# Phép cộng và phép trừ đa thức – Toán lớp 8, Bài 3 > Cộng, trừ đa thức thực ra là hai kĩ năng bạn đã có: bỏ dấu ngoặc và thu gọn (gom hạng tử đồng dạng). - Trang bài: https://anim.vn/lop-8/toan/bai-03-phep-cong-va-phep-tru-da-thuc/ - Video: https://youtu.be/c735U7cI6GY (9:22) - Thuộc: Toán lớp 8 · Bài 3 - Bài tập về nhà (PDF, có lời giải): https://anim.vn/media/lop8-toan-bai-03/bai-tap-ve-nha.pdf ## Mục lục video - 0:00 Mở đầu: gộp hai hóa đơn thế nào? - 0:24 Cộng hai đa thức - 1:41 Trừ hai đa thức: đổi dấu tất cả - 2:56 A − B = C thì A = B + C - 3:48 Dạng 1: Tổng và hiệu hai đa thức - 5:11 Dạng 2: Rút gọn nhiều ngoặc - 6:39 Dạng 3: Tìm đa thức chưa biết - 7:57 Dạng 4: Bài toán thực tế - 9:02 Kết bài Cộng, trừ đa thức thực ra là hai kĩ năng bạn đã có: **bỏ dấu ngoặc** và **thu gọn** (gom hạng tử đồng dạng). ## 1. Cộng hai đa thức Muốn cộng hai đa thức: viết mỗi đa thức trong một cặp ngoặc, nối bằng dấu **+**, bỏ ngoặc (trước ngoặc là dấu cộng thì **giữ nguyên dấu** các hạng tử), rồi thu gọn. - *Ví dụ 1 (đời sống).* Vở giá $x$ nghìn/cuốn, bút giá $y$ nghìn/cái. Minh mua 3 vở, 2 bút: $3x + 2y$. Hà mua 5 vở, 1 bút: $5x + y$. Cả hai bạn trả $(3x + 2y) + (5x + y) = 3x + 2y + 5x + y = (3x + 5x) + (2y + y) = 8x + 3y$. - *Ví dụ 2 (có bẫy).* $A = 2x^2y - 3xy + 4$, $B = xy^2 - x^2y + 5xy - 7$. $A + B = 2x^2y - 3xy + 4 + xy^2 - x^2y + 5xy - 7$ $= (2x^2y - x^2y) + (-3xy + 5xy) + xy^2 + (4 - 7) = x^2y + 2xy + xy^2 - 3.$ Cộng hạng tử đồng dạng: **cộng hệ số, giữ nguyên phần biến**. $-3xy + 5xy = 2xy$, không phải $2x^2y^2$. Còn $xy^2$ khác $x^2y$ nên đứng riêng. ## 2. Trừ hai đa thức Nối hai đa thức bằng dấu **−**. Trước ngoặc là dấu trừ thì khi bỏ ngoặc phải **đổi dấu tất cả** các hạng tử trong ngoặc: cộng thành trừ, trừ thành cộng. Rồi thu gọn. - *Ví dụ 1 (đời sống).* Hà trả nhiều hơn Minh bao nhiêu? $(5x + y) - (3x + 2y) = 5x + y - 3x - 2y = 2x - y$ (nghìn đồng). - *Ví dụ 2 (có bẫy).* $P = 4x^2 - 2xy + 3$, $Q = x^2 - 5xy - 6$. $P - Q = (4x^2 - 2xy + 3) - (x^2 - 5xy - 6) = 4x^2 - 2xy + 3 - x^2 + 5xy + 6 = 3x^2 + 3xy + 9$. Lỗi hay gặp: chỉ đổi dấu hạng tử đầu, viết thành $\dots - x^2 - 5xy - 6$, ra kết quả sai $3x^2 - 7xy - 3$. ## 3. Cộng và trừ liên hệ với nhau Phép cộng đa thức cũng có tính chất giao hoán, kết hợp như cộng các số: $A + B = B + A$, $(A + B) + C = A + (B + C)$. Và: nếu $A - B = C$ thì $A = B + C$; ngược lại, nếu $A = B + C$ thì $A - B = C$. - *Ví dụ 1 (đời sống).* Hai hộp bánh nặng tổng cộng $5x + 3y$ gam, hộp thứ nhất nặng $2x + y$ gam. Hộp thứ hai nặng $(5x + 3y) - (2x + y) = 3x + 2y$ gam. Thử lại: $(2x + y) + (3x + 2y) = 5x + 3y$ ✓. - *Ví dụ 2.* Tìm $M$ biết $M - (x^2 - 3xy) = 2x^2 + xy - 1$. $M = (2x^2 + xy - 1) + (x^2 - 3xy) = 3x^2 - 2xy - 1$. ## Bảng kí hiệu | Viết | Đọc | Ý nghĩa | |---|---|---| | $A + B$ | tổng của A và B | $(\dots) + (\dots)$ rồi bỏ ngoặc, giữ dấu | | $A - B$ | hiệu của A và B | $(\dots) - (\dots)$, bỏ ngoặc thì đổi dấu mọi hạng tử | | $-(a - b + c)$ | trừ ngoặc | $= -a + b - c$ | | $3xy + 5xy$ | | $= 8xy$ (giữ phần biến) | ## Lỗi hay gặp 1. Bỏ ngoặc có dấu trừ mà **chỉ đổi dấu hạng tử đầu tiên**. Phải đổi dấu **tất cả**. 2. Cộng hạng tử đồng dạng mà **cộng luôn số mũ**: $x^3 + x^3 = 2x^3$, không phải $x^6$ hay $2x^6$. 3. Gom nhầm hai hạng tử không đồng dạng như $x^2y$ và $xy^2$. 4. Tìm $M$ trong $B - M = C$ mà viết $M = C - B$. Đúng là $M = B - C$. 5. Tính giá trị mà chưa rút gọn: làm dài, dễ sai. Rút gọn trước, thay số sau. ## Bài tập theo dạng ### Dạng 1: Tính tổng và hiệu hai đa thức **Bài 1.** Cho $E = x^3 + 2x^2y - 4y + 1$ và $F = 3x^2y - x^3 + 5y - 6$. Tính: a) $E + F$; b) $E - F$; c) $F - E$.
Đáp án a) $E + F = (x^3 - x^3) + (2x^2y + 3x^2y) + (-4y + 5y) + (1 - 6) = 5x^2y + y - 5$. b) $E - F = x^3 + 2x^2y - 4y + 1 - 3x^2y + x^3 - 5y + 6 = 2x^3 - x^2y - 9y + 7$ (chú ý $x^3 + x^3 = 2x^3$, không phải $x^6$). c) $F - E$ là đối của $E - F$: đổi dấu mọi hạng tử, $F - E = -2x^3 + x^2y + 9y - 7$.
### Dạng 2: Rút gọn biểu thức nhiều ngoặc, tính giá trị **Bài 2.** a) Rút gọn $(3a - b) + (b - 2c) - (3a - 2c)$. b) Rút gọn rồi tính giá trị của $K = (x^2y + 3xy) - (2xy - x^2y) + (xy - 2x^2y + 5)$ tại $x = -3$, $y = 2$.
Đáp án a) $3a - b + b - 2c - 3a + 2c = 0$. Biểu thức luôn bằng 0, dù $a, b, c$ là số nào. b) $K = x^2y + 3xy - 2xy + x^2y + xy - 2x^2y + 5 = 2xy + 5$ (nhóm $x^2y$: $1 + 1 - 2 = 0$). Tại $x = -3$, $y = 2$: $K = 2 \cdot (-3) \cdot 2 + 5 = -7$.
### Dạng 3: Tìm đa thức chưa biết **Bài 3.** Tìm đa thức $M$ biết: a) $M + (x^2 - 2xy) = 3x^2 + xy$; b) $(4x^2y - y + 3) - M = x^2y + 2y - 1$.
Đáp án a) $M = (3x^2 + xy) - (x^2 - 2xy) = 2x^2 + 3xy$. b) $M$ là số bị trừ đi: $M = (4x^2y - y + 3) - (x^2y + 2y - 1) = 3x^2y - 3y + 4$. (Viết $M = (x^2y + 2y - 1) - (4x^2y - y + 3)$ là sai.)
### Dạng 4: Bài toán thực tế **Bài 4.** Một quầy nước bán $x$ ly nước cam giá 20 nghìn/ly và $y$ ly trà chanh giá 12 nghìn/ly. Chi phí: 8 nghìn cho mỗi ly cam, 5 nghìn cho mỗi ly trà và 150 nghìn tiền thuê chỗ. a) Viết đa thức biểu thị tiền lãi. b) Tính tiền lãi khi bán 30 ly cam và 40 ly trà.
Đáp án a) Thu: $20x + 12y$. Chi: $8x + 5y + 150$. Lãi $L = (20x + 12y) - (8x + 5y + 150) = 12x + 7y - 150$. b) $L = 12 \cdot 30 + 7 \cdot 40 - 150 = 360 + 280 - 150 = 490$ (nghìn đồng).
## Trò chơi ở nhà (5 phút): "Lật dấu" Viết mỗi hạng tử lên một mẩu giấy, mặt trước ghi dấu cộng, mặt sau ghi dấu trừ (ví dụ thẻ $3x$: mặt trước $+3x$, mặt sau $-3x$). Xếp hai hàng thẻ thành hai đa thức, đặt một thẻ "−" lớn trước hàng thứ hai. Người chơi phải **lật hết mọi thẻ của hàng sau** (lật thiếu một thẻ là thua lượt), rồi gom các thẻ đồng dạng thành chồng và đọc kết quả. Đổi vai, lần sau đặt thẻ "+" để kiểm tra bạn có lật nhầm không. ## Lời thoại video ### 0:00 Mở đầu: gộp hai hóa đơn thế nào? Vở giá x nghìn một cuốn, bút giá y nghìn một cái. Minh mua 3 cuốn vở và 2 cây bút: hết 3x + 2y. Hà mua 5 cuốn vở và 1 cây bút: hết 5x + y. Hai bạn trả tất cả bao nhiêu? Và Hà trả nhiều hơn Minh bao nhiêu? Hôm nay ta học cách cộng và trừ hai đa thức. ### 0:24 Cộng hai đa thức Muốn cộng hai đa thức, ta viết mỗi đa thức trong một cặp ngoặc, nối bằng dấu +. Rồi bỏ ngoặc và thu gọn. Trước ngoặc là dấu + thì bỏ ngoặc, giữ nguyên dấu các hạng tử. Tiền của hai bạn: (3x + 2y) + (5x + y). Bỏ ngoặc, rồi gom: 3x với 5x, 2y với y. Được 8x + 3y. Ví dụ 2: A = 2x²y − 3xy + 4; B = xy² − x²y + 5xy − 7. Bỏ ngoặc, rồi tìm các nhóm đồng dạng. Nhóm x²y: 2 − 1, còn x²y. Nhóm xy: −3 + 5 = 2. Có bạn viết 2x²y²: sai! Ta chỉ cộng hệ số, giữ nguyên phần biến: 2xy. xy² khác x²y, nên đứng riêng. Các số: 4 − 7 = −3. Vậy A + B = x²y + 2xy + xy² − 3. ### 1:41 Trừ hai đa thức: đổi dấu tất cả Muốn trừ hai đa thức, ta nối chúng bằng dấu −. Trước ngoặc là dấu − thì khi bỏ ngoặc, phải đổi dấu tất cả các hạng tử trong ngoặc: + thành −, − thành +. Hà trả nhiều hơn Minh bao nhiêu? (5x + y) − (3x + 2y). Bỏ ngoặc: 3x mang dấu −, và + 2y lật thành − 2y. Gom lại: 5x − 3x = 2x, y − 2y = −y. Hà trả nhiều hơn 2x − y nghìn đồng. Ví dụ 2: P = 4x² − 2xy + 3; Q = x² − 5xy − 6. Tính P − Q. Có bạn chỉ đổi dấu hạng tử đầu, rồi chép nguyên phần còn lại. Sai! Phải lật cả ba dấu cùng lúc: − x², + 5xy, + 6. Gom: 4 − 1 = 3, −2 + 5 = 3, 3 + 6 = 9. P − Q = 3x² + 3xy + 9. ### 2:56 A − B = C thì A = B + C Phép cộng đa thức cũng giao hoán và kết hợp, như cộng các số. Và nếu A − B = C thì A = B + C. Ngược lại cũng đúng. Ví dụ: hai hộp bánh nặng tổng cộng 5x + 3y gam. Hộp thứ nhất nặng 2x + y gam. Hộp thứ hai nặng: (5x + 3y) − (2x + y) = 3x + 2y. Thử lại: (2x + y) + (3x + 2y) đúng bằng tổng. Chính xác! Ví dụ 2: tìm M, biết M − (x² − 3xy) = 2x² + xy − 1. M là số bị trừ, nên M = hiệu + số trừ. Cộng lại, được M = 3x² − 2xy − 1. Giờ ta luyện bốn dạng bài. ### 3:48 Dạng 1: Tổng và hiệu hai đa thức Dạng 1: tính tổng và hiệu hai đa thức. Cách làm: viết hai đa thức trong ngoặc, nối bằng dấu + hoặc −. Bỏ ngoặc, nhớ đổi dấu nếu trước ngoặc là dấu −. Rồi gom hạng tử đồng dạng. Bài 1: cho E và F như trên màn hình. Tính E + F, E − F và F − E. Bạn hãy tạm dừng video và thử làm. Câu a: E + F. Bỏ ngoặc, giữ nguyên dấu. x³ với −x³ triệt tiêu nhau. 2x²y + 3x²y = 5x²y. −4y + 5y = y. 1 − 6 = −5. E + F = 5x²y + y − 5. Câu b: E − F. Trước ngoặc là dấu −: lật dấu cả bốn hạng tử của F. Nhóm x³: x³ + x³. Không phải x⁶, mà là 2x³. Gom tiếp, được 2x³ − x²y − 9y + 7. Câu c: F − E. Không cần làm lại: F − E là đối của E − F. Chỉ cần đổi dấu mọi hạng tử của kết quả câu b. ### 5:11 Dạng 2: Rút gọn nhiều ngoặc Dạng 2: rút gọn biểu thức có nhiều ngoặc. Cách làm: bỏ từng ngoặc, ngoặc nào có dấu − đằng trước thì đổi dấu. Gom hạng tử đồng dạng. Cần tính giá trị thì rút gọn xong mới thay số. Bài 2, câu a: rút gọn (3a − b) + (b − 2c) − (3a − 2c). Bạn hãy tạm dừng video và thử làm. Bỏ ngoặc: hai ngoặc đầu giữ dấu, ngoặc cuối lật dấu. 3a − 3a = 0, −b + b = 0, −2c + 2c cũng bằng 0. Kết quả bằng 0, dù a, b, c là số nào! Câu b: rút gọn K, rồi tính giá trị tại x = −3, y = 2. Bạn hãy tạm dừng video và thử làm. Bỏ ngoặc: ngoặc giữa có dấu − nên + 2xy thành − 2xy, − x²y thành + x²y. Nhóm x²y: 1 + 1 − 2 = 0. Nhóm xy: 3 − 2 + 1 = 2. K = 2xy + 5. Thay số: 2 · (−3) · 2 = −12, + 5 = −7. ### 6:39 Dạng 3: Tìm đa thức chưa biết Dạng 3: tìm đa thức chưa biết. Cách làm: M + B = C thì M = C − B. M − B = C thì M = C + B. Còn B − M = C thì M = B − C. Bài 3, câu a: M + (x² − 2xy) = 3x² + xy. Bạn hãy tạm dừng video và thử làm. M là một số hạng, nên M = tổng − số hạng kia. Bỏ ngoặc, đổi dấu: − x², + 2xy. Gom lại: M = 2x² + 3xy. Câu b: (4x²y − y + 3) − M = x²y + 2y − 1. Bạn hãy tạm dừng video và thử làm. Bẫy ở đây: có bạn lấy vế phải trừ ngoặc đầu. Sai! M là số trừ, nên M = số bị trừ − hiệu. Bỏ ngoặc, lật ba dấu: − x²y, − 2y, + 1. Gom lại: M = 3x²y − 3y + 4. ### 7:57 Dạng 4: Bài toán thực tế Dạng 4: bài toán thực tế. Một quầy nước bán x ly nước cam, giá 20 nghìn một ly, và y ly trà chanh, giá 12 nghìn một ly. Chi phí: 8 nghìn cho mỗi ly cam, 5 nghìn cho mỗi ly trà, và 150 nghìn tiền thuê chỗ. Câu a: viết đa thức tiền lãi. Câu b: tính tiền lãi khi bán 30 ly cam và 40 ly trà. Bạn hãy tạm dừng video và thử làm. Tiền thu là 20x + 12y. Tiền chi là 8x + 5y + 150. Tiền lãi = thu − chi. Bỏ ngoặc: cả ba hạng tử của tiền chi đều mang dấu −. Gom lại: tiền lãi = 12x + 7y − 150. Câu b: x = 30, y = 40: 360 + 280 − 150. Quầy lãi 490 nghìn đồng. ### 9:02 Kết bài Tóm lại: cộng hai đa thức thì bỏ ngoặc, giữ nguyên dấu. Trừ hai đa thức thì đổi dấu tất cả các hạng tử trong ngoặc. Gom hạng tử đồng dạng: cộng hệ số, giữ nguyên phần biến. Và A − B = C thì A = B + C. Làm thêm phiếu bài tập để nhớ lâu nhé!