# Hình thoi và hình vuông – Toán lớp 8, Bài 14 > Lấy bốn thanh gỗ dài bằng nhau, nối bản lề thành một cái khung. Bóp méo khung kiểu gì, nó vẫn là một hình rất đặc biệt: hình thoi. Và có đúng một lúc, nó thành hình vuông. Lúc nào vậy? Bài này giúp bạn biết hình thoi, hình vuông là gì, hai đường chéo của chúng có gì đặc biệt, và làm sao nhận ra chúng. - Trang bài: https://anim.vn/lop-8/toan/bai-14-hinh-thoi-va-hinh-vuong/ - Video: https://youtu.be/6Hq1rUSSpOE (5:54) - Thuộc: Toán lớp 8 · Bài 14 - Bài tập về nhà (PDF, có lời giải): https://anim.vn/media/lop8-toan-bai-14/bai-tap-ve-nha.pdf ## Mục lục video - 0:00 Mở đầu - 0:13 Hình thoi và đường chéo - 0:56 Dấu hiệu nhận biết hình thoi - 1:29 Hình vuông - 2:06 Dấu hiệu nhận biết hình vuông - 2:43 Dạng 1: Tính độ dài và góc - 3:43 Dạng 2: Chứng minh là hình thoi - 4:45 Dạng 3: Chứng minh là hình vuông - 5:41 Kết bài Lấy bốn thanh gỗ dài bằng nhau, nối bản lề thành một cái khung. Bóp méo khung kiểu gì, nó vẫn là một hình rất đặc biệt: **hình thoi**. Và có đúng một lúc, nó thành **hình vuông**. Lúc nào vậy? Bài này giúp bạn biết hình thoi, hình vuông là gì, hai đường chéo của chúng có gì đặc biệt, và làm sao nhận ra chúng. --- ## 1. Hình thoi và tính chất **Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau.** Hình thoi có các cạnh đối bằng nhau nên **là một hình bình hành**: nó có mọi tính chất của hình bình hành (cạnh đối song song, góc đối bằng nhau, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường). **Định lí. Trong hình thoi, hai đường chéo vuông góc với nhau và là các đường phân giác của các góc.** (Vì sao? Hình thoi $ABCD$, hai đường chéo cắt nhau tại $O$. Tam giác $ABD$ cân tại $A$ có $AO$ là trung tuyến, nên $AO$ cũng là đường cao và phân giác.) - **Ví dụ 1 (cổng xếp):** cổng xếp ghép từ nhiều ô hình thoi. Kéo cổng ra hay khép lại, các ô méo đi nhưng hai đường chéo mỗi ô vẫn luôn vuông góc. - **Ví dụ 2:** hình thoi $ABCD$ có góc $A = 70°$. Đường chéo $AC$ chia đôi góc $A$ nên góc $BAC = 35°$. Hai đường chéo vuông góc tại $O$, tam giác $ABO$ vuông tại $O$, nên góc $ABD = 90° − 35° = 55°$. ## 2. Dấu hiệu nhận biết hình thoi | | Dấu hiệu | |---|---| | Định nghĩa | Tứ giác có **bốn cạnh** bằng nhau | | 1 | Hình bình hành có **hai cạnh kề** bằng nhau | | 2 | Hình bình hành có **hai đường chéo vuông góc** | | 3 | Hình bình hành có **một đường chéo là phân giác** của một góc | - **Ví dụ 1 (gấp giấy):** cắt một hình bình hành bằng giấy, gấp theo một đường chéo. Nếu hai nửa trùng khít thì đường chéo chia đôi góc (là phân giác), nên đó là hình thoi. - **Ví dụ 2 (bẫy — con diều):** con diều có hai đường chéo vuông góc, nhưng nó **không phải hình bình hành** (hai đường chéo không cắt nhau tại trung điểm), nên không phải hình thoi. Dấu hiệu 2 và 3 chỉ dùng được khi **đã là hình bình hành**. ## 3. Hình vuông và tính chất **Hình vuông là tứ giác có bốn góc vuông và bốn cạnh bằng nhau.** Hình vuông **vừa là hình chữ nhật, vừa là hình thoi**, nên có mọi tính chất của cả hai. Đặc biệt: **Trong hình vuông, hai đường chéo bằng nhau, vuông góc với nhau, cắt nhau tại trung điểm mỗi đường và là phân giác của các góc.** - **Ví dụ 1 (khăn vuông):** gấp chéo một chiếc khăn vuông, hai mép trùng khít: mỗi góc vuông bị đường chéo chia thành hai góc $45°$. - **Ví dụ 2:** hình vuông có đường chéo $12$ cm, hai đường chéo cắt nhau tại $O$. Khi đó $OA = OB = OC = OD = 6$ cm, và tam giác $OAB$ vuông cân tại $O$ (góc $OAB = 45°$). ## 4. Dấu hiệu nhận biết hình vuông | Đi từ **hình chữ nhật** có thêm… | Đi từ **hình thoi** có thêm… | |---|---| | hai cạnh kề bằng nhau | một góc vuông | | hai đường chéo vuông góc | hai đường chéo bằng nhau | | một đường chéo là phân giác của một góc | | - **Ví dụ 1 (khung bốn thanh):** khung bốn thanh bằng nhau luôn là hình thoi. Xoay tới lúc hai đường chéo dài bằng nhau thì nó là hình vuông — đó là câu trả lời cho câu hỏi mở đầu. - **Ví dụ 2:** mảnh vườn hình chữ nhật dài $8$ m, rộng $8$ m có hai cạnh kề bằng nhau, nên là hình vuông. Sơ đồ nhớ: **hình bình hành → (hình chữ nhật hoặc hình thoi) → hình vuông**. ## Bảng tóm tắt | | Cạnh | Góc | Đường chéo | |---|---|---|---| | Hình bình hành | cạnh đối bằng nhau | góc đối bằng nhau | cắt nhau tại trung điểm mỗi đường | | Hình chữ nhật | cạnh đối bằng nhau | bốn góc vuông | + bằng nhau | | Hình thoi | bốn cạnh bằng nhau | góc đối bằng nhau | + vuông góc, là phân giác | | Hình vuông | bốn cạnh bằng nhau | bốn góc vuông | bằng nhau + vuông góc + là phân giác | ## Lỗi hay gặp 1. **Thấy hai đường chéo vuông góc là kết luận hình thoi** — chưa đủ, phải là hình bình hành trước (con diều!). 2. **Nhầm góc được chia đôi.** Trong hình thoi $ABCD$, đường chéo $AC$ chia đôi góc $A$ (và góc $C$), không chia đôi góc $B$. Muốn tính góc $BAC$ phải tìm góc $BAD$ trước. 3. **Chỉ đo bốn cạnh bằng nhau là nói hình vuông** — mới là hình thoi; cần thêm một góc vuông hoặc hai đường chéo bằng nhau. 4. **Dồn dập nhiều tính chất, dễ lẫn.** Mẹo: xếp theo ba cột cạnh – góc – đường chéo như bảng tóm tắt, và luôn vẽ phác hình trước khi lập luận. --- ## Bài tập theo dạng ### Dạng 1: Tính độ dài và góc Cách làm: cạnh hình thoi = chu vi : 4; giao điểm hai đường chéo chia mỗi đường chéo làm đôi; hai góc kề một cạnh có tổng 180°; đường chéo chia đôi góc. **Bài 1.** Hình thoi $ABCD$, hai đường chéo cắt nhau tại $O$ (mỗi câu là một hình riêng). a) Chu vi $44$ cm, $AC = 14$ cm. Tính $AB$ và $OA$. b) Góc $ABC = 116°$. Tính góc $BAC$.
Đáp án a) $AB = 44 : 4 = 11$ cm; $OA = 14 : 2 = 7$ cm. b) Góc $BAD = 180° − 116° = 64°$; $AC$ là phân giác góc $A$ nên góc $BAC = 32°$. (Lấy $116° : 2 = 58°$ là **sai**: đó là góc $ABD$.)
**Bài 2.** Hình thoi $ABCD$ có cạnh $9$ cm và góc $B = 120°$. Tính đường chéo $BD$.
Đáp án Góc $A = 180° − 120° = 60°$ (hai góc kề cạnh $AB$). Tam giác $ABD$ có $AB = AD = 9$ cm và góc $A = 60°$ nên là tam giác đều. Vậy $BD = 9$ cm.
### Dạng 2: Chứng minh là hình thoi Cách làm: chứng minh hình bình hành trước, rồi thêm một dấu hiệu (hai cạnh kề bằng nhau, hai đường chéo vuông góc, hoặc một đường chéo là phân giác). **Bài 3.** a) Hình bình hành $ABCD$ có góc $BAC$ = góc $BCA$. Chứng minh $ABCD$ là hình thoi. b) Tứ giác $ABCD$ có hai đường chéo vuông góc tại $O$, $OA = OC = 3$ cm, $OB = OD = 5$ cm. $ABCD$ là hình gì?
Đáp án a) Tam giác $ABC$ có hai góc bằng nhau nên cân tại $B$: $BA = BC$. Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi. b) $O$ là trung điểm của cả hai đường chéo nên $ABCD$ là hình bình hành; lại có hai đường chéo vuông góc nên là hình thoi.
### Dạng 3: Chứng minh là hình vuông Cách làm: chứng minh hình chữ nhật hoặc hình thoi trước, rồi thêm một dấu hiệu nữa. **Bài 4.** a) Hình thoi $ABCD$ có góc $A$ = góc $B$. Chứng minh $ABCD$ là hình vuông. b) Hình chữ nhật $ABCD$ có góc $BAC = 45°$. $ABCD$ có là hình vuông không?
Đáp án a) Góc $A$ + góc $B = 180°$ (hai góc kề một cạnh), mà hai góc bằng nhau nên mỗi góc $90°$. Hình thoi có một góc vuông là hình vuông. b) Có. Góc $DAC = 90° − 45° = 45°$ nên $AC$ là phân giác góc $A$. Hình chữ nhật có một đường chéo là phân giác của một góc là hình vuông.
**Bài 5 (vận dụng).** Bác thợ kiểm tra một tấm kính: đo bốn cạnh đều $50$ cm. Như vậy đã chắc là hình vuông chưa? Cần đo thêm gì?
Đáp án Chưa: bốn cạnh bằng nhau mới là hình thoi. Đo thêm hai đường chéo — nếu bằng nhau thì là hình vuông (hoặc kiểm tra một góc vuông).
--- ## Trò chơi ở nhà (5 phút): "Khung bốn que" Lấy bốn que (đũa, ống hút cắt bằng nhau) và bốn cục đất nặn làm bản lề, ghép thành khung. 1. Bóp méo khung: người chơi kia phải nói ngay "vẫn là hình thoi!". 2. Dùng sợi chỉ đo hai đường chéo. Ai chỉnh khung tới lúc hai sợi chỉ dài bằng nhau trước thì thắng — lúc đó khung là hình vuông (kiểm tra góc bằng mép một tờ giấy). 3. Đổi lại: thay một que bằng que dài hơn — khung còn là hình thoi không? (Không: bốn cạnh không còn bằng nhau.) ## Lời thoại video ### 0:00 Mở đầu Bốn thanh gỗ dài bằng nhau, nối bản lề thành một cái khung. Bóp méo khung đi, nó vẫn là một hình rất đặc biệt: hình thoi. Và có đúng một lúc, nó thành hình vuông. Lúc nào vậy? ### 0:13 Hình thoi và đường chéo Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau. Các cạnh đối bằng nhau, nên hình thoi là một hình bình hành, có mọi tính chất của hình bình hành. Hơn thế nữa: hai đường chéo của hình thoi vuông góc với nhau, và là phân giác của các góc. Ví dụ: cổng xếp được ghép từ nhiều ô hình thoi. Kéo cổng ra hay khép lại, hai đường chéo mỗi ô vẫn luôn vuông góc. Ví dụ 2: hình thoi ABCD có góc A = 70°. Đường chéo AC chia đôi góc A, nên góc BAC = 35°. Hai đường chéo vuông góc, nên góc ABD = 90° − 35° = 55°. ### 0:56 Dấu hiệu nhận biết hình thoi Nhận biết hình thoi: ngoài định nghĩa, còn ba dấu hiệu, đều đi từ hình bình hành. Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau. Hoặc có hai đường chéo vuông góc. Hoặc có một đường chéo là phân giác của một góc. Ví dụ: cắt một hình bình hành bằng giấy, gấp theo đường chéo. Hai nửa trùng khít, tức đường chéo là phân giác, nên đó là hình thoi. Ví dụ hai: con diều này có hai đường chéo vuông góc. Nhưng nó không phải hình bình hành, nên không phải hình thoi. ### 1:29 Hình vuông Hình vuông là tứ giác có bốn góc vuông và bốn cạnh bằng nhau. Nó vừa là hình chữ nhật, vừa là hình thoi. Nên hai đường chéo của hình vuông bằng nhau, vuông góc, cắt nhau tại trung điểm mỗi đường, và là phân giác của các góc. Ví dụ: gấp chéo một chiếc khăn vuông, hai mép trùng khít, mỗi góc vuông bị chia thành hai góc 45°. Ví dụ 2: hình vuông có đường chéo 12 cm, cắt nhau tại O. Vậy OA = OB = 6 cm, và tam giác OAB vuông cân tại O. ### 2:06 Dấu hiệu nhận biết hình vuông Nhận biết hình vuông: đi từ hình chữ nhật, hoặc đi từ hình thoi. Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau, hoặc hai đường chéo vuông góc, hoặc một đường chéo là phân giác của một góc. Hình thoi có một góc vuông, hoặc có hai đường chéo bằng nhau. Ví dụ: trở lại cái khung bốn thanh gỗ. Nó luôn là hình thoi. Xoay tới lúc hai đường chéo dài bằng nhau, nó thành hình vuông. Ví dụ 2: một mảnh vườn hình chữ nhật dài 8 m, rộng 8 m. Hai cạnh kề bằng nhau, nên đó là mảnh vườn hình vuông. Giờ ta luyện ba dạng bài. ### 2:43 Dạng 1: Tính độ dài và góc Dạng 1: tính độ dài và góc. Bốn cạnh bằng nhau; hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm, vuông góc và là phân giác. Câu a: hình thoi ABCD có chu vi 44 cm, AC = 14 cm, cắt BD tại O. Tính AB và OA. Tạm dừng video và thử làm nhé. AB = 44 : 4 = 11 cm. OA = AC : 2 = 7 cm. Câu b: biết góc ABC = 116°. Tính góc BAC. Tạm dừng video nhé. Có bạn lấy 116° : 2 = 58°. Sai rồi! Đó là góc ABD. Góc BAD = 180° − 116° = 64°. AC là phân giác, nên góc BAC = 32°. ### 3:43 Dạng 2: Chứng minh là hình thoi Dạng 2: chứng minh là hình thoi. Chứng minh hình bình hành trước, rồi thêm một dấu hiệu nữa. Câu a: hình bình hành ABCD có góc BAC = góc BCA. Chứng minh nó là hình thoi. Tạm dừng video và thử làm nhé. Tam giác ABC có hai góc bằng nhau, nên cân tại B. Vậy BA = BC. Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau, nên là hình thoi. Câu b: tứ giác ABCD có AC ⊥ BD tại O, OA = OC = 3, OB = OD = 5 cm. Nó là hình gì? Tạm dừng video nhé. Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường, nên trước hết đây là hình bình hành. Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc, nên là hình thoi. Đừng bỏ bước hình bình hành: con diều cũng có đường chéo vuông góc! ### 4:45 Dạng 3: Chứng minh là hình vuông Dạng 3: chứng minh là hình vuông. Chứng minh hình chữ nhật hoặc hình thoi trước, rồi thêm một dấu hiệu nữa. Câu a: hình thoi ABCD có góc A = góc B. Chứng minh nó là hình vuông. Tạm dừng video và thử làm nhé. Hai góc kề một cạnh của hình thoi có tổng 180°. Mà góc A = góc B, nên mỗi góc bằng 90°. Hình thoi có một góc vuông, nên là hình vuông. Câu b: hình chữ nhật ABCD có góc BAC = 45°. Nó có phải hình vuông không? Tạm dừng video nhé. Góc DAC = 90° − 45° = 45°. Vậy AC là phân giác của góc A. Hình chữ nhật có một đường chéo là phân giác của một góc, nên ABCD là hình vuông. ### 5:41 Kết bài Hôm nay bạn đã biết hình thoi, hình vuông, tính chất đường chéo và dấu hiệu nhận biết, cùng ba dạng bài tập. Bài tập về nhà có trong phiếu kèm theo. Hẹn gặp lại bạn ở bài sau!