# Một số hệ thức giữa cạnh, góc trong tam giác vuông và ứng dụng – Toán lớp 9, Bài 12 > Biết một cạnh và một góc của tam giác vuông là tính được mọi cạnh còn lại. Nhờ vậy, bạn đo được chiều cao cột cờ, toà nhà hay khoảng cách tới con thuyền mà không cần trèo lên hay kéo thước dây. - Trang bài: https://anim.vn/lop-9/toan/bai-12-he-thuc-canh-goc-trong-tam-giac-vuong/ - Video: https://youtu.be/yKwra4Gp9gY (8:20) - Thuộc: Toán lớp 9 · Bài 12 - Bài tập về nhà (PDF, có lời giải): https://anim.vn/media/lop9-toan-bai-12/bai-tap-ve-nha.pdf ## Mục lục video - 0:00 Mở đầu: đo cột cờ không cần trèo - 0:19 Cạnh huyền – sin, côsin - 1:21 Hai cạnh góc vuông – tang, côtang - 2:28 Giải tam giác vuông - 3:37 Góc nâng, góc hạ - 4:32 Dạng 1: Tính cạnh - 5:44 Dạng 2: Giải tam giác vuông - 6:50 Dạng 3: Bài toán thực tế - 7:58 Kết bài > Biết **một cạnh và một góc** của tam giác vuông là tính được mọi cạnh còn lại. Nhờ vậy, bạn đo được chiều cao cột cờ, toà nhà hay khoảng cách tới con thuyền mà không cần trèo lên hay kéo thước dây. --- ## 0. Nhắc lại: đối, kề, huyền Tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Đứng ở **góc $B$** mà nhìn: - $AC$ là **cạnh đối** (nằm đối diện góc $B$), - $AB$ là **cạnh kề** (cạnh góc vuông chạm vào góc $B$), - $BC$ là **cạnh huyền** (đối diện góc vuông). $$\sin B = \frac{\text{đối}}{\text{huyền}},\quad \cos B = \frac{\text{kề}}{\text{huyền}},\quad \tan B = \frac{\text{đối}}{\text{kề}},\quad \cot B = \frac{\text{kề}}{\text{đối}}.$$ Đổi sang **góc $C$** thì vai trò đổi theo: $AB$ thành cạnh đối, $AC$ thành cạnh kề. ## 1. Cạnh góc vuông theo cạnh huyền (sin, côsin) Từ $\sin B = \dfrac{AC}{BC}$ nhân hai vế với $BC$ được $AC = BC \cdot \sin B$. Tương tự với côsin. > **Định lí 1.** Trong tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng **cạnh huyền nhân sin góc đối**, hoặc **nhân côsin góc kề**. > > $AC = BC \cdot \sin B = BC \cdot \cos C$; $\quad AB = BC \cdot \sin C = BC \cdot \cos B$. **Ví dụ 1. Con diều.** Sợi dây diều dài 40 m, căng thẳng, tạo với mặt đất góc $50^\circ$. Độ cao $h$ của diều (tính từ tay người thả) là cạnh **đối** góc $50^\circ$, dây là cạnh **huyền**: $h = 40 \cdot \sin 50^\circ \approx 30{,}64$ (m). **Ví dụ 2 (có bẫy).** Tam giác $DEF$ vuông tại $D$, $EF = 10$, $\widehat{E} = 28^\circ$. - $DF$ đối diện góc $E$: $DF = 10 \cdot \sin 28^\circ \approx 4{,}69$. - $DE$ **kề** góc $E$: viết $10 \cdot \sin 28^\circ$ là sai. Đúng là $DE = 10 \cdot \cos 28^\circ \approx 8{,}83$. ## 2. Cạnh góc vuông theo cạnh góc vuông kia (tang, côtang) Từ $\tan B = \dfrac{AC}{AB}$ được $AC = AB \cdot \tan B$. Với góc $C$ thì $AC$ là cạnh kề, $\cot C = \dfrac{AC}{AB}$ nên $AC = AB \cdot \cot C$. > **Định lí 2.** Trong tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng **cạnh góc vuông kia nhân tang góc đối**, hoặc **nhân côtang góc kề**. > > $AC = AB \cdot \tan B = AB \cdot \cot C$; $\quad AB = AC \cdot \tan C = AC \cdot \cot B$. **Ví dụ 1. Bóng cột đèn.** Bóng cột đèn trên mặt đất dài 4,5 m, tia nắng tạo với mặt đất góc $58^\circ$. Chiều cao cột là cạnh **đối**, cái bóng là cạnh **kề**: $h = 4{,}5 \cdot \tan 58^\circ \approx 7{,}2$ (m). **Ví dụ 2. Hai cách, một đáp số.** Tam giác $MNP$ vuông tại $M$, $MN = 6$, $\widehat{N} = 55^\circ$ (nên $\widehat{P} = 35^\circ$). - Theo góc $N$ ($MP$ đối): $MP = 6 \cdot \tan 55^\circ \approx 8{,}57$. - Theo góc $P$ ($MP$ kề): $MP = 6 \cdot \cot 35^\circ \approx 8{,}57$. Trùng khớp. ## 3. Giải tam giác vuông **Giải tam giác vuông** là tìm tất cả các cạnh và góc còn lại khi biết **hai yếu tố, trong đó có ít nhất một cạnh**. | Biết | Làm gì | |---|---| | 1 cạnh + 1 góc nhọn | Góc kia $= 90^\circ -$ góc đã biết → cạnh: định lí 1 (có cạnh huyền) hoặc định lí 2 (có cạnh góc vuông) | | 2 cạnh góc vuông | Góc: dùng $\tan$ → cạnh huyền: Pythagore | | Cạnh huyền + 1 cạnh góc vuông | Góc: dùng $\sin$ hoặc $\cos$ → cạnh còn lại: Pythagore | **Ví dụ 1.** $\triangle ABC$ vuông tại $A$, $BC = 12$, $\widehat{B} = 40^\circ$. $\widehat{C} = 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ$; $AC = 12 \sin 40^\circ \approx 7{,}71$; $AB = 12 \cos 40^\circ \approx 9{,}19$. **Ví dụ 2 (bẫy làm tròn sớm).** $AB = 7$, $AC = 24$. $\tan B = \dfrac{24}{7}$ ⇒ $\widehat{B} \approx 73{,}7^\circ \approx 74^\circ$, $\widehat{C} \approx 16^\circ$; $BC = \sqrt{7^2 + 24^2} = 25$. Nếu lấy góc đã làm tròn $74^\circ$ để tính $BC = 7 : \cos 74^\circ \approx 25{,}4$ — lệch khỏi 25. **Giữ số chưa làm tròn trong máy tính, chỉ làm tròn kết quả cuối.** ## 4. Ứng dụng: góc nâng, góc hạ - **Góc nâng**: nhìn **lên** một vật — góc giữa **phương nằm ngang** và tia nhìn. - **Góc hạ**: nhìn **xuống** một vật — cũng là góc giữa **phương nằm ngang** và tia nhìn. - Cả hai đều tính **từ phương nằm ngang**, không phải từ bức tường hay cột thẳng đứng. - Góc hạ từ trên cao xuống vật **bằng** góc nâng từ vật lên (hai góc so le trong, vì đường nằm ngang song song mặt đất). **Ví dụ 1. Cột cờ sân trường.** Mắt bạn cao 1,5 m, bạn đứng cách chân cột 12 m, góc nâng lên đỉnh cột là $40^\circ$. Phần cột trên tầm mắt: $12 \cdot \tan 40^\circ \approx 10{,}07$ m. Cột cao $\approx 1{,}5 + 10{,}07 = 11{,}57$ (m). *Đừng quên cộng chiều cao của mắt!* **Ví dụ 2. Từ ban công.** Ban công cao 18 m, nhìn chiếc xe đạp dưới sân với góc hạ $25^\circ$. Góc ở chỗ chiếc xe cũng là $25^\circ$, nên khoảng cách từ xe đến chân nhà là $18 \cdot \cot 25^\circ \approx 38{,}6$ (m). --- ## Bảng kí hiệu | Kí hiệu | Đọc | Nghĩa | |---|---|---| | $\sin B$ | sin bê | đối / huyền | | $\cos B$ | côsin bê | kề / huyền | | $\tan B$ | tang bê | đối / kề | | $\cot B$ | côtang bê | kề / đối | | $\approx$ | xấp xỉ | kết quả đã làm tròn | | $\widehat{B}$ | góc bê | số đo góc tại đỉnh $B$ | ## Lỗi hay gặp 1. **Dùng sai cặp sin/côsin (hoặc tang/côtang).** Luôn hỏi: cạnh này *đối* hay *kề* với **góc đang dùng**? Đổi sang góc kia thì đối ↔ kề đổi chỗ. 2. **Làm tròn quá sớm.** Làm tròn góc hay cạnh ở giữa bài rồi dùng tiếp sẽ làm kết quả cuối lệch. Giữ số trong máy tính. 3. **Nhầm góc nâng với góc hạ, hoặc đo góc từ phương thẳng đứng.** Cả hai đều tính từ đường nằm ngang. 4. **Quên chiều cao của mắt** khi đo chiều cao vật bằng góc nâng. 5. **Máy tính để sai chế độ.** Phải để chế độ **độ (D / Deg)**, không phải radian. --- ## Bài tập theo dạng ### Dạng 1. Tính cạnh khi biết một cạnh và một góc nhọn Cách làm: đánh dấu góc đã biết → cạnh cần tìm và cạnh đã biết là đối, kề hay huyền với góc đó → chọn sin, côsin (có cạnh huyền) hoặc tang, côtang (hai cạnh góc vuông). **Bài 1.** Tam giác $KMN$ vuông tại $K$, cạnh huyền $MN = 15$, $\widehat{M} = 36^\circ$. a) Tính $KN$. b) Tính $KM$. c) Nếu chỉ biết $KM = 9$ và $\widehat{M} = 36^\circ$, tính $KN$.
Đáp án a) $KN$ đối góc $M$: $KN = 15 \sin 36^\circ \approx 8{,}82$. b) $KM$ kề góc $M$: $KM = 15 \cos 36^\circ \approx 12{,}14$ (viết $15 \sin 36^\circ$ là sai). c) $KN = 9 \tan 36^\circ \approx 6{,}54$.
**Bài 2.** Tam giác $DEF$ vuông tại $D$, $DE = 7$, $\widehat{E} = 63^\circ$. Tính $DF$ và $EF$ (làm tròn đến hàng phần trăm).
Đáp án $DF = 7 \tan 63^\circ \approx 13{,}74$. $DE = EF \cos 63^\circ$ nên $EF = 7 : \cos 63^\circ \approx 15{,}42$.
### Dạng 2. Giải tam giác vuông Cách làm: biết một góc nhọn thì tìm góc kia trước rồi tính cạnh; biết hai cạnh thì tìm một góc bằng tỉ số lượng giác, cạnh còn lại bằng Pythagore. **Bài 3.** Giải tam giác $ABC$ vuông tại $A$ (góc làm tròn đến độ, cạnh đến hàng phần trăm): a) $AB = 8$, $\widehat{C} = 34^\circ$. b) $AB = 9$, $BC = 15$.
Đáp án a) $\widehat{B} = 56^\circ$; $AC = 8 \tan 56^\circ \approx 11{,}86$; $BC = 8 : \sin 34^\circ \approx 14{,}31$. b) $\sin C = \dfrac{9}{15} = 0{,}6$ ⇒ $\widehat{C} \approx 37^\circ$, $\widehat{B} \approx 53^\circ$; $AC = \sqrt{15^2 - 9^2} = 12$.
**Bài 4.** $\triangle ABC$ vuông tại $A$, $AB = 5$, $AC = 12$. Bạn Tú tính $\widehat{B} \approx 67^\circ$ rồi $BC = 5 : \cos 67^\circ \approx 12{,}8$. Kết quả có đúng không?
Đáp án Không. Tú làm tròn góc quá sớm. $BC = \sqrt{5^2 + 12^2} = 13$ (hoặc dùng góc chưa làm tròn $67{,}38^\circ$: $5 : \cos 67{,}38^\circ = 13$).
### Dạng 3. Bài toán thực tế Cách làm: vẽ tam giác vuông, đặt tên điểm, đánh dấu góc nâng / góc hạ tính từ phương nằm ngang, rồi chọn tỉ số lượng giác. **Bài 5.** a) Từ đỉnh vách đá cao 45 m so với mặt biển, bạn thấy chiếc thuyền với góc hạ $20^\circ$. Thuyền cách chân vách đá bao xa? b) Tuyến cáp treo dài 1 200 m, đưa khách lên cao 420 m. Đường cáp nghiêng bao nhiêu độ so với phương nằm ngang?
Đáp án a) Góc ở chỗ thuyền bằng $20^\circ$ (so le trong). Khoảng cách $= 45 \cot 20^\circ \approx 123{,}64$ m. (Đặt $20^\circ$ sát vách đá rồi tính $45 \tan 20^\circ \approx 16{,}38$ là sai.) b) $\sin \alpha = \dfrac{420}{1200} = 0{,}35$ ⇒ $\alpha \approx 20^\circ$.
**Bài 6.** Chiếc thang dài 4 m tựa vào tường, tạo với mặt đất góc $72^\circ$. Đầu thang chạm tường ở độ cao bao nhiêu? Chân thang cách tường bao xa?
Đáp án Độ cao $= 4 \sin 72^\circ \approx 3{,}80$ m; chân thang cách tường $4 \cos 72^\circ \approx 1{,}24$ m.
--- ## Trò chơi ở nhà (5 phút): "Thước đo góc nâng tự chế" Chuẩn bị: thước đo góc (loại nửa hình tròn), một ống hút, sợi chỉ, cục tẩy nhỏ, băng dính, thước dây. 1. Dán ống hút dọc theo cạnh thẳng của thước đo góc. Buộc sợi chỉ vào tâm thước, đầu dưới treo cục tẩy để chỉ luôn thẳng đứng. 2. Nhìn qua ống hút lên đỉnh một vật cao (cửa, tủ, cây trong sân). Sợi chỉ chỉ số đo $x$ trên thước; **góc nâng** $= 90^\circ - x$ (hoặc $x - 90^\circ$ tuỳ cách đọc). 3. Đo khoảng cách từ chân bạn đến chân vật và chiều cao mắt bạn. Tính chiều cao vật $=$ chiều cao mắt $+$ khoảng cách $\times \tan(\text{góc nâng})$. 4. Kiểm tra bằng thước dây (với vật thấp). Ai tính lệch ít nhất thì thắng! ## Lời thoại video ### 0:00 Mở đầu: đo cột cờ không cần trèo Cột cờ ở sân trường cao bao nhiêu mét? Không cần trèo lên. Bạn đứng cách chân cột 12 m, ngước mắt nhìn lên đỉnh. Tia nhìn tạo với phương nằm ngang một góc 40°. Chỉ với một khoảng cách và một góc, làm sao tính được chiều cao? Bài hôm nay: hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông. ### 0:19 Cạnh huyền – sin, côsin Tam giác ABC vuông tại A. Với góc B: AC là cạnh đối, AB là cạnh kề, BC là cạnh huyền. sin B = AC/BC, nên AC = BC · sin B. cos B = AB/BC, nên AB = BC · cos B. Định lí 1: cạnh góc vuông = cạnh huyền × sin góc đối, hoặc × côsin góc kề. Ví dụ 1: dây diều dài 40 m, căng thẳng, tạo với mặt đất góc 50°. Độ cao đối diện góc đó, dây là cạnh huyền. h = 40 · sin 50° ≈ 30,64 m. Ví dụ 2: tam giác DEF vuông tại D, cạnh huyền EF = 10, góc E = 28°. DF đối diện góc E: DF = 10 · sin 28° ≈ 4,69. DE kề với góc E, vẫn dùng sin là sai! DE = 10 · cos 28° ≈ 8,83. ### 1:21 Hai cạnh góc vuông – tang, côtang Nếu không biết cạnh huyền, mà biết một cạnh góc vuông thì sao? tan B = AC/AB, nên AC = AB · tan B. Với góc C, AC là cạnh kề. cot C = AC/AB, nên AC = AB · cot C. Định lí 2: cạnh góc vuông = cạnh góc vuông kia × tang góc đối, hoặc × côtang góc kề. Ví dụ 1: bóng cột đèn dài 4,5 m, tia nắng tạo với mặt đất góc 58°. Chiều cao đối diện góc đó, bóng là cạnh kề. h = 4,5 · tan 58° ≈ 7,2 m. Ví dụ 2: tam giác MNP vuông tại M, MN = 6, góc N = 55°. MP đối diện góc N: MP = 6 · tan 55° ≈ 8,57. Hoặc dùng góc P = 35°, kề với MP: MP = 6 · cot 35°. Cùng một kết quả! ### 2:28 Giải tam giác vuông Giải tam giác vuông: tìm mọi cạnh, mọi góc còn lại, khi biết hai yếu tố (ít nhất một cạnh). Biết một góc nhọn: góc kia = 90° − góc đó, rồi tính cạnh bằng định lí 1 hoặc 2. Biết hai cạnh: tìm góc nhờ tỉ số lượng giác, cạnh thứ ba nhờ Pythagore. Ví dụ 1: tam giác ABC vuông tại A, BC = 12, góc B = 40°. Góc C = 90° − 40° = 50°. AC = 12 · sin 40° ≈ 7,71. AB = 12 · cos 40° ≈ 9,19. Ví dụ 2: AB = 7, AC = 24. tan B = 24/7, nên góc B ≈ 74°, góc C ≈ 16°. Theo Pythagore, BC = 25. Nếu dùng góc đã làm tròn: 7 : cos 74° ≈ 25,4. Lệch rồi! Hãy giữ số chưa làm tròn trong máy tính, chỉ làm tròn ở kết quả cuối. ### 3:37 Góc nâng, góc hạ Nhìn lên: góc giữa phương nằm ngang và tia nhìn là góc nâng. Nhìn xuống thì gọi là góc hạ. Cả hai đều đo từ phương nằm ngang, không đo từ phương thẳng đứng. Quay lại cột cờ: mắt cao 1,5 m, cách chân cột 12 m, góc nâng 40°. Kẻ đường nằm ngang từ mắt: cạnh kề 12 m, cạnh đối là phần cột trên tầm mắt. Phần đó = 12 · tan 40° ≈ 10,07 m. Cộng thêm chiều cao của mắt: cột cờ cao khoảng 11,57 m. Ví dụ 2: từ ban công cao 18 m, bạn nhìn chiếc xe đạp dưới sân với góc hạ 25°. Đường nằm ngang ở ban công song song với mặt đất, nên góc ở chỗ chiếc xe cũng bằng 25°. Khoảng cách = 18 · cot 25° ≈ 38,6 m. ### 4:32 Dạng 1: Tính cạnh Dạng 1: tính cạnh khi biết một cạnh và một góc nhọn. Cách làm: cạnh cần tìm và cạnh đã biết là đối, kề hay huyền với góc đó? Rồi chọn sin, côsin, tang hoặc côtang. Bài 1. Tam giác KMN vuông tại K, cạnh huyền MN = 15, góc M = 36°. a) Tính KN. Tạm dừng video và thử làm nhé. KN đối diện góc M, MN là cạnh huyền. Dùng sin: KN = 15 · sin 36° ≈ 8,82. b) Tính KM. Có bạn viết 15 · sin 36°. Sai rồi! KM kề với góc M. Phải dùng côsin: KM = 15 · cos 36° ≈ 12,14. c) Nếu chỉ biết KM = 9, góc M = 36°, tính KN. KN đối, KM kề. Dùng tang: KN = 9 · tan 36° ≈ 6,54. ### 5:44 Dạng 2: Giải tam giác vuông Dạng hai: giải tam giác vuông. Cách làm: biết một góc nhọn thì tìm góc kia trước, rồi tính cạnh. Biết hai cạnh thì tìm góc trước, cạnh còn lại nhờ Pythagore. Bài 2. Tam giác ABC vuông tại A. a) AB = 8, góc C = 34°. Tạm dừng video và thử làm nhé. Góc B = 90° − 34° = 56°. AC = 8 · tan 56° ≈ 11,86. AB đối diện góc C, nên BC = 8 : sin 34° ≈ 14,31. b) AB = 9, cạnh huyền BC = 15. sin C = 9/15 = 0,6, nên góc C ≈ 37°, góc B ≈ 53°. AC = √(15² − 9²) = 12. ### 6:50 Dạng 3: Bài toán thực tế Dạng ba: bài toán thực tế. Cách làm: vẽ tam giác vuông, đánh dấu góc nâng hoặc góc hạ tính từ phương nằm ngang, rồi chọn tỉ số lượng giác. Bài 3. a) Từ đỉnh vách đá cao 45 m so với mặt biển, bạn thấy một chiếc thuyền với góc hạ 20°. Thuyền cách chân vách đá bao xa? Tạm dừng video và thử làm nhé. Có bạn đặt góc 20° sát vách đá, rồi tính 45 · tan 20°. Sai rồi! Góc hạ đo từ phương nằm ngang. Đường nằm ngang ở đỉnh song song với mặt biển, nên góc ở chỗ chiếc thuyền bằng 20°. Khoảng cách = 45 · cot 20° ≈ 123,64 m. b) Tuyến cáp treo dài 1 200 m, đưa khách lên cao 420 m. Đường cáp nghiêng bao nhiêu độ? Độ cao đối diện góc nghiêng, đường cáp là cạnh huyền. sin α = 420/1 200 = 0,35. Bấm máy tính: α ≈ 20°. ### 7:58 Kết bài Tóm lại: biết cạnh huyền thì dùng sin, côsin. Biết cạnh góc vuông kia thì dùng tang, côtang. Luôn tự hỏi: cạnh này đối hay kề với góc đang xét? Và chỉ làm tròn ở kết quả cuối. Bạn đã luyện ba dạng: tính cạnh, giải tam giác vuông, bài toán thực tế. Làm thêm ở phiếu bài tập nhé!