# Hệ trục toạ độ trong không gian – Toán lớp 12, Bài 7 > Học xong bài này bạn sẽ: dựng được hệ trục toạ độ Oxyz, đọc và viết được toạ độ của một điểm, toạ độ của một vectơ trong không gian, và dùng chúng để mô tả vị trí, độ dịch chuyển trong các tình huống thực tế. - Trang bài: https://anim.vn/lop-12/toan/bai-07-he-truc-toa-do-trong-khong-gian/ - Video: https://youtu.be/kvZooBCv2y0 (9:40) - Thuộc: Toán lớp 12 · Bài 7 - Bài tập về nhà (PDF, có lời giải): https://anim.vn/media/lop12-toan-bai-07/bai-tap-ve-nha.pdf ## Mục lục video - 0:00 Mở đầu: bạn mình ở tầng nào? - 0:32 Trục thứ ba đến muộn - 1:07 Hệ trục toạ độ Oxyz - 2:04 Toạ độ của điểm - 3:04 Toạ độ của vectơ - 4:04 Ba điều cần nhớ - 4:31 Dạng 1: Đọc toạ độ điểm trên hình - 5:41 Dạng 2: Tìm toạ độ vectơ - 6:53 Dạng 3: Tìm điểm nhờ vectơ bằng nhau - 7:59 Dạng 4: Bài toán thực tế - 9:13 Kết bài > Học xong bài này bạn sẽ: dựng được hệ trục toạ độ Oxyz, đọc và viết được toạ độ của một điểm, toạ độ của một vectơ trong không gian, và dùng chúng để mô tả vị trí, độ dịch chuyển trong các tình huống thực tế. ## Mở đầu: bạn mình ở tầng nào? Mở bản đồ trên điện thoại, bạn thấy một chấm nhỏ nhấp nháy: đó là chỗ người bạn của mình đang đứng. Tới nơi, hoá ra đó là một toà nhà 30 tầng. Bạn ấy ở tầng nào? Hai con số của bản đồ không trả lời được. Trên mặt phẳng, hai số là đủ; trong không gian, phải thêm **con số thứ ba: độ cao**. ## 1. Hệ trục toạ độ Oxyz Lấy ba trục **Ox, Oy, Oz chung gốc O và đôi một vuông góc** với nhau. Trên mỗi trục lấy một vectơ đơn vị (dài bằng 1): $\vec{i}$ trên Ox, $\vec{j}$ trên Oy, $\vec{k}$ trên Oz. - Hệ ba trục như vậy gọi là **hệ trục toạ độ Oxyz**; điểm O là **gốc toạ độ**. - Ba trục, lấy từng đôi, tạo thành ba **mặt phẳng toạ độ** (Oxy), (Oyz), (Ozx). Ba mặt phẳng này cũng đôi một vuông góc. **Ví dụ 1 (máy in 3D).** Đầu phun của máy in 3D trượt theo ba thanh ray đôi một vuông góc: ra trước, sang ngang, lên cao. Ba thanh ray ấy chính là ba trục Ox, Oy, Oz; mặt bàn in là mặt phẳng (Oxy). **Ví dụ 2 (giá ba chân của máy ảnh).** Ba chân của giá cũng chụm về một điểm, nhưng góc giữa hai chân bất kì không phải góc vuông. Thiếu "đôi một vuông góc" thì ba chân không làm thành một hệ trục toạ độ Oxyz được. ## 2. Toạ độ của điểm Với mỗi điểm M, có **đúng một** bộ ba số (x; y; z) sao cho $$\overrightarrow{OM} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}.$$ Bộ ba đó là **toạ độ của điểm M**, viết M(x; y; z): x là **hoành độ**, y là **tung độ**, z là **cao độ**. Nói bằng lời: từ gốc O, đi x đơn vị dọc trục Ox, y đơn vị dọc trục Oy, rồi z đơn vị dọc trục Oz thì tới M. **Ví dụ 1 (drone).** Trong một màn trình diễn ánh sáng, một chiếc drone cất cánh từ gốc O, bay 3 đơn vị theo trục Ox, 6 đơn vị theo trục Oy, rồi lên cao 4 đơn vị. Khi đó $\overrightarrow{OM} = 3\vec{i} + 6\vec{j} + 4\vec{k}$, nên **M(3; 6; 4)**. **Ví dụ 2 (hình chiếu).** Hạ M(3; 6; 4) thẳng xuống mặt sân (mặt phẳng (Oxy)) ta được điểm H(3; 6; 0): nằm trên mặt sân thì cao độ bằng 0. Điểm K trên trục Oz ngang tầm với M là K(0; 0; 4). Tổng quát, với M(x; y; z): | Hình chiếu của M trên | Toạ độ | |---|---| | trục Ox, Oy, Oz | (x; 0; 0), (0; y; 0), (0; 0; z) | | mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Ozx) | (x; y; 0), (0; y; z), (x; 0; z) | Gốc toạ độ là O(0; 0; 0). ## 3. Toạ độ của vectơ Mọi vectơ $\vec{a}$ đều viết được, theo đúng một cách, thành $\vec{a} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$. Bộ ba (x; y; z) là **toạ độ của vectơ** $\vec{a}$, viết $\vec{a} = (x; y; z)$. - Đặt gốc của $\vec{a}$ vào điểm O, ngọn của nó chỉ đúng điểm M có cùng toạ độ: **toạ độ của vectơ $\overrightarrow{OM}$ chính là toạ độ của điểm M**. - **Hai vectơ bằng nhau** khi và chỉ khi ba toạ độ tương ứng bằng nhau. - Vectơ nối hai điểm: **lấy toạ độ điểm cuối trừ toạ độ điểm đầu** $$\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A;\ y_B - y_A;\ z_B - z_A).$$ **Ví dụ 1 (drone đổi đội hình).** Drone bay từ A(1; 4; 2) tới B(5; 1; 3). Ta có 5 − 1 = 4; 1 − 4 = −3; 3 − 2 = 1, nên $\overrightarrow{AB} = (4; -3; 1)$. **Ví dụ 2.** $\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{k} = 2\vec{i} + 0\vec{j} - 3\vec{k}$. Không có $\vec{j}$ nên tung độ bằng 0: $\vec{u} = (2; 0; -3)$. ## Bảng tóm tắt | Kí hiệu | Nghĩa | |---|---| | Oxyz | hệ trục: ba trục Ox, Oy, Oz chung gốc O, đôi một vuông góc | | $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ | vectơ đơn vị trên Ox, Oy, Oz; $\vec{i} = (1; 0; 0)$, $\vec{j} = (0; 1; 0)$, $\vec{k} = (0; 0; 1)$ | | (Oxy), (Oyz), (Ozx) | ba mặt phẳng toạ độ | | M(x; y; z) | $\overrightarrow{OM} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$; hoành độ, tung độ, cao độ | | $\vec{a} = (x; y; z)$ | $\vec{a} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$ | | $\overrightarrow{AB}$ | $(x_B - x_A;\ y_B - y_A;\ z_B - z_A)$: cuối trừ đầu | ## Lỗi hay gặp - **Chỉ viết hai toạ độ** theo thói quen mặt phẳng. Trong không gian, điểm nào, vectơ nào cũng có **ba** toạ độ: gốc O là (0; 0; 0), không phải (0; 0). - **Bỏ trống toạ độ bằng 0 hoặc đặt sai chỗ.** Điểm P có hoành độ 4, cao độ 5 và không đi theo trục Oy phải viết P(4; 0; 5), không viết P(4; 5; 0) hay P(4; 5). - **Lấy đầu trừ cuối.** $\overrightarrow{AB}$ là toạ độ B trừ toạ độ A. Làm ngược lại thì ra $\overrightarrow{BA}$, mọi toạ độ đều sai dấu. - **Đọc sai thứ tự khi vectơ viết lộn xộn.** $\vec{c} = 3\vec{k} - \vec{i}$ có toạ độ (−1; 0; 3), không phải (3; −1; 0). - **Quên rằng toạ độ phụ thuộc hệ trục.** Cùng một điểm, chọn gốc O khác hoặc đổi hướng trục thì toạ độ khác. Đề bài cho hệ trục nào thì tính theo hệ trục đó. - **Nhầm ba đường bất kì chung một điểm là hệ trục.** Phải **đôi một vuông góc** mới là hệ trục toạ độ Oxyz. ## Bài tập theo dạng ### Dạng 1. Đọc toạ độ của điểm trên hình Cách làm: từ gốc O, đi dọc theo ba trục để tới điểm đó; mỗi quãng đi là một toạ độ. **Bài 1.** Hình hộp chữ nhật OABC.DPQR có A, C, D lần lượt thuộc các tia Ox, Oy, Oz; OA = 4, OC = 7, OD = 5 (B là đỉnh thứ tư của đáy OABC; P, Q, R lần lượt nằm ngay trên A, B, C). a) Tìm toạ độ của B và Q. b) Tìm toạ độ của P.
Đáp án a) Tới B: đi 4 theo Ox, rồi 7 theo Oy, không lên cao, nên B(4; 7; 0). Từ B lên thẳng 5 đơn vị là tới Q, nên Q(4; 7; 5). b) Tới P không đi theo trục Oy bước nào, nên tung độ bằng 0: P(4; 0; 5) (không phải (4; 5; 0)).
**Bài 2.** Tìm toạ độ của điểm E thuộc tia Oy với OE = 9, và điểm F thuộc tia đối của tia Oz với OF = 2.
Đáp án E(0; 9; 0) và F(0; 0; −2).
### Dạng 2. Tìm toạ độ của vectơ Cách làm: biết hai đầu mút thì lấy điểm cuối trừ điểm đầu, từng toạ độ một. **Bài 3.** Cho A(2; −1; 3) và B(5; 4; −2). a) Tìm toạ độ $\overrightarrow{AB}$. b) Tìm toạ độ $\overrightarrow{BA}$. c) Viết $\overrightarrow{AB}$ theo $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$.
Đáp án a) 5 − 2 = 3; 4 − (−1) = 5; −2 − 3 = −5, nên $\overrightarrow{AB} = (3; 5; -5)$. b) Đổi chiều thì mọi toạ độ đổi dấu: $\overrightarrow{BA} = (-3; -5; 5)$. c) $\overrightarrow{AB} = 3\vec{i} + 5\vec{j} - 5\vec{k}$.
**Bài 4.** Viết toạ độ của $\vec{p} = -\vec{j} + 4\vec{i}$ và $\vec{q} = 6\vec{k}$.
Đáp án $\vec{p} = 4\vec{i} - \vec{j} + 0\vec{k} = (4; -1; 0)$; $\vec{q} = (0; 0; 6)$.
### Dạng 3. Tìm điểm nhờ hai vectơ bằng nhau Cách làm: gọi toạ độ điểm cần tìm là (x; y; z), viết hai vectơ bằng nhau, rồi cho từng toạ độ tương ứng bằng nhau. **Bài 5.** Cho A(1; 2; 0), B(4; 3; 2), C(6; −1; 5). Tìm điểm D để ABCD là hình bình hành.
Đáp án ABCD là hình bình hành thì $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} = (2; -4; 3)$. Gọi D(x; y; z) thì $\overrightarrow{AD} = (x - 1; y - 2; z)$, nên x − 1 = 2, y − 2 = −4, z = 3. Vậy D(3; −2; 3).
**Bài 6.** Cho điểm E(−2; 0; 5) và $\overrightarrow{EF} = (3; 7; -1)$. Tìm toạ độ điểm F.
Đáp án Gọi F(x; y; z) thì (x + 2; y; z − 5) = (3; 7; −1), nên F(1; 7; 4).
### Dạng 4. Bài toán thực tế Cách làm: chọn hệ trục, ghi các vị trí thành toạ độ, rồi tính như dạng 2 và dạng 3. **Bài 7.** Một nhóm khảo sát hang động chọn gốc O ở cửa hang, trục Ox hướng đông, Oy hướng bắc, Oz hướng thẳng lên, đơn vị là mét. Họ đi từ trạm A(20; 15; −8) tới trạm B(50; −25; −20). a) Tìm vectơ độ dịch chuyển $\overrightarrow{AB}$ và nêu ý nghĩa. b) Nếu đi tiếp đúng một độ dịch chuyển như thế nữa thì tới điểm C nào?
Đáp án a) 50 − 20 = 30; −25 − 15 = −40; −20 − (−8) = −12, nên $\overrightarrow{AB} = (30; -40; -12)$: sang đông 30 m, về nam 40 m, xuống thấp thêm 12 m. b) $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB}$ nên C(50 + 30; −25 − 40; −20 − 12) = C(80; −65; −32).
**Bài 8.** Trong bài 7, vì sao mọi trạm đặt cao hơn cửa hang đều có cao độ dương, còn mọi trạm thấp hơn cửa hang đều có cao độ âm?
Đáp án Vì trục Oz hướng thẳng lên và gốc O ở cửa hang: cao độ của một điểm cho biết nó cao hơn (số dương) hay thấp hơn (số âm) mặt phẳng nằm ngang đi qua cửa hang bao nhiêu mét.
## Chuyện bên lề **Trục thứ ba đến muộn.** Toạ độ ra đời ở thế kỉ 17 để nghiên cứu các đường cong trên mặt phẳng. Thật ra lúc đầu người ta chỉ dùng một trục, đo một độ dài biến thiên so với trục ấy; cặp hai trục vuông góc quen thuộc là do những người chú giải thêm vào về sau. **Năm 1700.** Ở Paris, nhà toán học Antoine Parent viết về hình học với ba toạ độ; ông có ý tưởng biểu diễn một mặt bằng một phương trình liên hệ ba toạ độ của điểm trên mặt đó. **Cậu thiếu niên 16 tuổi.** Người làm hình học ba toạ độ thành hình rõ rệt là Alexis Clairaut (1713–1765), cũng ở Paris. Mới 16 tuổi, cậu đã viết xong một công trình về những đường cong "có hai độ cong", tức là đường cong uốn lượn trong không gian, không nằm gọn trong một mặt phẳng nào (như lò xo hay đường ren ốc vít). Công trình in năm 1731, và nhờ nó Clairaut được nhận vào Viện Hàn lâm Khoa học Paris khi mới 18 tuổi, dưới tuổi quy định. Muốn tả một đường cong như thế, hai con số là không đủ. **Sau đó.** Leonhard Euler là người dùng phương pháp toạ độ để nghiên cứu có hệ thống các đường cong và các mặt trong không gian. **Ngày nay dùng vào đâu?** Hệ thống định vị vệ tinh dùng một hệ trục đặt gốc ở tâm Trái Đất: một trục đi qua hai cực, hai trục kia nằm trong mặt phẳng xích đạo. Vị trí của vệ tinh và của chiếc điện thoại đều được ghi bằng ba con số tính từ gốc đó. Máy in 3D và máy cắt điều khiển số cũng chạy theo các lệnh toạ độ. ## Trò chơi 5 phút ở nhà **"Hạt đậu ba tầng".** Lấy ba khay đá viên (hoặc ba vỉ trứng) giống nhau, xếp chồng lên nhau thành ba tầng. Quy ước: số thứ nhất là hàng, số thứ hai là cột, số thứ ba là tầng (tầng dưới cùng là tầng 1). Một người giấu một hạt đậu vào một ô rồi chỉ đọc ba con số, ví dụ (2; 5; 3); người kia phải mở đúng ô ngay lần đầu. Sau đó đổi vai, và thử đổi quy ước: đếm hàng từ phía bên kia. Cùng một ô, ba con số đã khác đi. Hỏi nhau: hai ô nằm thẳng đứng trên nhau thì khác nhau ở con số nào? ## Lời thoại video ### 0:00 Mở đầu: bạn mình ở tầng nào? Mở bản đồ trên điện thoại, bạn thấy một chấm nhỏ nhấp nháy: đó là chỗ người bạn của mình đang đứng. Tới nơi, hoá ra đó là một toà nhà 30 tầng. Bạn ấy đang ở tầng nào? Hai con số của bản đồ không trả lời được. Muốn tìm đúng người, phải thêm một con số thứ ba: độ cao. Hôm nay bạn sẽ học cách ghi một vị trí trong không gian bằng ba con số: hệ trục toạ độ Oxyz, toạ độ của điểm, và toạ độ của vectơ. ### 0:32 Trục thứ ba đến muộn Toạ độ trên mặt phẳng, với hai con số, đã có từ thế kỉ 17. Đến năm 1700, ở Pháp, đã có người viết về hình học với ba toạ độ. Nhưng người làm nó thành hình là Clairaut, một thiếu niên ở Paris. Mới 16 tuổi, cậu đã viết xong một công trình về những đường cong uốn lượn trong không gian. Năm 1731, công trình được in, và cậu được nhận vào Viện Hàn lâm Khoa học Paris khi mới 18 tuổi. Muốn tả một đường cong như thế, hai con số là không đủ. Phải có trục thứ ba. ### 1:07 Hệ trục toạ độ Oxyz Trước hết là hệ trục. Lấy ba trục Ox, Oy, Oz, chung gốc O và đôi một vuông góc với nhau. Trên mỗi trục có một vectơ đơn vị, dài bằng 1: vectơ i, vectơ j, vectơ k. Đó là hệ trục toạ độ Oxyz. Điểm O gọi là gốc toạ độ. Ba trục, lấy từng đôi, tạo thành ba mặt phẳng toạ độ. Ba mặt phẳng này cũng đôi một vuông góc. Ví dụ 1: máy in 3D. Đầu phun trượt theo ba thanh ray đôi một vuông góc: ra trước, sang ngang, và lên cao. Ba thanh ray ấy chính là ba trục, còn mặt bàn in là một mặt phẳng toạ độ. Ví dụ 2: giá ba chân của máy ảnh. Ba chân cũng chụm về một điểm. Dùng chúng làm ba trục được không? Không được. Ba chân choãi ra, nhưng góc giữa chúng không phải góc vuông. Thiếu vuông góc thì không thành hệ trục toạ độ. ### 2:04 Toạ độ của điểm Bây giờ, toạ độ của điểm. Từ gốc O, muốn tới một điểm M, ta đi dọc theo vectơ i, rồi theo vectơ j, rồi theo vectơ k. Ba hệ số trong cách viết ấy là duy nhất. Viết đúng thứ tự, chúng là toạ độ của M: hoành độ, tung độ, cao độ. Ví dụ 1. Trong một màn trình diễn ánh sáng, một chiếc drone cất cánh từ gốc O. Nó bay 3 đơn vị theo trục Ox, 6 đơn vị theo trục Oy, rồi lên cao 4 đơn vị. Vectơ OM = 3i + 6j + 4k. Vậy M có toạ độ (3; 6; 4). Ví dụ 2. Hạ M thẳng xuống mặt sân, ta được hình chiếu của nó: điểm (3; 6; 0). Nằm trên mặt sân thì cao độ bằng 0. Còn điểm trên trục Oz, ngang tầm với M, là (0; 0; 4). Nhớ nhé: toạ độ nào không có thì ghi số 0, tuyệt đối không bỏ trống. ### 3:04 Toạ độ của vectơ Vectơ cũng có toạ độ. Mọi vectơ a đều viết được, theo đúng một cách, qua ba vectơ i, j, k. Ba hệ số ấy là toạ độ của vectơ a. Đặt gốc của vectơ a vào điểm O, ngọn của nó chỉ đúng điểm M có cùng toạ độ. Nói cách khác: toạ độ của vectơ OM chính là toạ độ của điểm M. Còn vectơ nối hai điểm A, B bất kì thì sao? Lấy toạ độ điểm cuối, trừ toạ độ điểm đầu. Ví dụ 1. Chiếc drone đổi đội hình, bay từ A(1; 4; 2) tới B(5; 1; 3). 5 − 1 = 4. 1 − 4 = −3. 3 − 2 = 1. Vectơ AB có toạ độ (4; −3; 1). Ví dụ 2: vectơ u = 2i − 3k. Không có vectơ j, nên tung độ bằng 0. Toạ độ của u là (2; 0; −3). ### 4:04 Ba điều cần nhớ Tóm lại, có ba điều. Một: hệ trục Oxyz gồm ba trục chung gốc, đôi một vuông góc. Hai: toạ độ của điểm M cũng là toạ độ của vectơ OM. Ba: toạ độ của vectơ AB bằng toạ độ điểm B trừ toạ độ điểm A. Hệ thống định vị vệ tinh cũng làm đúng như vậy: nó dùng một hệ trục đặt gốc ở tâm Trái Đất, và vị trí của bạn là ba con số tính từ đó. ### 4:31 Dạng 1: Đọc toạ độ điểm trên hình Dạng 1: đọc toạ độ của điểm trên hình. Cách làm: từ gốc O, đi dọc theo ba trục để tới điểm đó. Mỗi quãng đi là một toạ độ. Cho hình hộp chữ nhật có một đỉnh là gốc O. Ba đỉnh A, C, D nằm trên ba tia Ox, Oy, Oz, với OA = 4, OC = 7, OD = 5. Câu a: tìm toạ độ của đỉnh B và đỉnh Q. Câu b: tìm toạ độ của đỉnh P. Bạn tạm dừng video và thử làm. Câu a. Tới B: đi 4 theo trục Ox, rồi 7 theo trục Oy, không lên cao. B có toạ độ (4; 7; 0). Từ B đi thẳng lên 5 đơn vị là tới Q. Q có toạ độ (4; 7; 5). Câu b. Nhiều bạn viết P là (4; 5; 0). Nhưng tới P, ta không đi theo trục Oy một bước nào. Tung độ bằng 0, còn số 5 phải đứng ở vị trí cao độ. P có toạ độ (4; 0; 5). ### 5:41 Dạng 2: Tìm toạ độ vectơ Dạng 2: tìm toạ độ của vectơ. Cách làm: biết hai đầu mút thì lấy điểm cuối trừ điểm đầu, từng toạ độ một. Cho điểm A(2; −1; 3) và điểm B(5; 4; −2). Câu a: tìm toạ độ vectơ AB. Câu b: tìm toạ độ vectơ BA. Câu c: viết vectơ AB theo ba vectơ đơn vị. Bạn thử làm nhé. Câu a. 5 − 2 = 3. 4 − (−1) = 5. −2 − 3 = −5. Vectơ AB là (3; 5; −5). Câu b. Đổi chiều thì điểm cuối là A, nên mọi toạ độ đổi dấu. Vectơ BA là (−3; −5; 5). Lỗi hay gặp nhất ở dạng này là lấy đầu trừ cuối: tính vectơ AB mà lại ra vectơ BA. Câu c. Vectơ AB = 3i + 5j − 5k. ### 6:53 Dạng 3: Tìm điểm nhờ vectơ bằng nhau Dạng 3: tìm một điểm nhờ hai vectơ bằng nhau. Hai vectơ bằng nhau khi ba toạ độ tương ứng bằng nhau. Cách làm: gọi toạ độ điểm cần tìm là ẩn, rồi cho từng toạ độ bằng nhau. Cho ba điểm: A(1; 2; 0), B(4; 3; 2), C(6; −1; 5). Tìm điểm D để ABCD là hình bình hành. Bạn tạm dừng và thử làm. ABCD là hình bình hành thì vectơ AD bằng vectơ BC. Tính vectơ BC: 6 − 4 = 2, −1 − 3 = −4, 5 − 2 = 3. Gọi D có toạ độ (x; y; z). Vectơ AD là (x − 1; y − 2; z). Cho bằng nhau: x − 1 = 2, y − 2 = −4, z = 3. Vậy D có toạ độ (3; −2; 3). ### 7:59 Dạng 4: Bài toán thực tế Dạng 4: bài toán thực tế. Cách làm: chọn hệ trục, ghi các vị trí thành toạ độ, rồi tính như dạng 2 và dạng 3. Một nhóm khảo sát hang động chọn gốc O ở cửa hang, trục Ox hướng đông, Oy hướng bắc, Oz hướng thẳng lên, đơn vị là mét. Họ đi từ trạm A(20; 15; −8) tới trạm B(50; −25; −20). Câu a: tìm vectơ độ dịch chuyển AB và nêu ý nghĩa. Câu b: nếu đi tiếp đúng một độ dịch chuyển như thế nữa, họ tới điểm C nào? Bạn thử nhé. Câu a. 50 − 20 = 30. −25 − 15 = −40. −20 − (−8) = −12. Vectơ AB là (30; −40; −12): sang đông 30 mét, về nam 40 mét, và xuống thấp thêm 12 mét. Câu b. Vectơ BC bằng vectơ AB, nên từ B, mỗi toạ độ thay đổi thêm đúng chừng ấy. Điểm C có toạ độ (80; −65; −32). ### 9:13 Kết bài Tóm lại. Hệ trục Oxyz: ba trục chung gốc, đôi một vuông góc. Toạ độ của điểm: ba con số, đúng thứ tự hoành độ, tung độ, cao độ. Toạ độ của vectơ: điểm cuối trừ điểm đầu. Bạn vừa luyện 4 dạng: đọc toạ độ điểm, tìm toạ độ vectơ, tìm điểm nhờ vectơ bằng nhau, và bài toán thực tế. Làm thêm bài tập về nhà để nhớ lâu nhé.