# Tổng và hiệu hai lập phương – Toán lớp 8, Bài 8 > Hai hằng đẳng thức cuối cùng trong "bảy hằng đẳng thức đáng nhớ". Chúng biến một tổng/hiệu hai lập phương thành tích (và ngược lại), giúp viết thành tích, rút gọn và tính nhanh. - Trang bài: https://anim.vn/lop-8/toan/bai-08-tong-va-hieu-hai-lap-phuong/ - Video: https://youtu.be/r8Td4v29i6M (7:56) - Thuộc: Toán lớp 8 · Bài 8 - Bài tập về nhà (PDF, có lời giải): https://anim.vn/media/lop8-toan-bai-08/bai-tap-ve-nha.pdf ## Mục lục video - 0:00 Mở đầu: 7³ + 3³ = ? - 0:19 Tổng hai lập phương - 1:25 Hiệu hai lập phương - 2:33 Ba bẫy hay gặp - 3:12 Dạng 1: Viết thành tích - 4:28 Dạng 2: Nhận dạng tích ↔ tổng, hiệu - 5:39 Dạng 3: Rút gọn biểu thức - 6:31 Dạng 4: Tính nhanh, tính giá trị - 7:36 Kết bài Hai hằng đẳng thức cuối cùng trong "bảy hằng đẳng thức đáng nhớ". Chúng biến một **tổng/hiệu hai lập phương** thành **tích** (và ngược lại), giúp viết thành tích, rút gọn và tính nhanh. ## 1. Tổng hai lập phương $$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$$ Kiểm tra bằng cách nhân ngược lại: $(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 - a^2b + ab^2 + a^2b - ab^2 + b^3 = a^3 + b^3.$ Các hạng tử $-a^2b$ với $+a^2b$, $+ab^2$ với $-ab^2$ **triệt tiêu từng cặp**, chỉ còn hai lập phương. Ngoặc $a^2 - ab + b^2$ gọi là **bình phương thiếu của hiệu**: giống $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ nhưng **thiếu số 2**. - *Ví dụ 1 (tính nhanh).* Hai khối gỗ lập phương cạnh 7 cm và 3 cm. Tổng thể tích: $7^3 + 3^3 = (7 + 3)(49 - 21 + 9) = 10 \cdot 37 = 370$ (cm³). Không cần tính $343 + 27$. - *Ví dụ 2 (nhận ra lập phương).* $125x^3 + 1 = (5x)^3 + 1^3 = (5x + 1)(25x^2 - 5x + 1)$. Mẹo: $125x^3$ là lập phương của $5x$ vì $5^3 = 125$. ## 2. Hiệu hai lập phương $$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$$ Cách nhớ: thay $b$ bằng $-b$ trong công thức tổng, mọi dấu có $b$ mũ lẻ đổi chiều. Ngoặc $a^2 + ab + b^2$ là **bình phương thiếu của tổng**. - *Ví dụ 1 (tính nhanh).* Một khối rubik cạnh 12 cm bị khoét một khối nhỏ cạnh 2 cm. Thể tích còn lại: $12^3 - 2^3 = (12 - 2)(144 + 24 + 4) = 10 \cdot 172 = 1720$ (cm³). - *Ví dụ 2.* $1000 - y^3 = 10^3 - y^3 = (10 - y)(100 + 10y + y^2)$. **Mẹo dấu:** ngoặc nhỏ **cùng dấu** với vế trái; hạng tử giữa $ab$ của ngoặc lớn **ngược dấu**; $a^2$ và $b^2$ luôn là dấu cộng. | Vế trái | Ngoặc nhỏ | Ngoặc lớn | |---|---|---| | $a^3 + b^3$ | $a + b$ | $a^2 \mathbin{\mathbf{-}} ab + b^2$ | | $a^3 - b^3$ | $a - b$ | $a^2 \mathbin{\mathbf{+}} ab + b^2$ | ## Bảng kí hiệu | Viết | Đọc | Ý nghĩa | |---|---|---| | $a^3$ | a lập phương (a mũ ba) | $a \cdot a \cdot a$ | | $(2x)^3$ | hai x, tất cả lập phương | $= 8x^3$ | | $a^2 - ab + b^2$ | bình phương thiếu của hiệu | khác $(a - b)^2$ | | $a^2 + ab + b^2$ | bình phương thiếu của tổng | khác $(a + b)^2$ | ## Lỗi hay gặp 1. **Nhầm bình phương thiếu với bình phương đủ:** viết $a^3 + b^3 = (a + b)(a - b)^2$. Sai, vì $(a - b)^2$ có $-2ab$, còn bình phương thiếu chỉ có $-ab$. 2. **Sai dấu trong bình phương thiếu:** $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 - ab + b^2)$ là sai. Hiệu thì hạng tử giữa phải là $+ab$. 3. **Nhầm $a^3 + b^3$ với $(a + b)^3$:** thử $a = b = 1$: $1^3 + 1^3 = 2$ nhưng $(1 + 1)^3 = 8$. 4. **Quên lập phương cả hệ số:** $(3x)^3 = 27x^3$, không phải $3x^3$. 5. **Trừ một tích mà quên đổi dấu:** $-(x^3 - y^3) = -x^3 + y^3$. ## Bài tập theo dạng ### Dạng 1: Viết thành tích Cách làm: viết mỗi hạng tử thành lập phương của một biểu thức ($A^3$, $B^3$) → xác định tổng hay hiệu → áp công thức. **Bài 1.** Viết thành tích: a) $x^3 + 216$ b) $343a^3 - b^3$ c) $(x - 1)^3 + 1$
Đáp án a) $x^3 + 6^3 = (x + 6)(x^2 - 6x + 36)$. b) $(7a)^3 - b^3 = (7a - b)(49a^2 + 7ab + b^2)$. Hiệu nên giữa là **cộng** $7ab$. c) $A = x - 1$, $B = 1$: $(x - 1 + 1)\big[(x - 1)^2 - (x - 1) + 1\big] = x(x^2 - 3x + 3)$.
### Dạng 2: Nhận dạng tích ↔ tổng, hiệu Cách làm: tìm $A$, $B$ ở ngoặc nhỏ → kiểm tra ngoặc lớn có đúng là $A^2 \mp AB + B^2$ không → viết gọn thành $A^3 \pm B^3$. **Bài 2.** a) Viết $(y - 5)(y^2 + 5y + 25)$ thành hiệu hai lập phương. b) Điền vào ô trống: $(2a + 3b)(4a^2 - \square + 9b^2) = 8a^3 + 27b^3$. c) Bạn Minh viết $(x + 1)^3 = x^3 + 1$. Đúng hay sai?
Đáp án a) $A = y$, $B = 5$: $y^3 - 125$. b) $A = 2a$, $B = 3b$ nên ô trống là $AB = 6ab$ (không phải $12ab$, đó là của bình phương đủ). c) Sai. $(x + 1)^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1$, còn $x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1)$. Thử $x = 1$: $8 \ne 2$.
### Dạng 3: Rút gọn biểu thức Cách làm: nhận ra tích có dạng hằng đẳng thức → thay bằng $A^3 \pm B^3$ → bỏ ngoặc (chú ý dấu trừ trước ngoặc) → thu gọn. **Bài 3.** Rút gọn: a) $(a - 2)(a^2 + 2a + 4) - a(a^2 - 3)$ b) $(x + y)(x^2 - xy + y^2) - (x - y)(x^2 + xy + y^2)$
Đáp án a) $= a^3 - 8 - a^3 + 3a = 3a - 8$. b) $= (x^3 + y^3) - (x^3 - y^3) = x^3 + y^3 - x^3 + y^3 = 2y^3$.
### Dạng 4: Tính nhanh, tính giá trị Cách làm: đưa về $A^3 \pm B^3$ rồi dùng dạng tích (hoặc ngược lại) để số đẹp hơn; nếu biết $a + b$ và $ab$ thì dùng $a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab$. **Bài 4.** a) Hai hộp quà lập phương cạnh 13 cm và 7 cm. Tính tổng thể tích mà không cần máy tính. b) Biết $a + b = 5$ và $ab = 6$. Tính $a^3 + b^3$.
Đáp án a) $13^3 + 7^3 = (13 + 7)(169 - 91 + 49) = 20 \cdot 127 = 2540$ (cm³). b) $a^2 - ab + b^2 = (a + b)^2 - 3ab = 25 - 18 = 7$, nên $a^3 + b^3 = 5 \cdot 7 = 35$. (Kiểm tra: $a = 2$, $b = 3$ cho $8 + 27 = 35$.)
## Trò chơi ở nhà (5 phút): "Lập phương ai nhanh hơn" Hai người, một tờ giấy. Người A đọc hai số nhỏ (từ 1 đến 12), ví dụ "11 và 9". Người B tính **tổng hai lập phương** bằng công thức: $(11 + 9)(121 - 99 + 81) = 20 \cdot 103 = 2060$. Người A tính cách thường ($1331 + 729$) bằng máy tính. Ai ra trước được 1 điểm, sai dấu thì mất lượt. Mẹo: chọn cặp số có tổng tròn chục (11 và 9, 13 và 7, 6 và 4) thì cách công thức luôn thắng! ## Lời thoại video ### 0:00 Mở đầu: 7³ + 3³ = ? Hai khối gỗ lập phương: cạnh 7 cm và cạnh 3 cm. Tổng thể tích: 7³ + 3³. Bạn có tính nhẩm được trong năm giây không? Hôm nay ta học hai hằng đẳng thức giúp việc này nhẹ hẳn: tổng và hiệu hai lập phương. ### 0:19 Tổng hai lập phương Xét tích: (a + b)(a² − ab + b²). Nhân a với ngoặc: a³ − a²b + ab². Nhân b với ngoặc: a²b − ab² + b³. Nhìn kỹ: các hạng tử triệt tiêu nhau từng cặp. Chỉ còn lại a³ + b³! Đó là hằng đẳng thức tổng hai lập phương. Ngoặc thứ hai là bình phương thiếu của hiệu: giống (a − b)² nhưng thiếu số 2. Ví dụ 1: 7³ + 3³ = (7 + 3)(49 − 21 + 9). = 10 · 37 = 370 cm³. Nhẩm được ngay! Ví dụ 2: 125x³ + 1 = (5x)³ + 1³. = (5x + 1)(25x² − 5x + 1). ### 1:25 Hiệu hai lập phương Còn hiệu hai lập phương? Thay b bằng −b trong công thức tổng. Mọi chỗ có b mũ lẻ đều đổi dấu: −ab thành +ab. Riêng b² vẫn là dấu cộng. a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²). Ngoặc này gọi là bình phương thiếu của tổng. Mẹo nhớ dấu: ngoặc nhỏ cùng dấu với vế trái, hạng tử giữa của ngoặc lớn thì ngược dấu. Ví dụ 1: khối rubik cạnh 12 cm bị khoét một khối nhỏ cạnh 2 cm. Thể tích còn lại: 12³ − 2³ = 10 · (144 + 24 + 4). = 10 · 172 = 1720 cm³. Ví dụ 2: 1000 − y³ = 10³ − y³ = (10 − y)(100 + 10y + y²). ### 2:33 Ba bẫy hay gặp Trước khi luyện tập, hãy né ba cái bẫy. Bẫy 1: viết ngoặc lớn thành (a − b)². Sai! (a − b)² có −2ab, bình phương thiếu chỉ có −ab. Bẫy 2: sai dấu. Hiệu hai lập phương thì hạng tử giữa là +ab, không phải −ab. Bẫy 3: nghĩ rằng a³ + b³ = (a + b)³. Thử a = 1, b = 1: vế trái = 2, vế phải = 8. Khác xa! ### 3:12 Dạng 1: Viết thành tích Dạng một: viết thành tích. Cách làm: viết mỗi hạng tử thành lập phương, xem là tổng hay hiệu, rồi áp công thức. Bài một có ba câu. Bạn hãy tạm dừng video và thử làm. Câu a: x³ + 216. Mà 216 = 6³. = (x + 6)(x² − 6x + 36). Câu b: 343a³ − b³ = (7a)³ − b³. Nhiều bạn viết −7ab ở giữa. Sai dấu rồi! Hiệu thì giữa phải là +. Đáp án: (7a − b)(49a² + 7ab + b²). Câu c: (x − 1)³ + 1. Lần này A = x − 1, B = 1. Ngoặc nhỏ: x − 1 + 1 = x. Ngoặc lớn khai triển: x² − 3x + 3. Kết quả: x(x² − 3x + 3). ### 4:28 Dạng 2: Nhận dạng tích ↔ tổng, hiệu Dạng 2: nhận dạng tích ↔ tổng, hiệu. Cách làm: tìm a và bê ở ngoặc nhỏ, kiểm tra ngoặc lớn là bình phương thiếu, rồi viết gọn. Bài hai. Tạm dừng video và thử làm nhé. Câu a: (y − 5)(y² + 5y + 25). a = y, b = 5; ngoặc lớn đúng là bình phương thiếu của tổng. Vậy tích = y³ − 125. Câu b: điền ô trống để được 8a³ + 27b³. Hai biểu thức là 2a và 3b. Có bạn điền 12ab, vì nhớ tới bình phương của hiệu. Sai rồi! Bình phương thiếu chỉ cần tích: 2a · 3b = 6ab. Câu c: bạn Minh viết (x + 1)³ = x³ + 1. Đúng hay sai? Thử x = 1: vế trái = 8, vế phải = 2. Minh sai! Đúng ra: x³ + 1 = (x + 1)(x² − x + 1). ### 5:39 Dạng 3: Rút gọn biểu thức Dạng ba: rút gọn biểu thức. Cách làm: thay tích có dạng hằng đẳng thức bằng tổng hoặc hiệu hai lập phương, bỏ ngoặc rồi thu gọn. Bài ba. Tạm dừng và thử nhé. Câu a: tích đầu là hiệu hai lập phương = a³ − 8. Phần sau: a(a² − 3) = a³ − 3a; có dấu trừ phía trước nên thành −a³ + 3a. a³ triệt tiêu, còn lại 3a − 8. Câu b: tích thứ nhất = x³ + y³, tích thứ hai = x³ − y³. Bẫy: trừ cả ngoặc, nên −y³ đổi thành +y³. x³ triệt tiêu, còn lại 2y³. ### 6:31 Dạng 4: Tính nhanh, tính giá trị Dạng bốn: tính nhanh và tính giá trị. Cách làm: đưa về tổng hoặc hiệu hai lập phương, rồi dùng dạng tích cho số tròn hơn. Câu a: hai hộp quà lập phương cạnh 13 cm và 7 cm. Tính tổng thể tích không dùng máy tính. Tạm dừng và thử nhé. 13 + 7 = 20, số tròn! Nên ta dùng công thức tổng. Ngoặc lớn: 169 − 91 + 49 = 127. 20 · 127 = 2540 cm³. Câu b: biết a + b = 5, ab = 6. Tính a³ + b³. Mẹo: a² + b² = (a + b)² − 2ab. Nên ngoặc lớn = 25 − 3 · 6 = 7. Vậy a³ + b³ = 5 · 7 = 35. ### 7:36 Kết bài Tóm lại: a³ + b³ = (a + b) · bình phương thiếu của hiệu. a³ − b³ = (a − b) · bình phương thiếu của tổng. Ngoặc nhỏ cùng dấu, hạng tử giữa ngược dấu, và không có số hai. Làm thêm phiếu bài tập về nhà để nhớ thật lâu nhé!