# Hình thang cân – Toán lớp 8, Bài 11
> Bài 11 Toán lớp 8: Hình thang cân. Nội dung: ý chính trong một câu, hình thang, hình thang cân là gì?, tính chất: cạnh bên và đường chéo, dấu hiệu nhận biết, bảng kí hiệu, lỗi hay gặp, bài tập theo dạng, trò chơi ở nhà (5 phút): "Sợi dây thám tử".
- Trang bài: https://anim.vn/lop-8/toan/bai-11-hinh-thang-can/
- Video: https://youtu.be/0GnIaycwt18 (7:53)
- Thuộc: Toán lớp 8 · Bài 11
- Bài tập về nhà (PDF, có lời giải): https://anim.vn/media/lop8-toan-bai-11/bai-tap-ve-nha.pdf
## Mục lục video
- 0:00 Mở đầu
- 0:22 Hình thang
- 1:12 Hình thang cân là gì?
- 1:47 Cạnh bên và đường chéo
- 2:31 Dấu hiệu nhận biết
- 3:07 Tóm tắt
- 3:29 Dạng 1: Tính góc
- 5:02 Dạng 2: Tính cạnh, đường chéo
- 5:58 Dạng 3: Nhận biết hình thang cân
- 7:34 Kết bài
> Phiếu
## 1. Ý chính trong một câu
**Hình thang cân** là hình thang có **hai góc kề một đáy bằng nhau**. Khi đó nó có **hai cạnh bên bằng nhau** và **hai đường chéo bằng nhau**. Muốn nhận ra nó: hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau, **hoặc** hình thang có hai đường chéo bằng nhau. Còn hai cạnh bên bằng nhau thì **chưa đủ**.
## 2. Hình thang
- **Hình thang** là tứ giác có hai cạnh đối song song.
- Hình thang $ABCD$ ($AB \parallel DC$): $AB$, $DC$ là **hai đáy** (đáy nhỏ, đáy lớn); $AD$, $BC$ là **hai cạnh bên**; đoạn $AH$ vuông góc với $DC$ là một **đường cao**.
- Vì hai đáy song song, **hai góc kề một cạnh bên bù nhau**: $\widehat{A} + \widehat{D} = 180^\circ$, $\widehat{B} + \widehat{C} = 180^\circ$.
**Ví dụ 1 (con kênh):** mặt cắt ngang một con kênh là hình thang: miệng kênh và đáy kênh song song.
**Ví dụ 2 (bẫy: dựng đứng):** xoay hình thang cho hai đáy nằm dọc, nó vẫn là hình thang. "Đáy" là hai cạnh song song, không phải "cạnh nằm dưới".
Tính nhanh: hình thang có $\widehat{D} = 70^\circ$ thì $\widehat{A} = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$.
## 3. Hình thang cân là gì?
**Hình thang cân** là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau. Khi đó hai góc kề đáy kia cũng bằng nhau.
**Ví dụ 1 (chụp đèn bàn):** nhìn nghiêng, chụp đèn là hình thang có hai góc ở đáy lớn cùng $68^\circ$ → hình thang cân; hai góc ở đáy nhỏ cùng $180^\circ - 68^\circ = 112^\circ$.
**Ví dụ 2 (bẫy: trông cân mà không cân):** hình thang có hai góc ở đáy lớn là $75^\circ$ và $62^\circ$. Nhìn qua thấy "khá cân" nhưng hai góc khác nhau → không phải hình thang cân. Hãy xét góc, đừng nhìn bằng mắt.
## 4. Tính chất: cạnh bên và đường chéo
- **Định lí 1:** trong hình thang cân, hai cạnh bên bằng nhau: $AD = BC$.
- **Định lí 2:** trong hình thang cân, hai đường chéo bằng nhau: $AC = BD$.
Vì sao? $\triangle ACD$ và $\triangle BDC$ có $AD = BC$, $\widehat{D} = \widehat{C}$, cạnh $DC$ chung nên bằng nhau (c.g.c), suy ra $AC = BD$.
**Ví dụ 1:** hình thang cân $ABCD$ có $AD = 6$ cm thì $BC = 6$ cm; nếu $AC = 9$ cm thì $BD = 9$ cm.
**Ví dụ 2 (bẫy):** hình bình hành $ABCD$ cũng là hình thang ($AB \parallel DC$) và có $AD = BC$. Nhưng hai góc kề đáy $DC$ một nhọn, một tù → **không** phải hình thang cân. Vậy: hình thang có hai cạnh bên bằng nhau **chưa chắc** là hình thang cân.
## 5. Dấu hiệu nhận biết
Một **hình thang** là hình thang cân nếu:
1. có hai góc kề một đáy bằng nhau (định nghĩa), **hoặc**
2. có hai đường chéo bằng nhau.
**Ví dụ 1 (khung gỗ):** bác thợ đóng khung gỗ hình thang, căng dây đo hai đường chéo thấy cùng $72$ cm → khung là hình thang cân, không cần đo góc.
**Ví dụ 2 (bẫy):** một tứ giác có hai đường chéo bằng nhau nhưng không có cặp cạnh nào song song → không phải hình thang, nên cũng không phải hình thang cân. Phải là **hình thang trước đã**.
## 6. Bảng kí hiệu
| Kí hiệu | Đọc là | Ý nghĩa |
|---|---|---|
| $AB \parallel DC$ (hoặc $AB$ // $DC$) | $AB$ song song với $DC$ | hai đáy |
| $\widehat{A}$ | góc $A$ | góc tại đỉnh $A$ của hình thang |
| gạch nhỏ trên cạnh | | các cạnh có cùng số gạch thì bằng nhau |
| cung ở góc | | các góc có cùng số cung thì bằng nhau |
| mũi tên nhỏ trên cạnh | | các cạnh đó song song |
## 7. Lỗi hay gặp
- **Thấy hai cạnh bên bằng nhau là kết luận thang cân:** sai, có thể là hình bình hành. Phải có hai góc kề một đáy bằng nhau hoặc hai đường chéo bằng nhau.
- **Nhầm "góc đối bằng nhau" như hình bình hành:** trong hình thang cân, góc bằng nhau là hai góc **kề cùng một đáy**; hai góc kề cùng một cạnh bên thì **bù nhau**.
- **Quên điều kiện "là hình thang":** tứ giác có hai đường chéo bằng nhau chưa chắc là hình thang.
- **Nhìn hình bằng mắt:** hình "trông cân" chưa chắc cân; phải dựa vào số đo góc hoặc độ dài đường chéo.
- **Tính chu vi thiếu cạnh hoặc cộng cả đường chéo:** chu vi là tổng 4 cạnh, không có đường chéo.
## 8. Bài tập theo dạng
### Dạng 1 · Tính góc
**Bài 1.** a) Hình thang cân $ABCD$ ($AB \parallel DC$) có $\widehat{D} = 65^\circ$. Tính các góc còn lại. · b) Hình thang cân $MNPQ$ ($MN \parallel PQ$) có $\widehat{M} = 104^\circ$. Tính $\widehat{P}$. · c) Một hình thang cân có góc tù lớn hơn góc nhọn $36^\circ$. Tính hai góc đó.
Đáp án
a) $\widehat{C} = \widehat{D} = 65^\circ$ (kề đáy $DC$); $\widehat{A} = 180^\circ - 65^\circ = 115^\circ$ (kề cạnh bên $AD$); $\widehat{B} = \widehat{A} = 115^\circ$.
b) Bẫy: $\widehat{P} \ne 104^\circ$! $\widehat{Q} = 180^\circ - 104^\circ = 76^\circ$ (bù với $\widehat{M}$), $\widehat{P} = \widehat{Q} = 76^\circ$ (kề đáy $PQ$).
c) Góc nhọn + góc tù $= 180^\circ$, nên $2 \times$ góc nhọn $+ 36^\circ = 180^\circ$ → góc nhọn $= 72^\circ$, góc tù $= 108^\circ$.
Đáp án
a) $BC = AD = 10$ cm (hai cạnh bên bằng nhau).
b) $BD = AC = 17$ cm (hai đường chéo bằng nhau).
c) Bẫy: $9 + 21 + 10 = 40$ là thiếu một cạnh bên. Chu vi $= 9 + 21 + 10 + 10 = 50$ cm.
Đáp án
Hai cạnh bên cộng lại $= 45 - 27 = 18$ cm, mỗi cạnh bên $= 9$ cm.
Đáp án
a) Có: $\widehat{C}$, $\widehat{D}$ là hai góc kề đáy $DC$ và bằng nhau (định nghĩa).
b) Chưa chắc: có thể là hình bình hành.
c) $AC = BD$ nên $ABCD$ là hình thang cân → $\widehat{B} = \widehat{A} = 106^\circ$; $\widehat{D} = 180^\circ - 106^\circ = 74^\circ$.