# Phép nhân đa thức – Toán lớp 8, Bài 4

> Bài 4 Toán lớp 8: Phép nhân đa thức. Nội dung: nhắc lại: nhân hai đơn thức, nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa thức.

- Trang bài: https://anim.vn/lop-8/toan/bai-04-phep-nhan-da-thuc/
- Video: https://youtu.be/CC_sSiJy22w (9:11)
- Thuộc: Toán lớp 8 · Bài 4
- Bài tập về nhà (PDF, có lời giải): https://anim.vn/media/lop8-toan-bai-04/bai-tap-ve-nha.pdf

## Mục lục video

- 0:00 Mở đầu
- 0:32 Nhân đơn thức với đa thức
- 1:53 Nhân đa thức với đa thức
- 3:31 Ba bẫy hay gặp
- 4:03 Dạng 1: Nhân đơn thức với đa thức
- 5:13 Dạng 2: Nhân đa thức với đa thức
- 6:52 Dạng 3: Rút gọn, bài toán thực tế
- 8:47 Kết bài

## 0. Nhắc lại: nhân hai đơn thức

Nhân hệ số với hệ số, nhân phần biến với phần biến (cùng biến thì **cộng số mũ**).

$3x \cdot 4x = 12x^2$ — chú ý $x \cdot x = x^2$, **không phải** $2x$.

## 1. Nhân đơn thức với đa thức

> Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức với **từng hạng tử** của đa thức rồi cộng các tích với nhau.
>
> $A(B + C) = AB + AC$

- *Ví dụ 1 (đời sống).* Một luống đất rộng $2x$ mét, dài $3x + 5$ mét, chia thành ô rau dài $3x$ và ô hoa dài $5$. Diện tích:
  $2x(3x + 5) = 2x \cdot 3x + 2x \cdot 5 = 6x^2 + 10x$ — đúng bằng ô rau ($6x^2$) cộng ô hoa ($10x$).
- *Ví dụ 2 (có dấu trừ).*
  $(-3xy)(2x^2 - xy + 4y) = (-3xy)(2x^2) + (-3xy)(-xy) + (-3xy)(4y) = -6x^3y + 3x^2y^2 - 12xy^2.$
  Hạng tử $-xy$ mang dấu âm: âm nhân âm ra **dương**. Mẹo: tính dấu trước, rồi mới nhân phần còn lại.

## 2. Nhân đa thức với đa thức

> Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân **mỗi hạng tử** của đa thức này với **từng hạng tử** của đa thức kia rồi cộng các kết quả với nhau.
>
> $(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$

- *Ví dụ 1 (mô hình diện tích).* Mảnh vườn hình vuông cạnh $x$ mét được nới thêm $4$ mét chiều dài và $2$ mét chiều rộng. Diện tích mới:
  $(x + 4)(x + 2) = x^2 + 2x + 4x + 8 = x^2 + 6x + 8.$
  Bốn tích ứng với **bốn mảnh đất**: vườn cũ $x^2$, hai dải $2x$ và $4x$, ô góc $8$.
- *Ví dụ 2 (hai hạng tử × ba hạng tử = 6 tích).*
  $(2x - y)(x^2 + 3xy - 2y^2)$
  $= 2x^3 + 6x^2y - 4xy^2 - x^2y - 3xy^2 + 2y^3$
  $= 2x^3 + 5x^2y - 7xy^2 + 2y^3.$

**Đếm số tích trước:** đa thức có $m$ hạng tử nhân đa thức có $n$ hạng tử thì có $m \cdot n$ tích (trước khi thu gọn). Đếm thiếu là nhân thiếu.

Phép nhân đa thức cũng có tính chất **giao hoán**, **kết hợp**, **phân phối** như phép nhân các số; tích của hai đa thức vẫn là một đa thức.

## Bảng kí hiệu

| Viết | Đọc | Ý nghĩa |
|---|---|---|
| $x \cdot x = x^2$ | x nhân x bằng x bình phương | cộng số mũ: $x^1 \cdot x^1 = x^{1+1}$ |
| $x^2 \cdot x^3 = x^5$ | x bình phương nhân x lập phương | $2 + 3 = 5$ |
| $(-)\cdot(-) = (+)$ | âm nhân âm ra dương | $(-2x)(-3) = 6x$ |
| $A(B + C)$ | A nhân với tổng B cộng C | $= AB + AC$ |

## Lỗi hay gặp

1. **Nhân thiếu cặp:** $(x + 4)(x + 2) \ne x^2 + 8$ — thiếu hai tích $2x$ và $4x$. Đếm: 2 × 2 = 4 tích.
2. **Sai dấu:** $(-2x)(-3) = +6x$, không phải $-6x$. Mỗi hạng tử mang theo dấu đứng trước nó.
3. **$x \cdot x$ ra $2x$:** nhân thì cộng số mũ, $x \cdot x = x^2$.
4. **Dấu trừ trước một tích:** $-x(3x + 1) = -3x^2 - x$. Tính tích trong ngoặc trước rồi mới bỏ ngoặc, đổi dấu **mọi** hạng tử.
5. Quên thu gọn kết quả cuối cùng.

## Bài tập theo dạng

### Dạng 1: Nhân đơn thức với đa thức

**Bài 1.** Làm tính nhân:
a) $2x(3x^2 - 5x + 4)$ · b) $(-x^2y)(3x - 2y + xy)$ · c) $(6x^2y - 3xy^2)\left(-\tfrac13xy\right)$

<details><summary>Đáp án</summary>

a) $6x^3 - 10x^2 + 8x$.
b) $-3x^3y + 2x^2y^2 - x^3y^2$ (âm nhân âm $-2y$ ra dương).
c) Giao hoán: đa thức đứng trước vẫn nhân từng hạng tử. $-2x^3y^2 + x^2y^3$.
</details>

### Dạng 2: Nhân đa thức với đa thức

**Bài 2.** Làm tính nhân:
a) $(x + 5)(x - 3)$ · b) $(2x - 1)(x^2 - 3x + 2)$ · c) $(x - 2y)(x + 2y)$

<details><summary>Đáp án</summary>

a) 4 tích: $x^2 - 3x + 5x - 15 = x^2 + 2x - 15$.
b) 6 tích: $2x^3 - 6x^2 + 4x - x^2 + 3x - 2 = 2x^3 - 7x^2 + 7x - 2$. (Không được chỉ viết "$-1$" ở cuối: $-1$ cũng phải nhân với cả ba hạng tử.)
c) $x^2 + 2xy - 2xy - 4y^2 = x^2 - 4y^2$ (hai tích giữa triệt tiêu).
</details>

### Dạng 3: Rút gọn biểu thức, bài toán thực tế

**Bài 3.** a) Rút gọn $A = 3x(x - 2) - x(3x + 1)$. b) Chứng tỏ $B = (x + 3)(x - 4) - x(x - 1) + 8$ không phụ thuộc vào $x$.

<details><summary>Đáp án</summary>

a) $A = (3x^2 - 6x) - (3x^2 + x) = 3x^2 - 6x - 3x^2 - x = -7x$.
b) $B = (x^2 - x - 12) - (x^2 - x) + 8 = -12 + 8 = -4$ với mọi $x$.
</details>

**Bài 4.** Mảnh đất hình chữ nhật dài $2x + 3$ (m), rộng $x + 1$ (m). Người ta đào một ao hình vuông cạnh $x$ (m). Tính diện tích đất còn lại theo $x$, rồi tính khi $x = 4$.

<details><summary>Đáp án</summary>

$S = (2x + 3)(x + 1) - x^2 = 2x^2 + 2x + 3x + 3 - x^2 = x^2 + 5x + 3$.
Khi $x = 4$: $16 + 20 + 3 = 39$ (m²). (Kiểm tra: đất $11 \cdot 5 = 55$, ao $16$, còn $39$.)
</details>

## Trò chơi ở nhà (5 phút): "Ghép mảnh vườn"

Cắt giấy thành các mảnh: 1 hình vuông lớn (ghi $x^2$), vài dải dài (ghi $x$) và vài ô vuông nhỏ (ghi $1$). Một người đọc một phép nhân, ví dụ $(x + 3)(x + 1)$; người kia phải **ghép các mảnh thành một hình chữ nhật** có hai cạnh đúng là $x + 3$ và $x + 1$, rồi đếm: $1$ hình vuông, $4$ dải, $3$ ô nhỏ → $x^2 + 4x + 3$. Đổi vai. Thử thêm $(x + 2)(x + 2)$ để thấy vì sao **không phải** $x^2 + 4$.

## Lời thoại video

### 0:00 Mở đầu

Nhà Minh có một mảnh vườn hình vuông, cạnh x mét. Bố muốn mở rộng: chiều dài thêm bốn mét, chiều rộng thêm hai mét. Vườn mới dài x + 4, rộng x + 2. Diện tích là (x + 4)(x + 2). Có bạn nhân nhanh: x · x, 4 · 2, ra x² + 8. Nhìn hình là thấy ngay: còn hai dải đất bị bỏ quên! Hôm nay ta học phép nhân đa thức, để không bao giờ nhân thiếu.

### 0:32 Nhân đơn thức với đa thức

Trước hết, nhắc lại nhân hai đơn thức: nhân hệ số với hệ số, nhân phần biến với phần biến. Ví dụ, 3x · 4x = 12x². Chú ý: x · x = x², không phải 2x. Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức, rồi cộng các tích lại. Ví dụ 1: một luống đất rộng 2x, dài 3x + 5, chia làm ô rau dài 3x và ô hoa dài 5. Diện tích là 2x · (3x + 5). 2x · 3x = 6x², là ô rau. 2x · 5 = 10x, là ô hoa. Cộng lại: 6x² + 10x. Ví dụ 2: (−3xy) · (2x² − xy + 4y). (−3xy) · 2x² = −6x³y. (−3xy) · (−xy): âm nhân âm ra dương, được +3x²y². (−3xy) · 4y = −12xy². Mẹo: tính dấu trước, rồi mới nhân phần còn lại.

### 1:53 Nhân đa thức với đa thức

Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia, rồi cộng các kết quả. Ví dụ 1: quay lại mảnh vườn, (x + 4)(x + 2). x · x = x²: đó là mảnh vườn cũ. x · 2 = 2x: dải đất phía trên. 4 · x = 4x: dải đất bên phải. 4 · 2 = 8: ô nhỏ ở góc. 4 tích, đúng 4 mảnh đất. Gom 2x với 4x, diện tích là x² + 6x + 8. 2 hạng tử nhân 2 hạng tử, có 4 tích. Đếm số tích là cách chắc nhất để không nhân thiếu. Ví dụ 2: (2x − y)(x² + 3xy − 2y²). 2 hạng tử nhân 3 hạng tử, sẽ có 6 tích. Lấy 2x nhân lần lượt: 2x³ + 6x²y − 4xy². Lấy −y nhân lần lượt: −x²y − 3xy² + 2y³. Gom hạng tử đồng dạng: 6 − 1 = 5, −4 − 3 = −7. Kết quả: 2x³ + 5x²y − 7xy² + 2y³. Phép nhân đa thức cũng có tính giao hoán, kết hợp và phân phối, như phép nhân các số.

### 3:31 Ba bẫy hay gặp

Trước khi luyện tập, hãy nhớ ba bẫy hay gặp. Bẫy 1: nhân thiếu. (x + 4)(x + 2) không phải x² + 8, vì thiếu hai tích ở giữa. Bẫy 2: sai dấu. (−2x) · (−3) = +6x, không phải −6x. Bẫy 3: x · x = x², không phải 2x. Cách làm chung: nhân từng cặp, giữ đúng dấu, đếm đủ số tích, rồi thu gọn.

### 4:03 Dạng 1: Nhân đơn thức với đa thức

Dạng 1: nhân đơn thức với đa thức. Cách làm: nhân đơn thức với từng hạng tử. Tính dấu trước, rồi nhân hệ số, cộng số mũ cùng biến. Bài 1. Làm tính nhân. Bạn hãy tạm dừng video và thử làm. Câu a: 2x · (3x² − 5x + 4). 2x · 3x² = 6x³. 2x · (−5x) = −10x². 2x · 4 = 8x. Vậy kết quả là 6x³ − 10x² + 8x. Câu b: (−x²y) · (3x − 2y + xy). Nhân 3x: âm nhân dương ra âm, được −3x³y. Nhân −2y: âm nhân âm ra dương, được +2x²y², không phải trừ. Nhân xy: được −x³y². Kết quả: −3x³y + 2x²y² − x³y².

### 5:13 Dạng 2: Nhân đa thức với đa thức

Dạng 2: nhân đa thức với đa thức. Cách làm: đếm trước số tích. Lấy từng hạng tử của đa thức đầu nhân với cả đa thức sau, rồi thu gọn. Bài 2. Làm tính nhân. Bạn hãy tạm dừng video và thử làm. Câu a: (x + 5)(x − 3). 2 · 2 = 4 tích. x · x = x², x · (−3) = −3x. 5 · x = 5x, 5 · (−3) = −15. Gom −3x với 5x được 2x. Kết quả: x² + 2x − 15. Câu b: (2x − 1)(x² − 3x + 2). 2 · 3 = 6 tích. 2x nhân lần lượt: 2x³ − 6x² + 4x. Có bạn viết luôn −1 ở cuối. Sai! Mới có 4 số hạng, chưa đủ 6 tích. −1 cũng phải nhân lần lượt: −x² + 3x − 2. Gom lại: −6 − 1 = −7, 4 + 3 = 7. Kết quả: 2x³ − 7x² + 7x − 2. Câu c: (x − 2y)(x + 2y). 4 tích: x² + 2xy − 2xy − 4y². 2xy và −2xy triệt tiêu nhau! Chỉ còn x² − 4y².

### 6:52 Dạng 3: Rút gọn, bài toán thực tế

Dạng 3: rút gọn biểu thức và bài toán thực tế. Cách làm: tính riêng từng tích, đặt kết quả trong ngoặc. Bỏ ngoặc, chú ý dấu trừ đứng trước. Rồi thu gọn. Bài 3. Rút gọn A, và chứng tỏ B không phụ thuộc vào x. Bạn hãy tạm dừng video và thử làm. Câu a: A = 3x(x − 2) − x(3x + 1). Tích đầu: 3x² − 6x. Tích sau: (3x² + x), đặt trong ngoặc. Bỏ ngoặc có dấu trừ đứng trước thì đổi dấu mọi hạng tử bên trong: −3x² − x. 3x² − 3x² = 0. Vậy A = −7x. Câu b: B = (x + 3)(x − 4) − x(x − 1) + 8. Tích đầu: x² − x − 12. Tích sau: x² − x. Bỏ ngoặc rồi thu gọn: x² triệt tiêu, −x và +x triệt tiêu, còn −12 + 8 = −4. B luôn bằng −4, dù x là bao nhiêu. Vậy B không phụ thuộc vào x. Bài 4. Mảnh đất hình chữ nhật dài 2x + 3 (m), rộng x + 1 (m), có một cái ao hình vuông cạnh x (m). Tính diện tích đất còn lại, rồi tính khi x = 4. Diện tích mảnh đất: (2x + 3)(x + 1). Bốn tích: 2x² + 2x + 3x + 3. Trừ đi ao là x², rồi gom lại: còn x² + 5x + 3. Thay x = 4: 16 + 20 + 3 = 39 (m²).

### 8:47 Kết bài

Tóm lại. Nhân đơn thức với đa thức: nhân với từng hạng tử. Nhân đa thức với đa thức: mỗi hạng tử nhân với từng hạng tử, đếm đủ số tích. Luôn giữ đúng dấu, x · x = x², và cuối cùng nhớ thu gọn. Làm thêm phiếu bài tập đi kèm để thành thạo nhé. Hẹn gặp lại bạn ở bài sau!