# Phương trình mặt phẳng – Toán lớp 12, Bài 14

> Một mặt phẳng có vô số điểm, nhưng chỉ cần bốn con số là ghi lại được trọn vẹn nó. Bài này chỉ cho bạn cách đổi mặt phẳng thành phương trình, rồi dùng phương trình để xét song song, vuông góc và tính khoảng cách.

- Trang bài: https://anim.vn/lop-12/toan/bai-14-phuong-trinh-mat-phang/
- Video: https://youtu.be/jmAylfaTuB4 (9:47)
- Thuộc: Toán lớp 12 · Bài 14
- Bài tập về nhà (PDF, có lời giải): https://anim.vn/media/lop12-toan-bai-14/bai-tap-ve-nha.pdf

## Mục lục video

- 0:00 Mở đầu: mặt phẳng trong bốn con số
- 0:23 Hình học không cần hình vẽ
- 0:54 Vectơ pháp tuyến
- 1:31 Cặp vectơ chỉ phương, tích có hướng
- 2:26 Phương trình tổng quát
- 3:49 Vuông góc, song song, khoảng cách
- 4:53 Mọi thứ xoay quanh pháp tuyến
- 5:21 Dạng 1: Lập phương trình mặt phẳng
- 6:36 Dạng 2: Song song, vuông góc
- 7:52 Dạng 3: Khoảng cách
- 9:25 Kết bài

> Một mặt phẳng có vô số điểm, nhưng chỉ cần **bốn con số** là ghi lại được trọn vẹn nó. Bài này chỉ cho bạn cách đổi mặt phẳng thành phương trình, rồi dùng phương trình để xét song song, vuông góc và tính khoảng cách.

Bạn cần nhớ lại: toạ độ của vectơ trong không gian, tích vô hướng, độ dài vectơ.

## 1. Vectơ pháp tuyến

Vectơ $\vec{n} \ne \vec{0}$ có **giá vuông góc với mặt phẳng** $(P)$ gọi là **vectơ pháp tuyến** của $(P)$.

- Nếu $\vec{n}$ là vectơ pháp tuyến thì $k\vec{n}$ ($k \ne 0$) cũng vậy. Một mặt phẳng có vô số vectơ pháp tuyến, tất cả cùng phương.
- Biết **một điểm** và **một vectơ pháp tuyến** là mặt phẳng hoàn toàn xác định.

**Ví dụ 1.** Một tấm pin mặt trời phẳng. Mũi tên vuông góc với mặt tấm pin là một vectơ pháp tuyến. Kéo mũi tên dài gấp ba, hay quay ngược nó lại, nó vẫn vuông góc với tấm pin, nên vẫn là vectơ pháp tuyến.

**Ví dụ 2.** Mặt phẳng $(Oxy)$ vuông góc với trục $Oz$ nên $\vec{k} = (0; 0; 1)$ là một vectơ pháp tuyến của nó. Còn $\vec{i} = (1; 0; 0)$ nằm ngay trong $(Oxy)$ nên không phải.

## 2. Cặp vectơ chỉ phương và tích có hướng

Hai vectơ $\vec{u}$, $\vec{v}$ **không cùng phương**, có giá nằm trong hoặc song song với $(P)$, gọi là **cặp vectơ chỉ phương** của $(P)$.

Muốn có vectơ pháp tuyến, ta cần một vectơ vuông góc với cả $\vec{u}$ và $\vec{v}$. Đó là **tích có hướng**:

$$\vec{u} = (a; b; c),\ \vec{v} = (a'; b'; c') \ \Rightarrow\ [\vec{u}, \vec{v}] = (bc' - b'c;\ ca' - c'a;\ ab' - a'b).$$

Cách nhớ: viết hai vectơ thành hai hàng. Che cột 1, nhân chéo hai cột còn lại rồi trừ, được toạ độ thứ nhất. Che cột 2, lấy hai cột còn lại **theo thứ tự xoay vòng** (cột 3 rồi cột 1), được toạ độ thứ hai. Che cột 3, được toạ độ thứ ba.

**Ví dụ 1.** $\vec{u} = (1; 2; 0)$, $\vec{v} = (0; 1; 3)$.

$[\vec{u}, \vec{v}] = (2\cdot 3 - 1\cdot 0;\ 0\cdot 0 - 3\cdot 1;\ 1\cdot 1 - 0\cdot 2) = (6; -3; 1)$.

Thử lại bằng tích vô hướng: $6\cdot 1 - 3\cdot 2 + 1\cdot 0 = 0$ và $6\cdot 0 - 3\cdot 1 + 1\cdot 3 = 0$. Đúng là vuông góc với cả hai.

**Ví dụ 2.** $\vec{u} = (1; -2; 3)$, $\vec{v} = (-2; 4; -6)$. Vì $\vec{v} = -2\vec{u}$ nên hai vectơ cùng phương, và $[\vec{u}, \vec{v}] = (0; 0; 0)$. Hai vectơ cùng phương **không** làm thành cặp vectơ chỉ phương.

## 3. Phương trình tổng quát của mặt phẳng

Mặt phẳng $(P)$ qua $M_0(x_0; y_0; z_0)$, có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (A; B; C)$. Điểm $M(x; y; z)$ thuộc $(P)$ khi và chỉ khi $\vec{n} \cdot \overrightarrow{M_0M} = 0$, tức là

$$A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0 \iff Ax + By + Cz + D = 0.$$

Dạng $Ax + By + Cz + D = 0$ ($A$, $B$, $C$ không đồng thời bằng $0$) là **phương trình tổng quát** của mặt phẳng. Đọc ngược lại: mặt phẳng $Ax + By + Cz + D = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $(A; B; C)$.

**Ví dụ 1.** Mặt phẳng qua $(1; 0; 2)$, pháp tuyến $(2; -1; 3)$: $2(x - 1) - y + 3(z - 2) = 0 \iff 2x - y + 3z - 8 = 0$.

**Ví dụ 2.** Mặt phẳng $x - 4z + 5 = 0$ có pháp tuyến $(1; 0; -4)$ (vắng $y$ nghĩa là hệ số bằng $0$). Điểm $(3; 7; 2)$ thuộc mặt phẳng vì $3 - 8 + 5 = 0$; điểm $(1; 1; 1)$ không thuộc vì $1 - 4 + 5 = 2 \ne 0$.

### Ba cách cho một mặt phẳng

| Đề cho | Cách lấy vectơ pháp tuyến |
|---|---|
| Một điểm và vectơ pháp tuyến | Có sẵn |
| Một điểm và cặp vectơ chỉ phương $\vec{u}$, $\vec{v}$ | $\vec{n} = [\vec{u}, \vec{v}]$ |
| Ba điểm $A$, $B$, $C$ không thẳng hàng | $\vec{n} = [\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}]$ |

**Ví dụ 3.** Mặt phẳng qua $K(1; 1; 1)$, song song với trục $Ox$ và với giá của $\vec{v} = (0; 2; 1)$. Cặp vectơ chỉ phương là $\vec{i} = (1; 0; 0)$ và $\vec{v}$. $[\vec{i}, \vec{v}] = (0\cdot 1 - 2\cdot 0;\ 0\cdot 0 - 1\cdot 1;\ 1\cdot 2 - 0\cdot 0) = (0; -1; 2)$. Phương trình: $-(y - 1) + 2(z - 1) = 0 \iff y - 2z + 1 = 0$.

**Ví dụ 4 (mặt phẳng cắt ba trục).** Mặt phẳng cắt $Ox$, $Oy$, $Oz$ tại $(2; 0; 0)$, $(0; 5; 0)$, $(0; 0; 4)$ có phương trình $\dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{5} + \dfrac{z}{4} = 1$, tức $10x + 4y + 5z - 20 = 0$. Bạn thử thay ba điểm vào để kiểm tra. Tổng quát, mặt phẳng cắt ba trục tại $(a; 0; 0)$, $(0; b; 0)$, $(0; 0; c)$ với $a, b, c \ne 0$ có phương trình $\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} + \dfrac{z}{c} = 1$.

## 4. Hai mặt phẳng vuông góc, song song

Cho $(\alpha): Ax + By + Cz + D = 0$ và $(\beta): A'x + B'y + C'z + D' = 0$, pháp tuyến $\vec{n}$, $\vec{n'}$.

- **Vuông góc:** $(\alpha) \perp (\beta) \iff \vec{n} \cdot \vec{n'} = 0 \iff AA' + BB' + CC' = 0$.
- **Song song:** $\vec{n'} = k\vec{n}$ và $D' \ne kD$.
- **Trùng nhau:** $\vec{n'} = k\vec{n}$ và $D' = kD$.

**Ví dụ 1.** $x + 2y - z + 1 = 0$ và $3x - y + z - 4 = 0$: $1\cdot 3 + 2\cdot(-1) + (-1)\cdot 1 = 0$ nên vuông góc.

**Ví dụ 2.** $x + 2y - z + 1 = 0$ và $2x + 4y - 2z + 7 = 0$: ba hệ số đầu gấp đôi ($k = 2$) nhưng $7 \ne 2\cdot 1$ nên song song. Nếu số cuối là $2$ thay vì $7$ thì hai mặt phẳng trùng nhau.

## 5. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

$$d\big(M_0, (P)\big) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}.$$

Nói bằng lời: thay toạ độ điểm vào vế trái, lấy trị tuyệt đối, rồi chia cho độ dài vectơ pháp tuyến.

**Ví dụ 1.** $M_0(1; 2; 1)$ và $(P): 4x - 4y + 7z + 15 = 0$: $d = \dfrac{|4 - 8 + 7 + 15|}{\sqrt{16 + 16 + 49}} = \dfrac{18}{9} = 2$.

**Ví dụ 2.** Khoảng cách từ điểm $(1; 1; 1)$ đến mặt phẳng $2x + 3y + 6z - 4 = 0$: $d = \dfrac{|2 + 3 + 6 - 4|}{\sqrt{4 + 9 + 36}} = \dfrac{7}{7} = 1$.

## Bảng tóm tắt

| Việc cần làm | Công cụ |
|---|---|
| Vectơ vuông góc với cả $\vec{u}$, $\vec{v}$ | $[\vec{u}, \vec{v}] = (bc' - b'c;\ ca' - c'a;\ ab' - a'b)$ |
| Viết phương trình | $A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$ |
| Đọc pháp tuyến | $Ax + By + Cz + D = 0 \Rightarrow \vec{n} = (A; B; C)$ |
| Điểm thuộc mặt phẳng | Thay toạ độ vào, vế trái bằng $0$ |
| Vuông góc | $AA' + BB' + CC' = 0$ |
| Song song / trùng nhau | $\vec{n'} = k\vec{n}$, rồi so $D'$ với $kD$ |
| Khoảng cách | $\dfrac{\lvert Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D\rvert}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ |

## Lỗi hay gặp

1. **Sai dấu toạ độ thứ hai của tích có hướng.** Toạ độ thứ hai là $ca' - c'a$ (cột 3 trước, cột 1 sau), không phải $ac' - a'c$. Tính xong nên thử lại: tích vô hướng với $\vec{u}$ và với $\vec{v}$ phải bằng $0$.
2. **Quên đổi dấu khi toạ độ điểm âm.** Qua $H(2; -3; 1)$ thì là $y - (-3) = y + 3$.
3. **Thấy pháp tuyến cùng phương là kết luận song song.** Phải so thêm hệ số tự do: nếu cả bốn hệ số cùng tỉ lệ thì hai mặt phẳng trùng nhau.
4. **Phương trình vắng một ẩn.** $x - 4z + 5 = 0$ vẫn là mặt phẳng trong không gian, pháp tuyến $(1; 0; -4)$, không phải đường thẳng.
5. **Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng $|D - D'|$ chia độ dài pháp tuyến khi hai phương trình chưa cùng hệ số.** Hoặc đưa về cùng hệ số trước, hoặc lấy một điểm trên mặt này rồi tính tới mặt kia.
6. **Quên trị tuyệt đối hoặc quên căn ở mẫu** trong công thức khoảng cách.
7. **Quên điều kiện của phương trình tổng quát.** $Ax + By + Cz + D = 0$ chỉ là phương trình mặt phẳng khi $A$, $B$, $C$ **không đồng thời bằng $0$**. Phương trình có $x^2$, có $xy$ hay có ẩn ở mẫu không phải phương trình mặt phẳng.
8. **Kết luận điểm thuộc mặt phẳng mà không thay số.** Điểm thuộc mặt phẳng khi và chỉ khi toạ độ của nó thoả mãn phương trình; muốn biết thì phải thay vào và tính.

**Hai mẹo đáng nhớ.**

- Mặt phẳng vuông góc với **hai** mặt phẳng cắt nhau thì nhận hai vectơ pháp tuyến của chúng làm cặp vectơ chỉ phương, nên pháp tuyến của nó là tích có hướng của hai pháp tuyến kia.
- Một cách khác để chứng minh hai mặt phẳng song song: chỉ ra chúng có chung một vectơ pháp tuyến, và có một điểm thuộc mặt này mà không thuộc mặt kia.

## Bài tập theo dạng

### Dạng 1. Lập phương trình mặt phẳng

Cách làm: tìm một điểm và một vectơ pháp tuyến (có hai vectơ chỉ phương thì lấy tích có hướng), rồi thay vào $A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$.

**Bài 1.** Viết phương trình mặt phẳng qua $H(2; -3; 1)$, có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (4; 1; -2)$.

<details><summary>Đáp án</summary>

$4(x - 2) + (y + 3) - 2(z - 1) = 0 \iff 4x + y - 2z - 3 = 0$.
</details>

**Bài 2 (trong video).** Một tấm bạt che nắng căng phẳng trên ba đầu cọc $A(0; 0; 3)$, $B(4; 0; 2)$, $C(0; 3; 4)$ (đơn vị: mét). Viết phương trình mặt phẳng chứa tấm bạt.

<details><summary>Đáp án</summary>

$\overrightarrow{AB} = (4; 0; -1)$, $\overrightarrow{AC} = (0; 3; 1)$, $[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}] = (3; -4; 12)$. Qua $A$: $3x - 4y + 12(z - 3) = 0 \iff 3x - 4y + 12z - 36 = 0$.
</details>

### Dạng 2. Hai mặt phẳng song song, vuông góc

Cho $(P): 2x - y + 3z - 5 = 0$.

**Bài 3.** a) $(Q): 4x - 2y + 6z - 10 = 0$ có song song với $(P)$ không? b) Viết phương trình mặt phẳng qua $E(1; 2; -1)$ và song song với $(P)$. c) Tìm $m$ để mặt phẳng $x + my - z + 2 = 0$ vuông góc với $(P)$.

<details><summary>Đáp án</summary>

a) Không. Cả bốn hệ số của $(Q)$ gấp đôi của $(P)$ nên hai mặt phẳng trùng nhau.

b) $2x - y + 3z + D = 0$; thay $E$: $2 - 2 - 3 + D = 0 \Rightarrow D = 3$. Đáp án $2x - y + 3z + 3 = 0$ ($3 \ne -5$ nên đúng là song song).

c) $2\cdot 1 + (-1)\cdot m + 3\cdot(-1) = 0 \Rightarrow m = -1$.
</details>

### Dạng 3. Khoảng cách

**Bài 4.** Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song $2x - 3y + 6z + 6 = 0$ và $4x - 6y + 12z - 16 = 0$.

<details><summary>Đáp án</summary>

Điểm $K(0; 2; 0)$ thuộc mặt phẳng thứ nhất. $d = \dfrac{|-12 - 16|}{\sqrt{16 + 36 + 144}} = \dfrac{28}{14} = 2$.
</details>

**Bài 5 (trong video).** Tấm bạt ở Bài 2 nằm trong mặt phẳng $3x - 4y + 12z - 36 = 0$. Một đầu phun sương gắn tại $S(1; 1; 2)$. Nó cách tấm bạt bao nhiêu mét?

<details><summary>Đáp án</summary>

$d = \dfrac{|3 - 4 + 24 - 36|}{\sqrt{9 + 16 + 144}} = \dfrac{13}{13} = 1$ (m).
</details>

Bài luyện thêm có trong tờ bài tập về nhà (PDF).

## Chuyện bên lề

**Hình học không cần hình vẽ.** Khoảng năm 1773, khi đang làm việc ở Berlin, nhà toán học Lagrange viết một bài về hình chóp tam giác (tứ diện): diện tích, thể tích, trọng tâm, tâm các mặt cầu nội tiếp và ngoại tiếp. Điều lạ là ông không dựng hình, không kẻ đường phụ, mà đặt một đỉnh ở gốc toạ độ rồi tính tất cả bằng công thức. Theo các nhà sử học toán, ông còn tự hào là lời giải của mình hiểu được mà không cần hình vẽ. Một kết quả trong bài ấy: thể tích tứ diện có một đỉnh ở gốc toạ độ bằng một phần sáu trị tuyệt đối của định thức lập từ toạ độ ba đỉnh còn lại.

**Cuốn sách không có hình nào.** Mười lăm năm sau, năm 1788, Lagrange in cuốn *Cơ học giải tích* ở Paris. Lời tựa viết: người đọc sẽ không thấy hình vẽ nào trong tác phẩm này; các phương pháp trong sách không cần phép dựng hình, chỉ cần các phép toán đại số. Đó là tuyên bố mạnh nhất cho ý tưởng của bài học hôm nay: đổi hình thành phương trình, phần còn lại là tính.

**Ngày nay.** Khi bạn dùng điện thoại đặt thử một chiếc ghế ảo lên sàn nhà (thực tế tăng cường), máy theo dõi hàng trăm điểm nó nhận ra qua camera, tìm những cụm điểm cùng nằm trên một bề mặt phẳng như sàn, mặt bàn, tường, rồi coi bề mặt ấy là một mặt phẳng và đặt vật ảo lên. Tường trắng trơn ít chi tiết nên máy khó dò hơn.

Nguồn và mức độ chắc chắn của từng chi tiết: xem `lich-su.md`.

## Trò chơi 5 phút ở nhà

**Tìm pháp tuyến bằng cây bút.** Lấy một cuốn vở cứng, kê nghiêng lên chồng sách. Dựng cây bút vuông góc với mặt vở: đó là vectơ pháp tuyến. Giờ đặt hai cây bút khác nằm trên mặt vở theo hai hướng khác nhau (cặp vectơ chỉ phương). Thử xem: cây bút đứng có vuông góc với cả hai cây bút nằm không? Xoay hai cây bút nằm cho song song với nhau: lúc này có rất nhiều hướng vuông góc với cả hai, nên không xác định được pháp tuyến. Đó là lí do cặp vectơ chỉ phương phải không cùng phương.

## Lời thoại video

### 0:00 Mở đầu: mặt phẳng trong bốn con số

Một tấm pin mặt trời phẳng lì. Kéo nó rộng ra mãi về mọi phía, ta được một mặt phẳng, với vô số điểm. Vậy mà muốn ghi lại trọn vẹn mặt phẳng ấy, chỉ cần đúng 4 con số. Bí mật nằm ở một mũi tên: mũi tên vuông góc với tấm pin. Hôm nay bạn sẽ đổi một mặt phẳng thành một phương trình, rồi dùng nó để xét song song, vuông góc, và tính khoảng cách.

### 0:23 Hình học không cần hình vẽ

Ý tưởng đổi hình thành phương trình từng được đẩy đi rất xa. Khoảng năm 1773, ở Berlin, nhà toán học Lagrange giải một loạt bài toán về hình chóp tam giác, chỉ bằng toạ độ và phép tính. Ông viết rằng: lời giải của ông hiểu được mà không cần hình vẽ. 15 năm sau, ông in cuốn Cơ học giải tích, và báo ngay ở lời tựa: trong sách này không có một hình vẽ nào. Chúng ta thì vẫn vẽ hình. Nhưng phần tính toán, cứ giao cho phương trình.

### 0:54 Vectơ pháp tuyến

Bắt đầu từ mũi tên ấy. Một vectơ khác vectơ-không, có giá vuông góc với mặt phẳng, gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đó. Ví dụ 1. Mũi tên vuông góc với tấm pin là một vectơ pháp tuyến. Kéo nó dài gấp ba, hay quay ngược lại, vẫn là vectơ pháp tuyến. Vậy một mặt phẳng có vô số vectơ pháp tuyến, tất cả cùng phương. Ví dụ 2. Mặt phẳng (Oxy) nằm ngang. Trục Oz vuông góc với nó, nên vectơ (0; 0; 1) là một vectơ pháp tuyến. Còn vectơ (1; 0; 0) nằm ngay trong mặt phẳng ấy: không phải pháp tuyến.

### 1:31 Cặp vectơ chỉ phương, tích có hướng

Nhiều khi đề không cho sẵn pháp tuyến, mà cho hai vectơ không cùng phương, nằm trong hoặc song song với mặt phẳng: cặp vectơ chỉ phương. Ta cần một vectơ vuông góc với cả hai. Công cụ là tích có hướng. Viết toạ độ hai vectơ thành hai hàng. Che cột thứ nhất, nhân chéo hai cột còn lại rồi trừ. Hai toạ độ sau làm tương tự, xoay vòng. Ví dụ 1. Vectơ u = (1; 2; 0). Vectơ v = (0; 1; 3). 2 · 3 − 1 · 0 = 6. 0 · 0 − 3 · 1 = −3. 1 · 1 − 0 · 2 = 1. Tích có hướng là (6; −3; 1). Thử lại: tích vô hướng với u, với v, đều bằng 0. Còn nếu hai vectơ cùng phương, tích có hướng là vectơ-không: không làm pháp tuyến được.

### 2:26 Phương trình tổng quát

Giờ tới phương trình. Mặt phẳng đi qua điểm M0, có vectơ pháp tuyến n = (A; B; C). Điểm M nằm trên mặt phẳng khi và chỉ khi vectơ M0M vuông góc với n: tích vô hướng bằng 0. Viết theo toạ độ: A(x − x0) + B(y − y0) + C(z − z0) = 0. Nhân ra, gom lại: Ax + By + Cz + D = 0. Đó là phương trình tổng quát của mặt phẳng, với bốn con số A, B, C, D. Ví dụ 1. Mặt phẳng qua điểm (1; 0; 2), có pháp tuyến (2; −1; 3). 2(x − 1) − y + 3(z − 2) = 0. Gọn lại: 2x − y + 3z − 8 = 0. Ví dụ 2, đọc ngược lại. Phương trình: x − 4z + 5 = 0. Vắng y, nên pháp tuyến là (1; 0; −4). Điểm (3; 7; 2) có thuộc mặt phẳng này không? Thay vào: 3 − 8 + 5 = 0. Có thuộc.

### 3:49 Vuông góc, song song, khoảng cách

Có phương trình rồi, nhìn hai pháp tuyến là biết hai mặt phẳng nằm thế nào với nhau. Vuông góc khi và chỉ khi tích vô hướng của hai pháp tuyến bằng 0. Chẳng hạn pháp tuyến (1; 2; −1) và (3; −1; 1): 3 − 2 − 1 = 0. Hai mặt phẳng vuông góc. Song song khi hai pháp tuyến cùng phương, còn hệ số tự do không theo tỉ lệ ấy. Nếu cả bốn hệ số cùng tỉ lệ, hai mặt phẳng trùng nhau. Cuối cùng, khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng: thay toạ độ điểm vào vế trái, lấy trị tuyệt đối, rồi chia cho độ dài pháp tuyến. Ví dụ: điểm (1; 2; 1) và mặt phẳng 4x − 4y + 7z + 15 = 0. Tử số: 4 − 8 + 7 + 15 = 18. Mẫu số: căn của 16 + 16 + 49, bằng 9. Khoảng cách bằng 2.

### 4:53 Mọi thứ xoay quanh pháp tuyến

Tóm lại, mọi thứ xoay quanh vectơ pháp tuyến. Có điểm và pháp tuyến: viết được phương trình. Có cặp vectơ chỉ phương: lấy tích có hướng. So hai pháp tuyến: biết song song hay vuông góc. Chia cho độ dài pháp tuyến: ra khoảng cách. Điện thoại của bạn cũng làm đúng việc này. Khi bạn đặt thử một chiếc ghế ảo lên sàn nhà qua camera, máy tìm mặt phẳng đi qua đám điểm nó thấy trên sàn, rồi đặt ghế lên đó.

### 5:21 Dạng 1: Lập phương trình mặt phẳng

Dạng 1: lập phương trình mặt phẳng. Cách làm: tìm một điểm và một vectơ pháp tuyến. Nếu chỉ có hai vectơ chỉ phương, lấy tích có hướng. Rồi thay vào công thức. Một tấm bạt che nắng căng phẳng trên ba đầu cọc: A(0; 0; 3), B(4; 0; 2) và C(0; 3; 4). Đơn vị là mét. Viết phương trình mặt phẳng chứa tấm bạt. Bạn tạm dừng video và thử làm nhé. Hai vectơ chỉ phương: vectơ AB = (4; 0; −1), vectơ AC = (0; 3; 1). Tích có hướng: 0 · 1 − 3 · (−1) = 3. (−1) · 0 − 1 · 4 = −4. 4 · 3 − 0 · 0 = 12. Pháp tuyến là (3; −4; 12). Mặt phẳng qua A nên: 3x − 4y + 12(z − 3) = 0. Vậy tấm bạt nằm trong mặt phẳng: 3x − 4y + 12z − 36 = 0. Thay toạ độ B và C vào kiểm tra: đều bằng 0.

### 6:36 Dạng 2: Song song, vuông góc

Dạng 2: hai mặt phẳng song song, vuông góc. Cách làm: đọc hai vectơ pháp tuyến. Cùng phương thì so thêm hệ số tự do. Tích vô hướng bằng 0 thì vuông góc. Cho mặt phẳng (P): 2x − y + 3z − 5 = 0. Câu a: (Q): 4x − 2y + 6z − 10 = 0 có song song với (P) không? Bạn tạm dừng video và thử làm nhé. Nhiều bạn thấy ba hệ số đầu gấp đôi, liền kết luận: song song. Nhưng −10 cũng gấp đôi −5. Chia phương trình của (Q) cho 2, ta được đúng phương trình của (P). Hai mặt phẳng trùng nhau, không phải song song. Câu b. Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm E(1; 2; −1) và song song với (P). Bạn thử làm nhé. Song song thì dùng chung pháp tuyến: 2x − y + 3z + D = 0. Thay toạ độ E: 2 − 2 − 3 + D = 0. Suy ra D = 3. Đáp án: 2x − y + 3z + 3 = 0.

### 7:52 Dạng 3: Khoảng cách

Dạng 3: khoảng cách. Cách làm: thay toạ độ điểm vào vế trái, lấy trị tuyệt đối, chia cho độ dài pháp tuyến. Hai mặt phẳng song song: lấy một điểm trên mặt này, tính tới mặt kia. Câu a. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song: 2x − 3y + 6z + 6 = 0 và 4x − 6y + 12z − 16 = 0. Bạn tạm dừng video và thử làm nhé. Trên mặt thứ nhất, cho x = 0 và z = 0 thì y = 2: điểm (0; 2; 0). Thay vào mặt thứ hai. Tử số: trị tuyệt đối của −12 − 16, bằng 28. Mẫu số: căn của 16 + 36 + 144, bằng 14. Khoảng cách bằng 2. Đừng lấy 6 trừ −16 rồi chia: hai phương trình chưa cùng hệ số. Câu b. Trở lại tấm bạt: 3x − 4y + 12z − 36 = 0. Một đầu phun sương gắn tại điểm (1; 1; 2). Nó cách tấm bạt bao nhiêu mét? Bạn thử làm nhé. Tử số: 3 − 4 + 24 − 36 = −13. Trị tuyệt đối là 13. Mẫu số: căn của 9 + 16 + 144, bằng 13. Đầu phun sương cách tấm bạt đúng 1 mét.

### 9:25 Kết bài

Vậy là một mặt phẳng vô tận gói gọn trong bốn con số: A, B, C, D. Ba số đầu là vectơ pháp tuyến. Từ nó, bạn lập được phương trình, xét song song, vuông góc, và tính khoảng cách. Ba dạng vừa luyện: lập phương trình, vị trí tương đối, khoảng cách. Làm thêm bài tập về nhà để quen tay nhé.