# Làm quen với số thập phân vô hạn tuần hoàn – Toán lớp 7, Bài 5

> Rót đều 2 lít nước chanh vào 3 cốc, mỗi cốc được 2 : 3 lít. Bấm máy tính: 0,6666, số 6 cứ hiện mãi không hết. Còn 3 lít rót vào 4 cốc thì mỗi cốc đúng 0,75 lít, phép chia dừng lại. Vì sao lại khác nhau? Bài này giải thích điều đó.

- Trang bài: https://anim.vn/lop-7/toan/bai-05-so-thap-phan-vo-han-tuan-hoan/
- Video: https://youtu.be/l8ChUCNsfQ0 (8:24)
- Thuộc: Toán lớp 7 · Bài 5
- Bài tập về nhà (PDF, có lời giải): https://anim.vn/media/lop7-toan-bai-05/bai-tap-ve-nha.pdf

## Mục lục video

- 0:00 Mở đầu: rót nước chanh
- 0:22 Hữu hạn và vô hạn tuần hoàn
- 1:15 Chu kì · cách viết gọn
- 2:08 Khi nào phép chia dừng?
- 3:09 Làm tròn · độ chính xác
- 4:09 Dạng 1: Viết phân số thành số thập phân
- 5:23 Dạng 2: Nhận biết, chu kì, viết gọn
- 6:39 Dạng 3: Làm tròn
- 7:56 Kết bài

Rót đều 2 lít nước chanh vào 3 cốc, mỗi cốc được $2 : 3$ lít. Bấm máy tính: $0{,}6666\ldots$, số 6 cứ hiện mãi không hết.
Còn 3 lít rót vào 4 cốc thì mỗi cốc đúng $0{,}75$ lít, phép chia dừng lại. Vì sao lại khác nhau? Bài này giải thích điều đó.

## 1. Số thập phân hữu hạn và số thập phân vô hạn tuần hoàn

Muốn viết phân số $\dfrac{a}{b}$ dưới dạng số thập phân, ta **đặt tính chia $a$ cho $b$**.

- Nếu tới lúc nào đó **số dư bằng 0**, phép chia dừng lại: ta được **số thập phân hữu hạn**.
- Nếu **một số dư lặp lại**, thì từ đó các chữ số của thương cũng lặp lại mãi: ta được **số thập phân vô hạn tuần hoàn**.

**Ví dụ 1 (rót nước).** $3 : 4$: số dư lần lượt là 3, 2, 0. Phép chia dừng, $\dfrac{3}{4} = 0{,}75$ là số thập phân hữu hạn.

**Ví dụ 2 (số dư lặp).** $5 : 12$: số dư lần lượt là 5, 2, 8, **8**, 8… Số dư 8 lặp lại nên chữ số 6 của thương lặp mãi:
$\dfrac{5}{12} = 0{,}41666\ldots$ là số thập phân vô hạn tuần hoàn.

## 2. Chu kì và cách viết gọn

Phần chữ số lặp đi lặp lại gọi là **chu kì**. Viết gọn bằng cách ghi chu kì **một lần**, đặt trong ngoặc tròn.

**Ví dụ 1.** $0{,}666\ldots = 0{,}(6)$, chu kì là 6. Đọc: "không phẩy, sáu trong ngoặc".

**Ví dụ 2 (chu kì nhiều chữ số).** $\dfrac{4}{11} = 0{,}363636\ldots = 0{,}(36)$, chu kì là 36. Số âm cũng vậy: $-\dfrac{4}{11} = -0{,}(36)$.

**Bẫy.** $0{,}41666\ldots$ chỉ có chữ số 6 lặp, còn 4 và 1 **không** lặp. Viết đúng: $0{,}41(6)$. Viết $0{,}4(16)$ là sai,
vì $0{,}4(16) = 0{,}416161\ldots$, một số khác hẳn.

## 3. Khi nào phép chia dừng lại?

Chia cho 12 thì số dư chỉ có thể là $0, 1, 2, \ldots, 11$, tức 12 khả năng. Chia mãi thì hoặc gặp dư 0 (dừng),
hoặc sớm muộn phải gặp lại một số dư cũ (lặp). Vì thế:

> **Mọi phân số (số hữu tỉ) đều viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn.**

Mẹo đoán trước: **rút gọn** phân số, cho mẫu dương, rồi phân tích mẫu ra thừa số nguyên tố.
- Mẫu **chỉ có** thừa số 2 và 5 → hữu hạn.
- Mẫu có thừa số nguyên tố **khác** 2 và 5 → vô hạn tuần hoàn.

**Ví dụ 1.** $\dfrac{7}{20}$: $20 = 2^2 \cdot 5$ → hữu hạn, $\dfrac{7}{20} = 0{,}35$.

**Ví dụ 2.** $\dfrac{7}{15}$: $15 = 3 \cdot 5$ có thừa số 3 → vô hạn tuần hoàn, $\dfrac{7}{15} = 0{,}4(6)$.

**Bẫy.** $\dfrac{9}{15}$ có mẫu chứa 3, nhưng rút gọn $\dfrac{9}{15} = \dfrac{3}{5} = 0{,}6$ lại là số hữu hạn. **Luôn rút gọn trước.**

## 4. Làm tròn theo độ chính xác cho trước

Số vô hạn tuần hoàn làm tròn **giống hệt** số thập phân thường: nhìn chữ số ngay sau hàng làm tròn, nhỏ hơn 5 thì bỏ, từ 5 trở lên thì cộng 1 vào hàng làm tròn. Kí hiệu $\approx$ đọc là "xấp xỉ".

**Độ chính xác.** Làm tròn đến một hàng thì kết quả lệch số thật không quá **một nửa đơn vị của hàng đó**. Con số này gọi là độ chính xác.

| Hàng làm tròn | nghìn | trăm | chục | đơn vị | phần mười | phần trăm | phần nghìn |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Độ chính xác | 500 | 50 | 5 | 0,5 | 0,05 | 0,005 | 0,0005 |

Đề cho độ chính xác → tra bảng tìm hàng → làm tròn đến hàng đó.

**Ví dụ 1 (cốc nước chanh).** $0{,}(6)$ lít làm tròn đến hàng phần trăm: $0{,}66|6\ldots$, chữ số sau là 6 ≥ 5 nên $0{,}(6) \approx 0{,}67$ lít, độ chính xác $0{,}005$.

**Ví dụ 2 (khán giả).** Sân vận động có 23 748 khán giả. Làm tròn với độ chính xác 50 → hàng trăm: $23\,7|48$, chữ số sau là 4 < 5, nên $23\,748 \approx 23\,700$.

## Bảng kí hiệu

| Viết | Đọc / nghĩa |
|---|---|
| $0{,}(6)$ | không phẩy, sáu trong ngoặc = $0{,}666\ldots$ |
| $0{,}41(6)$ | không phẩy bốn mươi mốt, sáu trong ngoặc = $0{,}41666\ldots$ |
| $(36)$ | chu kì 36 |
| $\approx$ | xấp xỉ (kết quả làm tròn) |

## Lỗi hay gặp

1. **Đưa cả phần không lặp vào ngoặc**: $0{,}1666\ldots$ viết thành $0{,}(16)$. Đúng: $0{,}1(6)$. Mẹo: viết lại số theo cách gọn rồi khai triển ra, xem có khớp số ban đầu không.
2. **Chu kì ghi thiếu hoặc thừa**: $0{,}363636\ldots$ viết $0{,}(3)$ hay $0{,}(363)$. Chu kì là **khối nhỏ nhất** lặp lại: 36.
3. **Nghĩ phân số nào cũng ra số thập phân hữu hạn**, rồi dừng phép chia giữa chừng. Nhìn mẫu (sau khi rút gọn) để biết trước.
4. **Quên rút gọn** trước khi xét mẫu, như $\dfrac{9}{15}$.
5. **Độ chính xác 0,05 mà làm tròn đến hàng phần trăm**. Tra bảng: 0,05 ứng với **hàng phần mười**.

## Bài tập theo dạng

### Dạng 1: Viết phân số dưới dạng số thập phân

Cách làm: rút gọn → đặt tính chia tử cho mẫu → dư 0 thì dừng (hữu hạn); gặp lại số dư cũ thì tìm chu kì, viết gọn.

**Bài 1.** Viết dưới dạng số thập phân: a) $\dfrac{9}{8}$ b) $-\dfrac{5}{6}$ c) $\dfrac{13}{37}$

<details><summary>Đáp án</summary>

a) Số dư 1, 2, 4, 0 → dừng: $\dfrac{9}{8} = 1{,}125$ (hữu hạn).
b) $5 : 6$: số dư 5, 2, 2… → $0{,}8333\ldots$, nên $-\dfrac{5}{6} = -0{,}8(3)$ (không phải $-0{,}(83)$).
c) $13 : 37$: số dư 13, 19, 5, rồi lại 13 → chu kì 3 chữ số: $\dfrac{13}{37} = 0{,}(351)$.
</details>

**Bài 2.** Không đặt tính, cho biết phân số nào viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn: $\dfrac{3}{16}$; $\dfrac{5}{24}$; $\dfrac{14}{35}$.

<details><summary>Đáp án</summary>

$16 = 2^4$ → hữu hạn ($0{,}1875$). $24 = 2^3 \cdot 3$ → vô hạn tuần hoàn ($0{,}208(3)$). $\dfrac{14}{35} = \dfrac{2}{5}$ → hữu hạn ($0{,}4$).
</details>

### Dạng 2: Nhận biết, tìm chu kì, viết gọn

**Bài 3.** a) Xếp các số sau vào hai nhóm hữu hạn / vô hạn tuần hoàn: $2{,}35$; $0{,}(7)$; $-1{,}2(05)$; $6{,}125$.
b) Viết gọn: $3{,}272727\ldots$ và $-0{,}58383\ldots$
c) Tìm chữ số thứ 10 sau dấu phẩy của $0{,}(376)$.

<details><summary>Đáp án</summary>

a) Hữu hạn: $2{,}35$; $6{,}125$. Vô hạn tuần hoàn: $0{,}(7)$; $-1{,}2(05)$.
b) $3{,}(27)$; $-0{,}5(83)$ (chữ số 5 không lặp).
c) Chu kì 3 chữ số; $10 = 3 \cdot 3 + 1$ nên chữ số thứ 10 là chữ số đầu của chu kì: **3**.
</details>

### Dạng 3: Làm tròn

**Bài 4.** a) Làm tròn $7{,}(26)$ đến hàng phần trăm.
b) Làm tròn $4{,}1(8)$ với độ chính xác $0{,}05$.
c) Ba bạn góp chung rồi chia đều 100 000 đồng tiền thưởng. Mỗi bạn được bao nhiêu? Làm tròn với độ chính xác 500.

<details><summary>Đáp án</summary>

a) $7{,}26|26\ldots$, chữ số sau là 2 < 5: $7{,}(26) \approx 7{,}26$.
b) Độ chính xác $0{,}05$ → hàng phần mười. $4{,}1|888\ldots$, chữ số sau là 8 ≥ 5: $\approx 4{,}2$ (không phải $4{,}19$).
c) $100\,000 : 3 = 33\,333{,}(3)$ đồng. Độ chính xác 500 → hàng nghìn: $33\,|333{,}3\ldots \approx 33\,000$ đồng.
</details>

## Trò chơi ở nhà (5 phút): "Đoán trước khi chia"

Mỗi người viết một phân số có mẫu từ 2 tới 20 lên giấy. Người kia phải **đoán trước** (chỉ nhìn mẫu sau khi rút gọn) là "dừng" hay "lặp", rồi cả hai cùng đặt tính (hoặc bấm máy tính) để kiểm tra. Đoán đúng được 1 điểm, tìm đúng chu kì được thêm 1 điểm. Thử những mẫu như 7, 13, 25, 40 để thấy chu kì có thể dài tới mức nào.

## Lời thoại video

### 0:00 Mở đầu: rót nước chanh

Rót đều 2 lít nước chanh vào 3 cốc. Mỗi cốc được 2 : 3 lít = 0,6666… — số 6 cứ hiện ra mãi. Còn 3 lít rót vào 4 cốc thì mỗi cốc đúng 0,75 lít. Vì sao có phép chia dừng, có phép chia không bao giờ dừng? Hôm nay ta làm quen với số thập phân vô hạn tuần hoàn.

### 0:22 Hữu hạn và vô hạn tuần hoàn

Muốn viết một phân số dưới dạng số thập phân, ta đặt tính chia tử cho mẫu. Ví dụ 1: 3 : 4. 3 : 4 được 0, dư 3. Thêm chữ số 0: 30 : 4 được 7, dư 2. 20 : 4 được 5, dư 0. Phép chia dừng lại. 3/4 = 0,75 — số thập phân hữu hạn. Ví dụ 2: 5 : 12. 50 : 12 được 4, dư 2. 20 : 12 được 1, dư 8. 80 : 12 được 6, lại dư 8! Số dư lặp lại, nên chữ số 6 cũng lặp lại mãi mãi. 5/12 = 0,41666… mãi không dừng: số thập phân vô hạn tuần hoàn.

### 1:15 Chu kì · cách viết gọn

Phần chữ số lặp đi lặp lại gọi là chu kì. Viết gọn: ghi chu kì một lần, trong ngoặc tròn. Ví dụ 1: 0,666… = 0,(6). Chu kì là 6. Ví dụ 2: 4/11 = 0,363636… Khối lặp là 36, nên chu kì là 36: 0,(36). Số âm cũng vậy: −4/11 = −0,(36). Bẫy hay gặp: 5/12 = 0,41666… Có bạn viết 0,4(16). Sai rồi! Chỉ chữ số 6 lặp; 4 và 1 phải đứng ngoài ngoặc. Viết đúng: 0,41(6).

### 2:08 Khi nào phép chia dừng?

Vì sao số dư nhất định phải lặp lại? Chia cho 12, số dư chỉ có thể từ 0 đến 11. Chia mãi thì hoặc gặp dư 0, hoặc phải gặp lại một số dư cũ. Vì thế, mọi phân số đều viết được thành số thập phân hữu hạn, hoặc vô hạn tuần hoàn. Mẹo đoán trước: rút gọn phân số, rồi phân tích mẫu ra thừa số nguyên tố. Mẫu chỉ có thừa số 2 và 5 → hữu hạn. Có thừa số nguyên tố khác → vô hạn tuần hoàn. Ví dụ 1: 7/20. 20 = 2²·5 → hữu hạn: 7/20 = 0,35. Ví dụ 2: 7/15. 15 = 3·5 có thừa số 3 → vô hạn tuần hoàn: 0,4(6). Cẩn thận: 9/15 = 3/5 = 0,6 — hữu hạn! Luôn rút gọn trước khi xét mẫu.

### 3:09 Làm tròn · độ chính xác

Làm tròn số thập phân vô hạn tuần hoàn giống hệt số thập phân thường. Ví dụ 1: làm tròn 0,(6) lít đến hàng phần trăm. Chữ số ngay sau là 6 > 5, nên 0,(6) ≈ 0,67 lít. Dấu “≈” đọc là xấp xỉ. Kết quả lệch số thật chưa tới 0,005 = nửa đơn vị hàng phần trăm. Quy tắc: làm tròn đến hàng nào, độ chính xác bằng một nửa đơn vị của hàng đó. Hàng trăm ↔ độ chính xác 50 · chục ↔ 5 · đơn vị ↔ 0,5 · phần mười ↔ 0,05. Ví dụ 2: sân vận động có 23 748 khán giả. Làm tròn với độ chính xác 50. 50 ↔ hàng trăm. Chữ số sau là 4 < 5: khoảng 23 700 người. Giờ ta luyện ba dạng bài.

### 4:09 Dạng 1: Viết phân số thành số thập phân

Dạng 1: viết phân số dưới dạng số thập phân. Cách làm: rút gọn, chia tử cho mẫu. Dư 0 thì dừng; gặp lại số dư cũ thì viết gọn theo chu kì. Câu a: 9/8. Bạn hãy tạm dừng video và thử làm nhé. 9 : 8 được 1, dư 1; rồi dư 2, dư 4, dư 0. Phép chia dừng: 9/8 = 1,125 (hữu hạn). Câu b: −5/6. Tạm dừng và thử nhé. Chia 5 cho 6: được 8, dư 2; rồi được 3, lại dư 2. Có bạn viết −0,(83). Sai rồi! Chỉ chữ số 3 lặp. Kết quả: −0,8(3). Câu c: 13/37. Tạm dừng video nhé. Số dư lần lượt là 13, 19, 5, rồi lại 13. Ba chữ số 3, 5, 1 lặp lại. Kết quả: 0,(351).

### 5:23 Dạng 2: Nhận biết, chu kì, viết gọn

Dạng 2: nhận biết, tìm chu kì và viết gọn. Cách làm: tìm khối lặp nhỏ nhất và chỗ nó bắt đầu; phần không lặp đứng ngoài ngoặc. Câu a: xếp bốn số vào hai nhóm hữu hạn và vô hạn tuần hoàn. Tạm dừng video nhé. 2,35 và 6,125 là số hữu hạn. Hai số có ngoặc là vô hạn tuần hoàn. Câu b: viết gọn hai số này. Tạm dừng và thử nhé. Số thứ nhất lặp khối 27: 3,(27). Số thứ hai: có bạn viết −0,(583). Sai rồi! Chữ số 5 không lặp. Khối lặp là 83: −0,5(83). Câu c: tìm chữ số thứ 10 sau dấu phẩy của 0,(376). Tạm dừng video nhé. Chu kì có 3 chữ số. Ba chu kì đầu dùng hết 9 chữ số. Chữ số thứ 10 là chữ số đầu của chu kì tiếp theo: số 3.

### 6:39 Dạng 3: Làm tròn

Dạng 3: làm tròn. Cách làm: cho độ chính xác thì tra bảng tìm hàng; viết thêm vài chữ số rồi nhìn chữ số ngay sau hàng làm tròn. Câu a: làm tròn 7,(26) đến hàng phần trăm. Tạm dừng video nhé. Viết ra: 7,2626… Chữ số sau hàng phần trăm là 2 < 5. Kết quả: ≈ 7,26. Câu b: làm tròn 4,1(8) với độ chính xác 0,05. Tạm dừng và thử nhé. Có bạn làm tròn đến hàng phần trăm, ra 4,19. Sai rồi! Độ chính xác 0,05 ↔ hàng phần mười. Chữ số sau là 8, nên ≈ 4,2. Câu c: 3 bạn chia đều 100 000 đồng. Mỗi bạn được bao nhiêu, làm tròn với độ chính xác 500? 100 000 : 3 = 33 333,(3). 500 ↔ hàng nghìn. Chữ số sau là 3 < 5. Mỗi bạn được khoảng 33 000 đồng.

### 7:56 Kết bài

Tóm lại: chia tử cho mẫu, dư 0 → số thập phân hữu hạn. Số dư lặp lại → số thập phân vô hạn tuần hoàn. Chu kì là khối lặp nhỏ nhất, viết trong ngoặc; phần không lặp để ngoài. Mẫu (sau khi rút gọn) chỉ có thừa số 2 và 5 → hữu hạn. Làm tròn đến hàng nào, độ chính xác bằng nửa đơn vị hàng đó. Làm thêm bài tập về nhà để nhớ lâu nhé. Hẹn gặp lại bạn!