# Phân tích đa thức thành nhân tử – Toán lớp 8, Bài 9

> Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là viết đa thức đó thành một tích của những đa thức. Mỗi thừa số của tích gọi là một nhân tử.

- Trang bài: https://anim.vn/lop-8/toan/bai-09-phan-tich-da-thuc-thanh-nhan-tu/
- Video: https://youtu.be/oNynVS6GU2E (8:42)
- Thuộc: Toán lớp 8 · Bài 9
- Bài tập về nhà (PDF, có lời giải): https://anim.vn/media/lop8-toan-bai-09/bai-tap-ve-nha.pdf

## Mục lục video

- 0:00 Mở đầu: x² − 5x = 0
- 0:22 Đặt nhân tử chung
- 1:16 Dùng hằng đẳng thức
- 2:07 Nhóm hạng tử
- 3:12 Ứng dụng: tìm x, tính nhanh
- 3:45 Dạng 1: Đặt nhân tử chung
- 4:53 Dạng 2: Dùng hằng đẳng thức
- 6:03 Dạng 3: Nhóm hạng tử
- 7:24 Dạng 4: Tìm x, tính nhanh
- 8:23 Kết bài

**Phân tích đa thức thành nhân tử** (hay *thừa số*) là viết đa thức đó thành **một tích** của những đa thức. Mỗi thừa số của tích gọi là một **nhân tử**.

Đây là chiều **ngược** của phép nhân đa thức:

$$x(x - 5) \;\xrightarrow{\text{nhân}}\; x^2 - 5x \;\xrightarrow{\text{phân tích}}\; x(x - 5)$$

Có ba cách cơ bản. Bạn nên thử theo thứ tự: **đặt nhân tử chung → hằng đẳng thức → nhóm hạng tử**, và thường phải **phối hợp** nhiều cách trong cùng một bài.

## 1. Đặt nhân tử chung

Nếu mọi hạng tử cùng chứa một nhân tử, ta đưa nhân tử đó ra ngoài ngoặc: $AB + AC = A(B + C)$.

Cách tìm nhân tử chung của các đơn thức:
- **phần số**: ước chung lớn nhất (ƯCLN) của các hệ số;
- **phần biến**: các biến có mặt trong **mọi** hạng tử, mỗi biến lấy **số mũ nhỏ nhất**.

Sau đó chia từng hạng tử cho nhân tử chung để biết trong ngoặc có gì.

- *Ví dụ 1 (đời sống).* Mua 3 hộp sữa, mỗi hộp $x$ nghìn đồng, và 3 gói bánh, mỗi gói $y$ nghìn đồng. Tổng tiền $3x + 3y$. Nếu gói thành 3 phần quà, mỗi phần một hộp sữa và một gói bánh, thì tổng tiền là $3(x + y)$. Vậy $3x + 3y = 3(x + y)$: số 3 có mặt ở cả hai hạng tử được "hút" ra ngoài ngoặc.
- *Ví dụ 2.* $6x^3 - 9x^2$. ƯCLN$(6, 9) = 3$; biến $x$ có mũ nhỏ nhất là 2. Nhân tử chung $3x^2$:
  $$6x^3 - 9x^2 = 3x^2 \cdot 2x - 3x^2 \cdot 3 = 3x^2(2x - 3).$$
  **Kiểm tra** bằng cách nhân ngược: $3x^2 \cdot 2x = 6x^3$, $3x^2 \cdot (-3) = -9x^2$. Đúng!

Nhân tử chung có thể là cả một đa thức: $2x(y - 3) + 7(y - 3) = (y - 3)(2x + 7)$.

## 2. Dùng hằng đẳng thức

Đọc các hằng đẳng thức đáng nhớ theo chiều **tổng → tích**:

| Dạng tổng | Dạng tích |
|---|---|
| $A^2 + 2AB + B^2$ | $(A + B)^2$ |
| $A^2 - 2AB + B^2$ | $(A - B)^2$ |
| $A^2 - B^2$ | $(A - B)(A + B)$ |
| $A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3$ | $(A + B)^3$ |
| $A^3 - 3A^2B + 3AB^2 - B^3$ | $(A - B)^3$ |
| $A^3 + B^3$ | $(A + B)(A^2 - AB + B^2)$ |
| $A^3 - B^3$ | $(A - B)(A^2 + AB + B^2)$ |

Mẹo nhận dạng: **đếm số hạng tử**, rồi tìm xem hạng tử nào là bình phương, lập phương của cái gì.

- *Ví dụ 1 (đời sống).* Khu đất hình vuông cạnh $x$ mét, ở một góc có bồn hoa hình vuông cạnh 2 m. Phần trồng cỏ có diện tích $x^2 - 4$. Cắt phần cỏ (hình chữ L) thành hai hình chữ nhật rồi ghép lại, ta được một hình chữ nhật dài $x + 2$, rộng $x - 2$. Vậy $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$.
- *Ví dụ 2.* $25x^2 - 20x + 4$: ba hạng tử; $25x^2 = (5x)^2$, $4 = 2^2$, hạng tử giữa $2 \cdot 5x \cdot 2 = 20x$. Vậy
  $$25x^2 - 20x + 4 = (5x - 2)^2.$$

## 3. Nhóm hạng tử

Khi cả đa thức không có nhân tử chung, ta **ghép vài hạng tử thành nhóm** sao cho mỗi nhóm có nhân tử chung (hoặc là một hằng đẳng thức), và sau khi phân tích từng nhóm thì **các nhóm lại có nhân tử chung với nhau**.

- *Ví dụ 1 (đời sống).* Lớp có $a$ bạn nam và $b$ bạn nữ, mỗi bạn được $x$ cái kẹo và $y$ cái bánh. Đếm từng loại: $ax + ay + bx + by$.
  $$= (ax + ay) + (bx + by) = a(x + y) + b(x + y) = (a + b)(x + y)$$
  đúng là *số bạn × số quà của mỗi bạn*.
- *Ví dụ 2 (bẫy dấu).* $x^2 - 3x - xy + 3y$
  $$= (x^2 - 3x) - (xy - 3y) = x(x - 3) - y(x - 3) = (x - 3)(x - y).$$
  Đưa dấu trừ ra trước ngoặc thì **mọi** hạng tử trong ngoặc đổi dấu: $-xy + 3y = -(xy - 3y)$, không phải $-(xy + 3y)$.

Có thể có nhiều cách nhóm. Nhóm xong mà các nhóm không có nhân tử chung thì thử cách nhóm khác.

## 4. Ứng dụng

**Tìm $x$.** Một tích bằng 0 khi có ít nhất một nhân tử bằng 0: $A \cdot B = 0 \Rightarrow A = 0$ hoặc $B = 0$.

- *Ví dụ.* $x^2 - 5x = 0 \Rightarrow x(x - 5) = 0 \Rightarrow x = 0$ hoặc $x = 5$. Nếu chia hai vế cho $x$ ta chỉ còn $x = 5$ và **mất nghiệm $x = 0$**.

**Tính nhanh.** Phân tích trước, thay số sau.

- *Ví dụ.* $73^2 - 27^2 = (73 - 27)(73 + 27) = 46 \cdot 100 = 4\,600$.

## Bảng kí hiệu

| Viết | Đọc | Ý nghĩa |
|---|---|---|
| $3x^2(2x - 3)$ | ba x bình phương nhân ngoặc hai x trừ ba | tích của hai nhân tử $3x^2$ và $2x - 3$ |
| $(x - 2)^3$ | ngoặc x trừ hai, tất cả mũ ba | lập phương của $x - 2$ |
| $-(4a - 4b)$ | trừ ngoặc bốn a trừ bốn b | $= -4a + 4b$ |
| $A \cdot B = 0$ | A nhân B bằng không | $A = 0$ hoặc $B = 0$ |

## Lỗi hay gặp

1. **Chưa phân tích triệt để**: $x^3 - 16x = x(x^2 - 16)$ mới xong một bước; phải viết tiếp $= x(x - 4)(x + 4)$. Luôn nhìn lại từng nhân tử xem còn phân tích được không.
2. **Nhân tử chung chưa "lớn nhất"**: $6x^3 - 9x^2 = 3x(2x^2 - 3x)$ vẫn đúng nhưng trong ngoặc còn nhân tử chung $x$.
3. **Quên số 1** khi rút hết một hạng tử: $5x^3 - 10x^2 + 5x = 5x(x^2 - 2x + 1)$, **không phải** $5x(x^2 - 2x)$.
4. **Nhóm sai dấu**: $-4a + 4b = -(4a - 4b)$.
5. **Chia hai vế cho biến** khi tìm $x$: mất nghiệm $x = 0$.

Mẹo: sau khi phân tích, **nhân ngược lại** để kiểm tra.

## Bài tập theo dạng

### Dạng 1: Đặt nhân tử chung

**Bài 1.** Phân tích thành nhân tử: a) $8a^2b - 12ab^2$ · b) $5x^3 - 10x^2 + 5x$ · c) $2x(y - 3) + 7(y - 3)$

<details><summary>Đáp án</summary>

a) ƯCLN$(8, 12) = 4$, biến chung $ab$: $8a^2b - 12ab^2 = 4ab(2a - 3b)$.
b) $5x^3 - 10x^2 + 5x = 5x(x^2 - 2x + 1) = 5x(x - 1)^2$ (đừng quên số 1, và phân tích tiếp trong ngoặc).
c) Nhân tử chung là $(y - 3)$: $(y - 3)(2x + 7)$.
</details>

### Dạng 2: Dùng hằng đẳng thức

**Bài 2.** Phân tích thành nhân tử: a) $9x^2 - 16y^2$ · b) $x^3 - 6x^2 + 12x - 8$ · c) $3x^3 - 24$

<details><summary>Đáp án</summary>

a) $(3x)^2 - (4y)^2 = (3x - 4y)(3x + 4y)$.
b) $x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^2 - 2^3 = (x - 2)^3$.
c) $3(x^3 - 8) = 3(x - 2)(x^2 + 2x + 4)$.
</details>

### Dạng 3: Nhóm hạng tử

**Bài 3.** Phân tích thành nhân tử: a) $xy + 5x + 2y + 10$ · b) $a^2 - ab - 4a + 4b$ · c) $x^2 - 2x + 1 - y^2$

<details><summary>Đáp án</summary>

a) $x(y + 5) + 2(y + 5) = (y + 5)(x + 2)$.
b) $(a^2 - ab) - (4a - 4b) = a(a - b) - 4(a - b) = (a - b)(a - 4)$.
c) $(x - 1)^2 - y^2 = (x - 1 - y)(x - 1 + y)$.
</details>

### Dạng 4: Tìm x và tính nhanh

**Bài 4.** a) Tìm $x$, biết $x^3 = 9x$. b) Tính nhanh $x^2 + xy - 5x - 5y$ tại $x = 105$, $y = -5$.

<details><summary>Đáp án</summary>

a) $x^3 - 9x = 0 \Rightarrow x(x - 3)(x + 3) = 0 \Rightarrow x \in \{0;\ 3;\ -3\}$.
b) $x(x + y) - 5(x + y) = (x + y)(x - 5) = 100 \cdot 100 = 10\,000$.
</details>

## Trò chơi ở nhà (5 phút): "Gói quà"

Dùng kẹo (hoặc bút, cúc áo) của hai loại. Người lớn bày ra, chẳng hạn, 4 đĩa, mỗi đĩa 2 viên kẹo đỏ và 3 viên kẹo xanh. Bạn viết tổng số kẹo theo hai cách:
- đếm từng loại: $4 \cdot 2 + 4 \cdot 3$;
- đếm từng đĩa: $4 \cdot (2 + 3)$.

Đổi vai: bạn bày, người lớn viết. Sau đó thay số kẹo mỗi đĩa bằng chữ $x$, $y$ và số đĩa bằng chữ $a$: bạn vừa "đặt nhân tử chung" $ax + ay = a(x + y)$ bằng tay!

## Lời thoại video

### 0:00 Mở đầu: x² − 5x = 0

Tìm x, biết x² − 5x = 0. Nhiều bạn nhẩm ra ngay x = 5. Nhưng còn một số nữa, bạn có thấy không? Bí quyết là biến tổng này thành một tích: x(x − 5). Việc đó gọi là phân tích đa thức thành nhân tử, chiều ngược lại của phép nhân.

### 0:22 Đặt nhân tử chung

Phân tích đa thức thành nhân tử là viết đa thức đó thành một tích của những đa thức. Cách thứ nhất: đặt nhân tử chung. Ví dụ: mua 3 hộp sữa, mỗi hộp x nghìn, và 3 gói bánh, mỗi gói y nghìn. Tổng tiền là 3x + 3y. Gói thành 3 phần quà, mỗi phần một sữa một bánh: 3(x + y). Số 3 chung được đưa ra ngoài ngoặc. Ví dụ 2: 6x³ − 9x². Phần số: ƯCLN(6, 9) = 3. Phần biến: x với số mũ nhỏ nhất, là x². Viết mỗi hạng tử thành 3x² nhân phần còn lại, rồi đưa 3x² ra ngoài. Được 3x²(2x − 3). Nhân ngược lại để kiểm tra: đúng bằng đa thức ban đầu.

### 1:16 Dùng hằng đẳng thức

Cách thứ hai: dùng hằng đẳng thức, theo chiều biến tổng thành tích. Ví dụ: khu đất hình vuông cạnh x mét, ở góc có bồn hoa hình vuông cạnh 2 m. Phần trồng cỏ có diện tích x² − 4. Cắt phần này thành hai hình chữ nhật rồi ghép lại: được hình chữ nhật dài x + 2, rộng x − 2. Vậy x² − 4 = (x − 2)(x + 2): đúng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương. Ví dụ 2: 25x² − 20x + 4. Đầu và cuối là (5x)² và 2². Hạng tử giữa: 2 · 5x · 2 = 20x. Vậy đây là bình phương của một hiệu: (5x − 2)².

### 2:07 Nhóm hạng tử

Cách thứ ba: nhóm hạng tử. Ví dụ: lớp có a bạn nam và b bạn nữ, mỗi bạn được x cái kẹo và y cái bánh. Đếm từng loại: ax + ay + bx + by. Cả bốn hạng tử không có nhân tử chung. Nhưng hai hạng tử đầu có chung a, hai hạng tử sau có chung b. Được a(x + y) + b(x + y). Giờ (x + y) lại là nhân tử chung. Kết quả: (a + b)(x + y). Ví dụ 2: x² − 3x − xy + 3y. Đưa dấu trừ ra trước ngoặc thì phải đổi dấu: −(xy − 3y). Viết +3y là sai. Được x(x − 3) − y(x − 3) = (x − 3)(x − y). Nhóm xong mà các nhóm không có nhân tử chung, hãy thử cách nhóm khác.

### 3:12 Ứng dụng: tìm x, tính nhanh

Phân tích thành nhân tử để làm gì? Thứ nhất: tìm x. Một tích bằng không khi có một nhân tử bằng không. Câu đố lúc nãy: x(x − 5) = 0, nên x = 0 hoặc x = 5. Số bị bỏ quên chính là số 0! Chia hai vế cho x sẽ làm mất nghiệm này. Thứ hai: tính nhanh 73² − 27². Dùng hiệu hai bình phương: = 46 · 100 = 4 600.

### 3:45 Dạng 1: Đặt nhân tử chung

Dạng một: đặt nhân tử chung. Cách làm: ƯCLN các hệ số nhân với biến chung có số mũ nhỏ nhất; rồi chia từng hạng tử cho nhân tử chung. Bài một. Bạn hãy tạm dừng video và thử làm. Câu a: 8a²b − 12ab². ƯCLN(8, 12) = 4, biến chung là ab. Kết quả: 4ab(2a − 3b). Câu b: 5x³ − 10x² + 5x. Nhân tử chung là 5x. Hạng tử cuối chia cho 5x được 1, đừng quên số 1 này. Chưa xong! Trong ngoặc là (x − 1)². Kết quả: 5x(x − 1)². Câu c: 2x(y − 3) + 7(y − 3). Nhân tử chung là cả (y − 3). Kết quả: (y − 3)(2x + 7).

### 4:53 Dạng 2: Dùng hằng đẳng thức

Dạng hai: dùng hằng đẳng thức. Cách làm: có nhân tử chung thì đặt ra trước; viết các hạng tử thành bình phương hay lập phương, rồi so với hằng đẳng thức. Bài hai. Bạn hãy tạm dừng video và thử làm. Câu a: 9x² − 16y². Đó là (3x)² − (4y)². Kết quả: (3x − 4y)(3x + 4y). Câu b: x³ − 6x² + 12x − 8. Đầu và cuối là x³ và 2³. Hai hạng tử giữa: 3 · x² · 2 và 3 · x · 2². Khớp! Kết quả: (x − 2)³. Câu c: 3x³ − 24. Đặt 3 ra trước: 3(x³ − 8). Trong ngoặc là hiệu hai lập phương. Kết quả: 3(x − 2)(x² + 2x + 4).

### 6:03 Dạng 3: Nhóm hạng tử

Dạng ba: nhóm hạng tử. Cách làm: ghép các hạng tử có nhân tử chung, hoặc ghép thành hằng đẳng thức. Có dấu trừ trước ngoặc thì đổi dấu trong ngoặc. Bài ba. Bạn hãy tạm dừng video và thử làm. Câu a: xy + 5x + 2y + 10. Nhóm xy với 5x, có chung x; nhóm 2y với 10, có chung 2. Được x(y + 5) + 2(y + 5) = (y + 5)(x + 2). Câu b: a² − ab − 4a + 4b. Nhóm hai hạng tử sau: −(4a + 4b) là sai dấu. Đúng phải là −(4a − 4b). Tiếp tục, được (a − b)(a − 4). Câu c: x² − 2x + 1 − y². Ba hạng tử đầu là (x − 1)². Nhóm lại, ta được hiệu hai bình phương. Kết quả: (x − 1 − y)(x − 1 + y).

### 7:24 Dạng 4: Tìm x, tính nhanh

Dạng bốn: tìm x và tính nhanh. Cách làm: chuyển vế cho vế phải bằng không, phân tích vế trái thành nhân tử, rồi cho từng nhân tử bằng không. Tính nhanh: phân tích trước, thay số sau. Bài bốn. Bạn hãy tạm dừng video và thử làm. Câu a: tìm x, biết x³ = 9x. Chuyển vế: x³ − 9x = 0. Phân tích: x(x − 3)(x + 3) = 0. Vậy x = 0, x = 3 hoặc x = −3. Chia hai vế cho x là mất nghiệm 0. Câu b: tính x² + xy − 5x − 5y tại x = 105, y = −5. Nhóm lại, được (x + y)(x − 5). Thay số: 100 · 100 = 10 000.

### 8:23 Kết bài

Tóm lại: phân tích đa thức thành nhân tử là biến tổng thành tích, bằng ba cách: đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm hạng tử. Nhớ phân tích đến cùng, không quên số 1, đổi dấu khi có trừ trước ngoặc, và nhân ngược lại để kiểm tra. Làm thêm phiếu bài tập về nhà nhé!