# Cung và dây của một đường tròn – Toán lớp 9, Bài 14
> Căng một sợi dây giữa hai điểm trên vành bánh xe: dây dài nhất khi nó đi qua tâm. Còn phần vành nằm giữa hai đầu dây là một cung, và cung được đo bằng độ, nhờ góc ở tâm.
- Trang bài: https://anim.vn/lop-9/toan/bai-14-cung-va-day-cua-mot-duong-tron/
- Video: https://youtu.be/mPmBVD82jiU (8:27)
- Thuộc: Toán lớp 9 · Bài 14
- Bài tập về nhà (PDF, có lời giải): https://anim.vn/media/lop9-toan-bai-14/bai-tap-ve-nha.pdf
## Mục lục video
- 0:00 Mở đầu
- 0:18 Dây & đường kính
- 1:29 Góc ở tâm & cung
- 2:40 Số đo cung
- 3:42 Tóm tắt
- 4:01 Dạng 1: Nhận biết góc ở tâm, gọi tên cung
- 5:14 Dạng 2: Tính số đo cung
- 6:56 Dạng 3: Dây và đường kính
- 8:08 Kết bài
> Căng một sợi dây giữa hai điểm trên vành bánh xe: dây dài nhất khi nó đi qua tâm. Còn phần vành nằm giữa hai đầu dây là một **cung**, và cung được đo bằng **độ**, nhờ góc ở tâm.
---
## 1. Dây và đường kính
- **Dây** (dây cung): đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của đường tròn.
- **Đường kính**: dây đi qua tâm. Đường tròn bán kính $R$ có đường kính dài $2R$.
> **Định lí.** Trong một đường tròn, **đường kính là dây cung lớn nhất**. Mọi dây $AB$ của $(O; R)$ đều có $AB \le 2R$.
Vì sao? Nếu dây $AB$ không qua tâm thì $O, A, B$ là ba đỉnh của tam giác, nên $AB < OA + OB = R + R = 2R$. Nếu $AB$ qua tâm thì $AB = 2R$.
Hình dung: cho một dây trượt dần về phía tâm, dây dài dần và dài nhất đúng lúc nó đi qua tâm.
**Ví dụ 1 — miệng cốc.** Miệng cốc tròn bán kính 4 cm. Một que đặt ngang miệng cốc, hai đầu chạm vành. Que này dài nhất là $2 \cdot 4 = 8$ cm (khi đặt qua tâm miệng cốc).
**Ví dụ 2 — dây nào có thể có?** Đường tròn bán kính 5 cm (đường kính 10 cm):
- dây 6 cm: có ($6 < 10$);
- dây 10 cm: có, chính là đường kính;
- dây 12 cm: **không thể có**, vì $12 > 10$.
## 2. Góc ở tâm và cung
- Hai điểm $A, B$ trên đường tròn chia đường tròn thành **hai cung**; $A$, $B$ là **hai mút** của mỗi cung.
- **Góc ở tâm**: góc có **đỉnh trùng với tâm** đường tròn, ví dụ $\widehat{AOB}$.
- Khi $\widehat{AOB}$ không bẹt: cung nằm trong góc là **cung nhỏ**, cung còn lại là **cung lớn**.
- Cung nhỏ: $\overset{\frown}{AmB}$, viết gọn $\overset{\frown}{AB}$.
- Cung lớn: $\overset{\frown}{AnB}$ — phải có thêm một điểm nằm trên cung để khỏi nhầm.
- Khi $\widehat{AOB}$ bẹt ($AB$ là đường kính): mỗi cung là một **nửa đường tròn**.
- Ta nói $\widehat{AOB}$ **chắn** cung nhỏ $AB$.
**Ví dụ 1 — miếng pizza.** Cắt một miếng pizza từ tâm bánh: mũi miếng bánh là góc ở tâm, phần viền của miếng là cung nhỏ bị chắn, phần viền còn lại trên bánh là cung lớn.
**Ví dụ 2 — cẩn thận.** Lấy thêm điểm $C$ trên đường tròn. $\widehat{ACB}$ có đỉnh $C$ nằm **trên đường tròn**, không phải ở tâm, nên **không phải** góc ở tâm.
## 3. Số đo của một cung
| Cung | Số đo |
|---|---|
| Nửa đường tròn | $180^\circ$ |
| Cung nhỏ $AB$ | bằng góc ở tâm chắn nó: $\text{sđ}\overset{\frown}{AB} = \widehat{AOB}$ |
| Cung lớn $AB$ | $360^\circ - $ số đo cung nhỏ $AB$ |
| Cả đường tròn | $360^\circ$ |
- Kí hiệu số đo cung $AB$: $\text{sđ}\overset{\frown}{AB}$. Cung có số đo $n^\circ$ gọi là cung $n^\circ$.
- **Hai cung bằng nhau** nếu chúng có cùng số đo.
- Điểm $C$ nằm trên cung $AB$ thì $\text{sđ}\overset{\frown}{AB} = \text{sđ}\overset{\frown}{AC} + \text{sđ}\overset{\frown}{CB}$ (số đo cộng lại được).
**Ví dụ 1.** $\widehat{AOB} = 80^\circ$ ⇒ cung nhỏ $AB$ bằng $80^\circ$, cung lớn $AB$ bằng $360^\circ - 80^\circ = 280^\circ$.
**Ví dụ 2 — pizza 6 miếng.** Chiếc bánh cắt thành 6 miếng đều nhau: mỗi miếng ứng với cung $360^\circ : 6 = 60^\circ$, sáu cung này bằng nhau. Ghép hai miếng liền nhau: $60^\circ + 60^\circ = 120^\circ$.
**Vì sao cung lớn luôn lớn hơn $180^\circ$?** Cung nhỏ bằng một góc ở tâm không bẹt, tức nhỏ hơn $180^\circ$; cung lớn bằng $360^\circ$ trừ đi số đó nên lớn hơn $180^\circ$. Góc thì không bao giờ quá $180^\circ$, còn cung thì có thể.
## Bảng kí hiệu
| Kí hiệu | Đọc là |
|---|---|
| $(O; R)$ | đường tròn tâm $O$, bán kính $R$ |
| $\widehat{AOB}$ | góc $AOB$ (góc ở tâm nếu $O$ là tâm) |
| $\overset{\frown}{AB}$ | cung (nhỏ) $AB$ |
| $\overset{\frown}{AnB}$ | cung $AB$ đi qua điểm $n$ (dùng cho cung lớn) |
| $\text{sđ}\overset{\frown}{AB}$ | số đo cung $AB$ |
## Lỗi hay gặp
1. **Tính cung lớn bằng $180^\circ -$ cung nhỏ.** Sai: phải là $360^\circ -$ cung nhỏ (cả đường tròn là $360^\circ$).
2. **Nhầm góc có đỉnh trên đường tròn là góc ở tâm.** Góc ở tâm phải có đỉnh **đúng tại tâm**.
3. **Viết cung lớn chỉ bằng hai chữ cái.** $\overset{\frown}{AB}$ được hiểu là cung nhỏ; cung lớn phải có thêm một điểm ở giữa.
4. **Nghĩ số đo cung cũng không quá $180^\circ$ như góc.** Cung lớn luôn lớn hơn $180^\circ$.
5. **Cho một dây dài hơn đường kính.** Không có dây nào dài hơn $2R$.
---
## Bài tập theo dạng
### Dạng 1. Nhận biết góc ở tâm, gọi tên cung
Cách làm: góc ở tâm phải có đỉnh đúng tại tâm. Cung nhỏ gọi bằng hai mút; cung lớn thêm một điểm nằm trên nó.
**Bài 1.** Đường tròn $(O)$ có đường kính $MP$; $N$, $Q$ là hai điểm trên đường tròn (nằm ở hai phía của $MP$).
a) Trong các góc $\widehat{MON}$, $\widehat{MNP}$, $\widehat{NOQ}$, góc nào là góc ở tâm?
b) Gọi tên hai cung có hai mút $M$, $N$. Cung nào là cung nhỏ?
Đáp án
a) $\widehat{MON}$ và $\widehat{NOQ}$ (đỉnh $O$). $\widehat{MNP}$ có đỉnh $N$ trên đường tròn nên không phải góc ở tâm.
b) Cung nhỏ $\overset{\frown}{MN}$ (nằm trong $\widehat{MON}$); cung lớn $\overset{\frown}{MPN}$ (đi qua $P$).
Đáp án
$\widehat{DOE}$, $\widehat{EOF}$, $\widehat{FOD}$.
Đáp án
a) Cung nhỏ $110^\circ$; cung lớn $360^\circ - 110^\circ = 250^\circ$.
b) $OA = OB = AB$ nên tam giác $OAB$ đều, $\widehat{AOB} = 60^\circ$. Cung nhỏ $60^\circ$; cung lớn $360^\circ - 60^\circ = 300^\circ$ (không phải $180^\circ - 60^\circ$).
Đáp án
a) $360^\circ : 12 = 30^\circ$.
b) $\dfrac{8}{20} \cdot 360^\circ = 144^\circ$.
Đáp án
a) Không: dây dài nhất là đường kính $2 \cdot 13 = 26$ cm $< 27$ cm.
b) $H$ là trung điểm $AB$, $AH = 12$. Tam giác $OAB$ cân tại $O$ nên $OH \perp AB$. $OH^2 = 13^2 - 12^2 = 25$, $OH = 5$ cm.