# Vectơ trong không gian – Toán lớp 12, Bài 6

> Bài này ngắn gọn một câu: mọi thứ bạn biết về vectơ ở lớp 10 vẫn đúng, chỉ là các mũi tên không còn bị nhốt trên một tờ giấy. Thêm đúng một quy tắc mới (quy tắc hình hộp) và một thói quen mới (muốn đo góc thì đưa hai vectơ về chung gốc).

- Trang bài: https://anim.vn/lop-12/toan/bai-06-vecto-trong-khong-gian/
- Video: https://youtu.be/AdXuCHlsVIU (9:44)
- Thuộc: Toán lớp 12 · Bài 6
- Bài tập về nhà (PDF, có lời giải): https://anim.vn/media/lop12-toan-bai-06/bai-tap-ve-nha.pdf

## Mục lục video

- 0:00 Mở đầu: con muỗi bay bao xa?
- 0:31 Cuốn sách bị bán giấy vụn
- 1:02 Vectơ trong không gian
- 1:46 Tổng, hiệu, quy tắc hình hộp
- 2:54 Tích của một số với một vectơ
- 3:37 Tích vô hướng
- 4:53 Chốt kiến thức
- 5:19 Dạng 1: Vectơ bằng nhau, đối nhau
- 6:10 Dạng 2: Rút gọn tổng, hiệu
- 7:07 Dạng 3: Biểu diễn vectơ
- 8:22 Dạng 4: Tích vô hướng và góc
- 9:24 Kết bài

Bài này ngắn gọn một câu: **mọi thứ bạn biết về vectơ ở lớp 10 vẫn đúng, chỉ là các mũi tên không còn bị nhốt trên một tờ giấy**. Thêm đúng một quy tắc mới (quy tắc hình hộp) và một thói quen mới (muốn đo góc thì đưa hai vectơ về chung gốc).

Trong bài, hình hộp được đặt tên **ABCD.MNPQ**: đáy dưới ABCD, đáy trên MNPQ, các đỉnh M, N, P, Q lần lượt nằm trên A, B, C, D.

## Mở đầu: con muỗi bay bao xa?

Một con muỗi đậu ở góc sàn phòng bạn. Nó bay dọc chân tường 6 m, rẽ ngang 3 m, rồi bay thẳng lên 2 m. Nó cách chỗ xuất phát bao xa?

Không phải 6 + 3 + 2 = 11 m, mà đúng **7 m**. Ba chặng bay ấy không cùng nằm trên một mặt phẳng nào, nên muốn "cộng" chúng ta cần vectơ trong không gian. Cuối bài bạn sẽ tự tính ra con số 7.

## 1. Vectơ trong không gian

- Vectơ trong không gian là một **đoạn thẳng có hướng**. Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối.
- Giá, cùng phương, cùng hướng, ngược hướng, bằng nhau, vectơ-không: định nghĩa **y hệt** trong mặt phẳng.
- Hai vectơ **bằng nhau** khi cùng hướng và cùng độ dài. Hai vectơ **đối nhau** khi ngược hướng và cùng độ dài.
- Điểm mới duy nhất: các vectơ **không buộc phải nằm chung một mặt phẳng**.

**Ví dụ 1 (ngăn kéo).** Bạn kéo ngăn kéo tủ ra 30 cm. Bốn góc của mặt ngăn kéo dịch chuyển theo bốn vectơ cùng hướng, cùng độ dài 30 cm. Đó là bốn vectơ bằng nhau, dù chúng nằm ở bốn chỗ khác nhau trong không gian.

**Ví dụ 2 (hình hộp).** Trong hình hộp ABCD.MNPQ: vectơ AB = vectơ DC = vectơ MN = vectơ QP (bốn cạnh song song, cùng chiều mũi tên). Còn vectơ PQ cùng độ dài nhưng ngược hướng, nên vectơ PQ là vectơ đối của vectơ AB.

## 2. Tổng, hiệu và quy tắc hình hộp

- **Quy tắc ba điểm:** vectơ AB + vectơ BC = vectơ AC, với ba điểm A, B, C bất kì trong không gian.
- **Quy tắc hình bình hành:** nếu ABCD là hình bình hành thì vectơ AB + vectơ AD = vectơ AC.
- **Quy tắc hình hộp (mới):** trong hình hộp ABCD.MNPQ,

  **vectơ AB + vectơ AD + vectơ AM = vectơ AP.**

  Tổng của ba vectơ nằm trên ba cạnh chung một đỉnh bằng vectơ đường chéo xuất phát từ đỉnh ấy. Lí do: trượt vectơ AD tới B (thành vectơ BC), trượt vectơ AM tới C (thành vectơ CP); ba mũi tên nối đuôi nhau đi từ A tới P.
- **Hiệu:** trừ một vectơ là cộng với vectơ đối của nó. Quy tắc hiệu: vectơ OB − vectơ OA = vectơ AB.
- Phép cộng vẫn giao hoán, kết hợp, cộng với vectơ-không thì không đổi.

**Ví dụ 1 (con muỗi).** Ba chặng bay là ba cạnh của một hình hộp chữ nhật 6 × 3 × 2. Tổng của ba vectơ ấy là vectơ đường chéo, nối thẳng từ chỗ xuất phát tới con muỗi.

**Ví dụ 2.** Xuất phát từ đỉnh P: vectơ PQ + vectơ PN + vectơ PC = vectơ PA. Còn vectơ AP − vectơ AC = vectơ CP.

## 3. Tích của một số với một vectơ

Với số k ≠ 0 và vectơ a ≠ vectơ-không, vectơ k·a:

- cùng hướng với a nếu k > 0, ngược hướng với a nếu k < 0;
- có độ dài bằng |k| · |a|.

Quy ước 0·a = vectơ-không. Hai vectơ a và b (b khác vectơ-không) cùng phương khi và chỉ khi có số k để a = k·b. Các tính chất phân phối, kết hợp giống hệt trong mặt phẳng.

**Ví dụ 1 (tàu lặn).** Một tàu lặn đang lặn xiên xuống, mỗi phút dịch chuyển một vectơ v. Sau 3 phút nó dịch chuyển 3v (cùng hướng, dài gấp ba). Nếu nổi lên theo đường cũ trong 2 phút thì độ dịch chuyển là −2v.

**Ví dụ 2 (tâm hình hộp).** Gọi T là tâm hình hộp, tức trung điểm của đường chéo AP. Khi đó vectơ AP = 2 · vectơ AT, nên vectơ AT = ½ (vectơ AB + vectơ AD + vectơ AM).

## 4. Tích vô hướng

**Góc giữa hai vectơ.** Lấy một điểm O bất kì, vẽ vectơ OA = a và vectơ OB = b. Góc AOB (từ 0° đến 180°) là góc giữa a và b, kí hiệu (a, b). Nói nôm na: **trượt hai vectơ về chung một gốc rồi đo**. Góc 90° thì hai vectơ vuông góc.

**Tích vô hướng** là một **số**:

**a · b = |a| · |b| · cos(a, b)**

Hai điều cần nhớ:

- a ⊥ b ⇔ a · b = 0 (với a, b khác vectơ-không);
- a · a = |a|².

Tích vô hướng giao hoán và phân phối với phép cộng: a · (b + c) = a · b + a · c.

**Ví dụ 1 (tứ diện đều).** Tứ diện đều S.ABC cạnh 2. Mặt SAB là tam giác đều nên góc giữa vectơ SA và vectơ SB là 60°: vectơ SA · vectơ SB = 2 · 2 · ½ = 2. Tương tự vectơ SA · vectơ SC = 2. Suy ra vectơ SA · vectơ BC = vectơ SA · (vectơ SC − vectơ SB) = 2 − 2 = 0: **hai cạnh đối của tứ diện đều vuông góc với nhau**.

**Ví dụ 2 (con muỗi).** Gọi ba chặng bay là a, b, c, đôi một vuông góc, nên a · b = b · c = c · a = 0. Do đó |a + b + c|² = |a|² + |b|² + |c|² = 6² + 3² + 2² = 49, tức con muỗi cách chỗ xuất phát 7 m.

## Bảng tóm tắt

| Nội dung | Công thức |
|---|---|
| Quy tắc ba điểm | vectơ AB + vectơ BC = vectơ AC |
| Quy tắc hiệu | vectơ OB − vectơ OA = vectơ AB |
| Quy tắc hình hộp (ABCD.MNPQ) | vectơ AB + vectơ AD + vectơ AM = vectơ AP |
| Tích với một số | \|k·a\| = \|k\| · \|a\|; k > 0 cùng hướng, k < 0 ngược hướng |
| Tích vô hướng | a · b = \|a\| · \|b\| · cos(a, b) |
| Vuông góc | a ⊥ b ⇔ a · b = 0 |
| Độ dài | a · a = \|a\|² |
| Tìm góc | cos(a, b) = (a · b) / (\|a\| · \|b\|) |

## Lỗi hay gặp

- **Thấy song song và dài bằng nhau là kết luận "bằng nhau".** Phải xem cả hướng: vectơ NM song song, dài bằng vectơ AB nhưng ngược hướng, nên là vectơ đối.
- **Dùng quy tắc hình hộp khi ba vectơ chưa chung gốc.** Phải thay từng vectơ bằng vectơ bằng nó để cả ba cùng xuất phát từ một đỉnh.
- **Lấy góc giữa hai vectơ mà chưa đưa về chung gốc.** Hai vectơ "đuôi nối đầu" tạo với nhau góc bù của góc bạn nhìn thấy.
- **Nhầm góc giữa hai vectơ với góc giữa hai đường thẳng.** Góc giữa hai đường thẳng chỉ từ 0° đến 90°, còn góc giữa hai vectơ từ 0° đến 180° (tích vô hướng có thể âm).
- **Coi tích vô hướng là một vectơ.** Kết quả là một số.
- **Cộng độ dài thay cho cộng vectơ**: 6 + 3 + 2 = 11 là quãng đường con muỗi bay, không phải khoảng cách tới chỗ xuất phát.

## Bài tập theo dạng

### Dạng 1. Nhận biết vectơ bằng nhau, đối nhau

**Bài 1.** Cho hình hộp ABCD.MNPQ. Trong bốn vectơ DC, QP, NM, CP, vectơ nào bằng vectơ AB?

<details><summary>Đáp án</summary>

Vectơ DC và vectơ QP. Vectơ CP không cùng phương với vectơ AB. Vectơ NM ngược hướng với vectơ AB (là vectơ đối).
</details>

**Bài 2.** Cho hình hộp ABCD.MNPQ. a) Kể ba vectơ (khác vectơ AD) bằng vectơ AD. b) Tìm vectơ có điểm đầu P và là vectơ đối của vectơ AM.

<details><summary>Đáp án</summary>

a) Vectơ BC, vectơ MQ, vectơ NP. b) Vectơ PC.
</details>

### Dạng 2. Rút gọn tổng, hiệu các vectơ

**Bài 1.** Cho hình hộp ABCD.MNPQ. Rút gọn: a) vectơ AB + vectơ CP + vectơ MQ; b) vectơ AP − vectơ AB − vectơ AD.

<details><summary>Đáp án</summary>

a) Vectơ CP = vectơ AM, vectơ MQ = vectơ AD, nên tổng = vectơ AB + vectơ AM + vectơ AD = vectơ AP (quy tắc hình hộp).
b) Vectơ AP − vectơ AB = vectơ BP; vectơ AD = vectơ BC; vectơ BP − vectơ BC = vectơ CP (= vectơ AM).
</details>

**Bài 2.** Cho hình hộp ABCD.MNPQ. Rút gọn vectơ BA + vectơ BC + vectơ BN.

<details><summary>Đáp án</summary>

Ba cạnh chung đỉnh B, nên tổng là vectơ BQ.
</details>

### Dạng 3. Biểu diễn một vectơ theo ba vectơ cho trước

**Bài 1.** Hình hộp ABCD.MNPQ, đặt vectơ AB = u, vectơ AD = v, vectơ AM = w. K là trung điểm CP, T là tâm hình hộp. a) Biểu diễn vectơ AK. b) Biểu diễn vectơ TK rồi nhận xét.

<details><summary>Đáp án</summary>

a) Vectơ AK = vectơ AB + vectơ BC + vectơ CK = u + v + ½w.
b) Vectơ AT = ½(u + v + w), nên vectơ TK = vectơ AK − vectơ AT = ½u + ½v = ½ · vectơ AC. Vậy TK song song với AC và dài bằng một nửa AC.
</details>

**Bài 2.** Cùng hình hộp, E là trung điểm MN. Biểu diễn vectơ AE theo u, v, w.

<details><summary>Đáp án</summary>

Vectơ AE = vectơ AM + vectơ ME = w + ½u.
</details>

### Dạng 4. Tính tích vô hướng và góc

**Bài 1.** Tứ diện D.ABC có DA, DB, DC đôi một vuông góc, DA = 3, DB = 4, DC = 4. a) Tính vectơ AB · vectơ AC. b) Tính cos của góc BAC.

<details><summary>Đáp án</summary>

a) Vectơ AB = vectơ DB − vectơ DA, vectơ AC = vectơ DC − vectơ DA. Nhân ra, ba tích của các cặp vuông góc bằng 0, còn lại DA² = 9.
b) AB = AC = 5 (tam giác vuông 3 – 4 – 5), nên cos BAC = 9/(5 · 5) = 9/25.
</details>

**Bài 2.** Hình lập phương ABCD.MNPQ cạnh 3. Tính góc giữa hai vectơ AN và BP.

<details><summary>Đáp án</summary>

Vectơ AN = u + w, vectơ BP = v + w (u, v, w đôi một vuông góc, độ dài 3), nên vectơ AN · vectơ BP = w · w = 9. AN = BP = 3√2, cos = 9/18 = ½, góc bằng 60°.
</details>

**Bài 3.** Một con ong rời tổ, bay 4 m về hướng đông, 4 m về hướng bắc, rồi lên cao 7 m. Nó cách tổ bao xa?

<details><summary>Đáp án</summary>

Ba chặng đôi một vuông góc nên bình phương khoảng cách bằng 16 + 16 + 49 = 81. Con ong cách tổ 9 m.
</details>

## Chuyện bên lề

**Cuốn sách bị bán làm giấy vụn.** Một trong những người đầu tiên xây dựng phép tính với các "đoạn thẳng có hướng" trong không gian là Hermann Grassmann (1809–1877), một thầy giáo trung học ở thành phố Stettin, khi ấy thuộc nước Phổ. Năm 1844 ông in cuốn sách thường được gọi tắt là "Lí thuyết mở rộng". Trong đó, ông cộng và nhân các đại lượng có hướng trong không gian ba chiều, bốn chiều, hay bao nhiêu chiều cũng được: với ông, con số 3 không có gì đặc biệt.

Cuốn sách quá mới và quá khó đọc. Gần như không ai mua, phần sách tồn kho về sau bị đem bán làm giấy vụn. Grassmann xin vào đại học không được, và dạy trung học suốt đời. Thất vọng với toán, ông quay sang nghiên cứu tiếng Phạn và lại nổi tiếng ở lĩnh vực ấy trước.

Mãi về sau các nhà toán học mới nhận ra ý tưởng của ông chính là nền móng của đại số tuyến tính, thứ mà ngày nay mọi sinh viên kĩ thuật đều phải học.

**Tích vô hướng trong trò chơi ba chiều.** Để biết một mặt của nhân vật sáng hay tối, máy tính lấy vectơ đơn vị vuông góc với mặt đó và vectơ đơn vị chỉ về phía nguồn sáng, rồi nhân vô hướng. Kết quả chính là côsin của góc giữa hai vectơ: gần 1 thì mặt sáng rực, bằng 0 thì tối. Phép tính này chạy hàng triệu lần cho mỗi khung hình.

## Trò chơi 5 phút ở nhà

**Săn hình hộp.** Đứng ở một góc phòng. Chọn một đồ vật bất kì (bóng đèn, tay nắm cửa, đồng hồ treo tường). Ước lượng ba số: đi dọc tường bao nhiêu mét, đi ngang bao nhiêu mét, lên cao bao nhiêu mét thì tới nó. Rồi tính khoảng cách thẳng từ góc phòng tới đồ vật bằng căn của tổng ba bình phương, và dùng thước dây (hoặc sợi dây) kiểm tra lại. Ai ước sát hơn thì thắng.

## Lời thoại video

### 0:00 Mở đầu: con muỗi bay bao xa?

Một con muỗi đang đậu ở góc sàn phòng bạn. Nó bay dọc chân tường 6 m, rẽ ngang 3 m, rồi bay thẳng lên cao 2 m. Hỏi: lúc này nó cách chỗ xuất phát bao xa? Không phải 11 m, mà đúng 7 m. Ba chặng bay ấy không cùng nằm trên một mặt phẳng nào. Muốn cộng chúng, ta cần vectơ trong không gian. Hôm nay bạn sẽ cộng, trừ, nhân vectơ trong không gian, và dùng tích vô hướng để tìm ra con số 7 ấy.

### 0:31 Cuốn sách bị bán giấy vụn

Một trong những người đầu tiên xây dựng phép tính ấy là Hermann Grassmann, một thầy giáo trung học ở nước Phổ. Năm 1844, ông in cuốn sách Lí thuyết mở rộng: cộng và nhân những đoạn thẳng có hướng, trong không gian ba chiều, hay bao nhiêu chiều cũng được. Nhưng sách quá mới và quá khó đọc. Gần như không ai mua, và phần sách tồn kho bị đem bán làm giấy vụn. Ông dạy trung học suốt đời. Mãi về sau, các nhà toán học mới nhận ra ông đã đi trước thời đại.

### 1:02 Vectơ trong không gian

Vectơ trong không gian vẫn là một đoạn thẳng có hướng, y như ở lớp 10. Độ dài, giá, cùng phương, cùng hướng, bằng nhau: mọi khái niệm giữ nguyên. Chỉ khác một điều: các vectơ bây giờ không buộc phải nằm chung một mặt phẳng. Ví dụ 1. Bạn kéo ngăn kéo tủ ra 30 cm. Bốn góc ngăn kéo dịch chuyển theo bốn vectơ cùng hướng, cùng độ dài: bốn vectơ bằng nhau. Ví dụ 2. Trong hình hộp ABCD.MNPQ, vectơ AB bằng vectơ DC, bằng vectơ MN, và bằng vectơ QP. Còn vectơ PQ thì cùng độ dài nhưng ngược hướng: nó là vectơ đối của vectơ AB.

### 1:46 Tổng, hiệu, quy tắc hình hộp

Phép cộng cũng vậy. Quy tắc ba điểm: vectơ AB + vectơ BC = vectơ AC. Quy tắc hình bình hành vẫn đúng. Và có thêm một quy tắc mới cho ba vectơ chung gốc: quy tắc hình hộp. Trong hình hộp, lấy ba vectơ trên ba cạnh chung đỉnh A: vectơ AB, vectơ AD, và vectơ AM. Trượt vectơ AD tới B, trượt vectơ AM tới C. Ba mũi tên nối đuôi nhau, đi từ A tới P. Vậy vectơ AB + vectơ AD + vectơ AM = vectơ AP: đường chéo của hình hộp. Ví dụ 1: ba chặng bay của con muỗi là ba cạnh của một hình hộp chữ nhật. Tổng của chúng là đường chéo, nối thẳng từ chỗ xuất phát tới con muỗi. Ví dụ 2: xuất phát từ đỉnh P. Vectơ PQ + vectơ PN + vectơ PC = vectơ PA. Phép trừ là cộng với vectơ đối. Quy tắc hiệu cũng giữ nguyên: vectơ AP − vectơ AC = vectơ CP.

### 2:54 Tích của một số với một vectơ

Tiếp theo: nhân một vectơ với một số k. k dương thì cùng hướng, k âm thì ngược hướng. Độ dài thì nhân với k . Ví dụ 1. Một tàu lặn đang lặn xiên xuống, mỗi phút dịch chuyển một vectơ v. Sau 3 phút, nó dịch chuyển 3v: cùng hướng, dài gấp ba. Nếu nổi lên theo đường cũ trong 2 phút, độ dịch chuyển là −2v. Ví dụ 2. Gọi T là tâm hình hộp, trung điểm của đường chéo AP. Khi đó vectơ AP bằng 2 lần vectơ AT. Theo quy tắc hình hộp, vectơ AT bằng 1/2 tổng của ba vectơ AB, AD, AM.

### 3:37 Tích vô hướng

Cuối cùng là tích vô hướng. Trước hết, ta cần góc giữa hai véc-tơ. Hai vectơ trong không gian có thể nằm xa nhau. Ta trượt chúng về chung một gốc, rồi đo góc ở đó: từ 0° đến 180°. Tích vô hướng của hai vectơ là một số: bằng độ dài vectơ thứ nhất, nhân độ dài vectơ thứ hai, nhân côsin của góc giữa chúng. Hai điều cần nhớ. Hai vectơ vuông góc khi và chỉ khi tích vô hướng bằng 0. Và một vectơ nhân vô hướng với chính nó thì bằng bình phương độ dài. Ví dụ 1. Tứ diện đều S.ABC, cạnh bằng 2. Góc giữa vectơ SA và vectơ SB là 60°, nên tích vô hướng bằng 2 · 2 · 1/2 = 2. Tương tự, SA · SC cũng bằng 2. Suy ra SA · BC = 2 − 2 = 0. Hai cạnh đối của tứ diện đều vuông góc với nhau. Ví dụ 2: con muỗi. Ba chặng bay là ba vectơ đôi một vuông góc, nên mọi tích vô hướng giữa chúng đều bằng 0. Bình phương độ dài của tổng chỉ còn 6² + 3² + 2² = 49. Độ dài là 7 m.

### 4:53 Chốt kiến thức

Tóm lại: vectơ trong không gian dùng lại toàn bộ quy tắc của mặt phẳng. Thêm một quy tắc mới là quy tắc hình hộp, và một bước mới khi tìm góc: đưa hai vectơ về chung gốc. Tích vô hướng có mặt trong mọi trò chơi ba chiều. Máy tính nhân vô hướng vectơ đơn vị chỉ hướng ánh sáng, với vectơ đơn vị vuông góc với bề mặt. Kết quả càng lớn, mặt ấy càng sáng.

### 5:19 Dạng 1: Vectơ bằng nhau, đối nhau

Dạng 1: nhận biết vectơ bằng nhau, đối nhau. Cách làm: kiểm tra hai giá có song song hoặc trùng nhau không, rồi so hướng và độ dài. Cho hình hộp ABCD.MNPQ. Trong bốn vectơ: DC, QP, NM, CP, vectơ nào bằng vectơ AB? Bạn tạm dừng video và thử làm nhé. DC song song, cùng hướng và dài bằng AB: bằng nhau. QP cũng vậy. CP nằm trên cạnh bên, không cùng phương với AB: loại. Còn NM thì dễ chọn nhầm, vì nó song song và dài bằng AB. Nhưng nó ngược hướng: đó là vectơ đối của vectơ AB. Đáp án: vectơ DC và vectơ QP.

### 6:10 Dạng 2: Rút gọn tổng, hiệu

Dạng 2: rút gọn tổng, hiệu các vectơ. Cách làm: thay mỗi vectơ bằng một vectơ bằng nó, để chúng chung gốc hoặc nối đuôi nhau. Rồi dùng các quy tắc vừa học. Vẫn hình hộp ấy. Câu a: rút gọn vectơ AB + vectơ CP + vectơ MQ. Bạn thử làm nhé. Vectơ CP bằng vectơ AM. Vectơ MQ bằng vectơ AD. Tổng trở thành AB + AM + AD: ba cạnh chung đỉnh A. Theo quy tắc hình hộp, kết quả là vectơ AP. Câu b: rút gọn vectơ AP − vectơ AB − vectơ AD. AP − AB = BP, theo quy tắc hiệu. Vectơ AD bằng vectơ BC. BP − BC = CP. Đáp số: vectơ CP, cũng chính là vectơ AM.

### 7:07 Dạng 3: Biểu diễn vectơ

Dạng 3: biểu diễn một vectơ theo ba vectơ cho trước. Cách làm: đi từ điểm đầu tới điểm cuối dọc theo các cạnh, rồi đổi từng đoạn về ba vectơ đã cho. Trong hình hộp, đặt vectơ AB là u, vectơ AD là v, vectơ AM là w. Gọi K là trung điểm cạnh CP, T là tâm hình hộp. Câu a: biểu diễn vectơ AK. Câu b: biểu diễn vectơ TK, rồi nhận xét. Bạn thử làm nhé. Câu a. Đi từ A tới B, tới C, rồi lên K. Vectơ BC bằng v. Vectơ CK bằng một nửa vectơ CP, tức là 1/2 w. Vậy vectơ AK = u + v + 1/2 w. Câu b. Vectơ AT = 1/2 (u + v + w). Lấy AK trừ AT, ta được vectơ TK = 1/2 u + 1/2 v. Mà u + v là vectơ AC. Vậy TK song song với AC, và dài bằng một nửa.

### 8:22 Dạng 4: Tích vô hướng và góc

Dạng 4: tính tích vô hướng và góc. Cách làm: tách mỗi vectơ thành hiệu của các vectơ đã biết. Nhân phân phối, rồi bỏ đi các cặp vuông góc. Tứ diện D.ABC có ba cạnh DA, DB, DC đôi một vuông góc. DA = 3, DB = 4, DC = 4. Câu a: tính tích vô hướng của vectơ AB và vectơ AC. Câu b: tính côsin của góc BAC. Bạn thử làm nhé. Câu a. Vectơ AB = DB − DA. Vectơ AC = DC − DA. Nhân ra được bốn tích. Ba tích đầu là các cặp vuông góc, nên bằng 0. Chỉ còn DA² = 9. Câu b. Tam giác DAB vuông tại D, nên AB = 5. Tương tự, AC = 5. Côsin của góc BAC bằng 9 chia cho 5 · 5, tức là 9/25.

### 9:24 Kết bài

Vậy là bạn đã có đủ bộ công cụ: cộng trừ với quy tắc hình hộp, nhân với một số, và tích vô hướng. Bốn dạng bài: nhận biết, rút gọn, biểu diễn, và tính tích vô hướng. Làm thêm bài tập trong phiếu để thật chắc tay nhé. Hẹn gặp bạn ở bài sau.