# Đường trung bình của tam giác – Toán lớp 8, Bài 16 > Vẽ một tam giác bất kì, đánh dấu trung điểm của hai cạnh rồi nối lại. Dù tam giác cao hay thấp, méo hay đều, đoạn nối ấy luôn song song với cạnh còn lại và dài đúng một nửa cạnh đó. Đoạn thẳng đặc biệt này gọi là đường trung bình của tam giác. Nhờ nó, ta đo được những khoảng cách không đi thẳng tới được. - Trang bài: https://anim.vn/lop-8/toan/bai-16-duong-trung-binh-cua-tam-giac/ - Video: https://youtu.be/0pqDHPRsmUI (5:37) - Thuộc: Toán lớp 8 · Bài 16 - Bài tập về nhà (PDF, có lời giải): https://anim.vn/media/lop8-toan-bai-16/bai-tap-ve-nha.pdf ## Mục lục video - 0:00 Mở đầu - 0:16 Định nghĩa - 0:55 Tính chất - 1:51 Tóm tắt - 2:04 Dạng 1: Tính độ dài - 3:02 Dạng 2: Chứng minh, nhận dạng tứ giác - 4:17 Dạng 3: Bài toán thực tế - 5:22 Kết bài Vẽ một tam giác bất kì, đánh dấu trung điểm của hai cạnh rồi nối lại. Dù tam giác cao hay thấp, méo hay đều, đoạn nối ấy luôn **song song** với cạnh còn lại và dài **đúng một nửa** cạnh đó. Đoạn thẳng đặc biệt này gọi là **đường trung bình** của tam giác. Nhờ nó, ta đo được những khoảng cách không đi thẳng tới được. --- ## 1. Định nghĩa **Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác.** Tam giác GHK có M là trung điểm GH, N là trung điểm GK thì MN là một đường trung bình. Lấy thêm P là trung điểm HK, ta có thêm MP và NP. **Mỗi tam giác có đúng ba đường trung bình.** - **Ví dụ 1 (lá cờ):** lá cờ hình tam giác, may một dải ruy băng nối điểm giữa hai mép cờ. Dải ruy băng là một đường trung bình của lá cờ. - **Ví dụ 2 (bẫy):** trong tam giác GHK, đoạn MK nối trung điểm M của GH với **đỉnh** K. Đó là **đường trung tuyến**, không phải đường trung bình. Đường trung bình cần **cả hai đầu mút** đều là trung điểm. ## 2. Tính chất **Định lí. Đường trung bình của tam giác song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh đó.** Tam giác GHK, M là trung điểm GH, N là trung điểm GK thì **MN // HK** và **MN = HK : 2**. **Vì sao?** 1. GM/GH = GN/GK = 1/2, theo định lí Thalès đảo: MN // HK. 2. Gọi P là trung điểm HK. Tương tự, NP // GH. Tứ giác MNPH có các cặp cạnh đối song song nên là hình bình hành, suy ra MN = HP = HK : 2. Hình dung: trượt tam giác nhỏ GMN theo cạnh GH, nó khớp đúng vào góc H; trượt theo cạnh GK, nó khớp vào góc K. Hai bản sao nằm kề nhau trên cạnh HK, nên HK dài gấp đôi MN. - **Ví dụ 1 (móc treo áo):** móc treo áo hình tam giác có thanh dưới dài 40 cm. Sợi dây nối trung điểm hai cạnh nghiêng nằm ngang (song song thanh dưới) và dài 40 : 2 = 20 (cm). - **Ví dụ 2 (chiều ngược):** đường trung bình dài 4,5 cm thì cạnh thứ ba dài 4,5 · 2 = 9 (cm). Biết đường trung bình thì **nhân đôi**, đừng chia đôi. ## Bảng kí hiệu | Kí hiệu | Đọc là | Nghĩa | |---|---|---| | MN // HK | MN song song với HK | hai đường thẳng không cắt nhau | | MN = HK : 2 | MN bằng nửa HK | đường trung bình bằng nửa cạnh thứ ba | | GM = MH | GM bằng MH | M là trung điểm GH (trên hình: hai gạch giống nhau) | ## Lỗi hay gặp - **Nhầm đường trung bình với đường trung tuyến:** trung tuyến nối **đỉnh** với trung điểm cạnh đối diện; đường trung bình nối **hai trung điểm**. - **Nhân/chia nhầm chiều:** biết cạnh thứ ba thì **chia đôi** để được đường trung bình; biết đường trung bình thì **nhân đôi** để được cạnh thứ ba. Mẹo kiểm tra: đường trung bình luôn **ngắn hơn** cạnh thứ ba. - **Quên chỉ ra hai trung điểm:** muốn dùng tính chất, phải nói rõ "M là trung điểm GH, N là trung điểm GK nên MN là đường trung bình của tam giác GHK". - **Chọn nhầm cạnh thứ ba:** cạnh thứ ba là cạnh **không** chứa hai trung điểm. ## Bài tập theo dạng ### Dạng 1: Tính độ dài Cách làm: tìm hai trung điểm để thấy đường trung bình; đường trung bình = cạnh thứ ba : 2; cạnh thứ ba = 2 · đường trung bình. **Bài 1.** Tam giác PQR có I là trung điểm PQ, K là trung điểm PR. a) QR = 13 cm. Tính IK. b) PQ = 10 cm, PR = 12 cm, QR = 14 cm. Tính chu vi tam giác PIK.
Đáp án a) IK là đường trung bình của tam giác PQR nên IK = 13 : 2 = **6,5 cm**. b) PI = 5 cm, PK = 6 cm, IK = 14 : 2 = 7 cm. Chu vi PIK = 5 + 6 + 7 = **18 cm** (đúng bằng nửa chu vi tam giác PQR).
**Bài 2.** Tam giác XYZ có A, B lần lượt là trung điểm XY, XZ và AB = 8,5 cm. Tính YZ.
Đáp án AB là đường trung bình nên YZ = 2 · 8,5 = **17 cm**.
### Dạng 2: Chứng minh, nhận dạng tứ giác Cách làm: kẻ thêm đoạn (thường là đường chéo) để có tam giác chứa đường trung bình, rồi dùng "song song và bằng nửa". **Bài 3.** Tứ giác STUV có E, G, H, K lần lượt là trung điểm của ST, TU, UV, VS. a) Chứng minh EGHK là hình bình hành. b) Biết SU = 10 cm, TV = 14 cm. Tính chu vi EGHK.
Đáp án a) Kẻ đường chéo SU. Trong tam giác STU, EG là đường trung bình nên EG // SU và EG = SU : 2. Trong tam giác SVU, KH là đường trung bình nên KH // SU và KH = SU : 2. Vậy EG // KH và EG = KH, nên EGHK là hình bình hành. b) EG = HK = 10 : 2 = 5 cm; EK = GH = 14 : 2 = 7 cm (đường trung bình của tam giác STV và UTV). Chu vi = 2 · (5 + 7) = **24 cm**.
**Bài 4.** Tứ giác WXYZ có hai đường chéo WY và XZ vuông góc với nhau. Gọi A, B, C, D lần lượt là trung điểm của WX, XY, YZ, ZW. Tứ giác ABCD là hình gì? Vì sao?
Đáp án Như Bài 3, ABCD là hình bình hành với AB // WY (đường trung bình tam giác WXY) và AD // XZ (đường trung bình tam giác XWZ). Vì WY vuông góc XZ nên AB vuông góc AD, tức góc A = 90°. Hình bình hành có một góc vuông nên ABCD là **hình chữ nhật**.
### Dạng 3: Bài toán thực tế Cách làm: vẽ hình, đặt tên điểm, tìm tam giác có đường trung bình, rồi nhân đôi hoặc chia đôi. **Bài 5.** a) Hai cột đèn ở hai đầu một nhà kho. Bạn Minh chọn điểm O bên ngoài, cắm cọc ở trung điểm đoạn từ O tới mỗi cột; hai cọc cách nhau 23 m. Hai cột đèn cách nhau bao xa? b) Chân mái nhà rộng 7,4 m. Thanh xà nối trung điểm hai kèo dài bao nhiêu?
Đáp án a) Đoạn nối hai cọc là đường trung bình của tam giác có đỉnh O và hai cột đèn, nên hai cột cách nhau 2 · 23 = **46 m**. b) Thanh xà là đường trung bình của tam giác mái, dài 7,4 : 2 = **3,7 m** (không phải 14,8 m: thanh xà phải ngắn hơn chân mái).
## Trò chơi ở nhà (5 phút): "Gấp giấy tìm một nửa" 1. Cắt một tam giác bất kì từ giấy (càng méo càng vui). 2. Gấp để tìm trung điểm hai cạnh (gấp cho hai đầu cạnh chạm nhau), đánh dấu, rồi kẻ đoạn nối. 3. Gấp đỉnh chung của hai cạnh ấy xuống sao cho nếp gấp trùng đoạn vừa kẻ. Đỉnh chạm đúng cạnh thứ ba! 4. Lấy thước đo đoạn nối và cạnh thứ ba, xem có đúng gấp đôi không. Thử với 3 tam giác khác nhau; ai tìm được tam giác "không đúng" thì thắng (gợi ý: không có đâu). ## Lời thoại video ### 0:00 Mở đầu Vẽ một tam giác bất kì, đánh dấu trung điểm của hai cạnh rồi nối lại. Kéo đỉnh đi đâu, đoạn nối vẫn song song với cạnh còn lại, và luôn dài đúng một nửa cạnh đó. Vì sao vậy? Hôm nay ta tìm hiểu đường trung bình của tam giác. ### 0:16 Định nghĩa Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác. Tam giác GHK có M là trung điểm GH, N là trung điểm GK. Đoạn MN là một đường trung bình. Lấy thêm P là trung điểm HK, ta có thêm hai đường nữa. Mỗi tam giác có đúng ba đường trung bình. Ví dụ: một lá cờ hình tam giác, may dải ruy băng nối điểm giữa hai mép cờ. Dải ruy băng đó là đường trung bình. Ví dụ 2, cẩn thận: đoạn nối trung điểm M với đỉnh K không phải đường trung bình. Đó là đường trung tuyến. Cả hai đầu mút đều phải là trung điểm. ### 0:55 Tính chất Vì sao MN // HK? GM/GH = GN/GK = 1/2. Theo định lí Thalès đảo, MN // HK. Giờ trượt tam giác nhỏ GMN xuống theo cạnh GH: nó khớp đúng vào góc H. Trượt theo cạnh GK: nó khớp vào góc K. Hai bản sao gặp nhau tại P, trung điểm HK. Tứ giác MNPH là hình bình hành, nên MN = HP = HK/2. Định lí: đường trung bình của tam giác song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh đó. Ví dụ: móc treo áo có thanh dưới dài 40 cm. Sợi dây nối trung điểm hai cạnh nghiêng nằm ngang, dài 20 cm. Ví dụ 2, theo chiều ngược: đường trung bình dài 4,5 cm thì cạnh thứ ba dài 9 cm. Nhân đôi, chứ đừng chia đôi. ### 1:51 Tóm tắt Tóm lại: đường trung bình nối trung điểm hai cạnh của tam giác. Nó song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh đó. Biết một, suy ra cái kia bằng cách chia đôi hoặc nhân đôi. ### 2:04 Dạng 1: Tính độ dài Dạng 1: tính độ dài. Cách làm: tìm hai trung điểm để thấy đường trung bình, rồi chia đôi cạnh thứ ba, hoặc nhân đôi đường trung bình. Tam giác PQR có I là trung điểm PQ, K là trung điểm PR. Câu a: QR = 13 cm. Tính IK. Bạn hãy tạm dừng video và thử làm. IK là đường trung bình, nên IK = 13 : 2 = 6,5 cm. Câu b: PQ = 10, PR = 12, QR = 14. Tính chu vi tam giác PIK. Tạm dừng và thử nhé. PI = 5, PK = 6, còn IK = 14 : 2 = 7. Chu vi = 5 + 6 + 7 = 18 cm, đúng bằng nửa chu vi tam giác lớn. ### 3:02 Dạng 2: Chứng minh, nhận dạng tứ giác Dạng 2: chứng minh song song và nhận dạng tứ giác. Cách làm: kẻ thêm một đoạn để tạo tam giác có đường trung bình, rồi dùng tính chất song song và bằng nửa. Tứ giác STUV có E, G, H, K lần lượt là trung điểm bốn cạnh. Câu a: chứng minh EGHK là hình bình hành. Tạm dừng video và thử làm. Kẻ đường chéo SU. Trong tam giác STU, EG là đường trung bình, nên EG // SU và EG = SU/2. Trong tam giác SVU, KH cũng // SU và KH = SU/2. Vậy EG // KH và EG = KH, nên EGHK là hình bình hành. Câu b: SU = 10 cm, TV = 14 cm. Tính chu vi EGHK. Tạm dừng và thử nhé. EG = SU/2 = 5. EK = TV/2 = 7. Chu vi = 2 · (5 + 7) = 24 cm. ### 4:17 Dạng 3: Bài toán thực tế Dạng 3: bài toán thực tế. Cách làm: vẽ hình, tìm tam giác có đường trung bình, rồi nhân đôi hoặc chia đôi. Câu a: hai cột đèn ở hai đầu một nhà kho, không đo thẳng được. Bạn Minh chọn một điểm O bên ngoài, cắm cọc ở trung điểm đoạn từ O tới mỗi cột, rồi đo được hai cọc cách nhau 23 m. Hai cột đèn cách nhau bao xa? Tạm dừng video và thử làm. Đoạn nối hai cọc là đường trung bình của tam giác có đỉnh O và hai cột đèn. Nên hai cột cách nhau 2 · 23 = 46 m. Câu b: khung mái nhà có chân mái rộng 7,4 m. Thanh xà nối trung điểm hai kèo dài bao nhiêu? Tạm dừng và thử nhé. Có bạn nhân đôi, được 14,8 m. Sai rồi! Thanh xà phải ngắn hơn chân mái. Thanh xà là đường trung bình, dài 7,4 : 2 = 3,7 m. ### 5:22 Kết bài Hôm nay bạn đã biết đường trung bình của tam giác: song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh đó. Cùng ba dạng: tính độ dài, chứng minh tứ giác, và bài toán thực tế. Bài tập về nhà đang chờ bạn!