# Hình chữ nhật – Toán lớp 8, Bài 13

> Bạn cần kẻ một sân cầu lông mà chỉ có bốn cái cọc và một cuộn thước dây, không có dụng cụ đo góc. Làm sao chắc bốn góc sân đều vuông? Câu trả lời nằm ở hai đường chéo của hình chữ nhật. Bài này giúp bạn biết hình chữ nhật là gì, đường chéo của nó có gì đặc biệt, và làm sao nhận ra một hình chữ nhật.

- Trang bài: https://anim.vn/lop-8/toan/bai-13-hinh-chu-nhat/
- Video: https://youtu.be/pIgVOy4vH_o (8:24)
- Thuộc: Toán lớp 8 · Bài 13
- Bài tập về nhà (PDF, có lời giải): https://anim.vn/media/lop8-toan-bai-13/bai-tap-ve-nha.pdf

## Mục lục video

- 0:00 Mở đầu
- 0:13 Định nghĩa
- 0:56 Tính chất đường chéo
- 1:44 Trung tuyến tam giác vuông
- 2:41 Dấu hiệu nhận biết
- 3:19 Bẫy: đường chéo bằng nhau
- 3:36 Tóm tắt
- 3:54 Dạng 1: Tính độ dài
- 5:12 Dạng 2: Chứng minh là hình chữ nhật
- 6:41 Dạng 3: Trung tuyến tam giác vuông
- 8:11 Kết bài

Bạn cần kẻ một sân cầu lông mà chỉ có bốn cái cọc và một cuộn thước dây, không có dụng cụ đo góc. Làm sao chắc bốn góc sân đều vuông? Câu trả lời nằm ở **hai đường chéo của hình chữ nhật**. Bài này giúp bạn biết hình chữ nhật là gì, đường chéo của nó có gì đặc biệt, và làm sao nhận ra một hình chữ nhật.

---

## 1. Định nghĩa

**Hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc vuông.**

Tứ giác ABCD là hình chữ nhật khi góc A = góc B = góc C = góc D = 90°.

Thật ra **chỉ cần ba góc vuông**: tổng bốn góc của tứ giác là 360°, nên góc còn lại bằng 360° − 270° = 90°.

- **Ví dụ 1 (cánh tủ):** bác thợ mộc đóng cánh tủ, đo thấy ba góc vuông. Góc thứ tư chắc chắn vuông, không cần đo nữa.
- **Ví dụ 2 (bẫy):** tứ giác có **hai** góc vuông thì chưa đủ. Hình thang vuông có hai góc vuông nhưng không phải hình chữ nhật.

Hình chữ nhật có các cạnh đối song song (hai cạnh cùng vuông góc với một cạnh thì song song), nên nó là **một hình bình hành**. Nó cũng có hai góc kề một đáy bằng nhau, nên là **một hình thang cân**. Vì vậy hình chữ nhật có **mọi tính chất** của hình bình hành và của hình thang cân.

## 2. Tính chất đường chéo

- Từ hình bình hành: hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
- Từ hình thang cân: hai đường chéo bằng nhau.

**Định lí. Trong hình chữ nhật, hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.**

Gọi O là giao điểm hai đường chéo của hình chữ nhật ABCD: AC = BD và **OA = OB = OC = OD** = nửa đường chéo.

- **Ví dụ 1 (đồng hồ trên tường):** muốn treo đồng hồ đúng tâm một bức tường hình chữ nhật, căng hai sợi dây nối các góc đối diện. Chỗ hai dây cắt nhau là tâm, cách đều bốn góc. Mỗi dây dài 5 m thì tâm cách mỗi góc 5 : 2 = 2,5 m.
- **Ví dụ 2 (bẫy):** hình chữ nhật ABCD có OA = 7 cm. Ở hình bình hành ta không tính được BD từ OA, nhưng ở hình chữ nhật thì được: AC = 2 · 7 = 14 cm, và BD = AC = 14 cm.

## 3. Trung tuyến trong tam giác vuông

Tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm cạnh huyền BC. Lấy D sao cho M là trung điểm của AD. Tứ giác ABDC có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên là hình bình hành, lại có góc A vuông nên là hình chữ nhật. Vậy AD = BC, tức là AM = BC : 2.

**Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.**

**Ngược lại:** tam giác có một đường trung tuyến bằng nửa cạnh tương ứng thì là tam giác vuông.

- **Ví dụ 1 (chiếc thang):** thang dài 4 m tựa tường rồi trượt dần xuống. Thang, tường và mặt đất luôn tạo thành tam giác vuông, nên điểm giữa thang luôn cách chân tường đúng 4 : 2 = 2 m (điểm giữa thang vẽ ra một cung tròn).
- **Ví dụ 2:** tam giác vuông có cạnh huyền 18 cm thì trung tuyến kẻ từ đỉnh góc vuông dài 9 cm. Chú ý: chỉ trung tuyến **ứng với cạnh huyền** mới bằng nửa cạnh huyền.

## 4. Dấu hiệu nhận biết

| | Dấu hiệu |
|---|---|
| 1 | Tứ giác có **ba** góc vuông |
| 2 | Hình bình hành có **một** góc vuông |
| 3 | Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau |
| 4 | Tứ giác có hai đường chéo bằng nhau **và** cắt nhau tại trung điểm mỗi đường |

- **Ví dụ 1 (sân cầu lông):** đóng bốn cọc sao cho hai cặp cạnh đối bằng nhau → được hình bình hành. Đo hai đường chéo bằng thước dây: nếu bằng nhau thì sân là hình chữ nhật (dấu hiệu 3), không cần đo góc.
- **Ví dụ 2 (bẫy):** tứ giác có hai đường chéo bằng nhau **chưa chắc** là hình chữ nhật. Hình thang cân cũng có hai đường chéo bằng nhau, nhưng chúng không cắt nhau tại trung điểm. Phải có thêm điều kiện "cắt nhau tại trung điểm mỗi đường" (dấu hiệu 4).

## Bảng kí hiệu

| Kí hiệu | Đọc là | Nghĩa |
|---|---|---|
| ô vuông nhỏ ở góc | | góc vuông (90°) |
| gạch nhỏ trên đoạn | | các đoạn cùng số gạch thì bằng nhau |
| AC = BD | a xê bằng bê đê | hai đường chéo dài bằng nhau |
| O | o | giao điểm hai đường chéo |
| AM | a em | trung tuyến từ A (M là trung điểm BC) |

## Lỗi hay gặp

1. **Thấy hai đường chéo bằng nhau là kết luận hình chữ nhật.** Thiếu điều kiện: phải là hình bình hành (hoặc hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường).
2. **Hai góc vuông đã vội kết luận.** Cần ba góc vuông, hoặc hình bình hành có một góc vuông.
3. **Nghĩ "không tính được" đường chéo kia.** Trong hình chữ nhật, biết một đoạn OA, OB, OC hay OD là biết cả hai đường chéo.
4. **Biết trung tuyến lại chia đôi để ra cạnh huyền.** Ngược lại mới đúng: cạnh huyền = 2 · trung tuyến.
5. **Dùng tính chất trung tuyến cho trung tuyến không ứng với cạnh huyền.** Chỉ trung tuyến kẻ từ đỉnh góc vuông mới bằng nửa cạnh huyền.

## Bài tập theo dạng

### Dạng 1: Tính độ dài
Cách làm: AC = BD; OA = OB = OC = OD = nửa đường chéo.

**Bài 1.** Hình chữ nhật ABCD, hai đường chéo cắt nhau tại O (mỗi câu một hình riêng).
a) AC = 11 cm. Tính BD và OD.
b) OB = 4,5 cm. Tính AC.
c) Góc AOB = 60°, AB = 4 cm. Tính AC.

<details><summary>Đáp án</summary>

a) BD = AC = 11 cm; OD = 11 : 2 = 5,5 cm.
b) BD = 2 · OB = 9 cm, mà AC = BD nên AC = 9 cm. (Không phải "không tính được".)
c) OA = OB nên tam giác OAB cân tại O, lại có góc 60° nên là tam giác đều: OA = AB = 4 cm. AC = 2 · OA = 8 cm.
</details>

**Bài 2.** Hình chữ nhật EFGH có hai đường chéo cắt nhau tại K, tam giác KEF có chu vi 20 cm và EF = 6 cm. Tính EG.

<details><summary>Đáp án</summary>

KE + KF = 20 − 6 = 14 cm, mà KE = KF nên KE = 7 cm. EG = 2 · KE = 14 cm.
</details>

### Dạng 2: Chứng minh là hình chữ nhật
Cách làm: chứng minh là hình bình hành trước → thêm một góc vuông, hoặc hai đường chéo bằng nhau. Chỉ có hai đường chéo bằng nhau thì CHƯA đủ.

**Bài 3.** Tứ giác ABCD có là hình chữ nhật không? Vì sao?
a) ABCD là hình bình hành, góc A + góc C = 180°.
b) ABCD là hình bình hành, hai đường chéo cắt nhau tại O, OA = OB.
c) AC = BD = 10 cm, hai đường chéo cắt nhau tại I, IA = 6 cm.

<details><summary>Đáp án</summary>

a) Góc A = góc C (góc đối) nên mỗi góc bằng 180° : 2 = 90°. Hình bình hành có một góc vuông → hình chữ nhật.
b) AC = 2 · OA, BD = 2 · OB, mà OA = OB nên AC = BD. Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau → hình chữ nhật.
c) IC = 10 − 6 = 4 cm ≠ IA, nên I không là trung điểm của AC: ABCD không phải hình bình hành, do đó không phải hình chữ nhật.
</details>

### Dạng 3: Trung tuyến trong tam giác vuông
Cách làm: tìm cạnh huyền; trung tuyến ứng với cạnh huyền = cạnh huyền : 2; biết trung tuyến thì cạnh huyền = 2 · trung tuyến.

**Bài 4.**
a) Tam giác ABC vuông tại A, AB = 9 cm, BC = 15 cm, M là trung điểm BC. Tính AM và chu vi tam giác ABM.
b) Tam giác MNP vuông tại M, trung tuyến MI = 6,5 cm. Tính NP.
c) Tam giác ABC có trung tuyến AM = 5 cm, BC = 10 cm. Tam giác ABC là tam giác gì?

<details><summary>Đáp án</summary>

a) AM = 15 : 2 = 7,5 cm; BM = 7,5 cm. Chu vi ABM = 9 + 7,5 + 7,5 = 24 cm.
b) NP = 2 · 6,5 = 13 cm (không phải 6,5 : 2).
c) Lấy D sao cho M là trung điểm AD: ABDC là hình bình hành có AD = 2 · 5 = 10 = BC nên là hình chữ nhật. Vậy góc A = 90°, tam giác ABC vuông tại A.
</details>

**Bài 5 (vận dụng).** Một tấm biển quảng cáo hình chữ nhật có đường chéo dài 3 m. Người ta gắn một bóng đèn đúng tâm tấm biển (giao điểm hai đường chéo) rồi kéo dây điện thẳng từ đèn tới một góc biển. Đoạn dây đó dài bao nhiêu? Kéo tới góc khác thì sao?

<details><summary>Đáp án</summary>

Tâm biển là giao điểm hai đường chéo, cách đều bốn góc một đoạn bằng nửa đường chéo: 3 : 2 = 1,5 m. Kéo tới góc nào cũng dài 1,5 m.
</details>

## Trò chơi ở nhà (5 phút): "Thám tử góc vuông"

Cần: một sợi len dài, một cái kẹp.

1. Chọn 3 đồ vật trông giống hình chữ nhật: khung ảnh, tấm thảm, viên gạch lát sàn…
2. Căng sợi len theo một đường chéo, kẹp đánh dấu độ dài. Đưa sang đường chéo kia: có vừa khít không?
3. Kiểm thêm hai cặp cạnh đối có bằng nhau không (cũng bằng sợi len).
4. Cạnh đối bằng nhau **và** hai đường chéo bằng nhau → đồ vật đó là hình chữ nhật thật. Lệch → "bắt được" một hình méo!

Thử thách: kéo nghiêng một khung ảnh gấp (loại có bản lề) và xem hai đường chéo thay đổi thế nào.

## Lời thoại video

### 0:00 Mở đầu

Bạn cần kẻ một sân cầu lông, trong tay chỉ có bốn cái cọc và một cuộn thước dây. Làm sao chắc chắn bốn góc sân đều vuông? Bí quyết nằm ở hai đường chéo của hình chữ nhật.

### 0:13 Định nghĩa

Hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc vuông. Tứ giác ABCD có góc A = góc B = góc C = góc D = 90°. Chỉ cần ba góc vuông: góc còn lại = 360° − 270° = 90°. Ví dụ: bác thợ mộc đóng cánh tủ, đo thấy ba góc vuông, thì góc thứ tư không cần đo nữa. Ví dụ hai: hai góc vuông thì chưa đủ! Hình thang vuông này có hai góc vuông, nhưng không phải hình chữ nhật. Hình chữ nhật có các cạnh đối song song, nên là một hình bình hành. Nó cũng là hình thang cân, vì hai góc kề đáy bằng nhau. Nên hình chữ nhật có mọi tính chất của hai hình đó.

### 0:56 Tính chất đường chéo

Từ hình bình hành: hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Từ hình thang cân: hai đường chéo bằng nhau. Định lí: trong hình chữ nhật, hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Vì vậy OA = OB = OC = OD = nửa đường chéo. Ví dụ: muốn tìm tâm một bức tường để treo đồng hồ, ta căng hai sợi dây nối các góc đối diện. Chỗ hai dây cắt nhau là tâm, cách đều bốn góc. Dây dài 5 m thì tâm cách mỗi góc 2,5 m. Ví dụ 2: hình chữ nhật có OA = 7 cm. Ở hình bình hành, ta không tính được BD. Nhưng ở đây thì được: BD = AC = 14 cm.

### 1:44 Trung tuyến tam giác vuông

Tính chất này cho ta một điều thú vị về tam giác vuông. Tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm cạnh huyền BC. Lấy điểm D sao cho M là trung điểm của AD. ABDC là hình bình hành có góc A = 90°, nên là hình chữ nhật. Vậy AD = BC, suy ra AM = BC : 2. Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền. Ví dụ: một chiếc thang dài 4 m tựa tường rồi trượt dần xuống. Thang, tường và mặt đất luôn tạo thành tam giác vuông. Nên điểm giữa thang luôn cách chân tường đúng 2 m. Ví dụ 2: tam giác vuông có cạnh huyền 18 cm, thì trung tuyến kẻ từ đỉnh góc vuông dài 9 cm. Ngược lại, tam giác có một trung tuyến bằng nửa cạnh tương ứng thì là tam giác vuông.

### 2:41 Dấu hiệu nhận biết

Làm sao nhận biết hình chữ nhật? Có bốn dấu hiệu. 1. Tứ giác có ba góc vuông. 2. Hình bình hành có một góc vuông. 3. Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau. 4. Tứ giác có hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Xem dấu hiệu ba: kéo nghiêng một khung hình bình hành, hai đường chéo dài ngắn khác nhau. Khi chúng dài bằng nhau, khung thành hình chữ nhật. Trở lại sân cầu lông: đóng cọc cho hai cặp cạnh đối bằng nhau, rồi đo hai đường chéo. Nếu chúng bằng nhau, sân chắc chắn là hình chữ nhật!

### 3:19 Bẫy: đường chéo bằng nhau

Cẩn thận bẫy: tứ giác có hai đường chéo bằng nhau, có phải hình chữ nhật không? Chưa chắc! Hai đường chéo này bằng nhau, nhưng không cắt nhau tại trung điểm. Ta được hình thang cân. Dời giao điểm về đúng trung điểm mỗi đường, nó mới thành hình chữ nhật.

### 3:36 Tóm tắt

Tóm lại: hình chữ nhật có bốn góc vuông, hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Nhận biết: tứ giác có ba góc vuông, hoặc hình bình hành có một góc vuông, hoặc có hai đường chéo bằng nhau. Giờ ta luyện ba dạng bài.

### 3:54 Dạng 1: Tính độ dài

Dạng 1: tính độ dài. Hai đường chéo bằng nhau; OA = OB = OC = OD = nửa đường chéo. Câu a: hình chữ nhật ABCD có AC = 11 cm. Tính BD và OD. Bạn hãy tạm dừng video và thử làm nhé. BD = AC = 11 cm. OD = 11 : 2 = 5,5 cm. Câu b: biết OB = 4,5 cm. Tính AC. Tạm dừng video nhé. Có bạn nói: không tính được. Sai rồi! BD = 2 · OB = 9. Mà AC = BD, nên AC = 9 cm. Câu c: góc AOB = 60°, AB = 4 cm. Tính AC. Tạm dừng video và thử nhé. OA = OB nên tam giác OAB cân tại O. Nó lại có một góc 60°, nên là tam giác đều. Vậy OA = AB = 4, và AC = 8 cm.

### 5:12 Dạng 2: Chứng minh là hình chữ nhật

Dạng hai: chứng minh là hình chữ nhật. Cách làm: chứng minh hình bình hành trước, rồi chỉ ra một góc vuông, hoặc hai đường chéo bằng nhau. Câu a: hình bình hành ABCD có góc A + góc C = 180°. Chứng minh nó là hình chữ nhật. Tạm dừng video và thử làm nhé. Góc A và góc C là hai góc đối, nên bằng nhau. Mỗi góc bằng 180° : 2 = 90°. Hình bình hành có một góc vuông, nên là hình chữ nhật. Câu b: hình bình hành ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O, và OA = OB. Chứng minh nó là hình chữ nhật. Tạm dừng video nhé. AC = 2 · OA, BD = 2 · OB. Mà OA = OB, nên AC = BD. Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau, nên là hình chữ nhật. Câu c: tứ giác ABCD có hai đường chéo cùng dài 10 cm, cắt nhau tại I, với IA = 6. Nó có phải hình chữ nhật không? Tạm dừng video nhé. Hai đường chéo bằng nhau, vậy là hình chữ nhật? Sai rồi! IC = 10 − 6 = 4 ≠ IA. Nên I không phải trung điểm của AC, và tứ giác này không phải hình chữ nhật.

### 6:41 Dạng 3: Trung tuyến tam giác vuông

Dạng ba: trung tuyến trong tam giác vuông. Cách làm: tìm cạnh huyền, rồi dùng trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền. Câu a: tam giác ABC vuông tại A, AB = 9, BC = 15 cm, M là trung điểm của BC. Tính AM và chu vi tam giác ABM. Tạm dừng video và thử làm nhé. AM = nửa cạnh huyền = 7,5. BM cũng bằng 7,5. Chu vi tam giác ABM = 9 + 7,5 + 7,5 = 24 cm. Câu b: tam giác MNP vuông tại M, trung tuyến MI = 6,5 cm. Tính NP. Tạm dừng video nhé. Nhiều bạn lấy 6,5 : 2. Sai rồi! Cạnh huyền gấp đôi trung tuyến, nên NP = 13 cm. Câu c: tam giác ABC có trung tuyến AM = 5, BC = 10 cm. Tam giác ABC là tam giác gì? Tạm dừng video và thử nhé. Lấy điểm D sao cho M là trung điểm của AD. ABDC là hình bình hành, có AD = 10 = BC. Hai đường chéo bằng nhau, nên nó là hình chữ nhật. Vậy tam giác ABC vuông tại A.

### 8:11 Kết bài

Hôm nay bạn đã biết định nghĩa, tính chất đường chéo và dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật, cùng ba dạng bài tập. Bài tập về nhà có trong phiếu kèm theo. Hẹn gặp lại bạn ở bài sau!