# Hình bình hành – Toán lớp 8, Bài 12

> Mở một hộp đồ nghề nhiều tầng: khay trượt ra mà vẫn nằm ngang, ốc vít không đổ. Bí mật là bốn thanh nối luôn tạo thành một hình bình hành. Bài này giúp bạn biết hình bình hành là gì, nó có những tính chất nào và làm sao chứng minh một tứ giác là hình bình hành.

- Trang bài: https://anim.vn/lop-8/toan/bai-12-hinh-binh-hanh/
- Video: https://youtu.be/ey6NOBNK5iQ (8:46)
- Thuộc: Toán lớp 8 · Bài 12
- Bài tập về nhà (PDF, có lời giải): https://anim.vn/media/lop8-toan-bai-12/bai-tap-ve-nha.pdf

## Mục lục video

- 0:00 Mở đầu
- 0:15 Định nghĩa
- 1:11 Tính chất
- 2:15 Dấu hiệu nhận biết
- 2:54 Bẫy: thang cân
- 3:27 Tóm tắt
- 3:45 Dạng 1: Tính cạnh, góc
- 5:15 Dạng 2: Đường chéo, trung điểm
- 6:28 Dạng 3: Chứng minh là hình bình hành
- 8:29 Kết bài

Mở một hộp đồ nghề nhiều tầng: khay trượt ra mà vẫn nằm ngang, ốc vít không đổ. Bí mật là bốn thanh nối luôn tạo thành một **hình bình hành**. Bài này giúp bạn biết hình bình hành là gì, nó có những tính chất nào và làm sao chứng minh một tứ giác là hình bình hành.

---

## 1. Định nghĩa

**Hình bình hành là tứ giác có các cạnh đối song song.**

Tứ giác ABCD là hình bình hành khi AB ∥ DC **và** AD ∥ BC.

Định nghĩa chỉ nói tới song song, chưa cần đo cạnh hay đo góc.

- **Ví dụ 1 (hộp đồ nghề):** thanh đỡ khay luôn song song với đáy hộp, hai tay đòn luôn song song với nhau. Bốn thanh luôn là một hình bình hành, nên tay đòn nghiêng thế nào thì cạnh trên (khay) vẫn song song với cạnh dưới (đáy hộp), tức là vẫn nằm ngang.
- **Ví dụ 2 (lưới ô vuông):** A(1; 0), B(5; 1), C(6; 4), D(2; 3). Từ A tới B: sang phải 4 ô, lên 1 ô; từ D tới C cũng sang 4, lên 1 → AB ∥ DC. Từ A tới D và từ B tới C đều sang 1, lên 3 → AD ∥ BC. Vậy ABCD là hình bình hành.

## 2. Tính chất

Kẻ đường chéo AC, hình bình hành chia thành hai tam giác bằng nhau (ABC và CDA). Từ đó:

Trong hình bình hành ABCD (O là giao điểm hai đường chéo):

1. **Các cạnh đối bằng nhau:** AB = CD, AD = BC.
2. **Các góc đối bằng nhau:** góc A = góc C, góc B = góc D.
3. **Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường:** OA = OC, OB = OD.

Thêm: **hai góc kề một cạnh bù nhau** (cộng lại bằng 180°), ví dụ góc A + góc B = 180°.

- **Ví dụ 1 (mảnh vườn):** vườn hình bình hành có hai cạnh 30 m và 18 m. Cạnh đối bằng nhau nên hàng rào quanh vườn dài (30 + 18) × 2 = 96 m. Một góc vườn bằng 58° thì góc đối diện cũng 58°, hai góc còn lại bằng 180° − 58° = 122°.
- **Ví dụ 2 (đường chéo):** AC = 12 cm, BD = 9 cm cắt nhau tại O. Khi đó OA = OC = 6 cm, OB = OD = 4,5 cm. Chú ý OA ≠ OB: hai đường chéo của hình bình hành **thường không bằng nhau** (chỉ bằng nhau khi là hình chữ nhật).

## 3. Dấu hiệu nhận biết

Một tứ giác là hình bình hành nếu có **một** trong các điều sau:

| | Dấu hiệu |
|---|---|
| 0 | Các cạnh đối song song (định nghĩa) |
| 1 | Các cạnh đối bằng nhau |
| 2 | Một cặp cạnh đối **vừa song song vừa bằng nhau** |
| 3 | Các góc đối bằng nhau |
| 4 | Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường |

- **Ví dụ 1 (hai que tre):** buộc hai que tre chéo nhau đúng tại điểm giữa của mỗi que, căng dây nối bốn đầu. Hai que là hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường, nên khung dây là hình bình hành — dù hai que dài ngắn khác nhau.
- **Ví dụ 2 (bẫy):** tứ giác ABCD có AB ∥ DC và AD = BC. Chưa chắc là hình bình hành! Hình thang cân cũng có đúng hai điều đó. Dấu hiệu 2 đòi hỏi song song và bằng nhau trên **cùng một cặp cạnh**; ở đây cặp song song (AB, DC) và cặp bằng nhau (AD, BC) là hai cặp khác nhau.

## Bảng kí hiệu

| Kí hiệu | Đọc là | Nghĩa |
|---|---|---|
| AB ∥ DC | a bê song song với đê xê | hai đường thẳng không bao giờ cắt nhau |
| mũi tên nhỏ trên cạnh | | các cạnh cùng số mũi tên thì song song |
| gạch nhỏ trên cạnh | | các đoạn cùng số gạch thì bằng nhau |
| cung ở góc | | các góc cùng số cung thì bằng nhau |
| O | o | giao điểm hai đường chéo |

## Lỗi hay gặp

1. **Nghĩ hai đường chéo bằng nhau.** Chỉ có trung điểm chung; độ dài hai đường chéo thường khác nhau (OA ≠ OB).
2. **Trộn hai cặp cạnh khi dùng dấu hiệu 2.** "Một cặp song song + cặp kia bằng nhau" có thể là hình thang cân.
3. **Tính chu vi quên có hai cặp cạnh.** Chu vi = 2 × (AB + BC), nên AB + BC = nửa chu vi.
4. **Nhìn hình thấy "giống" rồi kết luận.** Muốn chắc chắn phải chỉ ra một dấu hiệu (có số đo, có kí hiệu, có lập luận).
5. **Nhầm góc kề với góc đối.** Góc đối (A và C) bằng nhau; góc kề một cạnh (A và B) bù nhau.

---

## Bài tập theo dạng

### Dạng 1: Tính cạnh, góc

**Cách làm:** cạnh đối bằng nhau, góc đối bằng nhau, hai góc kề một cạnh bù nhau; chu vi = 2 × (tổng hai cạnh kề).

**Bài 1.** Cho hình bình hành ABCD (mỗi câu một hình riêng).
a) Góc A = 72°. Tính các góc còn lại.
b) Chu vi bằng 46 cm, AB = 14 cm. Tính BC.
c) Góc A lớn hơn góc B là 50°. Tính góc A và góc B.

<details><summary>Đáp án</summary>

a) Góc C = góc A = 72°; góc B = 180° − 72° = 108°; góc D = góc B = 108°.
b) AB + BC = 46 : 2 = 23 (cm) ⇒ BC = 23 − 14 = 9 cm. (Không phải 46 − 14 = 32.)
c) Góc A + góc B = 180°, góc A − góc B = 50° ⇒ góc A = (180° + 50°) : 2 = 115°, góc B = 65°.
</details>

**Bài 2 (thêm).** Hình bình hành EFGH có góc E gấp 4 lần góc F. Tính bốn góc.

<details><summary>Đáp án</summary>

Góc E + góc F = 180° và góc E = 4 × góc F ⇒ 5 × góc F = 180° ⇒ góc F = 36°, góc E = 144°. Góc G = góc E = 144°, góc H = góc F = 36°.
</details>

### Dạng 2: Đường chéo, trung điểm

**Cách làm:** O là trung điểm của mỗi đường chéo; mỗi đoạn từ O bằng nửa đường chéo; hai đường chéo thường không bằng nhau.

**Bài 3.** Hình bình hành ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O.
a) OA = 5 cm, OB = 3,5 cm. Tính AC và BD.
b) AC = 16 cm, BD = 12 cm, AB = 9 cm. Tính chu vi tam giác OCD.

<details><summary>Đáp án</summary>

a) AC = 2 · OA = 10 cm; BD = 2 · OB = 7 cm (không phải 10 cm).
b) OC = 16 : 2 = 8 cm, OD = 12 : 2 = 6 cm, CD = AB = 9 cm ⇒ chu vi = 8 + 6 + 9 = 23 cm.
</details>

### Dạng 3: Chứng minh là hình bình hành

**Cách làm:** đề cho gì về cạnh, góc hay đường chéo? Chọn dấu hiệu khớp với dữ kiện đó. Song song + bằng nhau phải trên cùng một cặp cạnh.

**Bài 4.**
a) Tứ giác ABCD có góc A = 118°, góc B = 62°, góc C = 118°. ABCD có là hình bình hành không?
b) Hình bình hành ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O. Trên AC lấy I, K sao cho AI = CK. Chứng minh BIDK là hình bình hành.
c) Hình bình hành ABCD. Kéo dài AB về phía B, lấy E sao cho BE = AB. Chứng minh BECD là hình bình hành.

<details><summary>Đáp án</summary>

a) Góc D = 360° − (118° + 62° + 118°) = 62°. Góc A = góc C, góc B = góc D ⇒ các góc đối bằng nhau ⇒ ABCD là hình bình hành.
b) ABCD là hình bình hành ⇒ OA = OC, OB = OD. Vì AI = CK nên OI = OA − AI = OC − CK = OK. Tứ giác BIDK có hai đường chéo BD, IK cắt nhau tại O là trung điểm mỗi đường ⇒ BIDK là hình bình hành.
c) E nằm trên đường thẳng AB mà AB ∥ DC ⇒ BE ∥ DC. BE = AB và AB = DC ⇒ BE = DC. Tứ giác BECD có cặp cạnh đối BE, DC vừa song song vừa bằng nhau ⇒ BECD là hình bình hành.
</details>

---

## Trò chơi ở nhà (5 phút): "Khung que chéo"

Cần: 2 que (đũa, bút chì, que kem) dài khác nhau, 1 sợi dây chun hoặc dây len.

1. Đặt hai que chéo nhau sao cho **điểm giữa** của hai que trùng nhau, căng dây nối bốn đầu que → được hình bình hành. Dùng thước đo: hai cạnh đối có bằng nhau không?
2. Dịch một que để điểm chéo **không** còn ở giữa que đó → khung dây có còn là hình bình hành không? (Đo lại các cạnh đối.)
3. Xoay góc giữa hai que: khi nào khung dây thành hình chữ nhật? (Gợi ý: khi hai que dài bằng nhau.)

## Lời thoại video

### 0:00 Mở đầu

Mở một hộp đồ nghề nhiều tầng: các khay trượt ra ngoài mà vẫn nằm ngang, ốc vít không hề đổ. Bí mật nằm ở bốn thanh nối này. Vì sao khay luôn nằm ngang? Câu trả lời là một hình rất quen: hình bình hành.

### 0:15 Định nghĩa

Hình bình hành là tứ giác có các cạnh đối song song. Tứ giác ABCD có AB ∥ DC và AD ∥ BC. Định nghĩa chỉ cần song song, chưa nói gì tới độ dài hay số đo góc. Quay lại hộp đồ nghề. Thanh đỡ khay luôn song song với đáy hộp, hai tay đòn cũng song song với nhau. Bốn thanh luôn tạo thành hình bình hành, nên tay đòn nghiêng thế nào, khay vẫn nằm ngang. Ví dụ 2: tứ giác này vẽ trên lưới ô vuông. Từ A tới B: sang phải 4 ô, lên 1 ô. Từ D tới C cũng vậy, nên AB ∥ DC. Từ A tới D và từ B tới C đều sang phải 1 ô, lên 3 ô, nên AD ∥ BC. Đây là hình bình hành.

### 1:11 Tính chất

Chia hình bình hành bằng đường chéo AC, ta được hai tam giác bằng nhau. Từ đó suy ra ba tính chất. 1. Các cạnh đối bằng nhau. 2. Các góc đối bằng nhau. 3. Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Thêm nữa, hai góc kề một cạnh thì bù nhau, cộng lại bằng 180°. Ví dụ: một mảnh vườn hình bình hành có hai cạnh 30 m và 18 m. Cạnh đối bằng nhau, nên hàng rào quanh vườn dài (30 + 18) × 2 = 96 m. Một góc vườn bằng 58°. Góc đối diện cũng bằng 58°, còn góc kề bên bằng 180° − 58° = 122°. Ví dụ 2: đường chéo AC = 12 cm, BD = 9 cm, cắt nhau tại O. O là trung điểm mỗi đường, nên OA = OC = 6 cm, còn OB = OD = 4,5 cm. Chú ý: OA ≠ OB, vì hai đường chéo của hình bình hành thường không bằng nhau.

### 2:15 Dấu hiệu nhận biết

Ngược lại, làm sao biết một tứ giác là hình bình hành? Ngoài định nghĩa, ta có bốn dấu hiệu. 1. Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau. 2. Tứ giác có một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau. 3. Tứ giác có các góc đối bằng nhau. 4. Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Ví dụ: buộc hai que tre chéo nhau, đúng tại điểm giữa của mỗi que, rồi căng dây nối bốn đầu que. Hai que là hai đường chéo, cắt nhau tại trung điểm mỗi đường, nên khung dây là hình bình hành, dù hai que dài ngắn khác nhau.

### 2:54 Bẫy: thang cân

Ví dụ 2 là một cái bẫy. Tứ giác ABCD có AB ∥ DC và AD = BC. Nó có phải hình bình hành không? Chưa chắc! Giữ nguyên độ dài BC, xoay nghiêng nó về phía kia. Vẫn song song, vẫn bằng nhau, nhưng ta lại được một hình thang cân. Dấu hiệu 2 đòi hỏi song song và bằng nhau trên CÙNG một cặp cạnh. Ở đây hai điều đó nằm ở hai cặp khác nhau, nên chưa kết luận được.

### 3:27 Tóm tắt

Tóm lại. Hình bình hành là tứ giác có các cạnh đối song song. Nó có cạnh đối bằng nhau, góc đối bằng nhau, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Và ngược lại, mỗi điều đó, hoặc một cặp cạnh đối song song và bằng nhau, đều giúp nhận ra hình bình hành.

### 3:45 Dạng 1: Tính cạnh, góc

Dạng 1: tính cạnh và góc. Cách làm: dùng cạnh đối bằng nhau, góc đối bằng nhau, và hai góc kề một cạnh bù nhau. Câu a: hình bình hành ABCD có góc A = 72°. Tính các góc còn lại. Bạn hãy tạm dừng video và thử làm nhé. Góc C đối với góc A, nên góc C = 72°. Góc B kề với góc A, nên góc B = 180° − 72° = 108°. Góc D đối với góc B, nên góc D = 108°. Câu b: chu vi hình bình hành là 46 cm, AB = 14 cm. Tính BC. Tạm dừng video nhé. Nhiều bạn lấy 46 − 14 = 32. Sai rồi! Chu vi gồm hai cạnh AB và hai cạnh BC. Nửa chu vi là 23 cm, nên BC = 23 − 14 = 9 cm. Câu c: góc A lớn hơn góc B 50°. Tính hai góc này. Tạm dừng video và thử nhé. Góc A và góc B kề nhau, nên góc A + góc B = 180°, góc A − góc B = 50°. Góc A = (180° + 50°) : 2 = 115°. Góc B = 65°.

### 5:15 Dạng 2: Đường chéo, trung điểm

Dạng 2: đường chéo và trung điểm. Cách làm: giao điểm O của hai đường chéo là trung điểm của mỗi đường, nên mỗi đoạn từ O bằng một nửa đường chéo. Câu a: hình bình hành ABCD, hai đường chéo cắt nhau tại O. OA = 5 cm, OB = 3,5 cm. Tính hai đường chéo. Tạm dừng video và thử nhé. O là trung điểm của AC, nên AC = 2 · OA = 10 cm. Có bạn viết luôn BD = 10 cm, vì nghĩ hai đường chéo bằng nhau. Sai rồi! BD = 2 · OB = 7 cm. Câu b: AC = 16 cm, BD = 12 cm, AB = 9 cm. Tính chu vi tam giác OCD. Tạm dừng video nhé. OC = AC : 2 = 8 cm. OD = BD : 2 = 6 cm. CD đối với AB, nên CD = 9 cm. Chu vi tam giác OCD = 8 + 6 + 9 = 23 cm.

### 6:28 Dạng 3: Chứng minh là hình bình hành

Dạng 3: chứng minh một tứ giác là hình bình hành. Cách làm: xem đề cho gì về cạnh, góc hay đường chéo, rồi chọn dấu hiệu khớp với dữ kiện đó. Câu a: tứ giác ABCD có góc A = 118°, góc B = 62°, góc C = 118°. Nó có là hình bình hành không? Tạm dừng video và thử nhé. Tổng bốn góc của tứ giác là 360°, nên góc D = 360° − 118° − 62° − 118° = 62°. Góc A = góc C, góc B = góc D: các góc đối bằng nhau. Vậy đây là hình bình hành. Câu b: hình bình hành ABCD, hai đường chéo cắt nhau tại O. Trên AC lấy I và K sao cho AI = CK. Chứng minh BIDK là hình bình hành. Tạm dừng video nhé. Vì ABCD là hình bình hành, nên OA = OC, OB = OD. Bớt đi hai đoạn bằng nhau AI và CK, ta được OI = OK. Tứ giác BIDK có hai đường chéo cắt nhau tại O, là trung điểm của mỗi đường. Vậy nó là hình bình hành. Câu c: hình bình hành ABCD. Kéo dài AB về phía B, lấy E sao cho BE = AB. Chứng minh BECD là hình bình hành. Tạm dừng video và thử nhé. BE nằm trên đường thẳng AB, mà AB ∥ DC, nên BE ∥ DC. Lại có BE = AB, mà AB = DC, nên BE = DC. Một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau, nên BECD là hình bình hành.

### 8:29 Kết bài

Hôm nay bạn đã biết định nghĩa, ba tính chất và bốn dấu hiệu nhận biết hình bình hành. Ta đã luyện ba dạng: tính cạnh và góc, đường chéo và trung điểm, chứng minh là hình bình hành. Bài tập về nhà có trong phiếu kèm theo. Hẹn gặp lại bạn ở bài sau!