# Hiệu hai bình phương. Bình phương của một tổng hay một hiệu – Toán lớp 8, Bài 6

> Bạn thử nhẩm: (3 + 2)² có bằng 3² + 2² không? Bên trái là 25, bên phải chỉ có 13. Vậy 12 bị "rơi" đi đâu? Bài này trả lời câu hỏi đó bằng ba hằng đẳng thức đáng nhớ đầu tiên, và cả bằng hình vẽ.

- Trang bài: https://anim.vn/lop-8/toan/bai-06-hieu-hai-binh-phuong-binh-phuong-tong-hieu/
- Video: https://youtu.be/TsFVj2fldZ4 (8:34)
- Thuộc: Toán lớp 8 · Bài 6
- Bài tập về nhà (PDF, có lời giải): https://anim.vn/media/lop8-toan-bai-06/bai-tap-ve-nha.pdf

## Mục lục video

- 0:00 Mở đầu: (3 + 2)² = 3² + 2²?
- 0:30 Hằng đẳng thức là gì?
- 1:01 Bình phương của một tổng
- 2:03 Bình phương của một hiệu
- 3:05 Hiệu hai bình phương
- 4:00 Ba hằng đẳng thức
- 4:16 Dạng 1: Khai triển
- 5:15 Dạng 2: Tính nhanh
- 6:10 Dạng 3: Viết thành bình phương, tích
- 7:11 Dạng 4: Rút gọn, bài toán thực tế
- 8:17 Kết bài

Bạn thử nhẩm: $(3 + 2)^2$ có bằng $3^2 + 2^2$ không? Bên trái là $25$, bên phải chỉ có $13$. Vậy $12$ bị "rơi" đi đâu? Bài này trả lời câu hỏi đó bằng ba **hằng đẳng thức đáng nhớ** đầu tiên, và cả bằng hình vẽ.

## 1. Hằng đẳng thức là gì?

Một đẳng thức mà **thay số nào vào biến, hai vế cũng luôn bằng nhau** thì gọi là **hằng đẳng thức**.

- *Ví dụ 1.* $2(x + 3) = 2x + 6$ là hằng đẳng thức: nhân phân phối thì vế trái đúng bằng vế phải, với mọi $x$. Mua 2 phần, mỗi phần gồm $x$ nghìn tiền bánh và 3 nghìn tiền nước, thì tính kiểu nào cũng ra $2x + 6$.
- *Ví dụ 2 (có bẫy).* $x^2 + 1 = 2x$ đúng khi $x = 1$ (hai vế cùng bằng 2). Nhưng thay $x = 0$: vế trái $1$, vế phải $0$. Chỉ cần **một** giá trị làm sai là đủ: đây **không** phải hằng đẳng thức.

## 2. Bình phương của một tổng

$$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$

**Nhìn bằng hình.** Vẽ hình vuông cạnh $a + b$. Kẻ hai đường chia, ta được: một hình vuông $a^2$, một hình vuông $b^2$, và **hai** hình chữ nhật $a \times b$. Cộng diện tích bốn mảnh: $a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Với $a = 3$, $b = 2$: hình vuông $5 \times 5$ có $25$ ô, gồm $9 + 4$ ô của hai hình vuông và $6 + 6 = 12$ ô của hai hình chữ nhật. Đó chính là $12$ ô bị quên!

- *Ví dụ 1 (tính nhẩm).* $21^2 = (20 + 1)^2 = 400 + 2 \cdot 20 \cdot 1 + 1 = 400 + 40 + 1 = 441$.
- *Ví dụ 2 (khai triển).* $(x + 3y)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3y + (3y)^2 = x^2 + 6xy + 9y^2$. Chú ý $(3y)^2 = 9y^2$, không phải $3y^2$.

## 3. Bình phương của một hiệu

$$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$

Vì $a - b = a + (-b)$, nên $(a - b)^2 = a^2 + 2a(-b) + (-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. So với bình phương của một tổng, **chỉ có dấu của $2ab$ đổi thành trừ**, còn $b^2$ vẫn cộng.

- *Ví dụ 1 (tính nhẩm).* $98^2 = (100 - 2)^2 = 10\,000 - 400 + 4 = 9\,604$.
- *Ví dụ 2 (có bẫy).* $(2x - 5)^2 = 4x^2 - 20x + 25$. Viết $4x^2 - 20x - 25$ là **sai**: bình phương thì không âm, $(-5)^2 = +25$.

## 4. Hiệu hai bình phương

$$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$$

**Nhìn bằng hình.** Hình vuông cạnh $a$, cắt bỏ một hình vuông nhỏ cạnh $b$ ở góc: phần còn lại có diện tích $a^2 - b^2$ (hình chữ L). Cắt chữ L thành hai hình chữ nhật, xoay mảnh nhỏ rồi ghép sang bên cạnh: được một hình chữ nhật dài $a + b$, rộng $a - b$. Cùng một diện tích, nên $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$.

- *Ví dụ 1 (tính nhẩm).* $51 \cdot 49 = (50 + 1)(50 - 1) = 50^2 - 1^2 = 2\,500 - 1 = 2\,499$.
- *Ví dụ 2 (viết thành tích).* $9x^2 - 25 = (3x)^2 - 5^2 = (3x + 5)(3x - 5)$.

Chú ý: $a^2 + b^2$ (tổng hai bình phương) **không** viết được theo cách này.

## Bảng hằng đẳng thức

| Tên | Công thức | Đọc | Nhớ nhanh |
|---|---|---|---|
| Bình phương của một tổng | $(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$ | A cộng B, tất cả bình phương | "bình phương số đầu, **hai lần tích**, bình phương số sau" |
| Bình phương của một hiệu | $(A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$ | A trừ B, tất cả bình phương | giống trên, chỉ **trừ** ở giữa |
| Hiệu hai bình phương | $A^2 - B^2 = (A + B)(A - B)$ | A bình phương trừ B bình phương | "tổng nhân hiệu" |

Đọc từ trái sang phải là **khai triển**; đọc từ phải sang trái là **viết gọn** (thành bình phương hoặc thành tích). $A$, $B$ có thể là số, biến, hay cả biểu thức như $3y$, $2x$.

## Lỗi hay gặp

1. **Quên $2ab$**: viết $(a + b)^2 = a^2 + b^2$. Nhớ hình vuông: còn hai hình chữ nhật $ab$.
2. **Sai dấu $2ab$** khi bình phương một hiệu, hoặc viết $-b^2$ ở cuối. Chỉ dấu giữa đổi; $b^2$ luôn là cộng.
3. **Quên bình phương cả hệ số**: $(3y)^2 = 3y^2$ là sai, đúng là $9y^2$.
4. **Viết ngược mà không kiểm tra hạng tử giữa**: $x^2 + 6x + 4$ không phải bình phương, vì $2 \cdot x \cdot 2 = 4x \ne 6x$.

## Bài tập theo dạng

### Dạng 1. Khai triển

Nhận dạng $A$, $B$ rồi áp công thức; bình phương cả hệ số.

**Bài 1.** a) $(x + 4)^2$  b) $(3y - 1)^2$  c) $(2a + 7)(2a - 7)$

<details><summary>Đáp án</summary>

a) $x^2 + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 = x^2 + 8x + 16$.
b) $(3y)^2 - 2 \cdot 3y \cdot 1 + 1^2 = 9y^2 - 6y + 1$ (không phải $3y^2$).
c) Tổng nhân hiệu: $(2a)^2 - 7^2 = 4a^2 - 49$.
</details>

### Dạng 2. Tính nhanh

Tách số thành "số tròn ± số nhỏ" rồi dùng hằng đẳng thức.

**Bài 2.** a) $199^2$  b) $73 \cdot 67$  c) $37^2 - 13^2$

<details><summary>Đáp án</summary>

a) $(200 - 1)^2 = 40\,000 - 400 + 1 = 39\,601$.
b) $(70 + 3)(70 - 3) = 4\,900 - 9 = 4\,891$.
c) $(37 - 13)(37 + 13) = 24 \cdot 50 = 1\,200$.
</details>

### Dạng 3. Viết thành bình phương hoặc thành tích

Tìm hai hạng tử là bình phương ($A^2$, $B^2$), rồi **kiểm tra hạng tử giữa** có bằng $\pm 2AB$ không.

**Bài 3.** a) $x^2 + 10x + 25$  b) $4y^2 - 12y + 9$  c) $64 - x^2$

<details><summary>Đáp án</summary>

a) $x^2 + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 = (x + 5)^2$.
b) $(2y)^2 - 2 \cdot 2y \cdot 3 + 3^2 = (2y - 3)^2$.
c) $8^2 - x^2 = (8 - x)(8 + x)$.
</details>

### Dạng 4. Rút gọn và bài toán thực tế

**Bài 4.** a) Rút gọn $(x + 3)^2 - (x - 3)^2$.
b) Một mảnh vườn hình vuông cạnh $x$ mét được mở rộng mỗi cạnh thêm $3$ mét (vẫn là hình vuông). Diện tích tăng thêm bao nhiêu? Tính khi $x = 12$.

<details><summary>Đáp án</summary>

a) $(x^2 + 6x + 9) - (x^2 - 6x + 9) = 12x$.
b) Phần tăng $= (x + 3)^2 - x^2 = 6x + 9$ (mét vuông). Khi $x = 12$: $6 \cdot 12 + 9 = 81$ m². Thử lại: $15^2 - 12^2 = 225 - 144 = 81$.
</details>

## Trò chơi ở nhà (5 phút): "Nhẩm nhanh hơn máy tính"

Một người đọc phép tính, một người bấm máy tính, bạn nhẩm bằng hằng đẳng thức. Ai ra trước thắng.
Gợi ý đề: $31^2$, $49^2$, $102 \cdot 98$, $65^2 - 35^2$, $19 \cdot 21$, $401^2$.
Mẹo: số tận cùng gần số tròn chục/trăm → bình phương của tổng/hiệu; hai số cách đều một số tròn → tổng nhân hiệu.

Thêm một trò bằng giấy: cắt hình vuông $10 \times 10$ ô, cắt bỏ góc $4 \times 4$ ô, rồi tự cắt ghép phần còn lại thành hình chữ nhật $14 \times 6$. Đếm lại: $100 - 16 = 84 = 14 \cdot 6$.

## Lời thoại video

### 0:00 Mở đầu: (3 + 2)² = 3² + 2²?

Bạn thử nhẩm: (3 + 2)² có bằng 3² + 2² không? Vế trái: 5² = 25. Vế phải: 9 + 4, chỉ được 13. Vậy 12 bị rơi đi đâu? Nhìn hình vuông 5 × 5 ô: 9 ô, 4 ô, và hai hình chữ nhật, mỗi hình 6 ô. Đó là 12 ô bị quên. Hôm nay ta học ba hằng đẳng thức đáng nhớ.

### 0:30 Hằng đẳng thức là gì?

Hằng đẳng thức là đẳng thức mà thay số nào vào biến, hai vế cũng luôn bằng nhau. Ví dụ 1: hai phần ăn, mỗi phần x nghìn tiền bánh và 3 nghìn tiền nước. 2(x + 3) luôn bằng 2x + 6. Ví dụ 2: x² + 1 = 2x. Thay x = 1: 2 = 2, đúng. Nhưng thay x = 0: 1 ≠ 0. Chỉ một giá trị làm sai là đủ: đây không phải hằng đẳng thức.

### 1:01 Bình phương của một tổng

Thứ nhất: bình phương của một tổng. Vẽ hình vuông cạnh a + b. Diện tích là (a + b)². Kẻ hai đường chia: một hình vuông a², một hình vuông b². Và hai hình chữ nhật, mỗi hình a · b. Cộng lại: (a + b)² = a² + 2ab + b². Bẫy hay gặp: viết a² + b², là quên mất hai hình chữ nhật này. Ví dụ 1: 21² = (20 + 1)². = 400 + 40 + 1 = 441. Ví dụ 2: (x + 3y)². = x² + 2 · x · 3y + (3y)² = x² + 6xy + 9y². Nhớ bình phương cả số 3.

### 2:03 Bình phương của một hiệu

Thứ hai: bình phương của một hiệu. Mẹo: a − b = a + (−b). Dùng công thức vừa học, thay b bằng −b. Được a² + 2a · (−b) + (−b)² = a² − 2ab + b². Chỉ có dấu ở giữa đổi thành trừ. Còn b² vẫn là cộng. Ví dụ 1: 98². 98 = 100 − 2. = 10 000 − 400 + 4 = 9 604. Ví dụ 2: (2x − 5)². = 4x² − 2 · 2x · 5, là 20x. Số cuối, nhiều bạn viết − 25. Sai rồi: 5² là + 25. Kết quả: 4x² − 20x + 25.

### 3:05 Hiệu hai bình phương

Thứ ba: hiệu hai bình phương. Lấy hình vuông cạnh a, cắt bỏ hình vuông nhỏ cạnh b ở góc. Phần còn lại là a² − b². Cắt nó thành hai hình chữ nhật. Xoay mảnh nhỏ, rồi ghép sang bên phải. Ta được hình chữ nhật dài a + b, rộng a − b. Vậy a² − b² = (a + b)(a − b). Dễ nhớ: tổng nhân hiệu. Ví dụ 1: 51 · 49 = (50 + 1)(50 − 1). = 50² − 1 = 2 499. Ví dụ 2: viết 9x² − 25 thành tích. Đó là (3x)² − 5², nên bằng (3x + 5)(3x − 5).

### 4:00 Ba hằng đẳng thức

Tóm lại, ba hằng đẳng thức cần thuộc lòng. Đọc từ trái sang phải là khai triển. Đọc từ phải sang trái là viết gọn, thành bình phương hoặc thành tích. A và B có thể là số, là biến, hay cả biểu thức như 3y.

### 4:16 Dạng 1: Khai triển

Dạng một: khai triển. Cách làm: nhận ra A và B, chọn đúng công thức, rồi bình phương cả hệ số. Bài một. Bạn hãy tạm dừng video và thử làm trước nhé. Câu a: (x + 4)². Ở đây A = x, B = 4. = x² + 8x + 16. Câu b: (3y − 1)². Bẫy: viết 3y². Phải bình phương cả số 3, được 9y². Hạng tử giữa: 2 · 3y · 1 = 6y, mang dấu trừ. Kết quả: 9y² − 6y + 1. Câu c: (2a + 7)(2a − 7). Tổng nhân hiệu, nên bằng (2a)² − 7². = 4a² − 49.

### 5:15 Dạng 2: Tính nhanh

Dạng hai: tính nhanh. Cách làm: tách số thành số tròn ± số nhỏ, rồi dùng hằng đẳng thức. Bài hai. Tạm dừng video và thử nhẩm nhé. Câu a: 199² = (200 − 1)². = 40 000 − 400 + 1 = 39 601. Câu b: 73 · 67 = (70 + 3)(70 − 3). = 4 900 − 9 = 4 891. Câu c: 37² − 13². Tổng nhân hiệu: (37 − 13)(37 + 13) = 24 · 50 = 1 200.

### 6:10 Dạng 3: Viết thành bình phương, tích

Dạng ba: viết thành bình phương hoặc thành tích, tức là đọc công thức theo chiều ngược lại. Cách làm: tìm hai hạng tử là bình phương, rồi kiểm tra hạng tử giữa có bằng 2AB không. Bài ba. Bạn tạm dừng video và thử làm nhé. Câu a: x² + 10x + 25. 25 = 5². Kiểm tra: 2 · x · 5 = 10x. Khớp! Vậy bằng (x + 5)². Câu b: 4y² − 12y + 9. Đó là (2y)² và 3². Kiểm tra: 2 · 2y · 3 = 12y, dấu trừ. Nên bằng (2y − 3)². Câu c: 64 − x² = 8² − x² = (8 − x)(8 + x).

### 7:11 Dạng 4: Rút gọn, bài toán thực tế

Dạng bốn: rút gọn và bài toán thực tế. Cách làm: khai triển từng bình phương, đặt trong ngoặc, rồi bỏ ngoặc và thu gọn. Câu a: rút gọn (x + 3)² − (x − 3)². Tạm dừng và thử nhé. Khai triển: (x² + 6x + 9) − (x² − 6x + 9). Bỏ ngoặc có dấu trừ phía trước thì đổi dấu tất cả. Còn lại 12x. Câu b: vườn hình vuông cạnh x m, mở rộng mỗi cạnh thêm 3 m. Diện tích tăng bao nhiêu, khi x = 12? Cạnh mới là x + 3. Phần tăng: (x + 3)² − x² = 6x + 9. Thay x = 12: 72 + 9 = 81 m². Thử lại: 15² − 12² cũng bằng 81. Chính xác!

### 8:17 Kết bài

Tóm lại: bình phương của một tổng có thêm 2ab, đừng quên hai hình chữ nhật. Bình phương của một hiệu chỉ đổi dấu hạng tử giữa. Hiệu hai bình phương là tổng nhân hiệu. Làm thêm phiếu bài tập về nhà để thuộc lòng ba công thức này nhé!