# Tập hợp các số thực – Toán lớp 7, Bài 7 > Một viên gạch vuông cạnh 1 dm. Đường chéo của nó dài bao nhiêu? Và có "chỗ" nào trên trục số cho độ dài ấy không? Nhiều bạn nghĩ số không viết được thành phân số thì không nằm được trên trục số. Bài này cho bạn thấy: có chỗ, và rất chính xác. - Trang bài: https://anim.vn/lop-7/toan/bai-07-tap-hop-cac-so-thuc/ - Video: https://youtu.be/dQvMOVOlkZ4 (8:04) - Thuộc: Toán lớp 7 · Bài 7 - Bài tập về nhà (PDF, có lời giải): https://anim.vn/media/lop7-toan-bai-07/bai-tap-ve-nha.pdf ## Mục lục video - 0:00 Mở đầu: đường chéo viên gạch - 0:26 Số thực · tập ℝ - 1:25 Trục số thực · √2 - 2:17 So sánh số thực - 3:16 Giá trị tuyệt đối - 4:06 Dạng 1: Phân loại, số đối - 5:02 Dạng 2: Biểu diễn trên trục số - 5:43 Dạng 3: So sánh, sắp xếp - 6:44 Dạng 4: Giá trị tuyệt đối - 7:41 Kết bài > Một viên gạch vuông cạnh 1 dm. Đường chéo của nó dài bao nhiêu? Và có "chỗ" nào trên trục số cho độ dài ấy không? > Nhiều bạn nghĩ số không viết được thành phân số thì không nằm được trên trục số. Bài này cho bạn thấy: **có chỗ, và rất chính xác.** Bài có 4 ý: số thực là gì · trục số thực · so sánh số thực · giá trị tuyệt đối. --- ## 1. Số thực là gì? - **Số hữu tỉ** viết được thành số thập phân **hữu hạn** hoặc **vô hạn tuần hoàn**: $\frac{2}{3} = 0{,}666\ldots = 0{,}(6)$. - **Số vô tỉ** là số thập phân **vô hạn không tuần hoàn**: $\sqrt{3} = 1{,}7320508\ldots$, $\pi = 3{,}14159\ldots$ - Số hữu tỉ và số vô tỉ gọi chung là **số thực**. Tập hợp các số thực kí hiệu là $\mathbb{R}$. Các tập số lồng vào nhau như búp bê Nga: $$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$$ Phần của $\mathbb{R}$ nằm ngoài $\mathbb{Q}$ là các số vô tỉ (tập $\mathbb{I}$). **Ví dụ 1 (cặp sách).** 5 quyển vở: $5 \in \mathbb{N}$. Ngăn đá tủ lạnh $-6\,^\circ\mathrm{C}$: $-6 \in \mathbb{Z}$. Chai nước 1,5 lít: $1{,}5 \in \mathbb{Q}$. Số $\pi$ là số vô tỉ. Cả bốn số đều thuộc $\mathbb{R}$. **Ví dụ 2 (bẫy dấu căn).** $\sqrt{49}$ có phải số vô tỉ? **Không**: $\sqrt{49} = 7 \in \mathbb{N}$. Có dấu căn **chưa chắc** là số vô tỉ. Còn $\sqrt{5} = 2{,}2360679\ldots$ không ra số đẹp, nên $\sqrt{5} \notin \mathbb{Q}$ nhưng $\sqrt{5} \in \mathbb{R}$. ## 2. Trục số thực **Tìm đường chéo viên gạch.** Ghép 4 viên gạch cạnh 1 thành hình vuông lớn $2 \times 2$. Nối 4 đường chéo, bạn được một hình vuông nghiêng gồm đúng **4 nửa viên gạch**, nên diện tích bằng $4 \cdot \frac{1}{2} = 2$. Cạnh của hình vuông nghiêng (cũng là đường chéo viên gạch) dài $\sqrt{2}$. **Ví dụ 1: đặt $\sqrt{2}$ lên trục số.** Đặt viên gạch lên trục, cạnh dưới từ 0 đến 1. Vẽ đường chéo từ gốc O. Lấy compa tâm O, bán kính bằng đường chéo, quay xuống trục: điểm chạm trục là $\sqrt{2} \approx 1{,}414$. **Ví dụ 2: $-\sqrt{2}$.** Quay compa sang trái, được điểm $-\sqrt{2}$. Hai điểm $\sqrt{2}$ và $-\sqrt{2}$ **cách đều gốc**, ở hai phía: chúng là hai **số đối** nhau. Mỗi số thực $a$ có số đối là $-a$. Bẫy: $-\sqrt{2}$ **không** nằm giữa $-1$ và $0$. Nó cách gốc 1,414 đơn vị, nên nằm giữa $-2$ và $-1$. > Mỗi số thực ứng với đúng một điểm trên trục số, và mỗi điểm trên trục số ứng với một số thực. Các số thực **lấp kín** trục số, nên trục số còn gọi là **trục số thực**. ## 3. So sánh hai số thực - Viết hai số dưới dạng số thập phân rồi so **từng hàng**, từ trái sang phải (như số thập phân đã học). - Trên trục số thực, số nhỏ hơn nằm **bên trái**. Số âm nằm trước 0, số dương nằm sau 0. - Với hai số dương: $a < b$ thì $\sqrt{a} < \sqrt{b}$ (ví dụ $\sqrt{11} < \sqrt{13}$). - Hai số âm: số nào **xa gốc hơn** thì **nhỏ hơn**. **Ví dụ 1 (sợi dây).** Mảnh vườn vuông rộng $7\ \mathrm{m^2}$ có cạnh $\sqrt{7}$ m. Sợi dây dài 2,65 m có căng đủ một cạnh không? $\sqrt{7} = 2{,}645\ldots$ So với $2{,}650$: đến hàng phần trăm, $4 < 5$. Vậy $\sqrt{7} < 2{,}65$: dây đủ dài. **Ví dụ 2 (bẫy "xấp xỉ").** So sánh $-\sqrt{3}$ và $-1{,}7$. "$\sqrt{3} \approx 1{,}7$ nên hai số bằng nhau" là **sai**: $\sqrt{3} = 1{,}732\ldots > 1{,}7$. Hai số âm thì số xa gốc hơn lại nhỏ hơn, nên $-\sqrt{3} < -1{,}7$. ## 4. Giá trị tuyệt đối **Ví dụ 1 (thang máy).** Tòa nhà có tầng hầm $-6$ và tầng $6$. Từ tầng trệt (0), đi xuống $-6$ hay đi lên $6$, thang máy đều đi **6 tầng**. Khoảng cách từ điểm $a$ đến gốc O gọi là **giá trị tuyệt đối** của $a$, kí hiệu $|a|$. Khoảng cách **không bao giờ âm**. $$|a| = \begin{cases} a & \text{nếu } a > 0 \\ -a & \text{nếu } a < 0 \\ 0 & \text{nếu } a = 0 \end{cases}$$ Chẳng hạn $|-3{,}8| = 3{,}8$; $\left|\frac{2}{7}\right| = \frac{2}{7}$; $|0| = 0$. **Ví dụ 2 (bẫy).** Bạn Hà viết $|-\sqrt{7}| = -\sqrt{7}$. **Sai**: $-\sqrt{7} < 0$ nên $|-\sqrt{7}| = \sqrt{7}$. Chỗ dễ nhầm: công thức "$|a| = -a$ khi $a < 0$". Ở đây $-a$ là **số dương**, vì $a$ đã âm sẵn (ví dụ $a = -5$ thì $-a = 5$). --- ## Bảng kí hiệu | Kí hiệu | Đọc | Ví dụ | |---|---|---| | $\mathbb{R}$ | tập hợp các số thực | $\sqrt{2} \in \mathbb{R}$ | | $\mathbb{I}$ | tập hợp các số vô tỉ | $\pi \in \mathbb{I}$ | | $\subset$ | là tập con của | $\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$ | | $\sqrt{a}$ | căn bậc hai số học của $a$ ($a \ge 0$) | $\sqrt{49} = 7$ | | $-a$ | số đối của $a$ | số đối của $-\sqrt{3}$ là $\sqrt{3}$ | | $\lvert a \rvert$ | giá trị tuyệt đối của $a$ | $\lvert -1{,}2 \rvert = 1{,}2$ | ## Lỗi hay gặp 1. **Thấy dấu căn là cho vô tỉ.** $\sqrt{49} = 7$, $-\sqrt{36} = -6$ đều là số hữu tỉ. Luôn rút gọn trước. 2. **Nghĩ số vô tỉ không đặt được lên trục số.** Mỗi số thực có đúng một điểm; $\sqrt{2}$ dựng được bằng compa. 3. **Đặt sai số âm vô tỉ:** $-\sqrt{2}$ nằm giữa $-2$ và $-1$, không phải giữa $-1$ và $0$. 4. **So sánh bằng số làm tròn.** $\sqrt{3} \approx 1{,}7$ không có nghĩa $\sqrt{3} = 1{,}7$. Lấy thêm chữ số cho tới khi thấy hàng khác nhau. 5. **Quên đảo chiều với số âm:** $\sqrt{8} < 2{,}83$ nhưng $-\sqrt{8} > -2{,}83$. 6. **Viết $|-a| = -a$.** Giá trị tuyệt đối không bao giờ âm: $|-\sqrt{10}| = \sqrt{10}$. 7. **Tìm $x$ khi biết $|x|$ mà chỉ ghi một đáp số.** $|x| = 1{,}8$ có **hai** nghiệm $\pm 1{,}8$; còn $|x| = -2$ thì không có $x$ nào. --- ## Bài tập theo dạng ### Dạng 1. Phân loại số thực, tìm số đối *Rút gọn trước (nhất là số có dấu căn). Viết được thành phân số → hữu tỉ; còn lại → vô tỉ. Số đối: chỉ đổi dấu.* **Bài 1.** Cho các số $-3{,}6$; $\sqrt{11}$; $0{,}(45)$; $-\sqrt{36}$; $\frac{5}{13}$; $\pi$. a) Số nào là số hữu tỉ, số nào là số vô tỉ? b) Tìm số đối của $-\sqrt{36}$ và của $\sqrt{11}$.
Đáp án a) Hữu tỉ: $-3{,}6$; $0{,}(45)$ $\left(= \frac{5}{11}\right)$; $\frac{5}{13}$; $-\sqrt{36} = -6$. Vô tỉ: $\sqrt{11}$; $\pi$. b) $-\sqrt{36} = -6$ nên số đối là $6$. Số đối của $\sqrt{11}$ là $-\sqrt{11}$.
**Bài 2.** Đúng hay sai? a) $\sqrt{64} \in \mathbb{I}$ b) $-\sqrt{3} \in \mathbb{R}$ c) $\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$ d) $0{,}1010010001\ldots$ (sau mỗi số 1, số chữ số 0 tăng thêm 1) là số hữu tỉ.
Đáp án a) Sai ($\sqrt{64} = 8$). b) Đúng. c) Đúng. d) Sai: vô hạn không tuần hoàn nên là số vô tỉ.
### Dạng 2. Biểu diễn số thực trên trục số *Tìm đoạn thẳng dài đúng bằng số đó (thường là đường chéo). Compa tâm O quay xuống trục: số dương sang phải, số âm sang trái.* **Bài 3.** Biết đường chéo hình chữ nhật có hai cạnh 2 và 1 dài $\sqrt{5}$. Vẽ điểm biểu diễn $-\sqrt{5}$. Điểm đó nằm giữa hai số nguyên nào?
Đáp án Dựng hình chữ nhật trên trục: cạnh dưới từ 0 đến 2, cao 1. Compa tâm O, bán kính bằng đường chéo, quay sang **trái**. Vì $\sqrt{5} = 2{,}236\ldots$ nên $-\sqrt{5}$ nằm giữa $-3$ và $-2$.
**Bài 4.** Không cần vẽ, cho biết điểm $\sqrt{2}$ nằm giữa hai vạch nào trên trục số chia từng $0{,}01$ đoạn từ 1,4 đến 1,5.
Đáp án $\sqrt{2} = 1{,}4142\ldots$ nên nằm giữa 1,41 và 1,42.
### Dạng 3. So sánh, sắp xếp số thực *Viết dạng thập phân, đủ chữ số, so từng hàng. Hai số âm: xa gốc hơn thì nhỏ hơn.* **Bài 5.** So sánh: a) $\sqrt{19}$ và $4{,}4$ b) $-\sqrt{8}$ và $-2{,}83$.
Đáp án a) $\sqrt{19} = 4{,}358\ldots < 4{,}4$. b) $\sqrt{8} = 2{,}828\ldots < 2{,}83$, nên $-\sqrt{8} > -2{,}83$ (đảo chiều khi đổi dấu).
**Bài 6.** Sắp xếp tăng dần: $-1{,}5$; $\sqrt{2}$; $-\sqrt{3}$; $1{,}4$; $0$.
Đáp án $-\sqrt{3} = -1{,}732\ldots$ xa gốc hơn $-1{,}5$; $\sqrt{2} = 1{,}414\ldots > 1{,}4$. $-\sqrt{3} < -1{,}5 < 0 < 1{,}4 < \sqrt{2}$.
### Dạng 4. Giá trị tuyệt đối *Xét dấu trước. Số không âm: giữ nguyên; số âm: bỏ dấu trừ. Kết quả không bao giờ âm.* **Bài 7.** Tính: a) $|-4{,}7|$ b) $\left|\frac{5}{9}\right|$ c) $|-\sqrt{10}|$.
Đáp án a) $4{,}7$ b) $\frac{5}{9}$ c) $\sqrt{10}$ (không phải $-\sqrt{10}$).
**Bài 8.** Trên cây thước có vạch 0 ở chính giữa, một con kiến đứng cách vạch 0 là 1,8 cm. Con kiến ở vạch nào? Nếu có bạn bảo "con kiến cách vạch 0 là $-2$ cm" thì sao?
Đáp án Gọi vạch đó là $x$: $|x| = 1{,}8$, nên $x = 1{,}8$ hoặc $x = -1{,}8$. Khoảng cách không thể âm: $|x| = -2$ không có $x$ nào.
--- ## Trò chơi ở nhà (5 phút): "Đứng đúng chỗ" Dán một băng giấy dài làm trục số trên sàn (mỗi bước chân là 1 đơn vị, gốc 0 ở giữa). Người lớn đọc một số: $\sqrt{9}$, $-\sqrt{2}$, $1{,}5$, $-\sqrt{5}$, $|{-2}|$, $\pi$… Bạn phải **nhảy tới đúng chỗ** (ước lượng) và nói to: số đó là hữu tỉ hay vô tỉ, cách gốc bao nhiêu. Nói đúng cả hai được 1 điểm. Đổi vai sau 5 lượt. ## Lời thoại video ### 0:00 Mở đầu: đường chéo viên gạch Một viên gạch vuông, mỗi cạnh dài 1 dm. Đường chéo dài bao nhiêu? Có đặt được lên trục số không? Nhiều bạn nghĩ: không viết được thành phân số thì không có chỗ trên trục số. Thực ra, nó có một chỗ rất chính xác. Hôm nay: tập hợp các số thực — là gì, nằm đâu trên trục số, so sánh thế nào, và giá trị tuyệt đối. ### 0:26 Số thực · tập ℝ Số hữu tỉ: thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn, như 2/3 = 0,666… = 0,(6). Số vô tỉ: thập phân vô hạn không tuần hoàn, như √3 = 1,732… Số hữu tỉ và số vô tỉ gọi chung là số thực. Tập hợp các số thực kí hiệu là ℝ. ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ. Phần còn lại của ℝ là số vô tỉ. Ví dụ 1: 5 quyển vở ∈ ℕ · ngăn đá −6 °C ∈ ℤ · chai nước 1,5 lít ∈ ℚ · số π là số vô tỉ. Ví dụ 2: √49 là số vô tỉ, đúng không? Không! √49 = 7. Có dấu căn chưa chắc đã là số vô tỉ. ### 1:25 Trục số thực · √2 Ghép 4 viên gạch thành hình vuông lớn, nối 4 đường chéo: được một hình vuông nghiêng. Hình vuông nghiêng = 4 nửa viên gạch → diện tích 2. Cạnh của nó (đường chéo) dài √2. Đặt viên gạch lên trục số, từ 0 đến 1, vẽ đường chéo từ gốc. Compa tâm O, mở bằng đường chéo, quay xuống trục. Điểm chạm trục chính là √2. Ví dụ 2: quay sang trái → −√2, số đối của √2: cách gốc bằng nhau, ở hai phía. Nhiều bạn tưởng −√2 nằm giữa 0 và −1. Nhưng nó cách gốc hơn 1 đơn vị: nằm giữa −2 và −1. Mỗi số thực là một điểm trên trục số, và ngược lại. Các số thực lấp kín trục số: trục số thực. ### 2:17 So sánh số thực So sánh hai số thực: viết dạng thập phân rồi so từng hàng. Trên trục số, số nhỏ hơn nằm bên trái. Với hai số dương: a < b thì √a < √b. Ví dụ 1: vườn vuông 7 m² có cạnh √7 m. Dây dài 2,65 m có căng đủ một cạnh không? √7 = 2,645… Hàng phần trăm: 4 < 5. Vậy √7 < 2,65: dây đủ dài. Ví dụ 2: −√3 và −1,7, số nào lớn hơn? “√3 ≈ 1,7 nên hai số bằng nhau” — sai: xấp xỉ không phải là bằng. √3 > 1,7. Hai số âm: xa gốc hơn thì nhỏ hơn. −√3 < −1,7. ### 3:16 Giá trị tuyệt đối Ví dụ 1: tầng hầm −6 và tầng 6. Từ tầng trệt, đi xuống hay đi lên đều 6 tầng. Khoảng cách từ điểm a đến gốc là giá trị tuyệt đối của a, kí hiệu ∣a∣. Khoảng cách không bao giờ âm. Số dương: ∣a∣ = a · số âm: ∣a∣ = −a (số đối) · ∣0∣ = 0. Ví dụ 2: bạn Hà viết ∣−√7∣ = −√7. Đúng hay sai? Sai! −√7 là số âm, nên ∣−√7∣ = √7. Công thức: a < 0 thì ∣a∣ = −a. Ở đây −a là số dương, vì a đã âm sẵn. ### 4:06 Dạng 1: Phân loại, số đối Dạng một: phân loại số thực và tìm số đối. Cách làm: rút gọn trước (nhất là số có dấu căn). Viết được thành phân số → hữu tỉ; còn lại → vô tỉ. Số đối: đổi dấu. Bài 1a: số nào hữu tỉ, số nào vô tỉ? Tạm dừng video và thử làm. −3,6 ; 0,(45) ; 5/13 đều là số hữu tỉ. −√36 có dấu căn, nhưng = −6: vẫn là hữu tỉ. √11 và π là số vô tỉ. Câu b: số đối của −√36 là gì? Tạm dừng video nhé. −√36 = −6, nên số đối của nó là 6. ### 5:02 Dạng 2: Biểu diễn trên trục số Dạng hai: biểu diễn số thực trên trục số. Cách làm: tìm đoạn thẳng dài đúng bằng số đó (thường là đường chéo). Compa tâm O quay xuống trục: số dương sang phải, số âm sang trái. Bài 2: đường chéo hình chữ nhật 2 × 1 dài √5. Vẽ điểm −√5. Tạm dừng video và thử làm. Dựng hình chữ nhật trên trục: cạnh dưới từ 0 đến 2, cao 1. Vẽ đường chéo từ gốc. Số âm → compa quay sang trái. −√5 nằm giữa −3 và −2. ### 5:43 Dạng 3: So sánh, sắp xếp Dạng ba: so sánh và sắp xếp số thực. Cách làm: viết dạng thập phân, đủ chữ số, so từng hàng. Hai số âm: xa gốc hơn thì nhỏ hơn. Bài 3a: so sánh √19 và 4,4. Tạm dừng video và thử làm. √19 = 4,35… Hàng phần mười: 3 < 4. Vậy √19 < 4,4. Câu b: sắp xếp tăng dần: −1,5 ; √2 ; −√3 ; 1,4 ; 0. Tạm dừng video nhé. −√3 = −1,73… xa gốc hơn −1,5 → đứng đầu. √2 = 1,414… > 1,4 → đứng cuối. −√3 < −1,5 < 0 < 1,4 < √2. ### 6:44 Dạng 4: Giá trị tuyệt đối Dạng bốn: giá trị tuyệt đối. Cách làm: xét dấu trước. Số không âm: giữ nguyên · số âm: bỏ dấu trừ. Bài 4a: tính ∣−4,7∣ và ∣−√10∣. Tạm dừng video và thử làm. −4,7 < 0: bỏ dấu trừ → ∣−4,7∣ = 4,7. “∣−√10∣ = −√10” — sai! Kết quả phải là √10. Câu b: thước có vạch 0 ở giữa. Con kiến cách vạch 0 là 1,8 cm. Nó ở vạch nào? Tạm dừng video nhé. Gọi vạch đó là x: ∣x∣ = 1,8. Hai điểm ở hai bên gốc: x = 1,8 hoặc x = −1,8. ### 7:41 Kết bài Số hữu tỉ + số vô tỉ = số thực, kí hiệu ℝ; các số thực lấp kín trục số. So sánh: đưa về số thập phân; hai số âm: xa gốc hơn thì nhỏ hơn. ∣a∣ là khoảng cách đến gốc: không bao giờ âm. Làm thêm bài tập về nhà để nhớ lâu nhé. Hẹn gặp lại bạn!