# Bất đẳng thức và tính chất – Toán lớp 9, Bài 5

> Toán 9 · Bài 5. Bạn sẽ biết bất đẳng thức là gì, và ba tính chất dùng suốt chương: bắc cầu, cộng cùng một số, nhân cùng một số. Chỗ hay sai nhất là: nhân với số âm thì phải đổi chiều.

- Trang bài: https://anim.vn/lop-9/toan/bai-05-bat-dang-thuc-va-tinh-chat/
- Video: https://youtu.be/sefFSyNiYkc (8:59)
- Thuộc: Toán lớp 9 · Bài 5
- Bài tập về nhà (PDF, có lời giải): https://anim.vn/media/lop9-toan-bai-05/bai-tap-ve-nha.pdf

## Mục lục video

- 0:00 Mở đầu: nhân với −1 thì sao?
- 0:22 Bất đẳng thức là gì
- 1:32 Tính chất bắc cầu
- 2:20 Cộng cùng một số
- 3:10 Nhân với số dương, số âm
- 4:20 Hai cái bẫy
- 4:55 Dạng 1: Viết bất đẳng thức
- 5:55 Dạng 2: So sánh không cần tính
- 6:49 Dạng 3: Cho x < y, so sánh
- 7:42 Dạng 4: Chứng minh bất đẳng thức
- 8:35 Kết bài

> Toán 9 · Bài 5. Bạn sẽ biết bất đẳng thức là gì, và ba tính chất dùng suốt chương: **bắc cầu**, **cộng cùng một số**, **nhân cùng một số**. Chỗ hay sai nhất là: **nhân với số âm thì phải đổi chiều**.

## 1. Bất đẳng thức là gì?

Với hai số thực $a$ và $b$, chỉ có ba khả năng: $a = b$, $a > b$ hoặc $a < b$. Trên trục số, số bé hơn nằm bên trái.

Thêm hai kí hiệu:
- $a \geq b$ (đọc "a lớn hơn hoặc bằng b"): $a > b$ **hoặc** $a = b$.
- $a \leq b$ (đọc "a bé hơn hoặc bằng b"): $a < b$ **hoặc** $a = b$.

Hệ thức dạng $a > b$, $a < b$, $a \geq b$, $a \leq b$ gọi là **bất đẳng thức**; $a$ là **vế trái**, $b$ là **vế phải**.

- **Ví dụ 1.** Thang máy chở tối đa 630 kg. Gọi $m$ (kg) là khối lượng chở được: $m \leq 630$ (vế trái $m$, vế phải $630$).
- **Ví dụ 2 (bẫy).** "$x$ là số không âm" viết là $x \geq 0$, **không phải** $x > 0$ — vì $x = 0$ vẫn thoả mãn.

Hai bất đẳng thức cùng dấu $<$ (hoặc cùng dấu $>$) là **cùng chiều**, ví dụ $2 < 7$ và $-4 < -1$. Một $<$, một $>$ là **ngược chiều**, ví dụ $2 < 7$ và $5 > 3$.

## 2. Tính chất bắc cầu

> Nếu $a < b$ và $b < c$ thì $a < c$. (Các dấu $>$, $\geq$, $\leq$ cũng vậy.)

Trên trục số: $a$ bên trái $b$, $b$ bên trái $c$, nên $a$ chắc chắn bên trái $c$.

- **Ví dụ 1.** Nam thấp hơn Hà, Hà thấp hơn Tuấn ⇒ không cần đo, Nam thấp hơn Tuấn.
- **Ví dụ 2.** Chứng minh $\dfrac{19}{18} > \dfrac{26}{27}$. Tìm **số làm cầu** là $1$: $\dfrac{19}{18} > 1$ (tử lớn hơn mẫu) và $1 > \dfrac{26}{27}$ (tử bé hơn mẫu). Bắc cầu: $\dfrac{19}{18} > \dfrac{26}{27}$.

## 3. Cộng cùng một số vào hai vế — giữ chiều

> Nếu $a < b$ thì $a + c < b + c$ với mọi số $c$ (các dấu $\leq$, $>$, $\geq$ cũng vậy).

Trừ cùng một số cũng giữ chiều, vì trừ $c$ là cộng $-c$.

- **Ví dụ 1 (cân đĩa).** Túi 5 kg nặng hơn túi 3 kg. Thêm quả cân 2 kg vào mỗi bên: $5 + 2 > 3 + 2$, tức $7 > 5$, cân vẫn nghiêng về bên cũ.
- **Ví dụ 2 (trục số).** $-3 < 2$. Cộng $-4$ vào hai vế: hai điểm cùng trượt sang trái 4 đơn vị, được $-7 < -2$. Thứ tự không đổi.

## 4. Nhân cùng một số — số dương giữ chiều, số âm ĐỔI chiều

> Với $c > 0$: $a < b \Rightarrow ac < bc$ (giữ chiều).
> Với $c < 0$: $a < b \Rightarrow ac > bc$ (**đổi chiều**).
> Chia cho số âm cũng đổi chiều (chia cho $c$ là nhân với $\tfrac{1}{c}$).

Vì sao? Nhân với $-1$, mỗi điểm trên trục số **lật gương** sang phía bên kia số $0$: $1 < 3$ nhưng $-1 > -3$.

- **Ví dụ 1 (nợ tiền).** Bình nợ 30 nghìn, An nợ 50 nghìn. $30 < 50$, nhưng ghi thành số âm: $-30 > -50$ — Bình vẫn khá hơn An.
- **Ví dụ 2 (bẫy).** $4 > -2$. Nhân hai vế với $-3$: viết $-12 > 6$ là **sai**; phải đổi chiều: $-12 < 6$.

## Bảng kí hiệu

| Kí hiệu | Đọc | Nghĩa |
|---|---|---|
| $a > b$ | a lớn hơn b | |
| $a < b$ | a bé hơn b | |
| $a \geq b$ | a lớn hơn hoặc bằng b | $a > b$ hoặc $a = b$ |
| $a \leq b$ | a bé hơn hoặc bằng b | $a < b$ hoặc $a = b$ |
| $a < b,\ b < c \Rightarrow a < c$ | bắc cầu | |
| $a < b \Rightarrow a + c < b + c$ | cộng cùng một số | giữ chiều |
| $c < 0:\ a < b \Rightarrow ac > bc$ | nhân số âm | đổi chiều |

## Lỗi hay gặp

1. **Nhân hoặc chia hai vế với số âm mà quên đổi chiều.** Mỗi lần nhân/chia, hỏi ngay: "số này âm hay dương?".
2. **Cộng vế với vế hai bất đẳng thức ngược chiều.** $5 > 1$ và $2 < 9$ không cho ra $7 > 10$. Chỉ cộng vế với vế khi hai bất đẳng thức **cùng chiều**.
3. **Nhân vế với vế khi có số âm.** $-3 < 1$ và $-2 < 1$ nhưng $6 < 1$ là sai. Nhân vế với vế chỉ an toàn khi các vế đều dương.
4. Nhầm "ít nhất", "không quá", "không âm" thành dấu không có bằng ($>$, $<$).

## Bài tập theo dạng

### Dạng 1. Viết bất đẳng thức từ lời
*Cách làm:* "không quá, tối đa" → $\leq$; "ít nhất, tối thiểu" → $\geq$; "trên, dưới" → $>$, $<$.

**Bài 1.** a) Nhiệt độ $t$ trong phòng máy không được vượt quá $26\,^\circ$C. b) Chiều cao $h$ để chơi tàu lượn phải ít nhất $120$ cm. c) $a$ là số không dương.

<details><summary>Đáp án</summary>

a) $t \leq 26$. b) $h \geq 120$ (không phải $h > 120$: cao đúng 120 cm vẫn được chơi). c) $a \leq 0$.
</details>

**Bài 2.** Viết bất đẳng thức: a) số khách $k$ trên một thuyền không quá $12$ người; b) điểm $d$ để đạt giải phải từ $8$ trở lên; c) $y$ là số âm.

<details><summary>Đáp án</summary>

a) $k \leq 12$. b) $d \geq 8$. c) $y < 0$.
</details>

### Dạng 2. So sánh mà không cần tính
*Cách làm:* tìm phần giống nhau ở hai vế, so sánh phần khác nhau, rồi dùng tính chất cộng hoặc nhân (nhân số âm thì đổi chiều).

**Bài 3.** So sánh: a) $57 + (-38)$ và $61 + (-38)$; b) $(-6)\cdot 2{,}5$ và $(-6)\cdot 1{,}8$; c) $14 \cdot (-0{,}3)$ và $14 \cdot (-0{,}7)$.

<details><summary>Đáp án</summary>

a) $57 < 61$, cộng $-38$ giữ chiều: $57 + (-38) < 61 + (-38)$.
b) $2{,}5 > 1{,}8$, nhân $-6 < 0$ đổi chiều: $(-6)\cdot 2{,}5 < (-6)\cdot 1{,}8$.
c) $-0{,}3 > -0{,}7$, nhân $14 > 0$ giữ chiều: $14 \cdot (-0{,}3) > 14 \cdot (-0{,}7)$.
</details>

### Dạng 3. Biết một bất đẳng thức, so sánh hai biểu thức
*Cách làm:* đi từ bất đẳng thức đã cho, cộng/nhân từng bước cho giống biểu thức cần so sánh.

**Bài 4.** Cho $x < y$. So sánh: a) $x - 6$ và $y - 6$; b) $-4x + 1$ và $-4y + 1$.

<details><summary>Đáp án</summary>

a) Cộng $-6$: $x - 6 < y - 6$.
b) Nhân $-4$ (đổi chiều): $-4x > -4y$; cộng $1$: $-4x + 1 > -4y + 1$.
</details>

**Bài 5.** Biết $-5m \leq -5n$. So sánh $m$ và $n$.

<details><summary>Đáp án</summary>

Chia hai vế cho $-5 < 0$, đổi chiều: $m \geq n$.
</details>

### Dạng 4. Chứng minh bất đẳng thức
*Cách làm:* tìm một số làm cầu ở giữa, hoặc đi từ điều đã biết rồi cộng, nhân từng bước.

**Bài 6.** a) Chứng minh $\dfrac{41}{40} > \dfrac{38}{39}$. b) Cho $a > 3$, chứng minh $5 - 2a < -1$.

<details><summary>Đáp án</summary>

a) $\dfrac{41}{40} > 1 > \dfrac{38}{39}$, bắc cầu qua $1$.
b) Nhân $-2$ (đổi chiều): $-2a < -6$; cộng $5$: $5 - 2a < -1$.
</details>

## Trò chơi 5 phút ở nhà: "Giữ hay lật?"

Một người viết một bất đẳng thức đúng lên giấy, ví dụ $2 < 9$. Người kia rút một thẻ phép toán (chuẩn bị sẵn: "+5", "−7", "×3", "×(−2)", ":(−4)", "×(−1)"…) và phải hô ngay **"Giữ!"** hoặc **"Lật!"** rồi viết bất đẳng thức mới. Đúng được 1 điểm; ai nhanh hơn thì lượt sau được ra đề. Mẹo: chỉ thẻ **nhân hoặc chia với số âm** mới "Lật".

## Lời thoại video

### 0:00 Mở đầu: nhân với −1 thì sao?

3 < 5. Điều này ai cũng biết. Nhân cả hai số với −1, được −3 và −5. Dấu nào đứng giữa? Nhiều bạn giữ nguyên dấu <. Và thế là sai. Hôm nay: bất đẳng thức và ba tính chất — bắc cầu, cộng một số, nhân một số.

### 0:22 Bất đẳng thức là gì

Với hai số thực a và b, chỉ có ba khả năng: a = b, a > b hoặc a < b. Trên trục số, số bé hơn nằm bên trái số lớn hơn. Thêm hai kí hiệu: a ≥ b nghĩa là a > b hoặc a = b. Tương tự, a ≤ b. Hệ thức có một trong bốn dấu này gọi là bất đẳng thức. a là vế trái, b là vế phải. Ví dụ 1: thang máy chở tối đa 630 kg. Khối lượng m chở được: m ≤ 630. Ở đây m là vế trái, 630 là vế phải. Ví dụ 2: x là số không âm. Viết thế nào? Không phải x > 0, vì x = 0 vẫn được. Đúng là: x ≥ 0. 2 < 7 và −4 < −1 là hai bất đẳng thức cùng chiều. Một <, một > thì ngược chiều.

### 1:32 Tính chất bắc cầu

Tính chất đầu tiên: bắc cầu. Nếu a < b và b < c thì a < c. Trên trục số: a bên trái b, b bên trái c, nên a chắc chắn bên trái c. Các dấu khác cũng bắc cầu như vậy. Ví dụ một: Nam thấp hơn Hà, Hà thấp hơn Tuấn. Không cần đo, ta biết Nam thấp hơn Tuấn. Ví dụ 2: chứng minh 19/18 > 26/27. Hãy tìm một số làm cầu: số một. 19/18 có tử lớn hơn mẫu, nên 19/18 > 1. 26/27 có tử bé hơn mẫu, nên 26/27 < 1. Bắc cầu qua số 1: 19/18 > 1 > 26/27.

### 2:20 Cộng cùng một số

Tính chất thứ hai: cộng cùng một số vào hai vế. Ví dụ 1: đĩa trái có túi 5 kg, đĩa phải có túi 3 kg. Cân nghiêng về bên trái. Thêm quả cân 2 kg vào mỗi bên: 7 kg và 5 kg — cân vẫn nghiêng về bên trái. Ví dụ 2, trên trục số: −3 < 2. Cộng −4 vào hai vế: hai điểm cùng trượt sang trái 4 đơn vị, được −7 < −2. Thứ tự không đổi. Quy tắc: nếu a < b thì a + c < b + c. Cộng cùng một số, bất đẳng thức giữ nguyên chiều. Trừ cùng một số cũng thế, vì trừ c chính là cộng −c.

### 3:10 Nhân với số dương, số âm

Tính chất thứ ba: nhân hai vế với cùng một số. Đây là chỗ hay sai nhất. Nhân với số dương: 1 < 3, nhân hai vế với 2 được 2 < 6. Thứ tự giữ nguyên. Nhân với −1 thì khác. Mỗi điểm lật sang phía bên kia số 0, như soi gương. 1 thành −1, 3 thành −3. Giờ −3 nằm bên trái: −1 > −3. Chiều bị đảo ngược! Nhân với số dương: giữ chiều. Nhân với số âm: đổi chiều. Chia cũng vậy, vì chia cho c là nhân với 1/c. Câu hỏi đầu bài: 3 < 5, nên −3 > −5. Ví dụ 1: Bình nợ 30 nghìn, An nợ 50 nghìn. Ghi thành số âm: −30 > −50, Bình vẫn khá hơn An. Ví dụ 2: 4 > −2. Nhân hai vế với −3 thì sao? Viết −12 > 6 là sai. Nhân với số âm phải đổi chiều: −12 < 6.

### 4:20 Hai cái bẫy

Cẩn thận với hai cái bẫy nữa. Bẫy 1: cộng vế với vế hai bất đẳng thức ngược chiều. 5 > 1 và 2 < 9. Cộng lại thành 7 > 10? Sai rõ ràng. Chỉ cộng vế với vế khi hai bất đẳng thức cùng chiều. Bẫy 2: nhân vế với vế khi có số âm. −3 < 1, −2 cũng < 1. Nhân vế với vế, được 6 < 1? Sai. Nhân vế với vế chỉ an toàn khi các vế đều dương.

### 4:55 Dạng 1: Viết bất đẳng thức

Dạng một: viết bất đẳng thức từ lời. Cách làm: tìm từ khoá. Không quá, tối đa: ≤. Ít nhất, tối thiểu: ≥. Trên, dưới: không có bằng. Bài 1a: nhiệt độ t trong phòng máy không được vượt quá 26 °C. Tạm dừng video và thử làm. Không vượt quá, nghĩa là bằng 26 vẫn được: t ≤ 26. Câu b: muốn chơi tàu lượn, chiều cao h phải ít nhất 120 cm. Viết h > 120 là chưa đúng, vì cao đúng 120 cm vẫn được chơi. Đáp án: h ≥ 120. Câu c: a là số không dương. Không dương là âm hoặc bằng 0: a ≤ 0.

### 5:55 Dạng 2: So sánh không cần tính

Dạng hai: so sánh mà không cần tính. Cách làm: tìm phần giống nhau ở hai vế, so sánh phần khác nhau, rồi dùng tính chất cộng hoặc nhân. Bài 2a: so sánh 57 + (−38) và 61 + (−38). Tạm dừng video và thử làm. Hai vế cùng cộng −38. Phần khác nhau: 57 < 61. Cộng −38 vào hai vế, giữ chiều: 57 + (−38) < 61 + (−38). Câu b: so sánh (−6) · 2,5 và (−6) · 1,8. Phần giống nhau là thừa số −6. Ta có 2,5 > 1,8. Nhân hai vế với −6 (số âm) nên đổi chiều: (−6) · 2,5 < (−6) · 1,8.

### 6:49 Dạng 3: Cho x < y, so sánh

Dạng ba: biết một bất đẳng thức, so sánh hai biểu thức. Cách làm: đi từ bất đẳng thức đã cho, biến đổi từng bước cho giống biểu thức cần so sánh. Nhân số âm thì đổi chiều. Bài 3. Cho x < y. Câu a: so sánh x − 6 và y − 6. Tạm dừng video và thử làm. Cộng −6 vào hai vế của x < y: x − 6 < y − 6. Câu b: so sánh −4x + 1 và −4y + 1. Bước 1: nhân hai vế với −4, đổi chiều: −4x > −4y. Bước 2: cộng 1 vào hai vế, giữ chiều: −4x + 1 > −4y + 1.

### 7:42 Dạng 4: Chứng minh bất đẳng thức

Dạng bốn: chứng minh bất đẳng thức. Cách làm: tìm một số làm cầu ở giữa, hoặc đi từ điều đã biết rồi cộng, nhân từng bước. Bài 4a: chứng minh 41/40 > 38/39. Tạm dừng video và thử làm. Số làm cầu là 1. 41/40 có tử lớn hơn mẫu, nên 41/40 > 1. 38/39 có tử bé hơn mẫu, nên 38/39 < 1. Bắc cầu qua số 1 là xong. Câu b: cho a > 3. Chứng minh 5 − 2a < −1. Từ a > 3, nhân hai vế với −2, đổi chiều: −2a < −6. Cộng 5 vào hai vế: 5 − 2a < −1. Xong!

### 8:35 Kết bài

Tóm lại. Bất đẳng thức là hệ thức có một trong bốn dấu so sánh. Bắc cầu: a < b, b < c thì a < c. Cộng cùng một số: giữ chiều. Nhân số dương: giữ chiều. Nhân số âm: đổi chiều. Làm thêm phiếu bài tập để nhớ lâu nhé. Hẹn gặp lại bạn!