# Tỉ số lượng giác của góc nhọn – Toán lớp 9, Bài 11
> Một chiếc thang dài 4 m dựa vào tường, nghiêng 60° so với mặt đất. Đỉnh thang cao bao nhiêu? Chỉ biết một cạnh và một góc, không đo tường, vẫn tính được. Bài này cho bạn công cụ để làm việc đó.
- Trang bài: https://anim.vn/lop-9/toan/bai-11-ti-so-luong-giac-cua-goc-nhon/
- Video: https://youtu.be/Z8zMwUy0_qw (9:06)
- Thuộc: Toán lớp 9 · Bài 11
- Bài tập về nhà (PDF, có lời giải): https://anim.vn/media/lop9-toan-bai-11/bai-tap-ve-nha.pdf
## Mục lục video
- 0:00 Mở đầu: chiếc thang 60°
- 0:16 Cạnh đối, cạnh kề, cạnh huyền
- 0:48 Sin, cos, tan, cot
- 1:39 Tính tỉ số lượng giác
- 2:30 Góc 30°, 45°, 60°
- 3:28 Hai góc phụ nhau
- 4:19 Dùng máy tính cầm tay
- 4:59 Dạng 1: Tính tỉ số từ hai cạnh
- 6:06 Dạng 2: Tính cạnh từ góc
- 7:00 Dạng 3: Hai góc phụ nhau
- 7:46 Dạng 4: Bài toán thực tế
- 8:42 Kết bài
> Một chiếc thang dài 4 m dựa vào tường, nghiêng 60° so với mặt đất. Đỉnh thang cao bao nhiêu?
> Chỉ biết **một cạnh và một góc**, không đo tường, vẫn tính được. Bài này cho bạn công cụ để làm việc đó.
## 1. Gọi tên các cạnh theo góc đang xét
Tam giác $DEF$ vuông tại $D$.
- **Cạnh huyền**: cạnh đối diện góc vuông, ở đây là $EF$. Đây luôn là cạnh dài nhất.
- Xét **góc $E$**:
- **cạnh đối** là cạnh nằm xa, không chạm góc $E$: $DF$;
- **cạnh kề** là cạnh chạm vào góc $E$ nhưng không phải cạnh huyền: $DE$.
**Ví dụ 1.** Với góc $E$: đối $DF$, kề $DE$, huyền $EF$.
**Ví dụ 2 (hay nhầm).** Đổi sang **góc $F$**: đối là $DE$, kề là $DF$. Khi đổi góc, **cạnh đối và cạnh kề đổi vai cho nhau**. Chỉ cạnh huyền giữ nguyên.
## 2. Bốn tỉ số lượng giác
Với góc nhọn $\alpha$ trong tam giác vuông:
| Tỉ số | Công thức | Mẹo nhớ |
|---|---|---|
| $\sin\alpha$ | $\dfrac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh huyền}}$ | **sin đi học** (đối / huyền) |
| $\cos\alpha$ | $\dfrac{\text{cạnh kề}}{\text{cạnh huyền}}$ | **cos không hư** (kề / huyền) |
| $\tan\alpha$ | $\dfrac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh kề}}$ | **tan đoàn kết** (đối / kề) |
| $\cot\alpha$ | $\dfrac{\text{cạnh kề}}{\text{cạnh đối}}$ | **cot kết đoàn** (kề / đối) |
Ngoài ra $\cot\alpha = \dfrac{1}{\tan\alpha}$, tức $\tan\alpha \cdot \cot\alpha = 1$.
**Vì sao tỉ số không phụ thuộc tam giác to hay nhỏ?** Hai tam giác vuông có cùng một góc nhọn thì **đồng dạng**, nên tỉ số giữa các cạnh tương ứng bằng nhau. Chẳng hạn một tam giác có cạnh đối 7, cạnh huyền 25 thì $\sin = 0{,}28$; phóng to gấp đôi thành 14 và 50, vẫn là $0{,}28$. Tỉ số lượng giác **chỉ phụ thuộc vào độ lớn của góc**.
**Ví dụ 1.** Tam giác $DEF$ vuông tại $D$, $DE = 20$, $DF = 21$. Theo Pythagore $EF^2 = 20^2 + 21^2 = 841$, nên $EF = 29$. Với góc $E$ (đối 21, kề 20):
$\sin E = \frac{21}{29}$, $\cos E = \frac{20}{29}$, $\tan E = \frac{21}{20}$, $\cot E = \frac{20}{21}$.
**Ví dụ 2 (bẫy).** Viết $\sin E = \frac{29}{21}$ là sai: tử lớn hơn mẫu, tức $\sin E > 1$. Vì cạnh huyền dài nhất, **sin và cos của góc nhọn luôn nằm giữa 0 và 1** (cạnh huyền luôn ở mẫu). Còn $\tan$, $\cot$ thì có thể lớn hơn 1.
## 3. Các góc đặc biệt 30°, 45°, 60°
**Ví dụ 1 — góc 45°.** Cắt đôi hình vuông cạnh 1 theo đường chéo: được tam giác vuông cân, hai cạnh góc vuông bằng 1, cạnh huyền $\sqrt2$.
$\sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt2} = \frac{\sqrt2}{2}$, $\tan 45^\circ = \cot 45^\circ = 1$.
**Ví dụ 2 — góc 30° và 60°.** Cắt đôi tam giác đều cạnh 2 bằng một đường cao: được tam giác vuông có cạnh ngắn 1, cạnh huyền 2, đường cao $\sqrt3$; góc 60° ở đỉnh đáy, góc 30° ở đỉnh trên.
| $\alpha$ | 30° | 45° | 60° |
|---|---|---|---|
| $\sin\alpha$ | $\frac12$ | $\frac{\sqrt2}{2}$ | $\frac{\sqrt3}{2}$ |
| $\cos\alpha$ | $\frac{\sqrt3}{2}$ | $\frac{\sqrt2}{2}$ | $\frac12$ |
| $\tan\alpha$ | $\frac{\sqrt3}{3}$ | $1$ | $\sqrt3$ |
| $\cot\alpha$ | $\sqrt3$ | $1$ | $\frac{\sqrt3}{3}$ |
Không cần học thuộc máy móc: nhớ hai hình (nửa hình vuông, nửa tam giác đều) là tự suy ra được.
**Trả lời câu hỏi mở đầu:** độ cao là cạnh đối của góc 60°, thang là cạnh huyền:
$h = 4 \cdot \sin 60^\circ = 4 \cdot \frac{\sqrt3}{2} = 2\sqrt3 \approx 3{,}46$ m.
## 4. Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau
Hai góc nhọn của một tam giác vuông có tổng $90^\circ$: ta nói chúng **phụ nhau**. Cạnh đối của góc này chính là cạnh kề của góc kia, nên
$$\sin\alpha = \cos(90^\circ - \alpha),\quad \cos\alpha = \sin(90^\circ - \alpha),\quad \tan\alpha = \cot(90^\circ - \alpha),\quad \cot\alpha = \tan(90^\circ - \alpha).$$
**Ví dụ 1.** $\sin 70^\circ = \cos(90^\circ - 70^\circ) = \cos 20^\circ$.
**Ví dụ 2.** $\tan 58^\circ \cdot \tan 32^\circ = \cot 32^\circ \cdot \tan 32^\circ = 1$ (không cần máy tính).
## 5. Dùng máy tính cầm tay
- **Chỉnh máy về chế độ độ** (màn hình có chữ **D** nhỏ). Nếu máy ở chế độ radian (R), $\sin 38$ ra $0{,}296$: sai hoàn toàn!
- Tính tỉ số: bấm `sin` `3` `8` `=` được $\sin 38^\circ \approx 0{,}616$.
- Máy không có phím cot: $\cot 38^\circ = 1 : \tan 38^\circ \approx 1{,}28$.
- Tìm góc: biết $\sin\alpha = 0{,}6$, bấm `SHIFT` `sin` `0,6` `=` được $36{,}87^\circ$; bấm phím độ–phút–giây để đổi ra $\approx 36^\circ 52'$.
## Kí hiệu
| Viết | Đọc | Nghĩa |
|---|---|---|
| $\sin\alpha$ | sin an-pha | đối / huyền |
| $\cos\alpha$ | cô-sin an-pha | kề / huyền |
| $\tan\alpha$ | tang an-pha | đối / kề |
| $\cot\alpha$ | cô-tang an-pha | kề / đối |
| $\sin B$, $\sin\widehat{B}$ | sin góc B | tỉ số của góc $B$ |
| $36^\circ 52'$ | 36 độ 52 phút | $1^\circ = 60'$ |
## Lỗi hay gặp
1. **Nhầm cạnh đối với cạnh kề khi đổi góc.** Luôn hỏi: "cạnh này có chạm góc đang xét không?". Chạm (và không phải huyền) là kề.
2. **Viết sin, cos lớn hơn 1.** Cạnh huyền luôn ở mẫu của sin và cos; ra kết quả lớn hơn 1 là chắc chắn sai.
3. **Nhầm tan với cot.** tan = đối / kề ("tan đoàn kết"), cot là nghịch đảo.
4. **Quên dùng Pythagore** khi thiếu một cạnh: tính cạnh thứ ba trước rồi mới lập tỉ số.
5. **Máy tính để chế độ radian.** Kiểm tra chữ D trên màn hình trước khi bấm.
## Bài tập theo dạng
### Dạng 1. Tính tỉ số lượng giác khi biết hai cạnh
Cách làm: Pythagore tìm cạnh thứ ba → xác định cạnh đối, cạnh kề của góc đang xét → lập tỉ số.
**Bài 1.** Tam giác $MNP$ vuông tại $M$, $MN = 9$, $NP = 41$.
a) Tính các tỉ số lượng giác của góc $N$. b) Tính $\tan P$.
Đáp án
a) $MP^2 = 41^2 - 9^2 = 1600$, $MP = 40$. Góc $N$: đối 40, kề 9. $\sin N = \frac{40}{41}$, $\cos N = \frac{9}{41}$, $\tan N = \frac{40}{9}$, $\cot N = \frac{9}{40}$.
b) Góc $P$: đối $MN = 9$, kề $MP = 40$, nên $\tan P = \frac{9}{40}$ (không phải $\frac{40}{9}$).
Đáp án
$AK^2 = 3{,}4^2 - 1{,}6^2 = 9$, $AK = 3$. Góc $K$: đối $AB = 1{,}6$, kề $AK = 3$. $\sin K = \frac{1{,}6}{3{,}4} = \frac{8}{17}$, $\cos K = \frac{3}{3{,}4} = \frac{15}{17}$.
Đáp án
a) $HK$ đối, $IK$ huyền: $HK = 14 \cdot \sin 30^\circ = 7$ cm.
b) $HI$ kề: $HI = 14 \cdot \cos 30^\circ = 7\sqrt3 \approx 12{,}12$ cm.
Đáp án
$\cos 60^\circ = \frac{4}{\text{huyền}}$ nên huyền $= 4 : \frac12 = 8$ cm.
Đáp án
a) $\sin 68^\circ = \cos 22^\circ$; $\cot 75^\circ = \tan 15^\circ$.
b) $34^\circ + 56^\circ = 90^\circ$ nên $\sin 34^\circ = \cos 56^\circ$, kết quả bằng $1$.
Đáp án
$\cos 12^\circ = \sin 78^\circ$ nên hiệu bằng $0$; $\tan 70^\circ = \cot 20^\circ$ nên tích bằng $1$.
Đáp án
Cột cờ là cạnh đối, bóng là cạnh kề: $h = 8 \cdot \tan 60^\circ = 8\sqrt3 \approx 13{,}86$ m.
Đáp án
$\sin\alpha = \frac{2{,}2}{4} = 0{,}55$; SHIFT sin 0,55 → $\alpha \approx 33^\circ 22'$.