# Hai đường thẳng song song và dấu hiệu nhận biết – Toán lớp 7, Bài 9 > Hai thanh ray tàu hoả chạy dài hàng trăm cây số. Không ai đi hết đường ray để xem chúng có gặp nhau không, vậy mà ta vẫn biết chúng song song. Bí quyết: chỉ cần nhìn các góc tạo bởi một đường thẳng cắt ngang qua cả hai. - Trang bài: https://anim.vn/lop-7/toan/bai-09-hai-duong-thang-song-song-dau-hieu-nhan-biet/ - Video: https://youtu.be/a2LaOfEirmQ (8:49) - Thuộc: Toán lớp 7 · Bài 9 - Bài tập về nhà (PDF, có lời giải): https://anim.vn/media/lop7-toan-bai-09/bai-tap-ve-nha.pdf ## Mục lục video - 0:00 Mở đầu - 0:21 Hai góc so le trong - 1:20 Hai góc đồng vị - 2:07 Dấu hiệu nhận biết song song - 3:14 Vẽ hai đường thẳng song song - 3:54 Tóm tắt - 4:14 Dạng 1: Nhận biết cặp góc - 5:29 Dạng 2: Giải thích song song - 7:14 Dạng 3: Vận dụng thực tế - 8:30 Kết bài Hai thanh ray tàu hoả chạy dài hàng trăm cây số. Không ai đi hết đường ray để xem chúng có gặp nhau không, vậy mà ta vẫn biết chúng song song. Bí quyết: **chỉ cần nhìn các góc tạo bởi một đường thẳng cắt ngang qua cả hai**. --- ## 0. Nhắc lại: hai đường thẳng song song Hai đường thẳng **song song** là hai đường thẳng **không có điểm chung** nào. Kí hiệu $p \parallel q$ (đọc: *p song song với q*). Khó ở chỗ: đường thẳng dài vô tận, ta không thể kéo dài mãi để kiểm tra. Nên ta cần một **dấu hiệu** dễ kiểm tra hơn. ## 1. Tám góc tạo bởi một đường thẳng cắt hai đường thẳng Đường thẳng $t$ cắt hai đường thẳng $p$ và $q$ lần lượt tại $O$ và $V$. Ở mỗi giao điểm có 4 góc, đánh số $1, 2, 3, 4$ theo cùng một cách (ở đây: 1 trên-phải, 2 trên-trái, 3 dưới-trái, 4 dưới-phải). - Các góc **trong**: nằm **giữa** $p$ và $q$: $\widehat{O_3}, \widehat{O_4}, \widehat{V_1}, \widehat{V_2}$. - Các góc **ngoài**: nằm ngoài dải giữa $p$ và $q$: $\widehat{O_1}, \widehat{O_2}, \widehat{V_3}, \widehat{V_4}$. ### Hai góc so le trong Hai góc **cùng nằm trong** và **ở hai phía khác nhau** của $t$ (so le = lệch nhau). Có **2 cặp**: $\widehat{O_3}$ và $\widehat{V_1}$; $\widehat{O_4}$ và $\widehat{V_2}$. > Mẹo nhớ: nối hai cạnh của cặp so le trong sẽ thấy hình **chữ Z** (hoặc chữ Z ngược). - **Ví dụ 1 (cổng sắt).** Cổng có hai thanh ngang và một thanh chéo nối từ đầu thanh trên xuống cuối thanh dưới. Góc giữa thanh chéo và thanh trên, góc giữa thanh chéo và thanh dưới, cùng nằm giữa hai thanh, ở hai bên thanh chéo: chúng là **cặp so le trong** (thanh cổng vẽ đúng hình chữ Z). - **Ví dụ 2 (coi chừng).** $\widehat{O_3}$ và $\widehat{V_2}$ đều nằm trong, nhưng **cùng một phía** của $t$. Chúng **không phải** so le trong (người ta gọi là cặp góc *trong cùng phía*). ### Hai góc đồng vị Hai góc ở **cùng một vị trí** so với giao điểm của mình (cùng "trên-phải", cùng "dưới-trái"…). Có **4 cặp**: $\widehat{O_1}$ và $\widehat{V_1}$; $\widehat{O_2}$ và $\widehat{V_2}$; $\widehat{O_3}$ và $\widehat{V_3}$; $\widehat{O_4}$ và $\widehat{V_4}$. > Mẹo nhớ: trượt cụm 4 góc ở $O$ dọc theo $t$ xuống $V$, góc nào **đè lên** góc nào thì hai góc đó đồng vị. Cặp đồng vị tạo hình **chữ F**. - **Ví dụ 1 (bậc cầu thang).** Nhìn nghiêng, thanh tay vịn cắt mép hai bậc thang. Góc phía trên-phải ở bậc dưới và góc phía trên-phải ở bậc trên là **cặp đồng vị**. - **Ví dụ 2 (coi chừng).** $\widehat{O_1}$ và $\widehat{V_4}$ cùng ở bên phải $t$, nhưng một góc ở **trên** $p$, một góc ở **dưới** $q$: khác vị trí, **không** đồng vị. ## 2. Khi một cặp so le trong bằng nhau Nếu $\widehat{O_3} = \widehat{V_1} = 65^\circ$ thì: - $\widehat{O_4} = 180^\circ - 65^\circ = 115^\circ$ và $\widehat{V_2} = 180^\circ - 65^\circ = 115^\circ$ (kề bù): **cặp so le trong còn lại cũng bằng nhau**; - $\widehat{O_1} = \widehat{O_3} = 65^\circ$ (đối đỉnh) $= \widehat{V_1}$: **các cặp đồng vị cũng bằng nhau**. ## 3. Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song > **Nếu đường thẳng $t$ cắt hai đường thẳng phân biệt $p$, $q$ và tạo ra một cặp góc so le trong bằng nhau (hoặc một cặp góc đồng vị bằng nhau) thì $p \parallel q$.** Thử tưởng tượng: giữ $\widehat{O_3} = 65^\circ$, xoay đường $q$ quanh $V$. Khi $\widehat{V_1}$ lớn hơn hay nhỏ hơn $65^\circ$, hai đường nghiêng về phía nhau và sẽ cắt nhau ở đâu đó. Đúng lúc $\widehat{V_1} = 65^\circ$, hai đường "thẳng hàng song song", không bao giờ gặp nhau. - **Ví dụ 1 (vạch đỗ xe).** Các vạch chéo ở bãi đỗ xe đều tạo với mép đường một góc $55^\circ$, ở cùng vị trí (đồng vị). Nên các vạch song song với nhau. - **Ví dụ 2 (coi chừng).** Hai góc cùng bằng $58^\circ$ nhưng ở vị trí **trong cùng phía**. Chúng không phải so le trong, cũng không phải đồng vị, nên **không** dùng được dấu hiệu. Hình vẽ cho thấy hai đường thẳng này thật ra đang chụm lại. **Nhận xét:** hai đường thẳng phân biệt **cùng vuông góc** với một đường thẳng thứ ba thì song song (vì có cặp góc đồng vị cùng bằng $90^\circ$). ## 4. Vẽ đường thẳng song song bằng êke và thước Cho đường thẳng $p$ và điểm $T$ nằm ngoài $p$. Vẽ đường thẳng qua $T$ song song với $p$: **Cách 1: trượt êke dọc thước.** 1. Đặt một cạnh của êke trùng với $p$. 2. Áp thước thẳng sát cạnh huyền của êke, giữ chặt thước. 3. Trượt êke dọc theo thước cho tới khi cạnh lúc nãy đi qua $T$. 4. Kẻ đường thẳng theo cạnh đó. Hai góc của êke ở hai vị trí là **cặp đồng vị bằng nhau**, nên đường vừa kẻ song song với $p$. **Cách 2: dùng góc vuông.** Kẻ qua $T$ đường thẳng vuông góc với $p$, rồi kẻ qua $T$ đường thẳng vuông góc với đường vừa kẻ. Hai đường cùng vuông góc với một đường thẳng nên song song. --- ## Bảng kí hiệu | Kí hiệu | Đọc | Nghĩa | |---|---|---| | $p \parallel q$ | p song song với q | $p$ và $q$ không có điểm chung | | $\widehat{O_3}$ | góc O ba | góc thứ 3 ở giao điểm $O$ | | $\widehat{XOT}$ | góc X O T | góc đỉnh $O$, hai cạnh $OX$, $OT$ | | $p \perp t$ | p vuông góc với t | $p$ và $t$ cắt nhau tạo góc $90^\circ$ | ## Lỗi hay gặp 1. **Lẫn so le trong với đồng vị.** So le trong: cả hai góc ở **trong**, **hai phía** $t$ (chữ Z). Đồng vị: **cùng vị trí** ở hai giao điểm (chữ F). 2. **Thấy hai góc bằng nhau là kết luận song song.** Phải kiểm tra hai góc đó có đúng là cặp so le trong hoặc đồng vị không. Hai góc bằng nhau ở vị trí trong cùng phía thì **không** dùng được dấu hiệu. 3. **Chọn góc ở cùng một giao điểm.** Cặp so le trong / đồng vị luôn gồm **một góc ở mỗi giao điểm**. 4. **Đề cho góc ở vị trí khác.** Dùng kề bù ($180^\circ$ trừ đi) hoặc đối đỉnh (bằng nhau) để đưa về cặp so le trong / đồng vị rồi mới so sánh. 5. **Nghĩ rằng phải có hai đường song song mới có góc so le trong, đồng vị.** Các cặp góc này có với bất kì hai đường thẳng nào bị một đường thẳng cắt; song song hay không là chuyện của **số đo**. --- ## Bài tập theo dạng ### Dạng 1. Nhận biết cặp góc so le trong, đồng vị *Cách làm:* tìm hai góc **ở hai giao điểm khác nhau**; cả hai ở trong và ở hai phía của đường cắt → so le trong; cùng vị trí → đồng vị. **Bài 1.** Một đường thẳng cắt hai đường thẳng khác lần lượt tại $T$ và $U$ ($T$ ở trên). Các góc đánh số như trong video (1 trên-phải, 2 trên-trái, 3 dưới-trái, 4 dưới-phải). a) Kể tên hai cặp góc so le trong. b) Góc nào đồng vị với $\widehat{T_3}$? c) Bạn An nói $\widehat{T_1}$ và $\widehat{U_3}$ là cặp so le trong. Đúng không?
Đáp án a) $\widehat{T_3}$ và $\widehat{U_1}$; $\widehat{T_4}$ và $\widehat{U_2}$. b) $\widehat{U_3}$ (cùng vị trí dưới-trái). c) Sai. Hai góc ở hai phía nhưng **đều nằm ngoài**, không phải so le trong.
**Bài 2.** Với hình ở Bài 1, cặp $\widehat{T_4}$ và $\widehat{U_1}$ là cặp gì? Cặp $\widehat{T_2}$ và $\widehat{U_2}$?
Đáp án $\widehat{T_4}$ và $\widehat{U_1}$: cùng ở trong, cùng phía phải → trong cùng phía (không phải so le trong, không phải đồng vị). $\widehat{T_2}$ và $\widehat{U_2}$: cùng vị trí trên-trái → đồng vị.
### Dạng 2. Giải thích vì sao hai đường thẳng song song *Cách làm:* chỉ ra **một cặp** so le trong (hoặc đồng vị) **bằng nhau**; nếu đề cho góc ở vị trí khác thì dùng kề bù / đối đỉnh để đổi trước. **Bài 3.** Hình chữ Z: $X, O$ trên đường trên, $T, V$ trên đường dưới, đoạn $OT$ nối hai đường. Biết $\widehat{XOT} = \widehat{OTV} = 62^\circ$. Vì sao $XO \parallel TV$?
Đáp án $\widehat{XOT}$ và $\widehat{OTV}$ ở vị trí so le trong và bằng nhau ($62^\circ$), nên $XO \parallel TV$.
**Bài 4.** Đường thẳng $t$ cắt $p$, $q$ tại $O$, $V$. Biết $\widehat{O_2} = 124^\circ$, $\widehat{V_3} = 56^\circ$. Vì sao $p \parallel q$?
Đáp án $\widehat{V_2}$ kề bù với $\widehat{V_3}$ nên $\widehat{V_2} = 180^\circ - 56^\circ = 124^\circ$. $\widehat{O_2}$ và $\widehat{V_2}$ đồng vị, cùng bằng $124^\circ$, nên $p \parallel q$.
**Bài 5 (bẫy).** Biết $\widehat{O_3} = \widehat{V_2} = 75^\circ$. Bạn Bình kết luận $p \parallel q$. Đúng không?
Đáp án Sai. $\widehat{O_3}$ và $\widehat{V_2}$ ở vị trí **trong cùng phía**, không dùng được dấu hiệu. Đổi sang cặp so le trong: $\widehat{O_4} = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ$, còn $\widehat{V_2} = 75^\circ$: không bằng nhau. Không kết luận được $p \parallel q$ (thật ra hai đường này cắt nhau).
### Dạng 3. Vận dụng thực tế *Cách làm:* vẽ sơ đồ bằng các đường thẳng, gọi tên cặp góc, rồi dùng dấu hiệu. **Bài 6.** a) Hai cột đèn cùng vuông góc với mặt đường. Vì sao hai cột đèn song song? b) Thanh chéo của một kệ tạo với thanh ngang trên một góc $64^\circ$. Góc ở đầu dưới (vị trí so le trong) phải bằng bao nhiêu để hai thanh ngang song song? c) Chú thợ đo góc ở đầu dưới nhưng ở phía bên kia thanh chéo (vị trí trong cùng phía) được $116^\circ$. Có bạn nói "$116^\circ \ne 64^\circ$ nên không song song". Đúng không?
Đáp án a) Mặt đường cắt hai cột, tạo hai góc đồng vị cùng $90^\circ$, nên hai cột song song. b) $64^\circ$. c) Sai. Góc $116^\circ$ kề bù với góc ở vị trí so le trong, nên góc so le trong bằng $180^\circ - 116^\circ = 64^\circ$, bằng góc ở trên. Hai thanh **song song**.
--- ## Trò chơi ở nhà (5 phút): "Săn chữ Z, chữ F" 1. Lấy tờ giấy kẻ ô, kẻ hai dòng kẻ ngang (song song sẵn) và một đường chéo cắt qua cả hai. 2. Một người tô **một góc bất kì**. Người kia phải tô nhanh góc **so le trong** với nó (nếu góc đó ở trong) hoặc góc **đồng vị** với nó, rồi nói hình tạo thành là chữ Z hay chữ F. 3. Đổi vai. Ai đoán sai 3 lần thì thua. 4. Nâng cao: ra ngoài đường tìm 3 chỗ có "hai đường song song bị một đường cắt" (vạch kẻ đường, song cửa sổ, cầu thang) và chỉ ra một cặp đồng vị. ## Lời thoại video ### 0:00 Mở đầu Hai thanh ray tàu hoả chạy dài hàng trăm cây số, mà không bao giờ chạm vào nhau. Nhưng không ai đi hết đường ray để kiểm tra. Vậy làm sao biết chắc hai đường thẳng song song? Bí quyết nằm ở một đường thẳng cắt ngang qua cả hai, và các góc mà nó tạo ra. Hôm nay ta học hai loại góc đặc biệt, và dấu hiệu nhận biết song song. ### 0:21 Hai góc so le trong Nhắc lại: hai đường thẳng song song là hai đường thẳng không có điểm chung nào. Giờ cho đường thẳng t cắt hai đường thẳng p và q, tại O và V. Mỗi giao điểm có 4 góc, đánh số 1, 2, 3, 4 theo cùng một cách. 4 góc nằm giữa p và q gọi là các góc trong. 4 góc còn lại là các góc ngoài. Hai góc cùng nằm trong, nhưng ở hai phía khác nhau của đường t, gọi là hai góc so le trong. Có 2 cặp: góc O₃ với góc V₁, và góc O₄ với góc V₂. Mẹo nhớ: cặp so le trong luôn tạo thành hình chữ Z. Ví dụ: cổng sắt có hai thanh ngang và một thanh chéo. Hai góc ở hai đầu thanh chéo, nằm giữa hai thanh ngang, là một cặp so le trong. Cẩn thận: góc O₃ và góc V₂ cũng nằm trong, nhưng cùng một phía của đường t. Chúng không phải so le trong. ### 1:20 Hai góc đồng vị Tiếp theo là hai góc đồng vị. Hai góc đồng vị nằm ở cùng một vị trí, tại hai giao điểm khác nhau. Thử trượt cụm 4 góc ở O dọc theo đường t, xuống tới V. Góc nào đè lên góc nào, thì hai góc đó đồng vị. Ta được 4 cặp: góc O₁ với góc V₁, góc O₂ với góc V₂, góc O₃ với góc V₃, góc O₄ với góc V₄. Cặp đồng vị thường tạo thành hình chữ F. Ví dụ: chiếc thang dựa vào tường. Thanh dọc cắt qua các bậc thang. Góc phía trên bên phải ở mỗi bậc là các góc đồng vị. Cẩn thận: góc O₁ và góc V₄ cùng ở bên phải đường t, nhưng một góc trên p, một góc dưới q. Khác vị trí, nên không đồng vị. ### 2:07 Dấu hiệu nhận biết song song Giờ đến điều quan trọng nhất. Cho góc O₃ = 65°. Giữ nguyên đường p và đường t, rồi xoay đường q quanh điểm V. Khi góc V₁ > 65°, hai đường chụm về một phía. Nhỏ hơn thì chụm về phía kia. Kiểu gì cũng cắt nhau. Nhưng khi góc V₁ đúng bằng 65°, bằng góc so le trong góc O₃, thì p // q. Lúc này, cặp so le trong còn lại cũng bằng nhau: cùng 115°. Các cặp đồng vị cũng bằng nhau. Dấu hiệu: một đường thẳng cắt hai đường thẳng, tạo ra một cặp so le trong bằng nhau, hoặc một cặp đồng vị bằng nhau, thì hai đường thẳng đó song song. Ví dụ: ở bãi đỗ xe, các vạch chéo đều tạo với mép đường góc 55°, ở cùng vị trí. Các góc đồng vị bằng nhau, nên các vạch song song. Cẩn thận: hai góc này cùng 58°, nhưng nằm trong và cùng một phía. Không phải so le trong, cũng không phải đồng vị, nên không kết luận được. Nhìn kìa, hai đường đang chụm lại. ### 3:14 Vẽ hai đường thẳng song song Vẽ đường thẳng song song thế nào? Cho đường thẳng p và điểm S nằm ngoài p. Cách 1: đặt một cạnh của êke trùng với đường p. Áp thước thẳng sát cạnh huyền của êke. Giữ chặt thước, trượt êke dọc theo thước, cho tới khi cạnh ấy đi qua điểm S. Kẻ theo cạnh đó. Vì sao song song? Thước đóng vai đường cắt. Hai góc của êke ở hai vị trí là cặp góc đồng vị, cùng 30°. Cách 2: dùng góc vuông. Kẻ qua S đường vuông góc với p, rồi kẻ qua S đường vuông góc với đường vừa kẻ. Hai đường cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song, vì có cặp đồng vị cùng 90°. ### 3:54 Tóm tắt Tóm lại. So le trong: hai góc nằm trong, ở hai phía đường cắt, hình chữ Z. Đồng vị: hai góc ở cùng vị trí, hình chữ F. Một cặp so le trong bằng nhau, hoặc một cặp đồng vị bằng nhau, thì hai đường thẳng song song. Giờ ta luyện 3 dạng bài. ### 4:14 Dạng 1: Nhận biết cặp góc Dạng 1: nhận biết cặp góc so le trong, đồng vị. Cách làm: chọn hai góc ở hai giao điểm khác nhau. Cùng nằm trong, ở hai phía đường cắt là so le trong. Cùng vị trí là đồng vị. Một đường thẳng cắt hai đường thẳng tại T và U. Hai đường này không song song, nhưng vẫn có đủ các cặp góc. Câu a: kể tên hai cặp góc so le trong. Tạm dừng video và thử làm nhé. 4 góc trong là góc T₃, góc T₄, góc U₁, góc U₂. Ghép hai góc ở hai phía đường cắt: góc T₃ với góc U₁, và góc T₄ với góc U₂. Câu b: góc nào đồng vị với góc T₃? Tạm dừng và thử nhé. Góc T₃ ở vị trí dưới bên trái. Trượt xuống giao điểm U, góc cùng vị trí là góc U₃. Câu c: bạn An nói góc T₁ và góc U₃ là cặp so le trong. Đúng không? Tạm dừng nhé. Sai rồi. Hai góc này ở hai phía đường cắt, nhưng đều nằm ngoài, không nằm giữa hai đường thẳng. Nên chúng không phải so le trong. ### 5:29 Dạng 2: Giải thích song song Dạng 2: giải thích vì sao hai đường thẳng song song. Cách làm: chỉ ra một cặp so le trong hoặc đồng vị bằng nhau. Góc cho ở chỗ khác thì đổi bằng kề bù hay đối đỉnh. Câu a: cho hình chữ Z. Góc XOT = góc OTV = 62°. Vì sao XO // TV? Tạm dừng và thử nhé. Đường OT cắt hai đường XO và TV. Hai góc 62° nằm trong, ở hai phía của OT: đó là cặp so le trong. So le trong bằng nhau, nên XO // TV. Câu b: đường t cắt p và q tại O và V. Góc O₂ = 124°, góc V₃ = 56°. Vì sao p // q? Tạm dừng nhé. Hai góc này không phải một cặp. Ta đổi: góc V₂ kề bù với góc V₃, nên góc V₂ = 180° − 56° = 124°. Góc O₂ và góc V₂ đồng vị, cùng 124°. Vậy p // q. Câu c: góc O₃ = góc V₂ = 75°. Bạn Bình kết luận p // q. Đúng không? Tạm dừng nhé. Sai rồi. Hai góc này nằm trong, cùng một phía, không phải so le trong hay đồng vị. Đổi sang so le trong: góc O₄ = 180° − 75° = 105°, khác 75°. Không kết luận được song song. ### 7:14 Dạng 3: Vận dụng thực tế Dạng 3: vận dụng thực tế. Cách làm: vẽ lại thành các đường thẳng, gọi tên cặp góc, rồi dùng dấu hiệu. Câu a: hai cột đèn cùng vuông góc với mặt đường. Vì sao hai cột song song? Tạm dừng và thử nhé. Mặt đường cắt cả hai cột. Hai góc ở cùng vị trí đều bằng 90°: cặp đồng vị bằng nhau, nên hai cột song song. Câu b: thanh chéo của kệ tạo với thanh ngang trên góc 64°. Góc so le trong ở đầu dưới phải bằng bao nhiêu để hai thanh ngang song song? Tạm dừng nhé. Muốn song song thì cặp so le trong phải bằng nhau, nên góc ở đầu dưới cũng phải bằng 64°. Câu c: chú thợ đo góc ở đầu dưới, phía bên kia thanh chéo, được 116°. Có bạn nói: khác 64°, nên không song song. Đúng không? Tạm dừng nhé. Sai rồi. Góc 116° nằm ở vị trí trong cùng phía, không so sánh thẳng được. Góc kề bù với nó bằng 180° − 116° = 64°, đúng vị trí so le trong. Vậy hai thanh song song. ### 8:30 Kết bài Hôm nay bạn đã biết: so le trong là hình chữ Z, đồng vị là hình chữ F. Chỉ cần một cặp so le trong hoặc đồng vị bằng nhau là hai đường thẳng song song, không cần kéo dài mãi. Lần sau nhìn đường ray, bạn sẽ biết cách kiểm tra. Bài tập về nhà đang chờ bạn. Hẹn gặp lại!