# Mở đầu về đường tròn – Toán lớp 9, Bài 13 > Một chú dê buộc vào cọc bằng sợi dây dài 3 m. Quanh cọc có ba bó cỏ, cách cọc 2 m, 3 m và 4 m. Chú ăn được bó nào? Đọc xong bài này bạn sẽ trả lời được ngay, không cần kéo dây thử. - Trang bài: https://anim.vn/lop-9/toan/bai-13-mo-dau-ve-duong-tron/ - Video: https://youtu.be/YYOTwLRQED4 (8:32) - Thuộc: Toán lớp 9 · Bài 13 - Bài tập về nhà (PDF, có lời giải): https://anim.vn/media/lop9-toan-bai-13/bai-tap-ve-nha.pdf ## Mục lục video - 0:00 Mở đầu - 0:17 Đường tròn (O; R) - 1:16 Điểm trong, trên, ngoài - 2:09 Đối xứng tâm, đối xứng trục - 2:56 Tính đối xứng của đường tròn - 3:44 Tóm tắt - 4:08 Dạng 1: Vị trí của điểm - 5:33 Dạng 2: Các điểm cùng thuộc đường tròn - 7:04 Dạng 3: Điểm đối xứng - 8:12 Kết bài > Một chú dê buộc vào cọc bằng sợi dây dài 3 m. Quanh cọc có ba bó cỏ, cách cọc 2 m, 3 m và 4 m. Chú ăn được bó nào? Đọc xong bài này bạn sẽ trả lời được ngay, không cần kéo dây thử. --- ## 1. Đường tròn (O; R) Mở com pa một khoảng R, cắm mũi nhọn tại O rồi quay một vòng. Đầu bút chì vạch ra một **đường tròn**. > **Đường tròn tâm O bán kính R** (R > 0), kí hiệu **(O; R)**, là hình gồm **tất cả các điểm cách O một khoảng bằng R**. - Không cần nói bán kính thì viết gọn **(O)**. - Điểm A nằm trên đường tròn: viết **A ∈ (O)**. Ta còn nói "đường tròn (O) đi qua A". - **Đường kính**: đoạn thẳng đi qua tâm, hai đầu nằm trên đường tròn. **Đường kính = 2 × bán kính.** - Đường tròn nhận AB làm đường kính gọi là **đường tròn đường kính AB**. Tâm của nó là **trung điểm của AB**, bán kính bằng AB : 2. **Ví dụ 1.** Com pa mở 3 cm, vẽ quanh O. Ta được đường tròn (O; 3 cm). Mọi điểm A, B, C trên nét vẽ đều có OA = OB = OC = 3 cm. **Ví dụ 2.** Một chiếc đĩa tròn có đường kính 20 cm thì bán kính là 20 : 2 = **10 cm**, không phải 20 cm. ## 2. Vị trí của một điểm so với đường tròn Chỉ cần **so OM với R**: | So sánh | Vị trí của M | |---|---| | OM < R | M nằm **trong** (O; R) | | OM = R | M nằm **trên** (O; R), tức M ∈ (O) | | OM > R | M nằm **ngoài** (O; R) | **Hình tròn** tâm O bán kính R gồm các điểm nằm **trên** và nằm **trong** đường tròn (O; R). **Ví dụ 1 (chú dê).** Dây dài 3 m, vẽ đường tròn tâm là cọc, bán kính 3 m. - Bó cỏ cách 2 m: 2 < 3, nằm **trong**, ăn thoải mái. - Bó cách 3 m: 3 = 3, nằm **trên**, căng dây là với tới. - Bó cách 4 m: 4 > 3, nằm **ngoài**, chịu thua. Vùng cỏ chú dê ăn được chính là một **hình tròn**. **Ví dụ 2 (bẫy).** OM = R thì M nằm **trên** đường tròn chứ không phải nằm trong. "Nằm trong" chỉ dùng khi OM **nhỏ hơn hẳn** R. ## 3. Đối xứng tâm, đối xứng trục - **M và M' đối xứng nhau qua điểm I** nếu I là **trung điểm** của MM'. - **M và M' đối xứng nhau qua đường thẳng d** nếu d là **đường trung trực** của MM' (d vuông góc với MM' tại trung điểm của MM'). **Ví dụ 1.** Hai đầu cánh của chiếc quạt trần hai cánh đối xứng nhau qua tâm quạt. Bạn đứng trước gương: bạn và ảnh của bạn đối xứng nhau qua mặt gương. **Ví dụ 2.** Trong mặt phẳng toạ độ Oxy: điểm (2; 1) và (−2; −1) đối xứng nhau qua gốc O; điểm (2; 1) và (2; −1) đối xứng nhau qua trục hoành. ## 4. Tâm đối xứng, trục đối xứng của đường tròn - M ∈ (O; R), lấy M' đối xứng với M qua O. Khi đó OM' = OM = R nên M' ∈ (O). Vậy **tâm O là tâm đối xứng** của đường tròn. - Gập đường tròn theo một đường thẳng bất kì đi qua tâm: hai nửa **chồng khít** lên nhau. **Mỗi đường thẳng đi qua tâm là một trục đối xứng**, nên đường tròn có **vô số trục đối xứng**. **Ứng dụng.** Muốn tìm tâm một chiếc đế lót cốc bằng giấy: gấp đôi theo hai cách khác nhau. Mỗi nếp gấp là một trục đối xứng nên đi qua tâm; hai nếp gấp cắt nhau đúng tại tâm. ## Bảng kí hiệu | Kí hiệu | Đọc là | Nghĩa | |---|---|---| | (O; R) | đường tròn tâm O bán kính R | các điểm cách O đúng R | | (O) | đường tròn tâm O | khi không cần nói bán kính | | A ∈ (O) | A thuộc đường tròn O | A nằm trên đường tròn | | OM < R / = R / > R | | M trong / trên / ngoài | ## Lỗi hay gặp 1. **Nhầm đường kính với bán kính.** Đề cho đường kính 10 cm mà đem 10 so với OM. Luôn đổi ra bán kính trước: R = 10 : 2 = 5. 2. **OM = R mà xếp M vào "trong".** Bằng thì nằm **trên**. 3. **Tìm điểm đối xứng qua trục hoành mà lại đổi dấu hoành độ.** Qua trục hoành: giữ x, đổi dấu y. Qua trục tung: đổi dấu x, giữ y. Qua gốc O: đổi dấu cả hai. 4. **Nghĩ đường tròn chỉ có một hay hai trục đối xứng.** Đường tròn có vô số trục đối xứng: mọi đường thẳng đi qua tâm. --- ## Bài tập theo dạng ### Dạng 1: Xét vị trí của một điểm so với đường tròn **Cách làm:** tính khoảng cách từ tâm tới điểm (dùng định lí Pythagore nếu cho toạ độ), đổi đường kính ra bán kính, rồi so với R. **Bài 1.** Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường tròn (O; 5). Mỗi điểm A(0; −5), B(2; −4), C(−3; 5) nằm trong, trên hay ngoài đường tròn?
Đáp án - OA = 5 = R nên A nằm **trên** đường tròn. - OB² = 2² + 4² = 20 < 25 nên OB < 5: B nằm **trong**. - OC² = 3² + 5² = 34 > 25 nên OC > 5: C nằm **ngoài**.
**Bài 2.** Đường tròn tâm O có đường kính 10 cm, điểm M cách O 6 cm. M nằm ở đâu?
Đáp án R = 10 : 2 = 5 cm. OM = 6 > 5 nên M nằm **ngoài** đường tròn. (So 6 với 10 rồi nói "trong" là sai.)
### Dạng 2: Chứng minh nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn, tính bán kính **Cách làm:** tìm một điểm O cách đều tất cả các điểm (giao hai đường chéo của hình chữ nhật, trung điểm cạnh huyền của tam giác vuông…). O là tâm, khoảng cách chung là bán kính. **Bài 3.** Hình chữ nhật ABCD có AB = 8 cm, BC = 6 cm. Chứng minh bốn đỉnh cùng nằm trên một đường tròn, tính bán kính.
Đáp án Gọi O là giao điểm hai đường chéo. Hai đường chéo hình chữ nhật bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên OA = OB = OC = OD. Bốn đỉnh nằm trên đường tròn tâm O. AC = √(8² + 6²) = 10 cm, bán kính R = AC : 2 = **5 cm**.
**Bài 4.** Tam giác DEF vuông tại D có DE = 5, DF = 12. Ba đỉnh có cùng nằm trên một đường tròn không? Tính bán kính.
Đáp án Gọi O là trung điểm cạnh huyền EF. Trong tam giác vuông, trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền, nên OD = OE = OF. Ba đỉnh nằm trên đường tròn đường kính EF. EF = √(25 + 144) = 13, R = 13 : 2 = **6,5** (không phải 13).
### Dạng 3: Điểm đối xứng và tính đối xứng của đường tròn **Cách làm:** điểm nằm trên đường tròn, lấy đối xứng qua tâm, hoặc qua một đường thẳng đi qua tâm, thì điểm mới vẫn nằm trên đường tròn. **Bài 5.** Trong mặt phẳng toạ độ, đường tròn (O; 5) đi qua A(3; 4). a) Tìm B đối xứng với A qua O. B có thuộc đường tròn không? Tính AB. b) Tìm C đối xứng với A qua trục hoành. C có thuộc đường tròn không?
Đáp án a) O là trung điểm AB nên B(−3; −4). O là tâm đối xứng của đường tròn nên B ∈ (O). AB là đường kính: AB = 10. b) Qua trục hoành: giữ hoành độ, đổi dấu tung độ, C(3; −4). (Viết (−3; 4) là nhầm sang trục tung.) Trục hoành đi qua O nên là trục đối xứng: C ∈ (O).
**Bài 6 (vận dụng).** Bánh xe đạp có đường kính 60 cm. Van xe đang ở điểm cao nhất của vành. Điểm đối xứng với van qua trục bánh xe nằm ở đâu, và cách van bao xa?
Đáp án Trục bánh là tâm O của đường tròn vành xe. Điểm đối xứng với van qua O cũng nằm trên vành, ở **điểm thấp nhất** (chỗ bánh chạm đất). Hai điểm là hai đầu một đường kính nên cách nhau **60 cm**.
--- ## Trò chơi 5 phút ở nhà: "Dê và cỏ" 1. Cắm một chiếc bút xuống giữa tờ giấy làm "cọc", buộc một sợi chỉ dài 5 cm, đầu kia buộc bút chì. Căng chỉ, quay một vòng: bạn vừa vẽ một đường tròn không cần com pa. 2. Một người chấm vài "bó cỏ" lên giấy. Người kia đoán mỗi bó nằm trong, trên hay ngoài, rồi dùng thước đo khoảng cách tới cọc để kiểm tra. 3. Cắt hình tròn ra, gấp đôi hai lần theo hai cách khác nhau: giao của hai nếp gấp có trùng với lỗ cọc không? ## Lời thoại video ### 0:00 Mở đầu Một chú dê được buộc vào chiếc cọc bằng sợi dây dài 3 m. Quanh cọc có ba bó cỏ: cách cọc 2 m, 3 m và 4 m. Bó nào chú dê ăn được, bó nào không? Câu trả lời nằm ở một hình rất quen: đường tròn. ### 0:17 Đường tròn (O; R) Mở com pa một khoảng 3 cm, cắm mũi nhọn tại điểm O rồi quay một vòng. Đầu bút chì vạch ra một đường tròn. Mọi điểm trên đó, như A, B, C, đều cách O đúng 3 cm. Tổng quát: đường tròn tâm O bán kính R là hình gồm tất cả các điểm cách O một khoảng bằng R. Kí hiệu: (O; R). Không cần nói bán kính thì viết gọn: (O). Điểm A nằm trên đường tròn: A ∈ (O), hay nói đường tròn (O) đi qua A. Ví dụ hai: đoạn thẳng đi qua tâm, hai đầu nằm trên đường tròn, gọi là một đường kính. Đường kính dài gấp đôi bán kính. Chiếc đĩa có đường kính 20 cm thì bán kính chỉ là 10 cm. Đường tròn nhận đoạn AB làm đường kính gọi là đường tròn đường kính AB, tâm của nó là trung điểm của AB. ### 1:16 Điểm trong, trên, ngoài Giờ cho điểm M di chuyển, và luôn so độ dài OM với bán kính R. OM < R: M nằm trong đường tròn. OM = R: M nằm trên đường tròn. OM > R: M nằm ngoài đường tròn. Quay lại chú dê: dây dài 3 m, nên ta vẽ đường tròn tâm là cọc, bán kính 3 m. Bó cỏ cách 2 m nằm trong, ăn dễ dàng. Bó cách 4 m nằm ngoài, chịu thua. Còn bó cách đúng 3 m? Nó nằm trên đường tròn, căng dây là với tới. Ví dụ 2, cẩn thận bẫy: OM = R thì M nằm trên, không phải nằm trong. Các điểm nằm trên và nằm trong đường tròn gộp lại thành hình tròn. Vùng cỏ chú dê ăn được chính là một hình tròn. ### 2:09 Đối xứng tâm, đối xứng trục Trước khi xem đường tròn đối xứng ra sao, ta nhắc lại hai kiểu đối xứng. Hai điểm M và M' đối xứng nhau qua điểm I, nếu I là trung điểm của đoạn MM'. Như hai đầu cánh của chiếc quạt trần hai cánh, đối xứng nhau qua tâm quạt. Trên mặt phẳng toạ độ, điểm (2; 1) và điểm (−2; −1) đối xứng nhau qua gốc toạ độ. Hai điểm M và M' đối xứng nhau qua đường thẳng d, nếu d là đường trung trực của MM': d vuông góc với MM' tại trung điểm. Như bạn đứng trước gương: bạn và ảnh của bạn đối xứng nhau qua mặt gương. Còn điểm (2; 1) và điểm (2; −1) thì đối xứng nhau qua trục hoành. ### 2:56 Tính đối xứng của đường tròn Lấy điểm M trên đường tròn (O), rồi lấy M' đối xứng với M qua tâm O. OM' = OM = R, nên M' cũng nằm trên đường tròn. Vậy tâm O là tâm đối xứng của đường tròn. Giờ vẽ một đường thẳng d bất kì đi qua tâm, rồi gập hình theo d. Hai nửa đường tròn chồng khít lên nhau! Điểm M rơi đúng vào điểm đối xứng của nó, cũng nằm trên đường tròn. Mỗi đường thẳng đi qua tâm là một trục đối xứng, nên đường tròn có vô số trục đối xứng. Ứng dụng: muốn tìm tâm một chiếc đế lót cốc bằng giấy, bạn gấp đôi nó hai lần, theo hai cách khác nhau. Mỗi nếp gấp là một trục đối xứng nên đi qua tâm. Hai nếp gấp cắt nhau đúng tại tâm. ### 3:44 Tóm tắt Tóm lại. Đường tròn (O; R) gồm các điểm cách O đúng R. Đường kính = 2R. So OM với R: nhỏ hơn là trong, bằng là trên, lớn hơn là ngoài. Tâm là tâm đối xứng, mọi đường thẳng qua tâm là trục đối xứng. Giờ cùng luyện ba dạng bài nhé. ### 4:08 Dạng 1: Vị trí của điểm Dạng 1: xét vị trí của một điểm so với đường tròn. Cách làm: tính khoảng cách từ tâm tới điểm, rồi so với bán kính. Nếu đề cho đường kính, đổi ra bán kính trước. Câu a. Trên mặt phẳng toạ độ, cho đường tròn (O; 5) và ba điểm A(0; −5), B(2; −4), C(−3; 5). Tạm dừng video và thử làm nhé. Điểm A nằm trên trục tung, OA = 5, đúng bằng bán kính, nên A nằm trên đường tròn. Với điểm B, dùng định lí Pythagore: OB² = 2² + 4² = 20. 20 < 25, nên OB < 5: B nằm trong. Với điểm C: 3² + 5² = 34 > 25, nên C nằm ngoài. Câu b. Đường tròn tâm O có đường kính 10 cm, điểm M cách tâm 6 cm. M nằm ở đâu? Có bạn so 6 với 10, rồi kết luận M nằm trong. Sai rồi! 10 là đường kính. Bán kính chỉ là 5, mà 6 > 5, nên M nằm ngoài đường tròn. ### 5:33 Dạng 2: Các điểm cùng thuộc đường tròn Dạng 2: chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đường tròn. Cách làm: tìm một điểm cách đều tất cả các điểm đó. Điểm ấy là tâm, khoảng cách chung là bán kính. Câu a. Hình chữ nhật ABCD có AB = 8 cm, BC = 6 cm. Chứng minh bốn đỉnh cùng nằm trên một đường tròn, và tính bán kính. Tạm dừng video và thử làm nhé. Gọi O là giao điểm hai đường chéo. Trong hình chữ nhật, hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Nên OA = OB = OC = OD: bốn đỉnh cùng nằm trên đường tròn tâm O. AC = √(8² + 6²) = 10. Bán kính bằng nửa đường chéo: 5 cm. Câu b. Tam giác DEF vuông tại D, có DE = 5, DF = 12. Ba đỉnh có cùng nằm trên một đường tròn không? Bán kính bằng bao nhiêu? Gọi O là trung điểm của cạnh huyền EF. Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền. Nên OD = OE = OF: ba đỉnh nằm trên đường tròn đường kính EF. EF = √(25 + 144) = 13. Bán kính là 6,5, chứ không phải 13. ### 7:04 Dạng 3: Điểm đối xứng Dạng 3: tìm điểm đối xứng, và dùng tính đối xứng của đường tròn. Cách làm: một điểm trên đường tròn, lấy đối xứng qua tâm, hoặc qua một đường thẳng đi qua tâm, thì điểm mới vẫn nằm trên đường tròn. Cho đường tròn (O; 5), và điểm A(3; 4) nằm trên đó. Câu a. Tìm điểm B đối xứng với A qua tâm O. B có nằm trên đường tròn không? Tạm dừng video và thử nhé. O là trung điểm của AB, nên B(−3; −4). Tâm O là tâm đối xứng của đường tròn, nên B cũng nằm trên đường tròn. Và AB là một đường kính, dài 10. Câu b. Tìm điểm C đối xứng với A qua trục hoành. Có bạn đổi dấu hoành độ, được (−3; 4). Nhầm rồi! Đó là đối xứng qua trục tung. Qua trục hoành thì giữ hoành độ, đổi dấu tung độ: C(3; −4). Trục hoành đi qua tâm nên là một trục đối xứng, vì vậy C cũng nằm trên đường tròn. ### 8:12 Kết bài Hôm nay bạn đã biết đường tròn là gì, cách xét một điểm nằm trong, trên hay ngoài, và vì sao đường tròn đối xứng hoàn hảo. Cùng ba dạng bài: xét vị trí điểm, chứng minh các điểm cùng thuộc một đường tròn, và tìm điểm đối xứng. Làm thêm bài tập về nhà để nhớ lâu nhé. Hẹn gặp lại!