# Phương trình đường thẳng trong không gian – Toán lớp 12, Bài 15

> Học xong bài này bạn sẽ: nhận ra vectơ chỉ phương của một đường thẳng; viết được phương trình tham số và phương trình chính tắc; kiểm tra được hai đường thẳng có vuông góc không; và xét được hai đường thẳng song song, trùng nhau, cắt nhau hay chéo nhau.

- Trang bài: https://anim.vn/lop-12/toan/bai-15-phuong-trinh-duong-thang-trong-khong-gian/
- Video: https://youtu.be/CTr2OorJM_A (8:47)
- Thuộc: Toán lớp 12 · Bài 15
- Bài tập về nhà (PDF, có lời giải): https://anim.vn/media/lop12-toan-bai-15/bai-tap-ve-nha.pdf

## Mục lục video

- 0:00 Mở đầu: đào hầm từ hai phía
- 0:25 Đường hầm 2 500 năm tuổi
- 0:47 Vectơ chỉ phương, phương trình tham số
- 1:56 Phương trình chính tắc
- 2:36 Hai đường thẳng vuông góc
- 3:16 Vị trí tương đối
- 4:23 Ba điều cần nhớ
- 4:48 Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng
- 6:06 Dạng 2: Xét vị trí tương đối
- 7:14 Dạng 3: Bài toán thực tế
- 8:26 Kết bài

> Học xong bài này bạn sẽ: nhận ra vectơ chỉ phương của một đường thẳng; viết được phương trình tham số và phương trình chính tắc; kiểm tra được hai đường thẳng có vuông góc không; và xét được hai đường thẳng song song, trùng nhau, cắt nhau hay chéo nhau.

## Mở đầu: đào hầm từ hai phía

Hai đội thợ đào một đường hầm xuyên núi, mỗi đội từ một phía, hẹn gặp nhau giữa lòng núi.

Trên bản vẽ phẳng, hai đường thẳng không song song thì kiểu gì cũng cắt nhau. Trong không gian thì khác: chỉ cần lệch nhau một chút về độ cao, hai đường hầm sẽ trượt qua nhau và không bao giờ gặp. Muốn chắc chắn, phải viết được phương trình của từng đường thẳng rồi kiểm tra.

## 1. Vectơ chỉ phương và phương trình tham số

Một đường thẳng trong không gian được xác định khi biết **một điểm nó đi qua** và **một hướng**.

Vectơ $\vec{u} \neq \vec{0}$ có giá song song hoặc trùng với đường thẳng $\Delta$ gọi là **vectơ chỉ phương** của $\Delta$. Nếu $\vec{u}$ là vectơ chỉ phương thì $k\vec{u}$ (với $k \neq 0$) cũng là vectơ chỉ phương: kéo dài hay quay ngược lại đều được.

Đường thẳng đi qua $A(x_0; y_0; z_0)$, có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (a; b; c)$, có **phương trình tham số**

$$\begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \\ z = z_0 + ct \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R}).$$

Không cần thuộc lòng: cứ nhớ **toạ độ điểm, cộng t lần toạ độ vectơ chỉ phương**. Mỗi giá trị của $t$ cho đúng một điểm trên đường thẳng, và ngược lại.

**Ví dụ 1 (dây đèn trang trí).** Một dây đèn căng thẳng từ điểm $A(1; 0; 4)$. Từ bóng này sang bóng kế tiếp luôn dịch đúng vectơ $\vec{u} = (1; 2; -1)$. Bóng thứ nhất ở $(2; 2; 3)$, bóng thứ hai ở $(3; 4; 2)$, bóng thứ $t$ ở $(1 + t;\ 2t;\ 4 - t)$. Cho $t$ nhận mọi số thực, ta được cả đường thẳng chứa sợi dây:

$$x = 1 + t,\quad y = 2t,\quad z = 4 - t.$$

**Ví dụ 2 (đọc ngược lại, có bẫy).** Đường thẳng $d$: $x = 3 - 2t$, $y = 4t$, $z = -1 + t$.

- Cho $t = 0$ được một điểm của $d$: $(3; 0; -1)$. Các hệ số của $t$ cho vectơ chỉ phương $(-2; 4; 1)$.
- Điểm $N(1; 4; 1)$ có thuộc $d$ không? Dòng một cho $t = 1$, dòng hai cũng cho $t = 1$, nhưng dòng ba cho $t = 2$. Không có $t$ nào thoả cả ba dòng nên $N \notin d$.

**Một điểm thuộc đường thẳng khi và chỉ khi toạ độ của nó thoả phương trình: cả ba dòng phải cho cùng một giá trị $t$.**

## 2. Phương trình chính tắc

Rút $t$ ở cả ba dòng của phương trình tham số rồi cho bằng nhau. Nếu $a$, $b$, $c$ **đều khác 0**, ta được **phương trình chính tắc**

$$\frac{x - x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b} = \frac{z - z_0}{c}.$$

**Ví dụ 1.** Dây đèn ở trên: $\dfrac{x - 1}{1} = \dfrac{y}{2} = \dfrac{z - 4}{-1}$.

**Ví dụ 2 (đọc ngược lại).** Cho $\dfrac{x + 2}{3} = \dfrac{y - 1}{-2} = \dfrac{z}{4}$. Vectơ chỉ phương nằm ở mẫu: $(3; -2; 4)$. Điểm thì phải **đổi dấu**: $(-2; 1; 0)$, vì $x + 2 = x - (-2)$.

Nếu vectơ chỉ phương có một toạ độ bằng 0, chẳng hạn $\vec{u} = (2; 0; -5)$, thì đường thẳng **không có phương trình chính tắc**; khi đó chỉ viết phương trình tham số.

### Đường thẳng đi qua hai điểm

Đường thẳng qua hai điểm phân biệt $A$, $B$ nhận $\overrightarrow{AB}$ làm vectơ chỉ phương. Ví dụ với $A(0; 3; -2)$ và $B(2; 2; 2)$: $\overrightarrow{AB} = (2; -1; 4)$, nên $x = 2t$, $y = 3 - t$, $z = -2 + 4t$.

## 3. Hai đường thẳng vuông góc

Hai đường thẳng $\Delta_1$, $\Delta_2$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}_1 = (a_1; b_1; c_1)$, $\vec{u}_2 = (a_2; b_2; c_2)$:

$$\Delta_1 \perp \Delta_2 \iff \vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2 = 0 \iff a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2 = 0.$$

Trong không gian, hai đường thẳng vuông góc **không nhất thiết cắt nhau**.

**Ví dụ 1 (giàn mái).** Hai thanh thép trong giàn mái nhà thi đấu chạy theo hai hướng $(2; -1; 2)$ và $(1; 4; 1)$. Tích vô hướng: $2 - 4 + 2 = 0$. Hai thanh vuông góc với nhau, dù chúng không hề chạm nhau.

**Ví dụ 2.** Hai vectơ chỉ phương là $(k; 2; -1)$ và $(2; 1; 4)$. Hai đường thẳng vuông góc khi $2k + 2 - 4 = 0$, tức là $k = 1$.

## 4. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Trong không gian có bốn khả năng: **song song**, **trùng nhau**, **cắt nhau**, **chéo nhau** (không song song mà cũng không có điểm chung).

Cách xét, cho $\Delta_1$ (tham số $t$) và $\Delta_2$ (tham số $s$):

1. **So hai vectơ chỉ phương.** Nếu cùng phương, lấy một điểm của $\Delta_1$ thử vào $\Delta_2$: thuộc thì **trùng nhau**, không thuộc thì **song song**.
2. **Nếu không cùng phương**, cho toạ độ hai đường bằng nhau rồi giải hệ ba phương trình theo $t$ và $s$: có nghiệm thì **cắt nhau** (thay $t$ vào để tìm giao điểm), vô nghiệm thì **chéo nhau**.

**Ví dụ 1 (song song).** $d_1$: $x = 2t$, $y = 1 - t$, $z = 3 + t$ và $d_2$: $x = 4 - 4s$, $y = 2s$, $z = 1 - 2s$. Ta có $\vec{u}_2 = (-4; 2; -2) = -2\vec{u}_1$: cùng phương. Điểm $(0; 1; 3)$ của $d_1$: thử vào $d_2$ thì $4 - 4s = 0$ cho $s = 1$, khi đó $y = 2 \neq 1$. Điểm này không thuộc $d_2$, nên $d_1 \parallel d_2$.

**Ví dụ 2 (hai dây đèn cắt nhau).** Căng thêm dây đèn thứ hai: $x = 3s$, $y = 5 - s$, $z = 1 + s$. Hai vectơ chỉ phương $(1; 2; -1)$ và $(3; -1; 1)$ không cùng phương. Giải hệ $1 + t = 3s$, $2t = 5 - s$, $4 - t = 1 + s$: hai phương trình đầu cho $t = 2$, $s = 1$; phương trình thứ ba $2 = 2$, đúng. Hai dây cắt nhau tại $(3; 4; 2)$, đúng chỗ bóng đèn thứ hai.

### Cách thứ hai: dùng tích có hướng

Gọi $A_1 \in \Delta_1$, $A_2 \in \Delta_2$ và $\vec{n} = [\vec{u}_1, \vec{u}_2]$.

- $\vec{n} = \vec{0}$ (hai vectơ chỉ phương cùng phương): song song nếu $A_1 \notin \Delta_2$, trùng nhau nếu $A_1 \in \Delta_2$.
- $\vec{n} \neq \vec{0}$ và $\overrightarrow{A_1A_2} \cdot \vec{n} = 0$: cắt nhau.
- $\overrightarrow{A_1A_2} \cdot \vec{n} \neq 0$: chéo nhau.

Thử với hai dây đèn: $A_1(1; 0; 4)$, $A_2(0; 5; 1)$, $\vec{n} = [(1; 2; -1), (3; -1; 1)] = (1; -4; -7)$, $\overrightarrow{A_1A_2} = (-1; 5; -3)$. Tích vô hướng: $-1 - 20 + 21 = 0$, vậy hai dây cắt nhau, khớp với cách giải hệ.

## Bảng tóm tắt

| Việc cần làm | Công thức / cách làm |
|---|---|
| Vectơ chỉ phương | $\vec{u} \neq \vec{0}$, giá song song hoặc trùng với đường thẳng |
| Phương trình tham số | $x = x_0 + at,\ y = y_0 + bt,\ z = z_0 + ct$ |
| Phương trình chính tắc | $\dfrac{x - x_0}{a} = \dfrac{y - y_0}{b} = \dfrac{z - z_0}{c}$ (cần $a, b, c \neq 0$) |
| Qua hai điểm $A$, $B$ | lấy $\vec{u} = \overrightarrow{AB}$ |
| Vuông góc với mặt phẳng | lấy $\vec{u}$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng |
| Hai đường thẳng vuông góc | $\vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2 = 0$ |
| Vị trí tương đối | cùng phương → thử một điểm; không cùng phương → giải hệ $t$, $s$ |

## Lỗi hay gặp

- **Đọc sai dấu của điểm** trong phương trình chính tắc: $\dfrac{x + 2}{3}$ ứng với hoành độ $-2$, không phải $2$.
- **Viết phương trình chính tắc với mẫu bằng 0.** Vectơ chỉ phương có toạ độ bằng 0 thì không có phương trình chính tắc.
- **Thấy hai vectơ chỉ phương cùng phương là kết luận song song ngay.** Phải thử thêm một điểm, vì hai đường có thể trùng nhau.
- **Thấy hệ vô nghiệm là kết luận chéo nhau ngay.** Hai đường song song cũng không có điểm chung; phải xét cùng phương trước.
- **Dùng chung một chữ $t$ cho cả hai đường thẳng** khi tìm giao điểm. Hai đường phải dùng hai tham số khác nhau ($t$ và $s$).
- **Thử điểm chỉ bằng một dòng.** Điểm thuộc đường thẳng khi cả ba dòng cho cùng một $t$.

## Bài tập theo dạng

### Dạng 1. Viết phương trình đường thẳng

Cách làm: tìm một điểm đường thẳng đi qua, tìm một vectơ chỉ phương, rồi viết phương trình tham số (và chính tắc, nếu có).

**Bài 1.** a) Viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng qua hai điểm $P(1; -2; 3)$, $Q(4; 0; -1)$.
b) Viết phương trình đường thẳng qua $K(3; 1; -2)$ và vuông góc với mặt phẳng $(\alpha)$: $2x - 5z + 1 = 0$.

<details><summary>Đáp án</summary>

a) $\overrightarrow{PQ} = (3; 2; -4)$. Tham số: $x = 1 + 3t$, $y = -2 + 2t$, $z = 3 - 4t$. Chính tắc: $\dfrac{x - 1}{3} = \dfrac{y + 2}{2} = \dfrac{z - 3}{-4}$.

b) Vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (2; 0; -5)$ của $(\alpha)$ là vectơ chỉ phương. Tham số: $x = 3 + 2t$, $y = 1$, $z = -2 - 5t$. Toạ độ thứ hai của vectơ bằng 0 nên **không có phương trình chính tắc**.
</details>

**Bài 2.** Viết phương trình tham số của đường thẳng qua $A(2; 0; -1)$ và song song với trục $Oy$.

<details><summary>Đáp án</summary>

Trục $Oy$ có vectơ chỉ phương $\vec{j} = (0; 1; 0)$. Phương trình: $x = 2$, $y = t$, $z = -1$.
</details>

### Dạng 2. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng

Cách làm: cùng phương thì thử một điểm; không cùng phương thì giải hệ.

**Bài 3.** a) $d_1$: $x = 2 + t$, $y = 1 - 2t$, $z = 4t$ và $d_2$: $x = 2 + s$, $y = -4 + 3s$, $z = 2 + 2s$.
b) $d_3$: $x = 1 - 2t$, $y = 4 + t$, $z = 3t$ và $d_4$: $x = -3 + 4s$, $y = 6 - 2s$, $z = 6 - 6s$.

<details><summary>Đáp án</summary>

a) $(1; -2; 4)$ và $(1; 3; 2)$ không cùng phương. Dòng một cho $t = s$; thay vào dòng hai: $1 - 2t = -4 + 3t$ nên $t = 1$, $s = 1$; dòng ba: $4 = 4$, đúng. Hai đường thẳng **cắt nhau tại $(3; -1; 4)$**.

b) $(4; -2; -6) = -2 \cdot (-2; 1; 3)$: cùng phương. Điểm $(1; 4; 0)$ của $d_3$ thử vào $d_4$: với $s = 1$ cả ba dòng đều đúng. Hai đường thẳng **trùng nhau** (không phải song song).
</details>

**Bài 4.** Đường thẳng $d$: $\dfrac{x - 1}{2} = \dfrac{y}{-3} = \dfrac{z + 2}{6}$ có vuông góc với đường thẳng $d'$: $x = 5 + 3t$, $y = 4t$, $z = 1 + t$ không?

<details><summary>Đáp án</summary>

$(2; -3; 6) \cdot (3; 4; 1) = 6 - 12 + 6 = 0$. Hai đường thẳng **vuông góc**.
</details>

### Dạng 3. Bài toán thực tế

Cách làm: viết phương trình từng đường thẳng, xét vị trí tương đối, rồi đọc ý nghĩa.

**Bài 5.** Hai đội đào hầm, mỗi đơn vị là 10 m. Đội một khoan từ $O(0; 0; 0)$ theo hướng $(4; 2; 1)$. Đội hai khoan từ $B(14; 1; 0)$ theo hướng $(-2; 1; 1)$.
a) Hai mũi khoan có gặp nhau không?
b) Đội hai phải đổi sang hướng nào để gặp đội một tại điểm ứng với $t = 2$?

<details><summary>Đáp án</summary>

a) $d_1$: $x = 4t$, $y = 2t$, $z = t$; $d_2$: $x = 14 - 2s$, $y = 1 + s$, $z = s$. Hai hướng không cùng phương. Từ $4t = 14 - 2s$ và $2t = 1 + s$ được $t = 2$, $s = 3$; nhưng khi đó cao độ là $2$ và $3$, khác nhau. Hệ vô nghiệm: **hai đường chéo nhau, không gặp**. Nhìn từ trên xuống hai đường hầm gặp nhau, nhưng thực tế lệch nhau 1 đơn vị, tức 10 m độ cao.

b) Với $t = 2$, đội một tới $P(8; 4; 2)$. Đội hai phải khoan theo $\overrightarrow{BP} = (-6; 3; 2)$: $x = 14 - 6s$, $y = 1 + 3s$, $z = 2s$.
</details>

## Chuyện bên lề

**Đường hầm 2 500 năm tuổi.** Thế kỉ 6 trước Công nguyên, trên đảo Samos của Hy Lạp, người ta cần đưa nước từ một con suối ở bên kia núi vào thành. Kĩ sư Eupalinos, người xứ Megara, cho đào một đường hầm dài 1 036 m xuyên qua núi đá vôi, **từ cả hai đầu cùng lúc**. Thợ chỉ có búa, đục và cuốc chim; thời ấy chưa có la bàn, chưa có dụng cụ trắc địa hay bản đồ địa hình.

Vậy mà hai nhánh hầm vẫn gặp nhau giữa lòng núi. Ở chỗ nối, nền hầm hai bên chỉ lệch nhau khoảng 60 cm về độ cao.

**Mẹo của người xưa.** Gần chỗ hẹn, Eupalinos cho cả hai nhánh cùng bẻ hướng sang một bên. Hai đường thẳng gần song song rất dễ trượt qua nhau; hai đường bẻ xiên vào nhau thì chắc chắn cắt nhau trên bản đồ. Ông cũng cho nâng trần, hạ nền ở đoạn này để chừa sai số về độ cao. Nói theo bài học hôm nay: ông cố biến "hai đường chéo nhau" thành "hai đường cắt nhau".

Sử gia Herodotus xếp đường hầm này vào ba công trình lớn nhất của người Samos. Đến nay người ta vẫn tranh luận Eupalinos đã định hướng bằng cách nào.

**Ngày nay.** Phim hoạt hình và trò chơi 3D dựng hình bằng cách **dò tia**: qua mỗi điểm ảnh trên màn hình, máy tính phóng ra một tia từ mắt người xem rồi tìm xem tia ấy gặp vật nào. Mỗi tia được viết đúng như phương trình tham số trong bài: **điểm gốc + t · hướng**. Một khung hình có hàng triệu điểm ảnh, tức là hàng triệu đường thẳng được tính trong chớp mắt.

## Trò chơi 5 phút ở nhà

**Hai que xiên và cục tẩy.** Chuẩn bị hai que xiên (hoặc hai chiếc bút dài) và một cục tẩy.

1. Một người cầm hai que, người kia nhìn bằng một mắt từ phía trước và đoán: hai que có chạm nhau không? Nhìn từ một phía, hai que chéo nhau trông y như đang cắt nhau.
2. Đổi góc nhìn sang bên cạnh để kiểm tra. Nếu chúng chéo nhau, đặt cục tẩy vào khe hở giữa hai que: đó là quãng "lệch" mà hai đội đào hầm rất sợ.
3. Thử xếp cho đủ bốn trường hợp: song song, trùng nhau, cắt nhau, chéo nhau. Trường hợp nào dễ xếp nhất khi bạn nhắm mắt đặt bừa hai que? (Gần như lúc nào cũng là chéo nhau.)

## Lời thoại video

### 0:00 Mở đầu: đào hầm từ hai phía

Hai đội thợ đào một đường hầm xuyên núi, mỗi đội từ một phía, hẹn gặp nhau giữa lòng núi. Trên bản vẽ phẳng thì dễ: hai đường thẳng không song song, kiểu gì cũng cắt nhau. Trong không gian thì khác. Chỉ cần lệch nhau một chút về độ cao, hai đường hầm sẽ trượt qua nhau, và không bao giờ gặp. Hôm nay bạn sẽ viết được phương trình đường thẳng trong không gian, và kiểm tra xem hai đường thẳng có gặp nhau không.

### 0:25 Đường hầm 2 500 năm tuổi

Chuyện này có thật, từ hơn 2 500 năm trước. Trên đảo Samos của Hy Lạp, kĩ sư Eupalinos cho đào một đường hầm dẫn nước dài hơn 1 000 m, từ cả hai đầu núi cùng lúc. Thợ chỉ có búa và đục. Không la bàn, không bản đồ địa hình. Vậy mà hai nhánh hầm vẫn gặp nhau. Ở chỗ nối, nền hầm hai bên chỉ lệch khoảng 60 cm.

### 0:47 Vectơ chỉ phương, phương trình tham số

Muốn xác định một đường thẳng trong không gian, cần hai thứ: một điểm nó đi qua, và một hướng. Hướng ấy cho bởi một vectơ khác vectơ-không, có giá song song hoặc trùng với đường thẳng: vectơ chỉ phương. Kéo dài hay quay ngược nó, vẫn là vectơ chỉ phương. Ví dụ 1. Một dây đèn căng thẳng từ điểm A(1; 0; 4). Từ bóng này sang bóng kế tiếp, luôn dịch đúng vectơ u = (1; 2; −1). Bóng thứ nhất ở (2; 2; 3). Bóng thứ hai ở (3; 4; 2). Bóng thứ t ở: (1 + t; 2t; 4 − t). Cho t nhận mọi số thực, ta được cả đường thẳng. Đó là phương trình tham số: toạ độ điểm, cộng t lần toạ độ vectơ chỉ phương. Ví dụ 2. Đường thẳng d: x = 3 − 2t, y = 4t, z = −1 + t. Điểm N(1; 4; 1) có thuộc d không? Hai dòng đầu cho t = 1, dòng ba lại cho t = 2. Vậy N không thuộc d.

### 1:56 Phương trình chính tắc

Rút t ở cả ba dòng rồi cho bằng nhau, ta được phương trình chính tắc. Mẫu là ba toạ độ của vectơ chỉ phương, đều phải khác 0. Ví dụ 1. Với dây đèn lúc nãy, ta có phương trình chính tắc như trên màn hình. Ví dụ 2, đọc ngược lại: (x + 2)/3 = (y − 1)/(−2) = z/4. Vectơ chỉ phương nằm ở mẫu: (3; −2; 4). Còn điểm thì phải đổi dấu: (−2; 1; 0). Lưu ý: vectơ chỉ phương có toạ độ bằng 0, thì không có phương trình chính tắc.

### 2:36 Hai đường thẳng vuông góc

Hai đường thẳng vuông góc, khi và chỉ khi tích vô hướng của hai vectơ chỉ phương bằng 0. Ví dụ 1. Hai thanh thép trong giàn mái chạy theo hai hướng: (2; −1; 2) và (1; 4; 1). 2 − 4 + 2 = 0: hai thanh vuông góc, dù không hề chạm nhau. Ví dụ 2. Hai vectơ chỉ phương là: (k; 2; −1) và (2; 1; 4). Tìm k để hai đường thẳng vuông góc. 2k + 2 − 4 = 0. Suy ra k = 1.

### 3:16 Vị trí tương đối

Hai đường thẳng trong không gian có bốn khả năng: song song, trùng nhau, cắt nhau, hoặc chéo nhau, tức là không song song mà cũng không có điểm chung. Bước 1: so hai vectơ chỉ phương. Nếu cùng phương, thử một điểm của đường này vào đường kia: thuộc thì trùng nhau, không thuộc thì song song. Bước 2: nếu không cùng phương, giải hệ theo hai tham số t và s. Có nghiệm thì cắt nhau, vô nghiệm thì chéo nhau. Ví dụ 1. Hai vectơ chỉ phương: (2; −1; 1) và (−4; 2; −2): cùng phương. Điểm (0; 1; 3) của đường thứ nhất không thuộc đường thứ hai. Vậy hai đường thẳng song song. Ví dụ 2. Căng thêm dây đèn thứ hai: x = 3s, y = 5 − s, z = 1 + s. Nó có chạm dây thứ nhất không? Hai hướng không cùng phương, nên giải hệ: t = 2, s = 1, thoả cả ba phương trình. Hai dây cắt nhau tại điểm (3; 4; 2): đúng chỗ bóng đèn thứ hai.

### 4:23 Ba điều cần nhớ

Tóm lại, bạn nhớ ba điều. Một: đường thẳng = một điểm + t lần vectơ chỉ phương. Hai: vuông góc thì tích vô hướng bằng 0. Ba: vị trí tương đối, xét cùng phương trước, rồi mới giải hệ. Ngày nay, phim hoạt hình và trò chơi 3D dựng hình bằng cách dò tia: qua mỗi điểm ảnh, máy tính phóng ra một tia, chính là một điểm gốc cộng t lần hướng.

### 4:48 Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng

Dạng 1: viết phương trình đường thẳng. Cách làm: tìm một điểm, tìm một vectơ chỉ phương, rồi viết phương trình. Câu a: viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng qua hai điểm P(1; −2; 3) và Q(4; 0; −1). Bạn tạm dừng video và thử làm. Vectơ PQ là vectơ chỉ phương. Lấy Q trừ P: (3; 2; −4). Phương trình tham số: x = 1 + 3t, y = −2 + 2t, z = 3 − 4t. Ba toạ độ của vectơ đều khác 0, nên viết được cả phương trình chính tắc. Câu b: viết phương trình đường thẳng qua điểm K(3; 1; −2) và vuông góc với mặt phẳng: 2x − 5z + 1 = 0. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, nên vectơ pháp tuyến chính là vectơ chỉ phương: (2; 0; −5). Phương trình tham số: x = 3 + 2t, y = 1, z = −2 − 5t. Nhiều bạn viết thêm phương trình chính tắc, với mẫu bằng 0. Sai rồi: đường thẳng này không có phương trình chính tắc.

### 6:06 Dạng 2: Xét vị trí tương đối

Dạng 2: xét vị trí tương đối của hai đường thẳng. Cách làm: cùng phương thì thử một điểm, không cùng phương thì giải hệ. Câu a: xét vị trí tương đối của d₁ và d₂ trên màn hình. Bạn thử làm nhé. Hai vectơ chỉ phương là (1; −2; 4) và (1; 3; 2): không cùng phương. Giải hệ: dòng một cho t = s. Thay vào dòng hai, được t = 1, s = 1. Dòng ba: 4 = 4, đúng. Hai đường thẳng cắt nhau tại điểm (3; −1; 4). Câu b: còn d₃ và d₄ thì sao? Vectơ thứ hai bằng −2 lần vectơ thứ nhất: cùng phương. Nhiều bạn kết luận ngay là song song. Khoan đã. Điểm (1; 4; 0) của d₃, thử vào d₄: với s = 1, cả ba dòng đều đúng. Điểm ấy nằm trên cả hai đường, nên hai đường thẳng trùng nhau.

### 7:14 Dạng 3: Bài toán thực tế

Dạng 3: bài toán thực tế. Cách làm: viết phương trình, xét vị trí tương đối, rồi đọc ý nghĩa. Quay lại hai đội đào hầm, mỗi đơn vị là 10 m. Đội một khoan từ gốc O theo hướng (4; 2; 1). Đội hai khoan từ B(14; 1; 0), theo hướng (−2; 1; 1). Câu a: hai mũi khoan có gặp nhau không? Câu b: đội hai phải đổi sang hướng nào, để gặp đội một tại điểm ứng với t = 2? Bạn thử nhé. Câu a. Viết phương trình tham số của hai đường khoan. Hai hướng không cùng phương. Cho hoành độ và tung độ bằng nhau, ta được t = 2, s = 3. Nhưng khi đó, cao độ một bên là 2, bên kia là 3. Hệ vô nghiệm: hai đường chéo nhau. Nhìn từ trên xuống, hai đường hầm gặp nhau. Thực tế, chúng lệch nhau 10 m độ cao. Câu b. Với t = 2, đội một tới điểm P(8; 4; 2). Đội hai phải khoan theo vectơ BP = (−6; 3; 2). Lần này, hai mũi khoan gặp nhau.

### 8:26 Kết bài

Tóm lại. Đường thẳng trong không gian: một điểm, và một vectơ chỉ phương. Phương trình tham số luôn viết được. Phương trình chính tắc cần cả ba toạ độ của vectơ khác 0. Bạn vừa luyện ba dạng: viết phương trình, xét vị trí tương đối, và bài toán thực tế. Làm thêm bài tập về nhà để nhớ lâu nhé.