# Lập phương của một tổng. Lập phương của một hiệu – Toán lớp 8, Bài 7

> Bài 7 Toán lớp 8: Lập phương của một tổng. Lập phương của một hiệu. Nội dung: câu đố mở đầu, lập phương của một tổng, lập phương của một hiệu, ghi nhớ.

- Trang bài: https://anim.vn/lop-8/toan/bai-07-lap-phuong-cua-mot-tong-mot-hieu/
- Video: https://youtu.be/1FfLCyS0gIg (7:54)
- Thuộc: Toán lớp 8 · Bài 7
- Bài tập về nhà (PDF, có lời giải): https://anim.vn/media/lop8-toan-bai-07/bai-tap-ve-nha.pdf

## Mục lục video

- 0:00 Mở đầu: 18 khối trốn ở đâu?
- 0:23 Lập phương của một tổng
- 1:26 Ví dụ: 11³ và (3x + 1)³
- 2:04 Lập phương của một hiệu
- 3:02 Ghi nhớ và 3 lỗi hay gặp
- 3:43 Dạng 1: Khai triển
- 4:40 Dạng 2: Viết thành lập phương
- 6:02 Dạng 3: Tính giá trị, rút gọn
- 7:25 Kết bài

## 0. Câu đố mở đầu

Một khối lập phương cạnh 3 xếp từ $3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$ khối nhỏ. Chia cạnh thành $2 + 1$. Nhiều bạn nghĩ
$(2 + 1)^3 = 2^3 + 1^3 = 8 + 1 = 9$. Nhưng khối có tới 27 khối nhỏ! **18 khối còn lại ở đâu?** Đọc tiếp để tìm ra.

## 1. Lập phương của một tổng

$$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$$

**Vì sao?** Lập phương là bình phương nhân thêm một lần nữa:

$(a + b)^3 = (a + b)^2(a + b) = (a^2 + 2ab + b^2)(a + b)$
$= a^3 + a^2b + 2a^2b + 2ab^2 + ab^2 + b^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3.$

**Nhìn bằng hình.** Cắt khối lập phương cạnh $a + b$ theo cả ba chiều (mỗi chiều thành $a$ và $b$), được 8 khối con:

| Số khối | Kích thước | Thể tích |
|---|---|---|
| 1 khối to | $a \times a \times a$ | $a^3$ |
| 3 tấm dẹt | $a \times a \times b$ | $3a^2b$ |
| 3 thanh dài | $a \times b \times b$ | $3ab^2$ |
| 1 khối nhỏ | $b \times b \times b$ | $b^3$ |

Với $a = 2$, $b = 1$: $8 + 12 + 6 + 1 = 27$. Mười tám khối "trốn" trong 3 tấm và 3 thanh!

Hệ số **1, 3, 3, 1**; số mũ của $a$ giảm dần $3 \to 0$, số mũ của $b$ tăng dần $0 \to 3$.

- *Ví dụ 1 (tính nhanh).* $11^3 = (10 + 1)^3 = 1000 + 3 \cdot 100 \cdot 1 + 3 \cdot 10 \cdot 1 + 1 = 1000 + 300 + 30 + 1 = 1331.$
- *Ví dụ 2 (có bẫy).* $(3x + 1)^3$ với $a = 3x$, $b = 1$:
  $(3x + 1)^3 = (3x)^3 + 3 \cdot (3x)^2 \cdot 1 + 3 \cdot 3x \cdot 1^2 + 1^3 = 27x^3 + 27x^2 + 9x + 1.$
  Bẫy: $(3x)^3 = 27x^3$, **không phải** $3x^3$ — phải lập phương cả hệ số, nên luôn đặt $3x$ trong ngoặc.

## 2. Lập phương của một hiệu

$$(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$$

**Vì sao?** $a - b = a + (-b)$. Thay $b$ bằng $-b$ trong công thức trên: $(-b)^2 = b^2$ (dương), $(-b)^3 = -b^3$ (âm).
Hệ số vẫn **1, 3, 3, 1**, còn dấu **xen kẽ**: $+, -, +, -$. Hạng tử nào có $b$ mũ lẻ thì mang dấu trừ.

- *Ví dụ 1 (tính nhanh).* $19^3 = (20 - 1)^3 = 8000 - 3 \cdot 400 \cdot 1 + 3 \cdot 20 \cdot 1 - 1 = 8000 - 1200 + 60 - 1 = 6859.$
- *Ví dụ 2 (có bẫy).* $(y - 4)^3 = y^3 - 3 \cdot y^2 \cdot 4 + 3 \cdot y \cdot 4^2 - 4^3 = y^3 - 12y^2 + 48y - 64.$
  Hạng tử cuối là $-64$ (không phải $+64$).

## 3. Ghi nhớ

| Viết | Đọc |
|---|---|
| $(a + b)^3$ | $a$ cộng $b$, tất cả lập phương (lập phương của một tổng) |
| $(a - b)^3$ | $a$ trừ $b$, tất cả lập phương (lập phương của một hiệu) |
| $a^3$ | $a$ lập phương ($a$ mũ ba) |
| $3a^2b$ | ba $a$ bình phương $b$ |
| $3ab^2$ | ba $a$ $b$ bình phương |

Hai hằng đẳng thức dùng theo **ba chiều**:
1. **Khai triển:** từ $(a \pm b)^3$ viết ra 4 hạng tử.
2. **Viết ngược thành lập phương:** thấy 4 hạng tử có hai đầu là lập phương thì thử gom lại.
3. **Tính nhanh, rút gọn:** $101^3 = (100 + 1)^3$, hay biến đổi biểu thức thành lập phương rồi mới thay số.

## Lỗi hay gặp

1. **Viết $(a + b)^3 = a^3 + b^3$.** Sai: thiếu hai hạng tử giữa. Thử số: $(2 + 1)^3 = 27$, còn $2^3 + 1^3 = 9$.
2. **Quên hệ số 3.** $(x + 1)^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1$, không phải $x^3 + x^2 + x + 1$.
3. **Sai dấu ở lập phương một hiệu.** $(m - 2)^3 = m^3 - 6m^2 + 12m - 8$. Hạng tử thứ ba mang dấu **cộng** (vì $(-2)^2 = 4 > 0$), không phải "trừ hết".
4. **Quên lập phương hệ số.** $(4y)^3 = 64y^3$, không phải $4y^3$.
5. **Viết ngược mà chỉ kiểm một hạng tử giữa.** Phải khớp **cả hai** hạng tử $3a^2b$ và $3ab^2$.

## Bài tập theo dạng

### Dạng 1: Khai triển

Cách làm: xác định $a$ và $b$ (kể cả hệ số); viết 4 hạng tử theo công thức, $a$ và $b$ đặt trong ngoặc; tính từng hạng tử.

**Bài 1.** Khai triển: a) $(x + 5)^3$ · b) $(4y - 1)^3$ · c) $(a + 6)^3$ · d) $(2x - 5)^3$

<details><summary>Đáp án</summary>

a) $x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 5 + 3 \cdot x \cdot 25 + 125 = x^3 + 15x^2 + 75x + 125$.
b) $(4y)^3 - 3 \cdot (4y)^2 \cdot 1 + 3 \cdot 4y \cdot 1 - 1 = 64y^3 - 48y^2 + 12y - 1$.
c) $a^3 + 18a^2 + 108a + 216$.
d) $8x^3 - 60x^2 + 150x - 125$.
</details>

### Dạng 2: Viết thành lập phương của một tổng hay một hiệu

Cách làm: tìm hai hạng tử là lập phương ở hai đầu → suy ra $a$, $b$; kiểm tra **cả hai** hạng tử giữa có đúng $3a^2b$, $3ab^2$; dấu xen kẽ thì là một hiệu.

**Bài 2.** Viết thành lập phương (nếu được):
a) $x^3 + 12x^2 + 48x + 64$ · b) $125 - 75y + 15y^2 - y^3$ · c) $x^3 + 6x^2 + 6x + 8$

<details><summary>Đáp án</summary>

a) $a = x$, $b = 4$: $3x^2 \cdot 4 = 12x^2$ ✓, $3x \cdot 16 = 48x$ ✓ → $(x + 4)^3$.
b) $a = 5$, $b = y$, dấu xen kẽ: $3 \cdot 25 \cdot y = 75y$ ✓, $3 \cdot 5 \cdot y^2 = 15y^2$ ✓ → $(5 - y)^3$.
c) $a = x$, $b = 2$: $3x^2 \cdot 2 = 6x^2$ ✓ nhưng $3 \cdot x \cdot 4 = 12x \ne 6x$ → **không** viết được thành lập phương của một tổng.
</details>

### Dạng 3: Tính nhanh và rút gọn

Cách làm: tách số thành "số tròn ± số nhỏ"; hoặc viết biểu thức thành lập phương rồi mới thay số. Rút gọn: khai triển từng lập phương **trong ngoặc**, bỏ ngoặc (trước ngoặc có dấu trừ thì đổi dấu), rồi thu gọn.

**Bài 3.** a) Tính nhanh $101^3$. b) Tính $x^3 - 6x^2 + 12x - 8$ tại $x = 22$.

<details><summary>Đáp án</summary>

a) $(100 + 1)^3 = 1\,000\,000 + 30\,000 + 300 + 1 = 1\,030\,301$.
b) Biểu thức $= (x - 2)^3$; tại $x = 22$: $20^3 = 8000$.
</details>

**Bài 4 (thực tế).** Hai hộp quà hình lập phương có cạnh $x + 1$ và $x - 1$ (dm). Thể tích hộp lớn hơn hộp nhỏ bao nhiêu? Tính khi $x = 5$.

<details><summary>Đáp án</summary>

$(x + 1)^3 - (x - 1)^3 = (x^3 + 3x^2 + 3x + 1) - (x^3 - 3x^2 + 3x - 1) = 6x^2 + 2$ (dm³).
Khi $x = 5$: $6 \cdot 25 + 2 = 152$ dm³ (thử lại: $6^3 - 4^3 = 216 - 64 = 152$).
</details>

## Trò chơi ở nhà (5 phút): "Tìm 18 khối trốn"

Dùng 27 viên đường (hoặc khối Lego vuông) xếp một khối lập phương $3 \times 3 \times 3$. Một người tách ra khối $2 \times 2 \times 2$ ở một góc và khối lẻ ở góc đối diện, người kia phải gỡ phần còn lại thành **3 tấm** $2 \times 2 \times 1$ và **3 thanh** $2 \times 1 \times 1$, rồi đọc to: "$8 + 12 + 6 + 1 = 27$, tức là $a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$". Đổi vai, thử với khối $4 \times 4 \times 4 = (3 + 1)^3$: $27 + 27 + 9 + 1 = 64$.

## Lời thoại video

### 0:00 Mở đầu: 18 khối trốn ở đâu?

Một khối lập phương cạnh 3, xếp từ 27 khối nhỏ. Ta chia cạnh thành 2 + 1. Nhiều bạn nghĩ: (2 + 1)³ = 2³ + 1³, tức là 9. Nhưng khối có tới 27 khối nhỏ! 18 khối còn lại trốn ở đâu? Hôm nay ta học lập phương của một tổng, và lập phương của một hiệu.

### 0:23 Lập phương của một tổng

Ta đã biết (a + b)² = a² + 2ab + b². Lập phương thì nhân thêm một lần (a + b). Nhân a vào từng hạng tử, rồi nhân b vào từng hạng tử. Gom hạng tử đồng dạng: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³. Giờ nhìn bằng hình. Cắt khối cạnh a + b theo cả ba chiều, được 8 khối. Một khối to: a³. Ba tấm dẹt: 3a²b. Ba thanh dài: 3ab². Và một khối nhỏ: b³. Với 2 + 1: 8 + 12 + 6 + 1 = 27. 18 khối trốn trong các tấm và các thanh! Nhớ hệ số 1, 3, 3, 1. Số mũ của a giảm dần, của b tăng dần.

### 1:26 Ví dụ: 11³ và (3x + 1)³

Ví dụ 1: tính nhanh 11³, với 11 = 10 + 1. 1000 + 300 + 30 + 1 = 1331. Ví dụ 2: (3x + 1)³. Ở đây a = 3x, b = 1. Cẩn thận: (3x)³ = 27x³, chứ không phải 3x³. Tiếp theo: 3 · 9x² = 27x². 3 · 3x = 9x. Và + 1.

### 2:04 Lập phương của một hiệu

Còn (a − b)³ thì sao? Viết a − b = a + (−b), rồi thay b bằng −b trong công thức vừa học. (−b)² dương; (−b)³ âm. Được: (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³. Hệ số vẫn là 1, 3, 3, 1. Còn dấu thì xen kẽ: +, −, +, −. Ví dụ 1: 19³, với 19 = 20 − 1. 8000 − 1200 + 60 − 1 = 6859. Ví dụ 2: (y − 4)³. = y³ − 12y² + 48y − 64. Chú ý hạng tử cuối: 4³ mang dấu trừ.

### 3:02 Ghi nhớ và 3 lỗi hay gặp

Ghi nhớ hai hằng đẳng thức: cùng hệ số 1, 3, 3, 1; lập phương của một hiệu thì dấu xen kẽ. Ba lỗi hay gặp. Lỗi 1: viết (a + b)³ = a³ + b³. Sai! Thử số: 27, không phải 9. Lỗi 2: quên hệ số 3. (x + 1)³ phải có 3x² và 3x. Lỗi 3: sai dấu. (m − 2)³ có hạng tử thứ ba là +12m, không phải −12m. Giờ ta luyện ba dạng bài.

### 3:43 Dạng 1: Khai triển

Dạng một: khai triển. Cách làm: xác định a và b, kể cả hệ số. Viết 4 hạng tử theo công thức, a và b đặt trong ngoặc, rồi tính từng hạng tử. Bài một. Khai triển hai biểu thức sau. Bạn hãy tạm dừng video và thử làm. Câu a: a = x, b = 5. x³ + 3 · x² · 5 + 3 · x · 25 + 5³ = x³ + 15x² + 75x + 125. Câu b: lập phương của một hiệu, a = 4y, b = 1. Có bạn viết hạng tử đầu là 4y³. Sai! Phải là 64y³. − 3 · 16y² = −48y². + 3 · 4y = 12y. − 1.

### 4:40 Dạng 2: Viết thành lập phương

Dạng hai: viết thành lập phương. Cách làm: tìm hai lập phương ở hai đầu, suy ra a và b. Kiểm tra cả hai hạng tử giữa. Dấu xen kẽ thì là một hiệu. Bài hai. Viết mỗi biểu thức thành lập phương, nếu được. Bạn hãy tạm dừng video và thử làm. Câu a: x³, và 64 = 4³. Vậy a = x, b = 4. Kiểm tra: 3 · x² · 4 = 12x². 3 · x · 16 = 48x. Khớp cả hai! Vậy câu a = (x + 4)³. Câu b: 125 = 5³, cuối là y³, dấu xen kẽ. Vậy a = 5, b = y. 75y, 15y²: đều khớp. Kết quả: (5 − y)³. Câu c: x³ và 8, gợi ý a = x, b = 2. Hạng tử thứ hai 6x²: khớp. Nhưng hạng tử thứ ba phải là 12x, mà đề chỉ có 6x. Vậy câu c không viết được thành lập phương. Luôn kiểm tra đủ cả hai hạng tử giữa!

### 6:02 Dạng 3: Tính giá trị, rút gọn

Dạng ba: tính giá trị và rút gọn. Cách làm: viết biểu thức thành lập phương rồi mới thay số. Khi rút gọn, khai triển từng lập phương trong ngoặc, rồi thu gọn. Bài 3. Tính giá trị biểu thức tại x = 22. Tạm dừng video và thử nhé. Đừng vội thay số! Biểu thức có dạng lập phương của một hiệu, với a = x, b = 2. Nên nó bằng (x − 2)³. Tại x = 22: 20³ = 8000. Bài 4. Hai hộp quà hình lập phương, cạnh x + 1 và x − 1 (dm). Hộp lớn có thể tích lớn hơn hộp nhỏ bao nhiêu? Tạm dừng và thử nhé. Hiệu thể tích: (x + 1)³ − (x − 1)³. Khai triển từng cái. Cái thứ hai đặt trong ngoặc, vì phía trước có dấu trừ. Bỏ ngoặc thì đổi dấu mọi hạng tử bên trong. x³ triệt tiêu, 3x² + 3x² = 6x², 3x triệt tiêu, 1 + 1 = 2. Hộp lớn hơn 6x² + 2 (dm³). Với x = 5: 152 dm³.

### 7:25 Kết bài

Tóm lại. Lập phương của một tổng: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³. Lập phương của một hiệu: cùng hệ số 1, 3, 3, 1, dấu xen kẽ. Và nhớ: (a + b)³ ≠ a³ + b³. Làm thêm phiếu bài tập để nhớ lâu nhé!