 5:35 Dạng 2: Khảo sát hàm phân thức

Dạng 2: khảo sát hàm phân thức. Cách làm: tìm tập xác định, tìm các tiệm cận, lập bảng biến thiên, rồi kẻ tiệm cận trước khi vẽ hai nhánh. Khảo sát hàm số y = (x + 2)/(x − 1). Bạn tạm dừng video và thử làm nhé. Tập xác định: x ≠ 1. y′ = −3/(x − 1)², luôn âm. Nhiều bạn kết luận: hàm số nghịch biến trên tập xác định. Sai, vì đồ thị bị đứt tại x = 1. Phải nói: nghịch biến trên từng khoảng (−∞; 1) và (1; +∞). Tiệm cận đứng là x = 1, tiệm cận ngang là y = 1. Cắt trục tung tại (0; −2), cắt trục hoành tại (−2; 0). Kẻ hai tiệm cận rồi vẽ hai nhánh. Tâm đối xứng là điểm (1; 1).

### 6:32 Dạng 3: Bài toán thực tế

Dạng 3: bài toán thực tế. Cách làm: lập hàm số, khảo sát trên miền có nghĩa, rồi đọc câu trả lời từ đồ thị. Bạn đã chơi 20 ván cờ và thắng 8 ván. Từ giờ, giả sử bạn thắng liên tiếp x ván nữa. Tỉ lệ thắng thay đổi thế nào? Có khi nào đạt 100% không? Bạn tạm dừng video và thử làm nhé. Số ván thắng là x + 8, tổng số ván là x + 20. Tỉ lệ thắng là f(x) = (x + 8)/(x + 20), với x ≥ 0. f′(x) = 12/(x + 20)², luôn dương, nên tỉ lệ thắng luôn tăng. Ban đầu, tỉ lệ là 0,4, tức 40%. Khi x → +∞, f(x) → 1. Đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang. Vậy tỉ lệ thắng tăng mãi, sát dần 100%, nhưng không bao giờ chạm tới.

### 7:32 Kết bài

Tóm lại, khảo sát hàm số gồm 3 bước: tập xác định, sự biến thiên, vẽ đồ thị. Hàm bậc ba: không có tiệm cận, có tâm đối xứng. Hàm phân thức: kẻ tiệm cận trước, rồi vẽ hai nhánh. Ngày nay, nhiều phông chữ và hình vẽ trên máy tính được ghép từ những đoạn cong bậc ba. Làm thêm bài tập về nhà để vẽ cho quen tay nhé.