# Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ – Toán lớp 12, Bài 8 > Trên sân bóng lớn có chiếc camera treo lơ lửng bằng bốn sợi cáp. Với phần mềm điều khiển, vị trí của nó chỉ là một bộ ba con số. Từ những bộ ba con số như vậy, bạn tính được camera cách quả bóng bao xa và cần xoay một góc bao nhiêu độ. Bài này cho bạn đúng bộ công cụ đó. - Trang bài: https://anim.vn/lop-12/toan/bai-08-bieu-thuc-toa-do-cua-cac-phep-toan-vecto/ - Video: https://youtu.be/r0i-jtna-ko (9:33) - Thuộc: Toán lớp 12 · Bài 8 - Bài tập về nhà (PDF, có lời giải): https://anim.vn/media/lop12-toan-bai-08/bai-tap-ve-nha.pdf ## Mục lục video - 0:00 Mở đầu: camera treo cáp và ba con số - 0:27 Dấu chấm và "quái vật lai" - 1:09 Cộng, trừ, nhân với một số - 2:20 Trung điểm, trọng tâm - 3:05 Tích vô hướng - 3:59 Độ dài, khoảng cách, góc - 5:15 Dạng 1: Tính toạ độ vectơ - 6:27 Dạng 2: Tích vô hướng, độ dài, góc - 7:37 Dạng 3: Bài toán thực tế - 9:05 Kết bài Trên sân bóng lớn có chiếc camera treo lơ lửng bằng bốn sợi cáp. Với phần mềm điều khiển, vị trí của nó chỉ là một bộ ba con số. Từ những bộ ba con số như vậy, bạn tính được camera cách quả bóng bao xa và cần xoay một góc bao nhiêu độ. Bài này cho bạn đúng bộ công cụ đó. Tin vui: mọi công thức ở đây **giống hệt trong mặt phẳng** mà bạn đã học ở lớp 10, chỉ thêm một toạ độ thứ ba. Trong cả bài, ta xét hệ toạ độ Oxyz, với `a = (x; y; z)` và `b = (x'; y'; z')` là hai vectơ. ## 1. Cộng, trừ, nhân với một số Làm trên **từng toạ độ**: - `a + b = (x + x'; y + y'; z + z')` - `a − b = (x − x'; y − y'; z − z')` - `k·a = (kx; ky; kz)` với k là một số thực **Ví dụ 1 (cánh tay robot).** Cánh tay robot trong kho hàng dịch chuyển theo vectơ `u = (3; 2; 0)`, rồi dịch tiếp theo vectơ `v = (−1; 1; 4)`. Đặt gốc của v vào ngọn của u, ta thấy tổng cộng robot đã dịch theo `u + v = (3 + (−1); 2 + 1; 0 + 4) = (2; 3; 4)`. **Ví dụ 2.** Cho `a = (1; −2; 4)` và `b = (3; 0; −1)`. Khi đó `2a = (2; −4; 8)` và `2a − b = (2 − 3; −4 − 0; 8 − (−1)) = (−1; −4; 9)`. **Hai vectơ cùng phương.** Vectơ `c = (−2; 4; −8)` đúng bằng `−2a`. Hai vectơ mà vectơ này bằng một số nhân với vectơ kia thì cùng phương. Vectơ đối của a là `−a = (−x; −y; −z)`. ## 2. Trung điểm và trọng tâm - Trung điểm M của đoạn thẳng AB: cộng toạ độ hai đầu mút rồi **chia 2**. `M = ((xA + xB)/2; (yA + yB)/2; (zA + zB)/2)` - Trọng tâm G của tam giác ABC: cộng toạ độ ba đỉnh rồi **chia 3**. `G = ((xA + xB + xC)/3; (yA + yB + yC)/3; (zA + zB + zC)/3)` **Ví dụ 1 (dây trượt).** Một dây trượt căng thẳng từ đỉnh tháp `A(0; 0; 12)` xuống bãi đáp `B(40; 30; 2)`. Điểm chính giữa dây có toạ độ `((0 + 40)/2; (0 + 30)/2; (12 + 2)/2) = (20; 15; 7)`. **Ví dụ 2.** Tam giác có ba đỉnh `(3; 0; −1)`, `(−1; 4; 2)`, `(4; 2; 5)`. Trọng tâm là `((3 − 1 + 4)/3; (0 + 4 + 2)/3; (−1 + 2 + 5)/3) = (2; 2; 2)`. ## 3. Tích vô hướng Nhân từng cặp toạ độ tương ứng rồi cộng lại: `a · b = xx' + yy' + zz'` Kết quả là **một con số**, không phải vectơ. **Hai vectơ (khác vectơ không) vuông góc khi và chỉ khi tích vô hướng bằng 0.** **Ví dụ 1 (hai tia laser).** Hai tia laser chiếu theo hai hướng `a = (2; 1; −2)` và `b = (1; 2; 2)`. `a · b = 2·1 + 1·2 + (−2)·2 = 2 + 2 − 4 = 0`. Hai tia vuông góc với nhau, không cần thước đo góc. **Ví dụ 2.** `p = (3; −1; 2)` và `q = (2; 4; −3)`. `p · q = 6 − 4 − 6 = −4 ≠ 0`, nên hai vectơ này không vuông góc. ## 4. Độ dài, khoảng cách, góc - Độ dài: `|a| = √(x² + y² + z²)`. Đây là định lí Pythagore trong không gian (đường chéo của hình hộp chữ nhật có ba kích thước x, y, z). - Khoảng cách giữa hai điểm: `AB = √((xB − xA)² + (yB − yA)² + (zB − zA)²)`. - Góc giữa hai vectơ khác vectơ không: `cos(a, b) = (a · b) / (|a| · |b|)`. **Ví dụ 1 (độ dài).** `a = (2; 1; −2)` có `|a| = √(4 + 1 + 4) = √9 = 3`. **Ví dụ 2 (khoảng cách).** `A(1; −1; 2)`, `B(4; 3; 14)`. Vectơ AB = `(3; 4; 12)`, nên `AB = √(9 + 16 + 144) = √169 = 13`. **Ví dụ 3 (góc).** `u = (1; 0; 1)`, `v = (0; 1; 1)`. Tích vô hướng bằng 1, mỗi độ dài bằng √2, nên `cos(u, v) = 1/(√2 · √2) = 1/2`. Góc là 60°. **Ví dụ 4 (góc).** Hai tia laser ở mục 3 có tích vô hướng bằng 0, nên cos bằng 0 và góc là 90°. ## Bảng công thức | Phép toán | Công thức | Kết quả là | |---|---|---| | Cộng, trừ | `a ± b = (x ± x'; y ± y'; z ± z')` | vectơ | | Nhân với số k | `k·a = (kx; ky; kz)` | vectơ | | Cùng phương | `a = k·b` (b khác vectơ không) | điều kiện | | Trung điểm | cộng hai đầu mút, chia 2 | điểm | | Trọng tâm | cộng ba đỉnh, chia 3 | điểm | | Tích vô hướng | `a · b = xx' + yy' + zz'` | số | | Vuông góc | `a · b = 0` | điều kiện | | Độ dài | `|a| = √(x² + y² + z²)` | số không âm | | Góc | `cos(a, b) = (a · b)/(|a| · |b|)` | số từ −1 đến 1 | ## Lỗi hay gặp 1. **Trừ số âm.** `6 − (−2) = 8`, không phải 4. Viết hẳn dấu ngoặc ra rồi mới tính. 2. **Trọng tâm mà chia 2.** Hai điểm thì chia 2, ba đỉnh thì chia 3. 3. **Viết tích vô hướng thành một vectơ.** `a · b` là một con số. Đừng viết `(xx'; yy'; zz')`. 4. **Lấy nhầm chiều vectơ khi tính góc của tam giác.** Góc tại đỉnh D là góc giữa hai vectơ **chung gốc D** (vectơ DE và vectơ DK). Nếu dùng vectơ ED thì bạn ra góc bù. 5. **Toạ độ vectơ AB.** Lấy điểm cuối trừ điểm đầu: `(xB − xA; yB − yA; zB − zA)`, không phải ngược lại. 6. **Quên bình phương số âm.** `(−21)² = 441`, luôn dương. 7. **cos âm.** cos âm nghĩa là góc tù (lớn hơn 90°), không phải tính sai. ## Bài tập theo dạng ### Dạng 1. Tính toạ độ của vectơ Cách làm: nhân hệ số vào từng vectơ trước, rồi cộng trừ theo từng toạ độ. **Bài 1.** Cho `a = (2; −3; 1)` và `b = (−1; 4; 0)`. a) Tính `3a − 2b`. b) Tìm x, y để vectơ `c = (x; 6; y)` cùng phương với a.
Đáp án a) `3a = (6; −9; 3)`, `2b = (−2; 8; 0)`. Vậy `3a − 2b = (6 − (−2); −9 − 8; 3 − 0) = (8; −17; 3)`. b) `c = k·a` nên `(x; 6; y) = (2k; −3k; k)`. Từ `6 = −3k` suy ra `k = −2`. Vậy `x = −4`, `y = −2`.
**Bài 2.** Cho `A(2; 5; −3)` và `B(6; −1; 1)`. Tìm toạ độ trung điểm của đoạn thẳng AB.
Đáp án `((2 + 6)/2; (5 − 1)/2; (−3 + 1)/2) = (4; 2; −1)`.
### Dạng 2. Tích vô hướng, độ dài, góc Cách làm: tìm toạ độ hai vectơ chung gốc, tính tích vô hướng, tính hai độ dài, rồi thay vào công thức cos. **Bài 3.** Cho tam giác DEK với `D(1; 2; 0)`, `E(3; 1; 2)`, `K(2; 4; 2)`. Tính góc tại đỉnh D.
Đáp án Vectơ DE = `(2; −1; 2)`, vectơ DK = `(1; 2; 2)`. Tích vô hướng: `2 − 2 + 4 = 4`. Độ dài: cả hai đều bằng `√(4 + 1 + 4) = 3`. `cos D = 4/(3·3) = 4/9`, nên góc D ≈ 63,6°. (Nếu lấy nhầm vectơ ED thì ra góc bù, khoảng 116,4°.)
**Bài 4.** Tìm m để hai vectơ `u = (m; 2; −1)` và `v = (3; m; 5)` vuông góc.
Đáp án `u · v = 3m + 2m − 5 = 5m − 5`. Cho bằng 0 ta được `m = 1`.
### Dạng 3. Bài toán thực tế Cách làm: đổi mỗi vật thành một điểm có toạ độ, mỗi hướng thành một vectơ, rồi dùng công thức độ dài và góc. **Bài 5.** Sân bóng dài 100 m, rộng 60 m. Chọn hệ trục có gốc O ở một góc sân, mặt sân là mặt phẳng (Oxy), đơn vị là mét. Camera treo cáp ở `C(50; 30; 21)`, quả bóng ở `B(62; 14; 0)`, một cầu thủ đứng ở `P(70; 30; 0)`. a) Camera cách quả bóng bao xa? b) Đang hướng vào quả bóng, camera phải xoay một góc bao nhiêu để hướng vào cầu thủ?
Đáp án a) Vectơ CB = `(12; −16; −21)`. `CB = √(144 + 256 + 441) = √841 = 29` (m). b) Vectơ CP = `(20; 0; −21)`, `CP = √(400 + 441) = 29`. Tích vô hướng: `12·20 + (−16)·0 + (−21)·(−21) = 240 + 0 + 441 = 681`. `cos α = 681/(29·29) = 681/841 ≈ 0,81`, nên α ≈ 36°.
**Bài 6.** Dây trượt ở mục 2 căng thẳng từ `A(0; 0; 12)` xuống `B(40; 30; 2)` (đơn vị mét). Dây dài bao nhiêu mét? Làm tròn đến hàng phần mười.
Đáp án Vectơ AB = `(40; 30; −10)`. `AB = √(1600 + 900 + 100) = √2600 ≈ 51,0` (m).
## Chuyện bên lề: dấu chấm và "con quái vật lai" Dấu chấm trong `a · b` có một lịch sử khá ồn ào. Năm 1843, nhà toán học Ireland William Rowan Hamilton nghĩ ra **quaternion**, một loại số có bốn thành phần `a + bi + cj + dk`. Người ta dùng nó để tính toán với các đại lượng có hướng trong không gian. Rắc rối ở chỗ: nhân hai quaternion với nhau thì kết quả lẫn cả một phần số lẫn một phần vectơ, muốn dùng riêng thứ nào phải bóc tách. Khoảng năm 1881, giáo sư Josiah Willard Gibbs ở Đại học Yale (Mỹ) cho in riêng một tập bài giảng dành cho sinh viên của mình. Trong đó ông tách hẳn hai thứ ấy thành hai phép nhân riêng. Phép nhân cho ra một con số được kí hiệu bằng một dấu chấm, chính là tích vô hướng bạn vừa học. Những người yêu quaternion không vui. Năm 1890, giáo sư Peter Guthrie Tait viết rằng hệ kí hiệu của Gibbs là "một thứ quái vật lưỡng tính", ghép từ kí hiệu của hai người khác. Hai bên tranh luận qua lại trên tạp chí khoa học suốt mấy năm. Kết cục: năm 1901, một học trò của Gibbs soạn tập bài giảng thành sách giáo khoa *Vector Analysis*, và cách viết này thắng. Ngày nay cả thế giới dùng dấu chấm của Gibbs. **Ngày nay dùng vào đâu?** - **Tìm kiếm văn bản.** Mỗi văn bản được biến thành một vectơ (mỗi từ ứng với một toạ độ). Muốn biết hai văn bản giống nhau tới đâu, người ta tính cos của góc giữa hai vectơ, đúng bằng công thức của bài này: tích vô hướng chia tích hai độ dài. Chỉ khác là vectơ có hàng nghìn toạ độ thay vì ba. - **Vật lí.** Công của một lực bằng tích vô hướng của vectơ lực và vectơ độ dịch chuyển. Nguồn và mức độ chắc chắn của từng chi tiết: xem `lich-su.md`. ## Trò chơi ở nhà (5 phút): đo bằng toạ độ, kiểm bằng thước Cần: một thước dây, một chồng sách, hai đồ vật nhỏ (cục tẩy, nắp bút). 1. Lấy mặt bàn làm mặt phẳng (Oxy), một góc bàn làm gốc O, hai mép bàn làm trục Ox và Oy, đơn vị là xăng-ti-mét. 2. Đặt cục tẩy lên mặt bàn, đặt nắp bút lên chồng sách. Đo ba toạ độ của mỗi vật (toạ độ thứ ba là độ cao so với mặt bàn). 3. Tính khoảng cách giữa hai vật bằng công thức căn của tổng bình phương. 4. Kéo thước dây đo thẳng từ vật này tới vật kia. Hai kết quả lệch nhau bao nhiêu? Chơi thêm: đặt vật thứ ba, tính góc tại cục tẩy giữa hai hướng nhìn tới hai vật còn lại, rồi ước lượng bằng mắt xem có hợp lí không. ## Lời thoại video ### 0:00 Mở đầu: camera treo cáp và ba con số Trên sân bóng lớn, có một chiếc camera lơ lửng giữa trời, treo bằng 4 sợi cáp kéo từ 4 góc sân. Với phần mềm điều khiển, vị trí của camera chỉ là một bộ ba con số: toạ độ. Vậy mà chỉ từ những bộ ba con số ấy, ta tính được camera cách quả bóng bao xa, và cần xoay một góc bao nhiêu độ. Hôm nay bạn sẽ tự làm những phép tính đó: cộng, trừ, tích vô hướng, độ dài và góc. ### 0:27 Dấu chấm và "quái vật lai" Nhưng trước hết, dấu chấm trong tích vô hướng từ đâu ra? Năm 1843, nhà toán học Hamilton, người Ireland, nghĩ ra một loại số có 4 thành phần, gọi là quaternion. Nhân hai số ấy với nhau, kết quả lẫn cả phần số lẫn phần vectơ, rất rối. Khoảng năm 1881, ở nước Mỹ, giáo sư Gibbs in một tập bài giảng cho sinh viên. Ông tách phần số ra thành một phép nhân riêng, kí hiệu bằng một dấu chấm. Một giáo sư nổi tiếng thời đó chê cách viết này là: “quái vật lai”. Vậy mà chính con quái vật ấy thắng cuộc. Ngày nay, cả thế giới dùng dấu chấm của Gibbs. ### 1:09 Cộng, trừ, nhân với một số Bắt đầu từ phép cộng. Quy tắc rất gọn: toạ độ nào cộng với toạ độ ấy. Phép trừ cũng vậy. Còn nhân một số với vectơ, thì nhân số đó vào cả ba toạ độ. Giống hệt trong mặt phẳng, chỉ thêm một toạ độ thứ ba. Ví dụ 1. Cánh tay robot trong kho hàng dịch chuyển theo vectơ u = (3; 2; 0). Rồi dịch tiếp theo vectơ v = (−1; 1; 4). Đặt gốc của v vào ngọn của u. Tổng cộng, robot đã dịch theo vectơ u + v. 3 + (−1) = 2; 2 + 1 = 3; 0 + 4 = 4. Ví dụ 2. Cho vectơ a = (1; −2; 4) và vectơ b = (3; 0; −1). Tính 2a − b. 2a = (2; −4; 8). Trừ đi b, ta được (−1; −4; 9). Thêm một ý. Vectơ c = (−2; 4; −8) đúng bằng −2 lần vectơ a. Hai vectơ hơn kém nhau một hệ số như thế thì cùng phương. ### 2:20 Trung điểm, trọng tâm Trung điểm của đoạn thẳng: cộng toạ độ hai đầu mút rồi chia 2. Trọng tâm của tam giác: cộng toạ độ ba đỉnh rồi chia 3. Ví dụ 1. Một dây trượt căng thẳng từ đỉnh tháp A(0; 0; 12) xuống bãi đáp B(40; 30; 2). Điểm chính giữa dây có toạ độ (20; 15; 7). Ví dụ 2. Tam giác có ba đỉnh: (3; 0; −1), (−1; 4; 2) và (4; 2; 5). Cộng từng toạ độ rồi chia 3: trọng tâm là điểm (2; 2; 2). Nhớ nhé: ba đỉnh thì chia 3, đừng chia 2 theo thói quen. ### 3:05 Tích vô hướng Bây giờ tới nhân vật chính: tích vô hướng. Nhân từng cặp toạ độ tương ứng, rồi cộng ba kết quả lại. Kết quả là một con số, không phải vectơ. Và đây là điều lợi hại nhất: hai vectơ vuông góc khi và chỉ khi tích vô hướng bằng 0. Ví dụ 1. Hai tia laser chiếu theo hai hướng: vectơ a = (2; 1; −2) và vectơ b = (1; 2; 2). 2 · 1 = 2; 1 · 2 = 2; (−2) · 2 = −4. Cộng lại, bằng 0. Hai tia laser vuông góc với nhau. Không cần thước đo góc. Ví dụ 2. Vectơ p = (3; −1; 2) và vectơ q = (2; 4; −3). 6 − 4 − 6 = −4. Khác 0, nên hai vectơ này không vuông góc. ### 3:59 Độ dài, khoảng cách, góc Từ tích vô hướng, ta đo được độ dài và góc. Độ dài của vectơ bằng căn bậc hai của tổng bình phương ba toạ độ. Đó chính là định lí Pythagore trong không gian. Vectơ a lúc nãy, a = (2; 1; −2): 4 + 1 + 4 = 9. Căn 9 bằng 3. Muốn tính khoảng cách giữa hai điểm, lấy toạ độ điểm cuối trừ điểm đầu, rồi tính độ dài. Với A(1; −1; 2) và B(4; 3; 14): vectơ AB = (3; 4; 12). 9 + 16 + 144 = 169. Khoảng cách là 13. Còn góc: cos của góc giữa hai vectơ bằng tích vô hướng chia cho tích hai độ dài. Với u = (1; 0; 1) và v = (0; 1; 1): tích vô hướng bằng 1, mỗi độ dài bằng căn 2. cos bằng 1/2, nên góc là 60°. Hai tia laser lúc nãy có tích vô hướng bằng 0, nên cos bằng 0, góc là 90°. Ngày nay, các hệ thống tìm kiếm văn bản cũng dùng đúng công thức cos này để đo hai văn bản giống nhau tới đâu. Chỉ khác là vectơ có hàng nghìn toạ độ. ### 5:15 Dạng 1: Tính toạ độ vectơ Dạng 1: tính toạ độ của vectơ. Cách làm: nhân hệ số vào từng vectơ trước, rồi cộng trừ theo từng toạ độ. Cho vectơ a = (2; −3; 1) và vectơ b = (−1; 4; 0). Câu a: tính 3a − 2b. Câu b: tìm x và y để vectơ c = (x; 6; y) cùng phương với a. Bạn tạm dừng video và thử làm nhé. Câu a. 3a = (6; −9; 3). 2b = (−2; 8; 0). Trừ từng toạ độ. 6 − (−2) = 8; −9 − 8 = −17; 3 − 0 = 3. Chỗ dễ sai là trừ số âm: 6 − (−2) = 8, chứ không phải 4. Câu b. Cùng phương nghĩa là c = k · a. Nhìn toạ độ thứ hai: 6 = k · (−3), nên k = −2. Suy ra x = −2 · 2 = −4. Còn y = −2 · 1 = −2. ### 6:27 Dạng 2: Tích vô hướng, độ dài, góc Dạng 2: tích vô hướng, độ dài và góc. Cách làm: tìm toạ độ hai vectơ chung gốc, tính tích vô hướng, tính hai độ dài, rồi thay vào công thức cos. Cho tam giác DEK. D(1; 2; 0), E(3; 1; 2), K(2; 4; 2). Tính góc tại đỉnh D. Bạn tạm dừng video và thử làm nhé. Góc tại D là góc giữa hai vectơ chung gốc D: vectơ DE và vectơ DK. Lấy toạ độ ngọn trừ toạ độ gốc. Vectơ DE = (2; −1; 2). Vectơ DK = (1; 2; 2). Tích vô hướng: 2 − 2 + 4 = 4. Độ dài: 4 + 1 + 4 = 9, nên cả hai vectơ đều dài 3. cos bằng 4/9. Bấm máy, góc tại D xấp xỉ 63,6°. Cẩn thận: nếu lấy nhầm vectơ ED, ngược chiều, bạn sẽ ra góc bù, khoảng 116°. ### 7:37 Dạng 3: Bài toán thực tế Dạng 3: bài toán thực tế. Trở lại với chiếc camera trên sân bóng. Cách làm: đổi mỗi vật thành một điểm, mỗi hướng thành một vectơ, rồi tính độ dài và góc. Sân dài 100 m, rộng 60 m. Gốc toạ độ đặt ở một góc sân, đơn vị là mét. Camera ở điểm C(50; 30; 21). Quả bóng ở điểm B(62; 14; 0). Một cầu thủ đứng ở điểm P(70; 30; 0). Câu a: camera cách quả bóng bao xa? Câu b: đang hướng vào quả bóng, camera phải xoay một góc bao nhiêu để hướng vào cầu thủ? Bạn tạm dừng video và thử làm nhé. Câu a. Vectơ CB = (12; −16; −21). Bình phương rồi cộng lại: 144 + 256 + 441 = 841. Căn ra, đúng 29 m. Câu b. Vectơ CP = (20; 0; −21). Nó cũng dài 29. Tích vô hướng: 240 + 0 + 441 = 681. cos bằng 681 chia 841, khoảng 0,81. Camera phải xoay khoảng 36°. ### 9:05 Kết bài Tóm lại. Cộng, trừ, nhân với số: làm trên từng toạ độ. Tích vô hướng: nhân từng cặp rồi cộng lại. Bằng 0 thì vuông góc. Độ dài: căn của tổng bình phương. Góc: tích vô hướng chia tích hai độ dài. Ba dạng vừa luyện: tính toạ độ vectơ, tính độ dài và góc, và bài toán thực tế. Làm thêm bài tập về nhà để thành thạo nhé. Hẹn gặp bạn ở bài sau!