# Độ dài cung tròn. Diện tích hình quạt tròn và hình vành khuyên – Toán lớp 9, Bài 15 > Một miếng pizza, một chiếc quạt giấy, một lối đi quanh bồn hoa: tất cả đều là một phần của hình tròn. Bạn đã biết tính cho cả hình tròn, nên chỉ cần biết mình đang lấy bao nhiêu phần của nó. - Trang bài: https://anim.vn/lop-9/toan/bai-15-do-dai-cung-tron-hinh-quat-vanh-khuyen/ - Video: https://youtu.be/wKTMWlbTs9o (7:38) - Thuộc: Toán lớp 9 · Bài 15 - Bài tập về nhà (PDF, có lời giải): https://anim.vn/media/lop9-toan-bai-15/bai-tap-ve-nha.pdf ## Mục lục video - 0:00 Mở đầu - 0:17 Độ dài cung tròn - 1:03 Diện tích hình quạt - 1:56 Hình vành khuyên - 2:44 Tóm tắt & bẫy - 3:17 Dạng 1: Độ dài cung - 4:27 Dạng 2: Diện tích quạt - 5:18 Dạng 3: Diện tích vành khuyên - 6:03 Dạng 4: Bài toán thực tế - 7:15 Kết bài > Một miếng pizza, một chiếc quạt giấy, một lối đi quanh bồn hoa: tất cả đều là **một phần của hình tròn**. Bạn đã biết tính cho cả hình tròn, nên chỉ cần biết mình đang lấy **bao nhiêu phần** của nó. --- ## 0. Nhắc lại Đường tròn bán kính $R$ (đường kính $d = 2R$): - Chu vi (độ dài đường tròn): $C = 2\pi R = \pi d$. - Diện tích hình tròn: $S = \pi R^2$. - Thường lấy $\pi \approx 3{,}14$. Cả vòng tròn ứng với $360^\circ$. Cung $n^\circ$ chiếm $\dfrac{n}{360}$ vòng tròn. ## 1. Độ dài cung tròn Cung $n^\circ$ chiếm $\dfrac{n}{360}$ vòng, nên độ dài của nó cũng bằng $\dfrac{n}{360}$ chu vi: $$l = \frac{n}{360}\cdot 2\pi R = \frac{\pi R n}{180}.$$ Hình dung: "duỗi" cung ra thành một đoạn thẳng. Đoạn thẳng đó dài đúng $l$. **Ví dụ 1: đầu kim phút.** Kim phút dài 10 cm. Trong 15 phút, kim quay một phần tư vòng, tức $90^\circ$. Đầu kim đi được $l = \dfrac{\pi \cdot 10 \cdot 90}{180} = 5\pi \approx 15{,}7$ (cm). **Ví dụ 2.** Cung $135^\circ$ của đường tròn bán kính 8 cm dài $l = \dfrac{\pi \cdot 8 \cdot 135}{180} = 6\pi \approx 18{,}84$ (cm). ## 2. Hình quạt tròn **Hình quạt tròn** là phần hình tròn giới hạn bởi một cung và hai bán kính đi qua hai đầu cung. Miếng pizza, vùng nước của vòi tưới xoay, một nan quạt xoè ra đều có dạng hình quạt. Hình quạt ứng với cung $n^\circ$ chiếm $\dfrac{n}{360}$ hình tròn: $$S_q = \frac{\pi R^2 n}{360} = \frac{l \cdot R}{2}.$$ Vì sao $\dfrac{lR}{2}$? Cắt hình quạt thành rất nhiều lát mỏng. Mỗi lát gần như một tam giác có chiều cao $R$. Các đáy nhỏ cộng lại bằng $l$. Tổng diện tích là $\dfrac{l \cdot R}{2}$, giống diện tích tam giác đáy $l$, cao $R$. **Ví dụ 1: vòi tưới cỏ.** Vòi xoay qua lại một góc $80^\circ$ và phun xa 6 m. Vùng cỏ được tưới là hình quạt: $S_q = \dfrac{\pi \cdot 6^2 \cdot 80}{360} = 8\pi \approx 25{,}12$ (m²). **Ví dụ 2: không cần số đo góc.** Hình quạt bán kính 5 cm có cung dài 12 cm: $S_q = \dfrac{12 \cdot 5}{2} = 30$ (cm²). Không cần biết $n$, cũng không cần $\pi$! ## 3. Hình vành khuyên **Hình vành khuyên** (vành khăn) là phần nằm giữa hai đường tròn **cùng tâm**, bán kính $R > r$. Nó là hình tròn lớn **bỏ đi** hình tròn nhỏ: $$S_v = \pi R^2 - \pi r^2 = \pi (R^2 - r^2).$$ **Ví dụ 1: lối đi quanh bồn hoa.** Bồn hoa tròn bán kính 3 m, xung quanh lát một lối đi rộng 1 m. Hình tròn ngoài có bán kính $3 + 1 = 4$ m: $S_v = \pi(4^2 - 3^2) = 7\pi \approx 21{,}98$ (m²). **Ví dụ 2: cái bẫy.** $R = 7$, $r = 4$. Viết $\pi(7 - 4)^2 = 9\pi$ là **sai**. Phải bình phương từng bán kính rồi mới trừ: $\pi(49 - 16) = 33\pi$. ## 4. Bảng tóm tắt | Đại lượng | Công thức | Nhớ nhanh | |---|---|---| | Độ dài đường tròn | $C = 2\pi R$ | cả vòng | | Độ dài cung $n^\circ$ | $l = \dfrac{\pi R n}{180}$ | $\dfrac{n}{360}$ của $C$ | | Diện tích hình tròn | $S = \pi R^2$ | cả hình | | Diện tích hình quạt | $S_q = \dfrac{\pi R^2 n}{360} = \dfrac{lR}{2}$ | $\dfrac{n}{360}$ của $S$ | | Diện tích vành khuyên | $S_v = \pi(R^2 - r^2)$ | tròn lớn trừ tròn nhỏ | Chỉ cần nhớ một ý: $\dfrac{l}{C} = \dfrac{S_q}{S} = \dfrac{n}{360}$. Thay $C = 2\pi R$, $S = \pi R^2$ là ra lại cả hai công thức. ## 5. Lỗi hay gặp 1. **Dùng đường kính thay cho bán kính.** Đề cho đường kính thì chia đôi trước khi thay vào công thức. 2. **Nhầm 180 với 360.** Độ dài cung chia **180** (vì $2\pi R$ có sẵn số 2). Diện tích quạt chia **360**. 3. **$\pi(R - r)^2 \ne \pi(R^2 - r^2)$.** Bình phương từng bán kính rồi mới trừ. 4. **Quên đơn vị.** Độ dài là cm, m. Diện tích là cm², m². 5. Để kết quả dạng $k\pi$ cho gọn. Đề bảo làm tròn thì mới thay $\pi \approx 3{,}14$. --- ## 6. Bài tập theo dạng ### Dạng 1: Tính độ dài cung tròn Cách làm: tìm bán kính $R$ (đề cho đường kính thì chia 2) và số đo $n$, rồi thay vào $l = \dfrac{\pi R n}{180}$. Biết $l$, muốn tìm $n$ thì đổi vế: $n = \dfrac{180\, l}{\pi R}$. **Bài 1.** a) Tính độ dài cung $75^\circ$ của đường tròn bán kính 6 cm. b) Một đường tròn có **đường kính** 20 cm. Tính độ dài cung $54^\circ$. c) Một cung của đường tròn bán kính 12 cm dài $4\pi$ cm. Cung đó bao nhiêu độ?
Đáp án a) $l = \dfrac{\pi \cdot 6 \cdot 75}{180} = 2{,}5\pi \approx 7{,}85$ cm. b) $R = 10$ cm. $l = \dfrac{\pi \cdot 10 \cdot 54}{180} = 3\pi \approx 9{,}42$ cm. (Thay nhầm 20 vào sẽ ra $6\pi$, gấp đôi.) c) $\dfrac{\pi \cdot 12 \cdot n}{180} = 4\pi$ nên $n = \dfrac{180 \cdot 4}{12} = 60^\circ$.
**Bài 2.** Bánh xe đạp trẻ em có bán kính 25 cm. Van xe quay một cung $144^\circ$ quanh trục. Van xe đi được bao nhiêu xăng-ti-mét (làm tròn đến hàng phần mười)?
Đáp án $l = \dfrac{\pi \cdot 25 \cdot 144}{180} = 20\pi \approx 62{,}8$ cm.
### Dạng 2: Tính diện tích hình quạt tròn Cách làm: biết $R$ và $n$ thì dùng $S_q = \dfrac{\pi R^2 n}{360}$ (chia **360**). Biết $R$ và độ dài cung $l$ thì dùng $S_q = \dfrac{lR}{2}$. **Bài 3.** a) Tính diện tích hình quạt bán kính 6 cm, cung $40^\circ$. b) Tính diện tích hình quạt bán kính 10 cm, cung $72^\circ$. c) Hình quạt bán kính 8 cm có cung dài 9 cm. Tính diện tích.
Đáp án a) $S_q = \dfrac{\pi \cdot 36 \cdot 40}{360} = 4\pi \approx 12{,}56$ cm². b) $S_q = \dfrac{\pi \cdot 100 \cdot 72}{360} = 20\pi \approx 62{,}8$ cm². (Chia nhầm 180 sẽ ra $40\pi$, gấp đôi.) c) $S_q = \dfrac{9 \cdot 8}{2} = 36$ cm².
**Bài 4.** Một chiếc bánh sinh nhật tròn bán kính 12 cm được cắt thành 10 miếng đều nhau. Tính diện tích mặt một miếng bánh.
Đáp án Mỗi miếng ứng với cung $360^\circ : 10 = 36^\circ$. $S_q = \dfrac{\pi \cdot 144 \cdot 36}{360} = 14{,}4\pi \approx 45{,}22$ cm².
### Dạng 3: Tính diện tích hình vành khuyên Cách làm: xác định bán kính lớn $R$ và bán kính nhỏ $r$, rồi tính $S_v = \pi(R^2 - r^2)$. Bình phương từng số rồi mới trừ. **Bài 5.** a) Tính diện tích hình vành khuyên giữa hai đường tròn cùng tâm có bán kính 9 cm và 5 cm. b) Một vòng đệm có đường kính ngoài 16 mm, đường kính lỗ 8 mm. Tính diện tích mặt vòng đệm.
Đáp án a) $S_v = \pi(81 - 25) = 56\pi \approx 175{,}84$ cm². b) $R = 8$ mm, $r = 4$ mm. $S_v = \pi(64 - 16) = 48\pi \approx 150{,}72$ mm². (Dùng luôn đường kính sẽ ra $192\pi$, gấp 4 lần.)
### Dạng 4: Bài toán thực tế Cách làm: vẽ hình, chỉ ra hình cần tính là cung, hình quạt hay vành khuyên. Tìm $R$, $r$, $n$ từ đề (cắt đều $k$ miếng thì $n = 360 : k$), rồi áp dụng công thức. **Bài 6: pizza.** Một chiếc pizza đường kính 32 cm được cắt thành 8 miếng đều nhau. a) Viền bánh của một miếng dài bao nhiêu? b) Mặt bánh của một miếng rộng bao nhiêu xăng-ti-mét vuông?
Đáp án $R = 16$ cm, $n = 360^\circ : 8 = 45^\circ$. a) $l = \dfrac{\pi \cdot 16 \cdot 45}{180} = 4\pi \approx 12{,}56$ cm. b) $S_q = \dfrac{\pi \cdot 256 \cdot 45}{360} = 32\pi \approx 100{,}48$ cm². (Hoặc $\dfrac{lR}{2} = \dfrac{4\pi \cdot 16}{2} = 32\pi$.)
**Bài 7: quạt giấy.** Một chiếc quạt giấy xoè ra một góc $120^\circ$. Nan quạt dài 24 cm, phần dán giấy dài 12 cm (tính từ mép ngoài vào). Tính diện tích phần giấy.
Đáp án Phần giấy là một phần của hình vành khuyên $R = 24$, $r = 24 - 12 = 12$, chiếm $\dfrac{120}{360} = \dfrac{1}{3}$ vòng. $S = \dfrac{1}{3}\pi(24^2 - 12^2) = \dfrac{1}{3}\pi \cdot 432 = 144\pi \approx 452{,}16$ cm².
**Bài 8: sân vận động.** Đường chạy vòng quanh sân gồm hai đoạn thẳng dài 80 m và hai nửa đường tròn. Mép trong của đường chạy là nửa đường tròn bán kính 36 m, đường chạy rộng 4 m. Tính diện tích phần đường chạy (lấy $\pi \approx 3{,}14$).
Đáp án Hai nửa vành khuyên ghép lại thành một vành khuyên $R = 40$, $r = 36$: $\pi(1600 - 1296) = 304\pi \approx 954{,}56$ m². Hai đoạn thẳng là hai hình chữ nhật $80 \times 4$: $2 \cdot 320 = 640$ m². Tổng: $\approx 954{,}56 + 640 = 1\,594{,}56$ m².
--- ## 7. Trò chơi ở nhà (5 phút): "Đo pizza bằng sợi chỉ" Cần: một cái đĩa hoặc nắp nồi tròn, một sợi chỉ, thước kẻ, bút. 1. Đo bán kính cái đĩa. Tính chu vi $2\pi R$. 2. Chia vành đĩa thành 8 phần bằng nhau (vẽ nhẹ bằng bút chì). Mỗi phần là một cung $45^\circ$. 3. Đặt sợi chỉ ôm theo **một** cung, đánh dấu, rồi **duỗi thẳng** sợi chỉ ra đo bằng thước. 4. So kết quả đo với $\dfrac{\pi R \cdot 45}{180}$. Lệch không quá vài mi-li-mét là bạn đo giỏi! Đổi vai: một người chọn số miếng cắt (6, 10, 12…), người kia tính nhanh số đo mỗi cung và độ dài viền của một miếng. ## Lời thoại video ### 0:00 Mở đầu Một chiếc pizza đường kính 32 cm, cắt thành 8 miếng đều nhau. Viền bánh của một miếng dài bao nhiêu? Mặt bánh rộng bao nhiêu? Miếng bánh là một phần của hình tròn. Hôm nay ta học: độ dài cung tròn, diện tích hình quạt và hình vành khuyên. ### 0:17 Độ dài cung tròn Nhắc lại: chu vi đường tròn C = 2πR, với π ≈ 3,14. Cả vòng tròn là 360°. Một cung n° chiếm n/360 của vòng. Duỗi cung ra thành đoạn thẳng: nó dài bằng n/360 chu vi. Rút gọn: độ dài cung l = πRn/180. Ví dụ: kim phút dài 10 cm, trong 15 phút quay 90°. Đầu kim đi được 5π ≈ 15,7 cm. Ví dụ 2: cung 135°, bán kính 8 cm. Độ dài cung bằng 6π cm. ### 1:03 Diện tích hình quạt Hình quạt tròn là phần hình tròn giới hạn bởi một cung và hai bán kính đi qua hai đầu cung. Số đo cung tăng dần, hình quạt lớn dần, tới 360° thì phủ kín hình tròn. Vậy diện tích quạt n° bằng πR²n/360. Duỗi cung thẳng ra, hình quạt thành gần như một tam giác: đáy là độ dài cung, cao là bán kính. Nên diện tích quạt còn bằng l·R/2. Ví dụ: vòi tưới cỏ xoay 80°, phun xa 6 m. Vùng cỏ được tưới là hình quạt, rộng 8π ≈ 25 m². Ví dụ 2: quạt bán kính 5 cm, cung dài 12 cm. Diện tích = 12 · 5 : 2 = 30 cm². Không cần số đo góc! ### 1:56 Hình vành khuyên Hai đường tròn cùng tâm, bán kính R và r. Phần nằm giữa chúng là hình vành khuyên. Tức là hình tròn lớn bỏ đi hình tròn nhỏ. Diện tích S = π(R² − r²). Ví dụ: bồn hoa bán kính 3 m, quanh nó là lối đi rộng 1 m. Bán kính ngoài là 4 m. Lối đi rộng π(16 − 9) = 7π ≈ 22 m². Ví dụ 2, có bẫy: R = 7, r = 4. Trừ trước rồi mới bình phương: π(7 − 4)² = 9π. Sai rồi! Phải bình phương từng số: π(49 − 16) = 33π. ### 2:44 Tóm tắt & bẫy Tóm lại, cả ba công thức đến từ một ý: lấy n/360 của hình tròn. Độ dài cung: l = πRn/180. Diện tích quạt: πR²n/360, hoặc l·R/2. Diện tích vành khuyên: π(R² − r²). Ba cái bẫy: dùng đường kính thay bán kính; nhầm 180 với 360; và trừ trước khi bình phương. ### 3:17 Dạng 1: Độ dài cung Dạng 1: tính độ dài cung tròn. Tìm bán kính và số đo cung, rồi thay vào công thức. Cho đường kính thì chia đôi trước. Câu a: cung 75°, bán kính 6 cm. Bạn hãy tạm dừng video và thử làm. l = π · 6 · 75 / 180 = 2,5π ≈ 7,85 cm. Câu b: cung 54°, đường kính 20 cm. Thay luôn 20 thì được 6π. Sai rồi, 20 là đường kính! R = 10. l = π · 10 · 54 / 180 = 3π. Câu c, làm ngược: cung dài 4π, bán kính 12. Cung đó bao nhiêu độ? π · 12 · n / 180 = 4π Bỏ π hai vế: 12n = 720. Vậy n = 60°. ### 4:27 Dạng 2: Diện tích quạt Dạng 2: tính diện tích hình quạt tròn. Biết số đo cung thì chia 360. Biết độ dài cung thì nhân bán kính, chia 2. Câu a: quạt bán kính 6 cm, cung 40°. Tạm dừng và thử nhé. S = π · 36 · 40 / 360 = 4π. Câu b: bán kính 10 cm, cung 72°. Chia 180 thì được 40π. Sai! Đó là số của độ dài cung. Diện tích quạt chia 360: S = 20π. Câu c: bán kính 8 cm, cung dài 9 cm. S = 9 · 8 : 2 = 36 cm². ### 5:18 Dạng 3: Diện tích vành khuyên Dạng 3: tính diện tích hình vành khuyên. Tìm hai bán kính, bình phương từng số, trừ đi, rồi nhân pi. Câu a: bán kính 9 cm và 5 cm. Tạm dừng video nhé. S = π(81 − 25) = 56π. Câu b: vòng đệm đường kính ngoài 16 mm, đường kính lỗ 8 mm. Tính diện tích mặt vòng đệm. Dùng luôn đường kính thì được 192π, gấp 4 lần! R = 8, r = 4. S = π(64 − 16) = 48π mm². ### 6:03 Dạng 4: Bài toán thực tế Dạng 4: bài toán thực tế. Nhận ra đó là cung, hình quạt hay vành khuyên, rồi tìm bán kính và số đo. Quay lại chiếc pizza đường kính 32 cm, cắt 8 miếng đều nhau. Tạm dừng và thử nhé. R = 16. Tám miếng đều nhau, mỗi miếng ứng với cung 45°. Viền bánh là cung: l = π · 16 · 45 / 180 = 4π ≈ 12,6 cm. Mặt bánh là hình quạt: S = 4π · 16 : 2 = 32π ≈ 100 cm². Bài 2: quạt giấy xoè 120°, nan dài 24 cm, phần giấy dài 12 cm ở mép ngoài. Tính diện tích giấy. Phần giấy là một mảnh vành khuyên: R = 24, r = 12. 120° là 1/3 vòng. S = ⅓ · π(576 − 144) = 144π ≈ 452 cm². ### 7:15 Kết bài Vậy là bạn đã biết tính độ dài cung, diện tích hình quạt và hình vành khuyên. Nhớ một ý: lấy n/360 của hình tròn, và luôn dùng bán kính. Ta đã luyện bốn dạng: độ dài cung, diện tích quạt, vành khuyên, và bài toán thực tế. Lần tới ăn pizza, bạn thử ước lượng xem miếng của mình rộng bao nhiêu nhé!