# Phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn – Toán lớp 9, Bài 4
> Có hai loại phương trình trông "khó" hơn phương trình bậc nhất, nhưng thật ra chỉ cần vài bước là đưa về được phương trình bậc nhất quen thuộc:
- Trang bài: https://anim.vn/lop-9/toan/bai-04-phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-nhat-mot-an/
- Video: https://youtu.be/UnUwr4T0s3Y (8:29)
- Thuộc: Toán lớp 9 · Bài 4
- Bài tập về nhà (PDF, có lời giải): https://anim.vn/media/lop9-toan-bai-04/bai-tap-ve-nha.pdf
## Mục lục video
- 0:00 Mở đầu: nghiệm “ma”
- 0:29 Phương trình tích
- 1:12 Đưa về phương trình tích
- 2:00 Điều kiện xác định
- 2:45 Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu
- 3:44 Dạng 1: Phương trình tích
- 4:29 Dạng 2: Đưa về phương trình tích
- 5:38 Dạng 3: Ẩn ở mẫu
- 7:01 Dạng 4: Bài toán thực tế
- 8:08 Kết bài
Có hai loại phương trình trông "khó" hơn phương trình bậc nhất, nhưng thật ra chỉ cần vài bước là đưa về được phương trình bậc nhất quen thuộc:
1. **Phương trình tích**: $(ax + b)(cx + d) = 0$.
2. **Phương trình chứa ẩn ở mẫu**: ẩn $x$ nằm dưới dấu gạch phân số.
---
## 1. Phương trình tích
**Ý chính.** Một tích bằng $0$ khi (và chỉ khi) có ít nhất một thừa số bằng $0$.
$$(ax + b)(cx + d) = 0 \iff ax + b = 0 \ \text{ hoặc } \ cx + d = 0.$$
Giải từng phương trình bậc nhất, rồi **lấy tất cả** các nghiệm.
**Ví dụ 1 (đời sống).** Hai bạn mỗi người nghĩ một số rồi nhân với nhau, ra $0$. Không cần hỏi cũng biết: ít nhất một bạn đã nghĩ số $0$.
Tương tự, giải $(x - 4)(2x + 6) = 0$:
- $x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4$;
- $2x + 6 = 0 \Rightarrow 2x = -6 \Rightarrow x = -3$.
Phương trình có hai nghiệm $x = 4$ và $x = -3$.
**Ví dụ 2 (có bẫy).** Giải $x^2 = 3x$.
- Cách **sai**: chia hai vế cho $x$ được $x = 3$ → mất nghiệm $x = 0$.
- Cách đúng: chuyển vế cho vế phải bằng $0$, rồi phân tích thành nhân tử:
$x^2 - 3x = 0 \Rightarrow x(x - 3) = 0 \Rightarrow x = 0$ hoặc $x = 3$.
**Ví dụ 3 (đặt nhân tử chung là một ngoặc).** $(x - 1)^2 = 2x - 2$
$\Rightarrow (x - 1)^2 - 2(x - 1) = 0 \Rightarrow (x - 1)(x - 1 - 2) = 0 \Rightarrow (x - 1)(x - 3) = 0$
$\Rightarrow x = 1$ hoặc $x = 3$.
**Cách làm chung:** Bước 1 — chuyển hết sang vế trái, phân tích vế trái thành tích. Bước 2 — cho từng nhân tử bằng $0$.
---
## 2. Điều kiện xác định (ĐKXĐ)
**Ý chính.** Không thể chia cho $0$. Vì vậy với phương trình chứa ẩn ở mẫu, ta đặt điều kiện cho ẩn để **mọi mẫu đều khác $0$**. Đó là **điều kiện xác định** của phương trình.
Hình dung trên trục số: những giá trị làm mẫu bằng $0$ là **vùng cấm**. Nghiệm tìm được mà rơi vào vùng cấm thì bị loại.
**Ví dụ 1 (đời sống).** Chia $12$ cái bánh cho $0$ bạn thì mỗi bạn được bao nhiêu? Câu hỏi vô nghĩa, nên phép chia cho $0$ không có.
Phương trình $\dfrac{5}{x - 2} = 1$: mẫu $x - 2 \ne 0$, nên ĐKXĐ là $x \ne 2$.
**Ví dụ 2 (có bẫy).** $\dfrac{x + 1}{2x} - \dfrac{3}{x + 4} = 1$.
- $2x \ne 0 \Rightarrow x \ne 0$ (không phải $x \ne 2$!);
- $x + 4 \ne 0 \Rightarrow x \ne -4$.
ĐKXĐ: $x \ne 0$ và $x \ne -4$.
---
## 3. Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu — 4 bước
1. Tìm **điều kiện xác định**.
2. **Quy đồng** mẫu hai vế rồi **khử mẫu**.
3. **Giải** phương trình vừa nhận được.
4. **Kết luận**: chỉ giữ những giá trị thoả ĐKXĐ.
**Ví dụ 1.** $\dfrac{2}{x - 1} = \dfrac{3}{x + 2}$.
- ĐKXĐ: $x \ne 1$, $x \ne -2$.
- Mẫu chung $(x - 1)(x + 2)$; khử mẫu: $2(x + 2) = 3(x - 1)$.
- $2x + 4 = 3x - 3 \Rightarrow x = 7$.
- $x = 7$ thoả ĐKXĐ. Vậy nghiệm là $x = 7$.
**Ví dụ 2 (nghiệm "ma").** $\dfrac{x}{x - 3} + 2 = \dfrac{3}{x - 3}$.
- ĐKXĐ: $x \ne 3$.
- Khử mẫu: $x + 2(x - 3) = 3 \Rightarrow 3x - 6 = 3 \Rightarrow x = 3$.
- Nhưng $x = 3$ nằm trong vùng cấm (mẫu bằng $0$) → loại. Phương trình **vô nghiệm**.
---
## Kí hiệu
| Kí hiệu | Đọc là | Nghĩa |
|---|---|---|
| $A \cdot B = 0$ | A nhân B bằng không | $A = 0$ hoặc $B = 0$ |
| $x \ne 2$ | x khác hai | điều kiện: $x$ không được bằng $2$ |
| ĐKXĐ | điều kiện xác định | mọi mẫu khác $0$ |
| vô nghiệm | — | không có giá trị nào của $x$ thoả mãn |
## Lỗi hay gặp
- **Chia hai vế cho biểu thức chứa ẩn** (như $x$, $x + 3$) → mất nghiệm làm biểu thức đó bằng $0$. Hãy chuyển vế rồi đặt nhân tử chung.
- **Quên đối chiếu ĐKXĐ** → giữ lại một giá trị làm mẫu bằng $0$.
- **Quy đồng sai dấu**: trừ một tích thì phải đổi dấu *mọi* hạng tử: $-(x + 3)(x - 2) = -x^2 - x + 6$.
- **Giải sai phương trình bậc nhất nhỏ**: $6 - 3x = 0 \Rightarrow x = 2$ (không phải $-2$).
- **Viết thiếu nghiệm** của phương trình tích: phải lấy nghiệm của **cả hai** nhánh.
---
## Bài tập theo dạng
### Dạng 1: Giải phương trình tích
Cho từng nhân tử bằng $0$, giải từng phương trình bậc nhất.
a) $(2x - 5)(x + 4) = 0$ b) $(6 - 3x)(4x + 1) = 0$ c) $(x + 6)(3x - 9) = 0$
Đáp án
a) $2x - 5 = 0 \Rightarrow x = \tfrac52$; $x + 4 = 0 \Rightarrow x = -4$.
b) $6 - 3x = 0 \Rightarrow x = 2$; $4x + 1 = 0 \Rightarrow x = -\tfrac14$.
c) $x = -6$; $3x - 9 = 0 \Rightarrow x = 3$.
Đáp án
a) $(x + 3)(2x - 1) - (x + 3)(x + 4) = 0 \Rightarrow (x + 3)(x - 5) = 0 \Rightarrow x = -3$ hoặc $x = 5$. (Chia cho $x + 3$ sẽ mất $x = -3$.)
b) $(3x - 1)(3x + 1) - (3x + 1)(x + 2) = 0 \Rightarrow (3x + 1)(2x - 3) = 0 \Rightarrow x = -\tfrac13$ hoặc $x = \tfrac32$.
c) $x(x - 5) = 0 \Rightarrow x = 0$ hoặc $x = 5$.
Đáp án
a) $3x - 6 \ne 0 \Rightarrow x \ne 2$; $x + 5 \ne 0 \Rightarrow x \ne -5$.
b) ĐKXĐ $x \ne 2$, $x \ne -1$. Khử mẫu: $(x + 1)^2 - (x + 3)(x - 2) = 9 \Rightarrow x^2 + 2x + 1 - x^2 - x + 6 = 9 \Rightarrow x = 2$ → loại. **Vô nghiệm.**
c) ĐKXĐ $x \ne 0$, $x \ne 2$. Khử mẫu: $x(x + 2) - (x - 2) = 2 \Rightarrow x^2 + x = 0 \Rightarrow x(x + 1) = 0 \Rightarrow x = 0$ (loại) hoặc $x = -1$ (nhận). Nghiệm $x = -1$.
Đáp án
Gọi vận tốc của Mai là $x$ (km/h), $x > 0$; vận tốc của Long là $x + 8$.
Thời gian bằng nhau: $\dfrac{3}{x} = \dfrac{9}{x + 8} \Rightarrow 3(x + 8) = 9x \Rightarrow 6x = 24 \Rightarrow x = 4$ (thoả $x > 0$).
Mai đi $4$ km/h, Long đi $12$ km/h.