# Số vô tỉ. Căn bậc hai số học – Toán lớp 7, Bài 6
> Bạn có hai tấm thảm hình vuông, mỗi tấm rộng 1 m². Cắt mỗi tấm theo một đường chéo được 4 mảnh tam giác vuông; xếp 4 góc vuông chụm vào giữa, ta được một tấm thảm vuông lớn có diện tích 2 m². Cạnh tấm thảm lớn dài bao nhiêu? Không có phân số nào trả lời được câu hỏi này — ta cần một loại số mới.
- Trang bài: https://anim.vn/lop-7/toan/bai-06-so-vo-ti-can-bac-hai-so-hoc/
- Video: https://youtu.be/UFTOZ3bWVvc (8:20)
- Thuộc: Toán lớp 7 · Bài 6
- Bài tập về nhà (PDF, có lời giải): https://anim.vn/media/lop7-toan-bai-06/bai-tap-ve-nha.pdf
## Mục lục video
- 0:00 Mở đầu: tấm thảm 2 m²
- 0:25 Số vô tỉ
- 1:37 Căn bậc hai số học
- 2:28 Chú ý: √9 = 3 · số âm
- 3:02 Dùng máy tính cầm tay
- 3:41 Dạng 1: Tính căn bậc hai số học
- 4:37 Dạng 2: Đúng hay sai?
- 5:38 Dạng 3: Máy tính và làm tròn
- 6:51 Dạng 4: Bài toán thực tế
- 7:50 Kết bài
Bạn có hai tấm thảm hình vuông, mỗi tấm rộng $1$ m². Cắt mỗi tấm theo một đường chéo được $4$ mảnh tam giác vuông;
xếp $4$ góc vuông chụm vào giữa, ta được một tấm thảm vuông lớn có diện tích $2$ m². **Cạnh tấm thảm lớn dài bao nhiêu?**
Không có phân số nào trả lời được câu hỏi này — ta cần một loại số mới.
## 1. Số vô tỉ
Gọi cạnh là $x$ (m) thì $x^2 = 2$. Thử dần:
| $x$ | $x^2$ | so với 2 |
|---|---|---|
| $1{,}4$ | $1{,}96$ | thiếu |
| $1{,}5$ | $2{,}25$ | thừa |
| $1{,}41$ | $1{,}9881$ | thiếu |
| $1{,}42$ | $2{,}0164$ | thừa |
Thử mãi vẫn không trúng: **không có số hữu tỉ nào bình phương bằng đúng $2$**. Các chữ số của $x$ chạy mãi
$x = 1{,}41421356237\ldots$, không dừng, cũng không lặp lại theo chu kì nào.
- **Số vô tỉ** là số viết được dưới dạng **số thập phân vô hạn không tuần hoàn**.
- Tập hợp các số vô tỉ kí hiệu là $\mathbb{I}$.
**Ví dụ 1 (tấm thảm).** Cạnh tấm thảm $2$ m² là một số vô tỉ, $x = 1{,}41421356\ldots$
**Ví dụ 2 (so sánh hai số).**
- $0{,}121212\ldots$ lặp mãi cụm "12": số thập phân vô hạn **tuần hoàn**, nên là số hữu tỉ ($= \dfrac{4}{33}$).
- $0{,}123456789101112\ldots$ (viết liền các số tự nhiên $1, 2, 3, \ldots$): không có cụm nào lặp mãi, nên là **số vô tỉ**.
**Làm tròn.** Số vô tỉ làm tròn như số thập phân thường: cạnh tấm thảm $x \approx 1{,}41$ m (làm tròn đến hàng phần trăm).
## 2. Căn bậc hai số học
Tìm cạnh hình vuông biết diện tích $a$ là tìm số $x \geq 0$ sao cho $x^2 = a$.
$$\sqrt{a} = x \quad\Longleftrightarrow\quad x \geq 0 \ \text{ và } \ x^2 = a \qquad (a \geq 0)$$
$\sqrt{a}$ đọc là "căn bậc hai số học của $a$". Cạnh tấm thảm lớn là $\sqrt{2}$ m.
**Ví dụ 1 (bàn cờ vua).** Bàn cờ hình vuông có $64$ ô bằng nhau. Mỗi cạnh có $8$ ô vì $8^2 = 64$: $\sqrt{64} = 8$.
**Ví dụ 2 (thập phân, phân số, số 0).** $\sqrt{0{,}25} = 0{,}5$ vì $0{,}5^2 = 0{,}25$; $\ \sqrt{\dfrac{4}{9}} = \dfrac{2}{3}$; $\ \sqrt{0} = 0$.
**Chú ý.**
1. $3^2 = 9$ và $(-3)^2 = 9$, nhưng căn bậc hai số học chỉ lấy số **không âm**: $\sqrt{9} = 3$ (không phải $\pm 3$).
Tổng quát $\sqrt{a^2} = a$ với $a \geq 0$, chẳng hạn $\sqrt{7^2} = 7$.
2. Bình phương của mọi số đều không âm, nên **số âm không có căn bậc hai số học**: $\sqrt{-9}$ không có nghĩa.
## 3. Tính căn bậc hai bằng máy tính cầm tay
Bấm phím $\sqrt{\ }$, nhập số, bấm $=$.
| Phép tính | Bấm | Màn hình | Làm tròn |
|---|---|---|---|
| $\sqrt{5}$ | $\sqrt{\ }$ $5$ $=$ | $2{,}236067977$ | $\approx 2{,}24$ (hàng phần trăm) |
| $\sqrt{1369}$ | $\sqrt{\ }$ $1$ $3$ $6$ $9$ $=$ | $37$ | đúng $37$ |
Màn hình chỉ hiện được một số chữ số, nên kết quả vô hạn đã được máy làm tròn.
**Ghi nhớ:** căn bậc hai số học của một số tự nhiên **không chính phương** luôn là số vô tỉ ($\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}, \sqrt{7}, \ldots$).
## Bảng kí hiệu
| Kí hiệu | Đọc | Nghĩa |
|---|---|---|
| $\mathbb{I}$ | tập hợp số vô tỉ | các số thập phân vô hạn không tuần hoàn |
| $\sqrt{a}$ | căn bậc hai số học của $a$ | số $x \geq 0$ có $x^2 = a$ (cần $a \geq 0$) |
| $\approx$ | xấp xỉ | kết quả đã làm tròn |
## Lỗi hay gặp
- **Viết $\sqrt{9} = \pm 3$.** Căn bậc hai số học luôn không âm: $\sqrt{9} = 3$.
- **Nghĩ căn của số âm có giá trị.** $\sqrt{-25}$ không có nghĩa. Nhưng $-\sqrt{25} = -5$ thì đúng (dấu trừ ở ngoài dấu căn).
- **Tách căn của một tổng.** $\sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$, còn $\sqrt{36} + \sqrt{64} = 14$. Vậy $\sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$.
- **Đếm sai chữ số thập phân.** $\sqrt{0{,}49} = 0{,}7$ chứ không phải $0{,}07$ (vì $0{,}07^2 = 0{,}0049$). Luôn thử lại bằng cách bình phương.
- **Làm tròn sai hàng.** Muốn làm tròn đến hàng phần trăm thì nhìn chữ số hàng phần **nghìn**.
- Khó hình dung "vô hạn không tuần hoàn": hãy so một số có cụm lặp ($0{,}121212\ldots$) với một số "viết liền các số tự nhiên" ($0{,}123456789101112\ldots$).
## Bài tập theo dạng
### Dạng 1. Tính căn bậc hai số học
Cách làm: tìm số không âm mà bình phương lên bằng số dưới dấu căn; thử lại bằng cách bình phương.
**Bài 1.** Tính: a) $\sqrt{169}$ b) $\sqrt{0{,}49}$ c) $\sqrt{\dfrac{36}{25}}$ d) $\sqrt{1{,}44}$ e) $\sqrt{15^2}$
Đáp án
a) $13$ (vì $13^2 = 169$) · b) $0{,}7$ (không phải $0{,}07$) · c) $\dfrac{6}{5}$ (vì $36 = 6^2$, $25 = 5^2$) · d) $1{,}2$ · e) $15$
Đáp án
a) Sai: vế trái $\sqrt{100} = 10$, vế phải $6 + 8 = 14$. · b) Đúng. · c) Sai: $\sqrt{-25}$ không có nghĩa. · d) Sai: $\sqrt{4} = 2$.
Đáp án
a) Máy: $2{,}645751311$; chữ số hàng phần nghìn là $5$ nên $\sqrt{7} \approx 2{,}65$. · b) $45$ (vì $45^2 = 2025$). ·
c) $\sqrt{5{,}29} = 2{,}3$ và $\sqrt{2025} = 45$ là số hữu tỉ; $7$ không chính phương nên $\sqrt{7}$ là số vô tỉ.
Đáp án
a) $\sqrt{225} = 15$ m. · b) Chu vi $4 \cdot 15 = 60$ m, bớt $1$ m lối vào: $59$ m lưới. ·
c) $\sqrt{200} = 14{,}142\ldots$; chữ số hàng phần trăm là $4 < 5$ nên cạnh $\approx 14{,}1$ m.