# Định lí và chứng minh định lí – Toán lớp 7, Bài 11 > Vẽ hai đường thẳng song song, kẻ một đường cắt qua rồi đo hai góc so le trong: 62^ và 62^. Xoay đường cắt, đo lại được 40^ và 40^. Đo bao nhiêu lần cũng thấy bằng nhau. Nhưng thước đo chỉ cho kết quả gần đúng, mà hình vẽ thì có vô số. Muốn chắc chắn một điều đúng với mọi hình, ta phải chứng minh. - Trang bài: https://anim.vn/lop-7/toan/bai-11-dinh-li-va-chung-minh-dinh-li/ - Video: https://youtu.be/GNECPEvd9K8 (9:27) - Thuộc: Toán lớp 7 · Bài 11 - Bài tập về nhà (PDF, có lời giải): https://anim.vn/media/lop7-toan-bai-11/bai-tap-ve-nha.pdf ## Mục lục video - 0:00 Mở đầu - 0:28 Định lí là gì - 1:18 Giả thiết, kết luận bằng kí hiệu - 2:21 Chứng minh định lí - 3:35 Ba lỗi hay gặp - 4:22 Tóm tắt - 4:39 Dạng 1: Tìm giả thiết, kết luận - 6:03 Dạng 2: Vẽ hình, ghi GT – KL - 7:35 Dạng 3: Chứng minh định lí - 9:07 Kết bài Vẽ hai đường thẳng song song, kẻ một đường cắt qua rồi đo hai góc so le trong: $62^\circ$ và $62^\circ$. Xoay đường cắt, đo lại được $40^\circ$ và $40^\circ$. Đo bao nhiêu lần cũng thấy bằng nhau. Nhưng thước đo chỉ cho kết quả **gần đúng**, mà hình vẽ thì có **vô số**. Muốn chắc chắn một điều đúng với **mọi** hình, ta phải **chứng minh**. --- ## 1. Định lí. Giả thiết và kết luận **Định lí** là một khẳng định được **suy ra** từ những khẳng định đúng đã biết. Định lí thường viết theo mẫu: > **Nếu** … **thì** … > - Phần giữa chữ "nếu" và chữ "thì" là **giả thiết** (điều đã cho). > - Phần sau chữ "thì" là **kết luận** (điều phải suy ra). - **Ví dụ 1 (đời sống).** "Nếu một con vật là con mèo thì nó có bốn chân." Giả thiết: *con vật là con mèo*. Kết luận: *nó có bốn chân*. - **Ví dụ 2 (câu chưa có chữ "nếu").** "Hai góc cùng bù với một góc thì bằng nhau." Viết lại: "**Nếu** hai góc cùng bù với một góc **thì** hai góc đó bằng nhau." Giả thiết: *hai góc cùng bù với một góc*. Kết luận: *hai góc đó bằng nhau*. ## 2. Vẽ hình, ghi giả thiết và kết luận bằng kí hiệu Trước khi chứng minh, ta **vẽ hình, đặt tên**, rồi viết giả thiết (GT) và kết luận (KL) bằng kí hiệu vào một bảng: GT ở trên, KL ở dưới. - **Ví dụ 1.** "Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau." | | | |---|---| | **GT** | $d_1, d_2$ phân biệt; $d_1 \parallel d_3$; $d_2 \parallel d_3$ | | **KL** | $d_1 \parallel d_2$ | - **Ví dụ 2.** "Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì hai góc so le trong bằng nhau." Vẽ $u \parallel v$; đường thẳng $t$ cắt $u$ tại $H$, cắt $v$ tại $K$; $\widehat{H_1}$ và $\widehat{K_1}$ là hai góc so le trong. | | | |---|---| | **GT** | $u \parallel v$; $t$ cắt $u$ tại $H$, cắt $v$ tại $K$; $\widehat{H_1}, \widehat{K_1}$ so le trong | | **KL** | $\widehat{H_1} = \widehat{K_1}$ | ## 3. Chứng minh định lí **Chứng minh một định lí** là dùng lập luận: từ **giả thiết** và những **điều đúng đã biết**, suy ra **kết luận**. Mỗi bước phải có **căn cứ** — trả lời được câu "vì sao?". - **Ví dụ 1.** Chứng minh: hai góc cùng bù với một góc thì bằng nhau. GT: $\widehat{1} + \widehat{3} = 180^\circ$, $\widehat{2} + \widehat{3} = 180^\circ$. KL: $\widehat{1} = \widehat{2}$. | Bước | Vì sao | |---|---| | $\widehat{1} = 180^\circ - \widehat{3}$ | vì $\widehat{1} + \widehat{3} = 180^\circ$ (giả thiết) | | $\widehat{2} = 180^\circ - \widehat{3}$ | vì $\widehat{2} + \widehat{3} = 180^\circ$ (giả thiết) | | $\widehat{1} = \widehat{2}$ | vì cùng bằng $180^\circ - \widehat{3}$ | - **Ví dụ 2.** Dùng lại hình ở mục 2 ($u \parallel v$, $t$ cắt tại $H$, $K$). Gọi $\widehat{K_2}$ là góc kề bù với $\widehat{K_1}$ (nằm cùng phía với $\widehat{H_1}$ so với $t$). Chứng minh $\widehat{H_1} + \widehat{K_2} = 180^\circ$. | Bước | Vì sao | |---|---| | $\widehat{H_1} = \widehat{K_1}$ | vì $u \parallel v$, hai góc so le trong (định lí ở mục 2) | | $\widehat{K_1} + \widehat{K_2} = 180^\circ$ | vì hai góc kề bù | | $\widehat{H_1} + \widehat{K_2} = 180^\circ$ | thay $\widehat{K_1}$ bằng $\widehat{H_1}$ | Định lí đã chứng minh trước đó trở thành **căn cứ** cho định lí mới. ## Bảng kí hiệu | Kí hiệu | Đọc là | |---|---| | GT | giả thiết | | KL | kết luận | | $a \parallel b$ | $a$ song song với $b$ | | $a \perp b$ | $a$ vuông góc với $b$ | | $\widehat{H_1}$ | góc $H$ một | ## Lỗi hay gặp 1. **Nhầm giả thiết với kết luận.** Đổi chỗ hai phần là thành một câu **khác**, có thể sai: "Nếu con vật có bốn chân thì nó là con mèo" — sai, con chó cũng có bốn chân. 2. **Lấy kết luận để chứng minh chính nó.** Viết "Vì $\widehat{H_1} + \widehat{K_2} = 180^\circ$ nên …" khi đó chính là điều đang phải chứng minh. Như vậy là đi vòng tròn. 3. **Đo trên hình rồi coi là chứng minh.** Thước đo chỉ gần đúng và chỉ cho biết về **một** hình. Chứng minh thì đúng cho **mọi** hình. 4. **Viết bước mà không có lí do.** Mỗi dòng phải trả lời được "vì sao?": vì giả thiết, vì một định nghĩa, hay vì một định lí đã biết. 5. **Tưởng câu đảo cũng đúng.** Câu đúng mà đổi chỗ giả thiết và kết luận chưa chắc còn đúng. Muốn chỉ ra một câu sai, chỉ cần **một phản ví dụ**. ## Bài tập theo dạng ### Dạng 1. Tìm giả thiết, kết luận **Cách làm:** đưa câu về dạng "Nếu … thì …"; phần giữa "nếu" và "thì" là giả thiết, phần sau "thì" là kết luận. **Bài 1.** Chỉ ra giả thiết và kết luận. a) Nếu hai góc kề bù thì tổng số đo của chúng bằng $180^\circ$.
Đáp án GT: hai góc kề bù. KL: tổng số đo của chúng bằng $180^\circ$.
b) Hai tia phân giác của hai góc kề bù vuông góc với nhau.
Đáp án Viết lại: "Nếu hai tia là tia phân giác của hai góc kề bù thì hai tia đó vuông góc với nhau." GT: hai tia là tia phân giác của hai góc kề bù. KL: hai tia đó vuông góc với nhau. (Chữ "vuông góc" thuộc kết luận.)
c) Đổi chỗ giả thiết và kết luận của câu a. Câu mới có đúng không?
Đáp án "Nếu hai góc có tổng số đo bằng $180^\circ$ thì chúng kề bù." — **Sai.** Phản ví dụ: một góc $125^\circ$ và một góc $55^\circ$ vẽ ở hai chỗ khác nhau: tổng $180^\circ$ nhưng không có cạnh chung, nên không kề bù.
**Bài 2 (thêm).** Viết dưới dạng "Nếu … thì …" rồi chỉ ra GT, KL: "Số chia hết cho 6 thì chia hết cho 3."
Đáp án Nếu một số chia hết cho 6 thì số đó chia hết cho 3. GT: một số chia hết cho 6. KL: số đó chia hết cho 3.
### Dạng 2. Vẽ hình, ghi giả thiết – kết luận bằng kí hiệu **Cách làm:** vẽ hình, đặt tên điểm, tia, đường thẳng; dịch từng ý của giả thiết thành kí hiệu; kết luận ghi ở ô dưới. Điều phải chứng minh **không** được ghi vào GT. **Bài 3.** a) Vẽ hình, ghi GT, KL của định lí ở Bài 1b.
Đáp án Đường thẳng qua $O$ cho hai tia đối nhau $Oa$, $Oc$; tia $Ob$ tạo hai góc kề bù $\widehat{aOb}$, $\widehat{bOc}$; $Ou$, $Ov$ là tia phân giác. GT: $\widehat{aOb}$ và $\widehat{bOc}$ kề bù; $Ou$ là tia phân giác của $\widehat{aOb}$; $Ov$ là tia phân giác của $\widehat{bOc}$. KL: $Ou \perp Ov$.
b) "Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng và tạo ra một cặp góc đồng vị bằng nhau thì hai đường thẳng đó song song." Một bạn ghi: GT: $p \parallel q$, $t$ cắt $p$ tại $I$, cắt $q$ tại $K$, $\widehat{I_1} = \widehat{K_1}$. Bạn sai ở đâu?
Đáp án $p \parallel q$ là điều phải chứng minh, không được đưa vào GT. GT: $t$ cắt $p$ tại $I$, cắt $q$ tại $K$; $\widehat{I_1} = \widehat{K_1}$ (đồng vị). KL: $p \parallel q$.
### Dạng 3. Chứng minh định lí **Cách làm:** đi từ giả thiết; mỗi bước ghi "vì …" (giả thiết, định nghĩa, định lí đã biết); ra đúng kết luận thì dừng. **Bài 4.** Với hình ở Bài 3a: a) Tính $\widehat{uOb}$ và $\widehat{bOv}$ theo $\widehat{aOb}$, $\widehat{bOc}$.
Đáp án $\widehat{uOb} = \frac{1}{2}\widehat{aOb}$ (vì $Ou$ là tia phân giác của $\widehat{aOb}$); $\widehat{bOv} = \frac{1}{2}\widehat{bOc}$ (vì $Ov$ là tia phân giác của $\widehat{bOc}$).
b) Chứng minh $Ou \perp Ov$.
Đáp án Tia $Ob$ nằm giữa $Ou$ và $Ov$ nên $\widehat{uOv} = \widehat{uOb} + \widehat{bOv} = \frac{1}{2}(\widehat{aOb} + \widehat{bOc})$. Mà $\widehat{aOb} + \widehat{bOc} = 180^\circ$ (kề bù) nên $\widehat{uOv} = 90^\circ$, tức $Ou \perp Ov$.
c) Bạn Nam đo trên hình thấy $\widehat{uOv} = 90^\circ$ rồi viết "Vậy $Ou \perp Ov$". Như vậy đã là chứng minh chưa?
Đáp án Chưa. Đo chỉ gần đúng và chỉ kiểm tra **một** hình. Lời chứng minh ở câu b đúng với **mọi** vị trí của tia $Ob$.
**Bài 5 (thêm).** Hai đường thẳng $xx'$ và $yy'$ cắt nhau tại $O$, $\widehat{xOy} = 90^\circ$. Chứng minh ba góc còn lại đều vuông.
Đáp án $\widehat{yOx'} = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$ (kề bù với $\widehat{xOy}$); $\widehat{x'Oy'} = \widehat{xOy} = 90^\circ$ (đối đỉnh); $\widehat{y'Ox} = \widehat{yOx'} = 90^\circ$ (đối đỉnh).
## Trò chơi ở nhà (5 phút): "Đảo câu, bắt lỗi" Một người nói một câu "Nếu … thì …" đúng về đời sống hoặc về toán (VD: "Nếu hôm nay là thứ Hai thì mai là thứ Ba", "Nếu một số chia hết cho 4 thì nó là số chẵn"). Người kia: 1. Chỉ ra giả thiết và kết luận (1 điểm). 2. Đổi chỗ thành câu đảo và nói câu đảo đúng hay sai (1 điểm). 3. Nếu sai, đưa ra một **phản ví dụ** (thêm 1 điểm). VD câu đảo "Nếu là số chẵn thì chia hết cho 4" sai vì số 6. Ai được 10 điểm trước thì thắng. ## Lời thoại video ### 0:00 Mở đầu Hai đường thẳng song song, một đường thẳng cắt ngang qua chúng. Đo hai góc so le trong, ta được 62° và 62°. Xoay đường cắt đi rồi đo lại: 40° và 40°. Lần nào cũng bằng nhau. Nhưng thước đo chỉ gần đúng, còn hình vẽ thì có vô số. Làm sao chắc chắn điều này đúng với mọi hình? Hôm nay ta học về định lí, và cách chứng minh một định lí. ### 0:28 Định lí là gì Định lí là một khẳng định được suy ra từ những khẳng định đúng đã biết. Định lí thường được viết theo mẫu câu: Nếu … thì … Phần nằm giữa chữ nếu và chữ thì là giả thiết, tức là điều đã cho. Phần sau chữ thì là kết luận, tức là điều phải suy ra. Ví dụ: Nếu một con vật là con mèo thì nó có bốn chân. Giả thiết: con vật là con mèo. Kết luận: nó có bốn chân. Ví dụ hai: hai góc cùng bù với một góc thì bằng nhau. Câu này còn thiếu chữ "nếu". Viết lại: Nếu hai góc cùng bù với một góc thì hai góc đó bằng nhau. Giả thiết là hai góc cùng bù với một góc. Kết luận là hai góc đó bằng nhau. ### 1:18 Giả thiết, kết luận bằng kí hiệu Với một định lí, ta vẽ hình, đặt tên, rồi viết giả thiết và kết luận bằng kí hiệu. Ta ghi vào một bảng: ô trên là giả thiết, ô dưới là kết luận. Ví dụ: hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau. Vẽ ba đường thẳng d₁, d₂, d₃. Giả thiết: d₁ và d₂ phân biệt, d₁ // d₃, d₂ // d₃. Kết luận: d₁ // d₂. Ví dụ hai: Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì hai góc so le trong bằng nhau. Vẽ hai đường thẳng u // v. Đường thẳng t cắt u tại H, cắt v tại K. Góc H₁ và góc K₁ là hai góc so le trong. Vậy giả thiết: u // v, t cắt u tại H và cắt v tại K. Kết luận: góc H₁ = góc K₁. ### 2:21 Chứng minh định lí Chứng minh một định lí là dùng lập luận: từ giả thiết và những điều đúng đã biết, suy ra kết luận. Mỗi bước phải có căn cứ, tức là trả lời được câu hỏi: vì sao? Thử chứng minh định lí: hai góc cùng bù với một góc thì bằng nhau. Giả thiết: góc 1 + góc 3 = 180°, góc 2 + góc 3 cũng vậy. Kết luận: góc 1 = góc 2. Bước một: góc 1 = 180° − góc 3, vì tổng của chúng là 180°. Bước hai: tương tự, góc 2 cũng bằng 180° − góc 3. Hai góc cùng bằng một số đo, nên góc 1 = góc 2. Ra đúng kết luận, chứng minh xong. Ví dụ hai, với hình hai đường thẳng song song: chứng minh góc H₁ + góc K₂ = 180°. Vì u // v, nên góc H₁ = góc K₁, hai góc so le trong. Góc K₁ và góc K₂ kề bù, nên tổng của chúng bằng 180°. Thay góc K₁ bằng góc H₁, ta được điều phải chứng minh. Định lí ở ví dụ trước giờ trở thành căn cứ cho định lí mới. ### 3:35 Ba lỗi hay gặp Có ba lỗi hay gặp. Lỗi một: nhầm giả thiết với kết luận. Đổi chỗ câu con mèo: Nếu con vật có bốn chân thì nó là con mèo. Sai rồi, con chó cũng có bốn chân. Đổi chỗ giả thiết và kết luận là thành một câu khác, có thể sai. Lỗi hai: lấy kết luận để chứng minh chính nó. Một bạn viết: Vì góc H₁ + góc K₂ = 180° nên… Khoan đã! Đó chính là điều đang phải chứng minh. Kết luận chưa được dùng làm căn cứ. Làm vậy là đi vòng tròn. Lỗi ba: đo trên hình rồi coi là chứng minh. Thước đo chỉ gần đúng, và chỉ cho biết về một hình. Chứng minh mới đúng cho mọi hình. ### 4:22 Tóm tắt Tóm lại. Định lí có dạng: Nếu thì . Vẽ hình, rồi ghi giả thiết và kết luận bằng kí hiệu vào bảng. Chứng minh là đi từ giả thiết tới kết luận, bước nào cũng có lí do. Giờ ta luyện ba dạng bài. ### 4:39 Dạng 1: Tìm giả thiết, kết luận Dạng một: tìm giả thiết và kết luận. Cách làm: đưa câu về dạng Nếu … thì … Phần giữa "nếu" và "thì" là giả thiết, phần sau "thì" là kết luận. Câu a: Nếu hai góc kề bù thì tổng số đo của chúng bằng 180°. Tạm dừng video và thử làm nhé. Giả thiết: hai góc kề bù. Kết luận: tổng số đo của chúng bằng 180°. Câu b: hai tia phân giác của hai góc kề bù vuông góc với nhau. Tạm dừng nhé. Câu này chưa có chữ "nếu". Viết lại: Nếu hai tia là tia phân giác của hai góc kề bù thì hai tia đó vuông góc với nhau. Giả thiết là hai tia phân giác của hai góc kề bù. Kết luận là chúng vuông góc. Đừng đưa chữ vuông góc vào giả thiết. Câu c: đổi chỗ giả thiết và kết luận của câu a: Nếu hai góc có tổng bằng 180° thì chúng kề bù. Câu này đúng không? Tạm dừng nhé. Sai. Hai góc 125° và 55° nằm tách rời nhau: tổng bằng 180°, nhưng không kề bù. Chỉ cần một ví dụ như vậy là câu đã sai. Ví dụ đó gọi là phản ví dụ. ### 6:03 Dạng 2: Vẽ hình, ghi GT – KL Dạng hai: vẽ hình, ghi giả thiết và kết luận bằng kí hiệu. Cách làm: vẽ hình và đặt tên, rồi dịch từng ý của giả thiết thành kí hiệu. Kết luận ghi ở ô dưới. Câu a: ghi giả thiết và kết luận cho định lí ở câu b vừa rồi. Tạm dừng và thử nhé. Vẽ đường thẳng qua O, được hai tia đối nhau Oa và Oc, rồi kẻ tia Ob. Góc aOb và góc bOc kề bù. Vẽ Ou là tia phân giác của góc aOb, và Ov là tia phân giác của góc bOc. Giả thiết: góc aOb và góc bOc kề bù, Ou và Ov là hai tia phân giác. Kết luận: Ou ⊥ Ov. Câu b: ghi giả thiết và kết luận cho định lí: nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng, tạo ra một cặp góc đồng vị bằng nhau, thì hai đường thẳng đó song song. Tạm dừng nhé. Vẽ đường thẳng t cắt p tại I, cắt q tại K, với góc I₁ = góc K₁. Có bạn ghi luôn p // q vào giả thiết. Sai rồi! Đó là điều phải chứng minh. Giả thiết chỉ gồm: t cắt p và q, góc I₁ = góc K₁. Còn p // q là kết luận. ### 7:35 Dạng 3: Chứng minh định lí Dạng ba: chứng minh định lí. Cách làm: xuất phát từ giả thiết, mỗi bước ghi rõ vì sao, đến khi ra đúng kết luận thì dừng. Ta chứng minh định lí ở dạng hai: hai tia phân giác của hai góc kề bù thì vuông góc. Câu a: tính góc uOb và góc bOv theo hai góc kề bù. Tạm dừng và thử nhé. Ou là tia phân giác của góc aOb, nên góc uOb bằng một nửa góc aOb. Tương tự, góc bOv bằng một nửa góc bOc. Câu b: chứng minh Ou ⊥ Ov. Tạm dừng nhé. Tia Ob nằm giữa Ou và Ov, nên góc uOv bằng tổng hai góc vừa tính. Tổng đó bằng một nửa của góc aOb + góc bOc, mà hai góc này kề bù, tổng là 180°. Một nửa của 180° là 90°. Vậy Ou ⊥ Ov. Câu c: bạn Nam đo trên hình, thấy góc uOv = 90°, rồi kết luận luôn Ou ⊥ Ov. Đã là chứng minh chưa? Tạm dừng nhé. Chưa. Nam mới kiểm tra một hình. Còn lời chứng minh vừa rồi đúng với mọi vị trí của tia Ob. Xoay tia Ob thế nào, góc uOv vẫn luôn là 90°. ### 9:07 Kết bài Hôm nay bạn đã biết: định lí có dạng nếu giả thiết, thì kết luận. Chứng minh là đi từ giả thiết tới kết luận, bước nào cũng có lí do. Lần sau thấy hai góc trông có vẻ bằng nhau, đừng vội tin thước đo. Hãy hỏi: vì sao? Bài tập về nhà đang chờ bạn. Hẹn gặp lại!