# Bất phương trình bậc nhất một ẩn – Toán lớp 9, Bài 6

> Heo đất của bạn có 60 nghìn, mỗi tuần bỏ thêm 25 nghìn, cần ít nhất 300 nghìn để mua đôi giày. Phải để dành ít nhất bao nhiêu tuần? Câu hỏi này không dẫn tới dấu "=" mà dẫn tới dấu "≥" — một bất phương trình.

- Trang bài: https://anim.vn/lop-9/toan/bai-06-bat-phuong-trinh-bac-nhat-mot-an/
- Video: https://youtu.be/vRIWEsXzNq8 (9:20)
- Thuộc: Toán lớp 9 · Bài 6
- Bài tập về nhà (PDF, có lời giải): https://anim.vn/media/lop9-toan-bai-06/bai-tap-ve-nha.pdf

## Mục lục video

- 0:00 Mở đầu: heo đất bao nhiêu tuần?
- 0:21 Bất phương trình bậc nhất một ẩn
- 1:26 Nghiệm của bất phương trình
- 2:16 Cách giải: chuyển vế, chia số dương
- 3:07 Chia cho số âm: đổi chiều
- 4:07 Dạng 1: Nhận biết · kiểm tra nghiệm
- 5:15 Dạng 2: Giải bất phương trình
- 6:26 Dạng 3: x ở hai vế, có ngoặc
- 7:32 Dạng 4: Bài toán thực tế
- 8:55 Kết bài

Heo đất của bạn có 60 nghìn, mỗi tuần bỏ thêm 25 nghìn, cần **ít nhất** 300 nghìn để mua đôi giày.
Phải để dành ít nhất bao nhiêu tuần? Câu hỏi này không dẫn tới dấu "$=$" mà dẫn tới dấu "$\ge$" — một **bất phương trình**.

Bài này học sau bài *Bất đẳng thức và tính chất*: mọi quy tắc giải đều lấy từ các tính chất đó.

## 1. Bất phương trình bậc nhất một ẩn

Gọi $x$ là số tuần để dành. Sau $x$ tuần heo đất có $60 + 25x$ nghìn, và ta cần

$$60 + 25x \ge 300.$$

Đó là một **bất phương trình** ẩn $x$: $60 + 25x$ là **vế trái**, $300$ là **vế phải**.
Chuyển vế ta được $25x - 240 \ge 0$.

**Bất phương trình bậc nhất một ẩn** có dạng

$$ax + b < 0 \quad(\text{hoặc } ax + b > 0,\ ax + b \le 0,\ ax + b \ge 0), \qquad a \ne 0.$$

**Ví dụ 1 (heo đất).** $25x - 240 \ge 0$ là bất phương trình bậc nhất một ẩn với $a = 25$, $b = -240$.

**Ví dụ 2 (nhận biết, có bẫy).**
- $4x - 7 > 0$: có, $a = 4$.
- $0{,}5 - x \le 0$: có, $a = -1$ (hệ số của $x$ là $-1$, không phải $1$).
- $2x^2 + 1 < 0$: **không**, vì có $x^2$.
- $0 \cdot x + 3 > 0$: **không**, vì $a = 0$.

## 2. Nghiệm của bất phương trình

Thay $x = x_0$ vào, nếu được **khẳng định đúng** thì $x_0$ là **một nghiệm**.
**Giải** bất phương trình là tìm **tất cả** các nghiệm.

**Ví dụ 1 (heo đất).** $x = 8$: $60 + 25 \cdot 8 = 260 \ge 300$ là sai, nên $8$ không phải nghiệm.
$x = 10$: $310 \ge 300$ là đúng, nên $10$ là một nghiệm.

**Ví dụ 2 (bẫy dấu bằng).** $3x - 5 < 4$.
$x = -1$: $-8 < 4$, đúng. $x = 3$: $4 < 4$, **sai** — bằng nhau thì không phải "nhỏ hơn".
Thật ra **mọi** $x < 3$ đều là nghiệm: tập nghiệm là cả một khoảng. Trên trục số, đó là tia bên trái điểm $3$, còn điểm $3$ để **rỗng** vì nó không phải nghiệm (nếu là dấu $\le$ thì tô **đặc**).

## 3. Cách giải: chuyển vế, chia cho số dương

Hai quy tắc, đều từ tính chất bất đẳng thức:
1. **Chuyển vế:** chuyển một hạng tử sang vế kia thì **đổi dấu** hạng tử đó.
2. **Chia (nhân) hai vế cho cùng một số dương:** giữ nguyên chiều.

**Ví dụ 1.** $3x + 12 > 0 \Rightarrow 3x > -12 \Rightarrow x > -4$ (chia cho $3 > 0$, giữ chiều).
Nghiệm là **mọi** số lớn hơn $-4$, không phải "$x = -4$".

**Ví dụ 2.** $2x - 5 \le 0 \Rightarrow 2x \le 5 \Rightarrow x \le \dfrac{5}{2}$. Có dấu bằng nên $\dfrac52$ cũng là nghiệm (điểm tô đặc).

## 4. Chia cho số âm: phải đổi chiều

**Ví dụ 1 (vì sao?).** $2 < 5$. Nhân cả hai số với $-1$: được $-2$ và $-5$.
Trên trục số, $-2$ nằm **bên phải** $-5$, nên $-2 > -5$. Dấu đã **lật chiều**.

> **Nhân hoặc chia hai vế cho một số âm thì phải đổi chiều bất phương trình.**

**Ví dụ 2 (bẫy).** $-4x + 8 > 0 \Rightarrow -4x > -8$.
Viết $x > 2$ là **sai** (quên đổi chiều). Đúng: chia cho $-4 < 0$ nên $x < 2$.
Thử lại: $x = 0$ cho $8 > 0$, đúng — khớp với $x < 2$.

**Tổng quát:** $ax + b < 0 \Rightarrow ax < -b$; nếu $a > 0$ thì $x < -\dfrac{b}{a}$, nếu $a < 0$ thì $x > -\dfrac{b}{a}$.
Các dạng $>, \le, \ge$ giải tương tự.

## Bảng kí hiệu

| Kí hiệu | Đọc | Ví dụ đúng |
|---|---|---|
| $<$ | nhỏ hơn | $3 < 5$ |
| $>$ | lớn hơn | $-2 > -5$ |
| $\le$ | nhỏ hơn hoặc bằng | $4 \le 4$ |
| $\ge$ | lớn hơn hoặc bằng | $310 \ge 300$ |
| $a \ne 0$ | $a$ khác không | bậc nhất phải có $x$ thật sự |

## Lỗi hay gặp

1. **Chia cho số âm mà quên đổi chiều** — lỗi số một. Mỗi lần chia, hỏi: "số này âm hay dương?".
2. **Ghi nghiệm là một số** ($x = 3{,}5$) trong khi nghiệm là cả một khoảng ($x > 3{,}5$).
3. **Nhầm $<$ với $\le$** khi kiểm tra nghiệm: $4 < 4$ sai, nhưng $4 \le 4$ đúng.
4. **Bài thực tế:** quên chọn nghiệm hợp đề. Hỏi *ít nhất* thì làm tròn **lên** ($x \ge 9{,}6 \to 10$); hỏi *nhiều nhất* thì làm tròn **xuống** ($x \le 108{,}3 \to 108$). Nếu là dấu $<$ ($x < 20$) thì không lấy chính số đó.
5. Chuyển vế quên đổi dấu, hoặc bỏ ngoặc có dấu trừ phía trước mà quên đổi dấu cả ngoặc.

## Bài tập theo dạng

### Dạng 1. Nhận biết · kiểm tra nghiệm

Cách làm: đúng dạng $ax + b$ ($<, >, \le, \ge$) $0$ với $a \ne 0$; kiểm tra nghiệm thì thay số vào.

**Bài 1.** Cái nào là bất phương trình bậc nhất một ẩn? a) $7 - 2x \ge 0$; b) $x^2 + 3 < 0$; c) $0 \cdot x - 5 > 0$.
<details><summary>Đáp án</summary>a) Có, $a = -2$. b) Không (có $x^2$). c) Không ($a = 0$).</details>

**Bài 2.** Trong các số $-3;\ 0;\ 4$, số nào là nghiệm của $5 - 2x > 1$?
<details><summary>Đáp án</summary>$x = -3$: $11 > 1$ đúng; $x = 0$: $5 > 1$ đúng; $x = 4$: $-3 > 1$ sai. Nghiệm: $-3$ và $0$.</details>

### Dạng 2. Giải bất phương trình bậc nhất một ẩn

Cách làm: chuyển số sang vế phải (đổi dấu) → chia hai vế cho hệ số của $x$ → chia số âm thì đổi chiều.

**Bài 3.** Giải: a) $6x - 18 > 0$; b) $-3x - 9 \ge 0$; c) $7 - 2x < 0$.
<details><summary>Đáp án</summary>a) $6x > 18 \Rightarrow x > 3$. b) $-3x \ge 9 \Rightarrow x \le -3$ (đổi chiều). c) $-2x < -7 \Rightarrow x > \frac{7}{2}$ (đổi chiều).</details>

### Dạng 3. x ở hai vế, có dấu ngoặc

Cách làm: bỏ ngoặc → hạng tử chứa $x$ sang trái, số sang phải (đổi dấu) → rút gọn, giải như dạng 2.

**Bài 4.** Giải: a) $5x - 4 < 2x + 11$; b) $2(x - 3) \ge 5x + 6$.
<details><summary>Đáp án</summary>a) $5x - 2x < 11 + 4 \Rightarrow 3x < 15 \Rightarrow x < 5$.
b) $2x - 6 \ge 5x + 6 \Rightarrow 2x - 5x \ge 6 + 6 \Rightarrow -3x \ge 12 \Rightarrow x \le -4$.</details>

### Dạng 4. Bài toán thực tế

Cách làm: gọi ẩn (nêu điều kiện) → lập và giải bất phương trình → chọn nghiệm hợp đề.

**Bài 5.** Heo đất có 60 nghìn, mỗi tuần thêm 25 nghìn, cần ít nhất 300 nghìn. Ít nhất bao nhiêu tuần?
<details><summary>Đáp án</summary>$60 + 25x \ge 300 \Rightarrow 25x \ge 240 \Rightarrow x \ge 9{,}6$. Chín tuần mới có 285 nghìn. Cần <b>ít nhất 10 tuần</b>.</details>

**Bài 6.** Pin điện thoại còn 85%, mỗi phút xem video tốn 0,6%. Phải giữ lại ít nhất 20%. Xem được nhiều nhất bao nhiêu phút?
<details><summary>Đáp án</summary>$85 - 0{,}6x \ge 20 \Rightarrow -0{,}6x \ge -65 \Rightarrow x \le \frac{325}{3} \approx 108{,}3$ (chia số âm, đổi chiều). Làm tròn xuống: <b>nhiều nhất 108 phút</b>.</details>

Thêm bài (số liệu khác) trong [bài tập về nhà (PDF)](https://anim.vn/media/lop9-toan-bai-06/bai-tap-ve-nha.pdf).

## Trò chơi ở nhà (5 phút): "Lật dấu"

Một người đọc một bất phương trình đơn giản (vd "$-3x$ lớn hơn $12$"), người kia giơ tay **trái** nếu đáp án là "$x <$ …", tay **phải** nếu "$x >$ …", rồi đọc số.
Luật: chia cho số âm mà giơ nhầm tay thì mất lượt. Đổi vai sau 5 câu. Mẹo: nói to "âm — lật!" mỗi khi chia cho số âm.

## Lời thoại video

### 0:00 Mở đầu: heo đất bao nhiêu tuần?

Heo đất của bạn đang có 60 nghìn đồng. Mỗi tuần bạn bỏ thêm 25 nghìn. Cần ít nhất 300 nghìn để mua đôi giày. Phải để dành ít nhất bao nhiêu tuần? Câu hỏi này không có dấu =, mà có dấu ≥. Hôm nay ta học bất phương trình bậc nhất một ẩn.

### 0:21 Bất phương trình bậc nhất một ẩn

Ví dụ 1, heo đất: gọi x là số tuần để dành. Sau x tuần, heo đất có 60 + 25x nghìn. Số tiền đó phải ≥ 300. Hệ thức này là một bất phương trình, ẩn x. 60 + 25x là vế trái, 300 là vế phải. Chuyển vế: 25x − 240 ≥ 0. Bất phương trình dạng ax + b < 0 (hay >, ≤, ≥), với a ≠ 0, gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn. Ví dụ 2: cái nào là bậc nhất một ẩn? 4x − 7 > 0: có, a = 4. 0,5 − x ≤ 0: cũng có, a = −1. 2x² + 1 < 0: không phải, vì có x². 0 · x + 3 > 0: cũng không phải, vì a = 0.

### 1:26 Nghiệm của bất phương trình

Thay một số vào chỗ x, nếu được khẳng định đúng thì số đó là một nghiệm của bất phương trình. Ví dụ 1, heo đất: thử x = 8. Được 260, chưa tới 300. Sai, 8 không phải nghiệm. Thử x = 10: 310 ≥ 300. Đúng, 10 là một nghiệm. Ví dụ 2: 3x − 5 < 4. Với x = −1: −8 < 4, đúng. Với x = 3: 4 < 4, sai! Bằng nhau thì không phải nhỏ hơn. Thật ra mọi số nhỏ hơn 3 đều là nghiệm. Trên trục số, nghiệm là cả một khoảng. Điểm 3 để rỗng, vì 3 không phải nghiệm. Giải bất phương trình là tìm tất cả các nghiệm của nó.

### 2:16 Cách giải: chuyển vế, chia số dương

Để giải, ta dùng hai quy tắc, đều từ tính chất của bất đẳng thức. ① Chuyển một hạng tử sang vế kia thì đổi dấu hạng tử đó. ② Chia hai vế cho cùng một số dương thì giữ nguyên chiều. Ví dụ 1: 3x + 12 > 0. Chuyển 12 sang phải, thành −12. Chia hai vế cho 3 > 0, giữ nguyên chiều: x > −4. Nghiệm là mọi số lớn hơn −4, chứ không phải một số. Ví dụ 2: 2x − 5 ≤ 0. Chuyển vế: 2x ≤ 5. Chia cho 2: x ≤ 5/2. Lần này có dấu =, nên điểm 5/2 được tô đặc.

### 3:07 Chia cho số âm: đổi chiều

Còn khi chia hai vế cho một số âm thì sao? Ví dụ 1: 2 < 5. Nhân cả hai số với −1, được −2 và −5. Trên trục số, −2 nằm bên phải −5, nên −2 > −5. Dấu đã lật chiều! Nhân hoặc chia hai vế cho số âm thì phải đổi chiều bất phương trình. Ví dụ 2: −4x + 8 > 0. Chuyển vế: −4x > −8. Nhiều bạn chia cho −4 rồi viết x > 2. Sai rồi! Chia cho −4 thì dấu > phải lật thành <: x < 2. Thử lại với x = 0: 8 > 0, đúng. Tổng quát: ax < −b. a > 0 thì x < −b/a, a < 0 thì x > −b/a. Giờ ta luyện bốn dạng bài.

### 4:07 Dạng 1: Nhận biết · kiểm tra nghiệm

Dạng một: nhận biết bất phương trình bậc nhất, và kiểm tra nghiệm. Cách làm: xem có đúng dạng ax + b, với a ≠ 0. Kiểm tra nghiệm thì thay số vào. Câu a: cái nào là bậc nhất một ẩn? Tạm dừng video và thử làm. 7 − 2x ≥ 0: có, a = −2. x² + 3 < 0: không, vì có x². 0 · x − 5 > 0: không, vì a = 0. Câu b: trong ba số −3; 0; 4, số nào là nghiệm của 5 − 2x > 1? Bạn thử trước nhé. Thay −3: 5 + 6 = 11 > 1, đúng. Thay 0: 5 > 1, đúng. Thay 4: 5 − 8 = −3, không lớn hơn 1, sai. Vậy −3 và 0 là nghiệm, còn 4 thì không.

### 5:15 Dạng 2: Giải bất phương trình

Dạng hai: giải bất phương trình bậc nhất một ẩn. Cách làm: chuyển số sang vế phải, đổi dấu. Rồi chia hai vế cho hệ số của x; chia cho số âm thì đổi chiều. Câu a: 6x − 18 > 0. Tạm dừng video và thử làm. Chuyển vế: 6x > 18. Chia cho 6, giữ chiều: x > 3. Câu b: −3x − 9 ≥ 0. Bạn thử trước nhé. Chuyển vế: −3x ≥ 9. Nếu bạn viết x ≥ −3, là quên đổi chiều. Chia cho −3 phải lật dấu: x ≤ −3. Câu c: 7 − 2x < 0. Thử trước nhé. Chuyển 7 sang phải: −2x < −7. Chia cho −2, lật dấu: x > 7/2. Chú ý: nghiệm là x > 3,5, chứ không phải x = 3,5.

### 6:26 Dạng 3: x ở hai vế, có ngoặc

Dạng ba: có x ở cả hai vế, hoặc có dấu ngoặc. Cách làm: bỏ ngoặc, đưa hạng tử chứa x sang trái, các số sang phải, rồi giải như dạng hai. Câu a: 5x − 4 < 2x + 11. Tạm dừng video và thử làm. Chuyển 2x sang trái thành −2x, chuyển −4 sang phải thành +4. Rút gọn: 3x < 15. Chia cho 3: x < 5. Câu b: 2(x − 3) ≥ 5x + 6. Bạn thử trước nhé. Bỏ ngoặc: 2x − 6 ≥ 5x + 6. Chuyển vế: 2x − 5x ≥ 6 + 6. Rút gọn: −3x ≥ 12. Chia cho −3, đổi chiều: x ≤ −4.

### 7:32 Dạng 4: Bài toán thực tế

Dạng bốn: bài toán thực tế. Cách làm: gọi ẩn, lập bất phương trình, giải, rồi chọn nghiệm hợp đề. Hỏi ít nhất thì làm tròn lên, hỏi nhiều nhất thì làm tròn xuống. Câu a: quay lại heo đất lúc đầu. Tạm dừng video và thử làm. Gọi x là số tuần: 60 + 25x ≥ 300. Chuyển vế: 25x ≥ 240. Chia cho 25: x ≥ 9,6. 9 tuần mới có 285 nghìn, chưa đủ. Vậy cần ít nhất 10 tuần. Câu b: pin điện thoại còn 85%, mỗi phút xem video tốn 0,6%. Phải giữ lại ít nhất 20%. Xem được nhiều nhất bao nhiêu phút? Bạn thử trước nhé. Gọi x là số phút xem: 85 − 0,6x ≥ 20. Chuyển vế: −0,6x ≥ −65. Chia cho −0,6, đổi chiều: x ≤ 108,3… Làm tròn xuống: xem được nhiều nhất 108 phút.

### 8:55 Kết bài

Tóm lại. Bất phương trình bậc nhất một ẩn: ax + b < 0 (hoặc >, ≤, ≥), với a ≠ 0. Giải bằng hai quy tắc: chuyển vế đổi dấu, và chia hai vế cho hệ số của x. Nhớ kỹ: chia cho số âm thì lật chiều bất phương trình. Nghiệm là cả một khoảng, không phải một số. Làm thêm bài tập về nhà để nhớ lâu nhé!