# Tiên đề Euclid. Tính chất của hai đường thẳng song song – Toán lớp 7, Bài 10

> Qua một điểm, bạn vẽ được vô số đường thẳng. Nhưng nếu đòi đường thẳng ấy phải song song với một đường thẳng cho trước thì còn bao nhiêu? Câu trả lời là đúng một, và từ đó ta suy ra được các góc bằng nhau mà không cần đo.

- Trang bài: https://anim.vn/lop-7/toan/bai-10-tien-de-euclid-tinh-chat-hai-duong-thang-song-song/
- Video: https://youtu.be/KK5gdRBKOgA (7:39)
- Thuộc: Toán lớp 7 · Bài 10
- Bài tập về nhà (PDF, có lời giải): https://anim.vn/media/lop7-toan-bai-10/bai-tap-ve-nha.pdf

## Mục lục video

- 0:00 Mở đầu
- 0:18 Tiên đề Euclid
- 1:13 Tính chất hai đường song song
- 2:23 Hai nhận xét
- 3:10 Tóm tắt
- 3:36 Dạng 1: Vận dụng tiên đề
- 4:44 Dạng 2: Tính số đo góc
- 6:11 Dạng 3: Chứng tỏ song song rồi tính
- 7:20 Kết bài

Qua một điểm, bạn vẽ được vô số đường thẳng. Nhưng nếu đòi đường thẳng ấy phải **song song** với một đường thẳng cho trước thì còn bao nhiêu? Câu trả lời là **đúng một**, và từ đó ta suy ra được các góc bằng nhau mà không cần đo.

---

## 1. Tiên đề Euclid (đọc là "Ơ-clít")

> **Tiên đề Euclid:** qua một điểm ở **ngoài** một đường thẳng, **chỉ có một** đường thẳng song song với đường thẳng đó.

Hình dung: cho đường thẳng $d$ và điểm $P$ nằm ngoài $d$. Kẻ một đường thẳng qua $P$ rồi xoay nó quanh $P$. Hầu hết các vị trí, nó cắt $d$. Xoay dần thì giao điểm chạy ra xa mãi, và chỉ có **đúng một** vị trí không còn giao điểm: lúc đó nó song song với $d$. Xoay tiếp, giao điểm lại xuất hiện ở phía bên kia.

- **Ví dụ 1 (kệ sách).** Tầng dưới của kệ đã lắp xong. Muốn lắp một thanh ngang đi qua con vít $P$ và song song với tầng dưới thì chỉ có đúng một cách đặt thanh.
- **Ví dụ 2 (coi chừng).** Nếu $P$ nằm **trên** $d$ thì mọi đường thẳng khác qua $P$ đều cắt $d$ tại $P$; không có đường nào qua $P$ song song với $d$. Vì vậy tiên đề phải nói rõ: điểm nằm **ngoài** đường thẳng.

**Hệ quả:** nếu một đường thẳng **cắt** một trong hai đường thẳng song song thì nó **cắt luôn** đường thẳng còn lại. (Nếu không cắt thì qua giao điểm sẽ có hai đường cùng song song với đường kia, trái tiên đề.)

## 2. Tính chất của hai đường thẳng song song

> **Tính chất:** nếu một đường thẳng cắt **hai đường thẳng song song** thì:
> - hai góc **so le trong** bằng nhau;
> - hai góc **đồng vị** bằng nhau.

Vì sao dễ tin: xoay góc tại giao điểm trên nửa vòng quanh trung điểm của đoạn nối hai giao điểm, nó chồng khít lên góc so le trong với nó. Trượt góc dọc theo đường cắt từ giao điểm trên xuống giao điểm dưới, nó chồng khít lên góc đồng vị.

- **Ví dụ 1 (cổng sắt).** Hai thanh ngang của cánh cổng song song, thanh chéo tạo với thanh trên góc $55^\circ$. Góc so le trong ở thanh dưới cũng bằng $55^\circ$, không cần đo.
- **Ví dụ 2 (coi chừng chiều suy luận).** Nếu hai đường thẳng **không** song song thì hai góc so le trong có thể là $62^\circ$ và $75^\circ$, không bằng nhau. Tính chất chỉ dùng được khi **đã biết** hai đường thẳng song song.

| | Biết gì | Suy ra gì |
|---|---|---|
| **Dấu hiệu nhận biết** (bài trước) | so le trong (hoặc đồng vị) bằng nhau | hai đường thẳng song song |
| **Tính chất** (bài này) | hai đường thẳng song song | so le trong bằng nhau, đồng vị bằng nhau |

## 3. Hai nhận xét

1. **Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng kia.** Góc vuông ở trên và góc ở dưới là hai góc đồng vị nên góc dưới cũng bằng $90^\circ$.
   - *Ví dụ:* cây cột đứng của kệ sách vuông góc với tầng trên thì cũng vuông góc với tầng dưới.
   - *Ví dụ kí hiệu:* $a \parallel b$ và $c \perp a$ thì $c \perp b$.
2. **Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.**
   - *Ví dụ:* vạch kẻ bên trái và vạch kẻ bên phải cùng song song với vạch giữa đường thì song song với nhau.
   - *Vì sao:* nếu hai vạch cắt nhau tại một điểm thì qua điểm đó có hai đường thẳng cùng song song với vạch giữa, trái với tiên đề.

## Bảng kí hiệu

| Kí hiệu | Đọc | Nghĩa |
|---|---|---|
| $a \parallel b$ | $a$ song song $b$ | hai đường thẳng không có điểm chung |
| $a \perp b$ | $a$ vuông góc $b$ | cắt nhau tạo góc $90^\circ$ |
| $\widehat{AMN}$ | góc $AMN$ | góc đỉnh $M$, hai cạnh $MA$, $MN$ |

## Lỗi hay gặp

- **Dùng tính chất khi chưa biết song song.** Hai góc so le trong chỉ bằng nhau khi hai đường thẳng song song. Phải ghi rõ "vì $a \parallel b$" trước khi suy ra.
- **Lẫn dấu hiệu với tính chất.** Dấu hiệu: góc bằng nhau ⇒ song song. Tính chất: song song ⇒ góc bằng nhau. Hai chiều khác nhau.
- **Nhầm vị trí góc.** Hai góc cùng nằm giữa hai đường thẳng nhưng ở **cùng một phía** của đường cắt thì **không** phải so le trong, nên không bằng nhau. Thường phải đi qua góc kề bù ($180^\circ -$ góc).
- **Quên điều kiện "ở ngoài".** Tiên đề nói về điểm nằm ngoài đường thẳng.

---

## Bài tập theo dạng

### Dạng 1. Vận dụng tiên đề Euclid

**Cách làm:** kiểm tra điểm có nằm ngoài đường thẳng không; đường thẳng qua điểm đó song song với đường đã cho **chỉ có một**.

**Bài 1.** Mỗi câu sau đúng hay sai?

a) Qua điểm $P$ nằm ngoài $d$, vẽ được đúng một đường thẳng song song với $d$.

b) Bạn Tú nói: qua điểm $P$ nằm ngoài $d$, bạn vẽ được hai đường thẳng khác nhau cùng song song với $d$.

c) $d \parallel d'$, đường thẳng $u$ cắt $d$ tại $I$. Khi đó $u$ cũng cắt $d'$.

<details><summary>Đáp án</summary>

a) **Đúng** (chính là tiên đề).
b) **Sai**: hai đường ấy cùng qua $P$ và cùng song song với $d$ nên phải trùng nhau.
c) **Đúng**: nếu $u$ không cắt $d'$ thì $u \parallel d'$; khi đó qua $I$ có hai đường $d$ và $u$ cùng song song với $d'$, trái tiên đề.
</details>

**Bài 2.** Cho ba điểm $E$, $F$, $G$ không thẳng hàng. Qua $E$ vẽ được bao nhiêu đường thẳng song song với $FG$? Qua $F$ vẽ được bao nhiêu đường thẳng song song với $EG$?

<details><summary>Đáp án</summary>

Mỗi câu **đúng một** đường thẳng, vì $E$ nằm ngoài $FG$ và $F$ nằm ngoài $EG$ (tiên đề Euclid).
</details>

### Dạng 2. Tính số đo góc

**Cách làm:** (1) xác định hai góc là so le trong hay đồng vị; (2) kiểm tra hai đường thẳng song song; (3) kết luận hai góc bằng nhau. Góc ở cùng phía thì đi qua góc kề bù.

**Bài 3.** $AB \parallel CD$. Đường thẳng $IK$ cắt $AB$ tại $I$, cắt $CD$ tại $K$ ($A$, $C$ ở bên trái; $T$ là một điểm trên tia đối của tia $KI$), $\widehat{AIK} = 38^\circ$.

a) Tính $\widehat{IKD}$. b) Tính $\widehat{CKT}$. c) Tính $\widehat{IKC}$.

<details><summary>Đáp án</summary>

a) $\widehat{IKD}$ và $\widehat{AIK}$ so le trong, $AB \parallel CD$ nên $\widehat{IKD} = 38^\circ$.
b) $\widehat{CKT}$ và $\widehat{AIK}$ đồng vị nên $\widehat{CKT} = 38^\circ$.
c) $\widehat{IKC}$ kề bù với $\widehat{IKD}$ nên $\widehat{IKC} = 180^\circ - 38^\circ = 142^\circ$. (Không phải $38^\circ$: $\widehat{IKC}$ và $\widehat{AIK}$ ở cùng một phía của $IK$.)
</details>

**Bài 4.** Hai thanh ngang của một cái thang gấp song song với nhau. Chân thang tạo với thanh trên một góc $67^\circ$ (góc nằm giữa hai thanh). Góc so le trong với nó ở thanh dưới bằng bao nhiêu? Góc kề bù với góc đó bằng bao nhiêu?

<details><summary>Đáp án</summary>

Góc so le trong bằng $67^\circ$; góc kề bù với nó bằng $180^\circ - 67^\circ = 113^\circ$.
</details>

### Dạng 3. Chứng tỏ song song rồi dùng tính chất

**Cách làm:** dùng **dấu hiệu** (so le trong hoặc đồng vị bằng nhau) để có hai đường thẳng song song, rồi dùng **tính chất** để tính góc hoặc chứng tỏ vuông góc.

**Bài 5.** Đường thẳng $AB$ cắt $g$ tại $A$, cắt $h$ tại $B$, hai góc đồng vị tại $A$ và $B$ đều bằng $72^\circ$. Đường thẳng $CD$ ($C \in g$, $D \in h$) tạo với $g$ góc $125^\circ$; góc $x$ tại $D$ so le trong với góc $125^\circ$ đó. Đường thẳng $p$ vuông góc với $g$.

a) Vì sao $g \parallel h$? b) Tính $x$. c) $p$ có vuông góc với $h$ không?

<details><summary>Đáp án</summary>

a) Hai góc đồng vị bằng nhau ($72^\circ$) nên $g \parallel h$ (dấu hiệu nhận biết).
b) $g \parallel h$ nên hai góc so le trong bằng nhau: $x = 125^\circ$.
c) $p \perp g$ và $g \parallel h$ nên $p \perp h$ (góc đồng vị với góc vuông cũng bằng $90^\circ$).
</details>

**Bài 6.** Ba sợi dây phơi $a$, $b$, $c$ phân biệt. Biết $a \parallel c$ và $b \parallel c$. Hai sợi $a$ và $b$ có song song không? Một cây sào vuông góc với $a$ thì có vuông góc với $b$ không?

<details><summary>Đáp án</summary>

$a \parallel b$ (cùng song song với $c$). Sào vuông góc với $a$, mà $a \parallel b$ nên sào vuông góc với $b$.
</details>

---

## Trò chơi ở nhà (5 phút): "Chỉ một đường thôi"

1. Kẻ một đường thẳng dài trên tờ giấy, chấm một điểm $P$ ở ngoài.
2. Đặt một chiếc que (đũa, bút) qua $P$ rồi xoay từ từ. Mỗi lần que cắt đường thẳng thì đánh dấu giao điểm.
3. Thi xem ai tìm được **vị trí duy nhất** que không cắt đường thẳng (dùng thước đo khoảng cách hai đầu que tới đường thẳng cho bằng nhau).
4. Vẽ thêm một đường cắt cả hai, đo một cặp góc so le trong bằng thước đo góc: có bằng nhau không?

## Lời thoại video

### 0:00 Mở đầu

Qua một điểm, bạn vẽ được bao nhiêu đường thẳng? Rất nhiều, vô số đường. Nhưng nếu đường thẳng ấy phải song song với một đường thẳng cho trước, thì còn lại bao nhiêu? Hôm nay ta tìm câu trả lời: tiên đề Euclid (Ơ-clít), và tính chất của hai đường thẳng song song.

### 0:18 Tiên đề Euclid

Cho đường thẳng d và điểm P nằm ngoài đường thẳng d. Kẻ một đường thẳng qua P, rồi xoay nó quanh điểm P. Ở hầu hết các vị trí, nó cắt đường thẳng d tại một điểm. Xoay dần, giao điểm chạy ra xa mãi, rồi đúng một khoảnh khắc, không còn giao điểm nữa: đường thẳng đã song song với d. Xoay tiếp một chút, giao điểm lại xuất hiện ở phía bên kia. Tiên đề Euclid: qua một điểm ở ngoài một đường thẳng, chỉ có một đường thẳng song song với đường thẳng đó. Ví dụ: tầng dưới của kệ sách đã lắp xong. Muốn lắp thanh ngang đi qua con vít P và song song với tầng dưới, chỉ có đúng một cách đặt. Cẩn thận: nếu điểm P nằm ngay trên đường thẳng d, thì mọi đường thẳng khác qua P đều cắt d tại P. Không có đường nào qua P song song với d. Vì vậy tiên đề phải nói rõ: điểm nằm ngoài đường thẳng.

### 1:13 Tính chất hai đường song song

Bây giờ cho hai đường thẳng song song d và d', và một đường thẳng t cắt cả hai, tại I và K. Nhớ lại bài trước: hai góc nằm giữa hai đường thẳng, ở hai phía của t, là hai góc so le trong. Xoay góc tại I nửa vòng quanh trung điểm của đoạn IK: nó chồng khít lên góc so le trong tại K. Còn với hai góc đồng vị: trượt góc tại I dọc theo đường thẳng t xuống K, nó cũng chồng khít. Vậy: nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song, thì hai góc so le trong bằng nhau, và hai góc đồng vị bằng nhau. Ví dụ: hai thanh ngang của cánh cổng sắt song song với nhau. Thanh chéo tạo với thanh trên một góc 55°. Góc so le trong ở thanh dưới cũng bằng 55°, không cần đo. Cẩn thận với chiều suy luận. Ở đây hai đường thẳng không song song: hai góc so le trong là 62° và 75°, không bằng nhau. Tính chất chỉ dùng được khi đã biết hai đường thẳng song song. Bài trước là dấu hiệu: góc bằng nhau ⇒ song song. Bài này thì ngược lại: song song ⇒ góc bằng nhau.

### 2:23 Hai nhận xét

Từ tính chất và tiên đề, ta có thêm hai nhận xét. Một: một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song, thì cũng vuông góc với đường thẳng kia. Vì góc vuông ở trên và góc ở dưới là hai góc đồng vị, nên góc dưới cũng bằng 90°. Giống cây cột đứng của kệ sách: vuông góc với tầng trên, thì cũng vuông góc với tầng dưới. Hai: hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba, thì chúng song song với nhau. Ví dụ: vạch kẻ bên trái và vạch kẻ bên phải cùng song song với vạch giữa đường, thì hai vạch ấy song song. Vì sao? Giả sử chúng cắt nhau tại một điểm. Khi đó qua điểm ấy có tới hai đường thẳng cùng song song với vạch giữa, trái với tiên đề Euclid.

### 3:10 Tóm tắt

Tóm lại. Tiên đề Euclid: qua một điểm ngoài một đường thẳng, chỉ có một đường thẳng song song với nó. Tính chất: hai đường thẳng song song bị một đường thẳng cắt, thì so le trong bằng nhau, đồng vị bằng nhau. Và hai nhận xét: vuông góc với một đường thì vuông góc với đường kia; cùng song song với đường thứ ba thì song song với nhau. Giờ mình luyện ba dạng bài.

### 3:36 Dạng 1: Vận dụng tiên đề

Dạng 1: vận dụng tiên đề Euclid. Cách làm: kiểm tra điểm có nằm ngoài đường thẳng không, rồi nhớ: đường song song qua điểm đó chỉ có một. Mỗi câu sau đúng hay sai? Tạm dừng video và thử làm nhé. Câu a: qua điểm P nằm ngoài d, vẽ được đúng một đường thẳng song song với d. Đúng. Đây chính là tiên đề. Câu b: bạn Tú nói qua điểm P, bạn vẽ được hai đường thẳng khác nhau cùng song song với d. Sai rồi. Hai đường ấy đều đi qua P và song song với d, nên theo tiên đề, chúng phải trùng nhau. Câu c: d // d', đường thẳng u cắt d tại điểm I. Hỏi u có cắt d' không? Giả sử u không cắt d', tức là u // d'. Khi đó qua điểm I có hai đường thẳng, d và u, cùng song song với d'. Trái với tiên đề. Vậy u cũng cắt d'. Cắt một trong hai đường song song, thì cắt luôn đường kia.

### 4:44 Dạng 2: Tính số đo góc

Dạng 2: tính số đo góc. Cách làm: xác định hai góc là so le trong hay đồng vị, kiểm tra hai đường thẳng có song song không, rồi mới kết luận chúng bằng nhau. Góc kề bù thì lấy 180° trừ đi. AB // CD. Đường thẳng IK cắt chúng tại I và K, góc AIK = 38°. Tính góc IKD, góc CKT và góc IKC. Tạm dừng video và thử làm nhé. Câu a. Góc AIK và góc IKD nằm giữa hai đường thẳng, ở hai phía của IK: đó là hai góc so le trong. AB // CD, nên góc IKD = góc AIK = 38°. Câu b. Góc CKT nằm dưới đường CD, bên trái IK, giống hệt vị trí của góc AIK so với đường AB. Hai góc đồng vị. Vậy góc CKT cũng bằng 38°. Câu c. Nhiều bạn thấy góc IKC cũng nằm giữa hai đường thẳng, liền đáp 38°. Sai rồi. Góc IKC và góc AIK ở cùng một phía của IK, không phải so le trong. Góc IKC kề bù với góc IKD, nên bằng 180° − 38° = 142°.

### 6:11 Dạng 3: Chứng tỏ song song rồi tính

Dạng 3: chứng tỏ song song, rồi dùng tính chất. Cách làm: dùng dấu hiệu để chứng tỏ hai đường thẳng song song, sau đó dùng tính chất để tính góc, hoặc chứng tỏ vuông góc. Đường thẳng AB cắt đường thẳng g tại A, cắt đường thẳng h tại B. Hai góc đồng vị tại A và B đều bằng 72°. Đường thẳng CD tạo với g một góc 125°, và đường thẳng p vuông góc với g. Câu a: vì sao g // h? Câu b: tính góc x. Câu c: p có vuông góc với h không? Tạm dừng video và thử làm nhé. Câu a. Hai góc đồng vị bằng nhau, nên theo dấu hiệu nhận biết, g // h. Câu b. Góc x và góc 125° là hai góc so le trong. g // h, nên x = 125°. Câu c. p vuông góc với g, mà g // h. Góc vuông ở trên và góc ở dưới là hai góc đồng vị, nên góc dưới cũng bằng 90°. Vậy p vuông góc với h.

### 7:20 Kết bài

Hôm nay bạn đã biết: qua một điểm ngoài một đường thẳng, chỉ có đúng một đường song song với nó. Và khi hai đường thẳng song song, các góc so le trong bằng nhau, các góc đồng vị bằng nhau. Lần sau thấy hai thanh ngang song song, bạn chỉ cần đo một góc là biết luôn góc kia.