# Vị trí tương đối của hai đường tròn – Toán lớp 9, Bài 17 > Hai đường tròn có thể gặp nhau ở 2 điểm, 1 điểm hoặc không điểm nào. Không cần vẽ, bạn vẫn biết trước được: chỉ cần so đoạn nối hai tâm với tổng và hiệu hai bán kính. - Trang bài: https://anim.vn/lop-9/toan/bai-17-vi-tri-tuong-doi-cua-hai-duong-tron/ - Video: https://youtu.be/EeuvV8zWCWU (7:34) - Thuộc: Toán lớp 9 · Bài 17 - Bài tập về nhà (PDF, có lời giải): https://anim.vn/media/lop9-toan-bai-17/bai-tap-ve-nha.pdf ## Mục lục video - 0:00 Mở đầu - 0:24 Hai đường tròn cắt nhau - 1:22 Tiếp xúc ngoài, tiếp xúc trong - 2:22 Ngoài nhau, đựng nhau - 3:16 Thước đo OO' - 3:46 Dạng 1: Xác định vị trí - 4:51 Dạng 2: Tiếp xúc trong hay ngoài - 6:14 Dạng 3: Bài toán thực tế - 7:17 Kết bài > Hai đường tròn có thể gặp nhau ở **2 điểm, 1 điểm hoặc không điểm nào**. Không cần vẽ, bạn vẫn biết trước được: chỉ cần so **đoạn nối hai tâm** với **tổng** và **hiệu** hai bán kính. Trong cả bài, xét hai đường tròn phân biệt $(O; R)$ và $(O'; r)$ với $R \ge r$ ($R$ là bán kính **lớn hơn**). --- ## 1. Hai đường tròn cắt nhau — 2 điểm chung Hai đường tròn có **đúng hai điểm chung** thì gọi là **cắt nhau**; hai điểm chung là hai **giao điểm**. $$R - r < OO' < R + r$$ **Ví dụ 1 — vòng sóng.** Ném hai viên sỏi xuống hồ, hai vòng sóng có bán kính 50 cm và 30 cm, hai tâm cách nhau 60 cm. Hiệu $= 20$, tổng $= 80$, và $20 < 60 < 80$ ⇒ hai vòng sóng **cắt nhau**. **Ví dụ 2 — hai bán kính bằng nhau.** Hai đường tròn cùng bán kính 4 cm, tâm cách nhau 3 cm. Hiệu $= 4 - 4 = 0$, tổng $= 8$, và $0 < 3 < 8$ ⇒ vẫn **cắt nhau** (dù hai tâm rất gần). ## 2. Hai đường tròn tiếp xúc — 1 điểm chung Hai đường tròn có **đúng một điểm chung** thì gọi là **tiếp xúc nhau**; điểm chung là **tiếp điểm**. Tiếp điểm luôn **nằm trên đường thẳng nối hai tâm**. | Kiểu | Hình dung | Hệ thức | |---|---|---| | **Tiếp xúc ngoài** | hai đường tròn nằm ngoài nhau, chạm nhau | $OO' = R + r$ | | **Tiếp xúc trong** | đường tròn nhỏ nằm trong, chạm đường tròn lớn | $OO' = R - r$ | Mẹo nhớ: **ngoài thì cộng, trong thì trừ**. **Ví dụ 1 — nắp chai sát nắp hũ.** Nắp chai bán kính 1,5 cm đặt sát nắp hũ bán kính 4 cm (chạm từ bên ngoài): hai tâm cách nhau $4 + 1{,}5 = 5{,}5$ cm. **Ví dụ 2 — nắp chai trong lòng đĩa.** Thả nắp chai vào đĩa bán kính 10 cm, cho chạm vành (chạm từ bên trong): hai tâm cách nhau $10 - 1{,}5 = 8{,}5$ cm. ## 3. Hai đường tròn không giao nhau — 0 điểm chung | Kiểu | Hình dung | Hệ thức | |---|---|---| | **Ở ngoài nhau** | mỗi đường tròn nằm hẳn bên ngoài đường tròn kia | $OO' > R + r$ | | **Đựng nhau** | $(O; R)$ chứa trọn $(O'; r)$ | $OO' < R - r$ | Đặc biệt: $O$ trùng $O'$ (và $R \ne r$) thì hai đường tròn **đồng tâm** — một trường hợp của đựng nhau. **Ví dụ 1 — hai bánh xe đạp.** Hai bánh cùng bán kính 33 cm, hai trục cách nhau 1 m. Đổi $1\text{ m} = 100$ cm; tổng $= 66 < 100$ ⇒ hai bánh xe **ở ngoài nhau**. **Ví dụ 2 — trứng ốp la.** Lòng trắng bán kính 5 cm, lòng đỏ bán kính 2 cm, tâm lệch nhau 1 cm. Hiệu $= 3 > 1$ ⇒ lòng trắng **đựng** lòng đỏ. ## 4. Cái thước $OO'$ — nhớ cả bài trong một hình Đặt độ dài $OO'$ lên một cái thước có hai mốc $R - r$ và $R + r$: ``` 0 ──── đựng ────●──────── cắt nhau ────────●──── ở ngoài nhau ────▶ OO' R − r R + r (bằng: tiếp xúc trong) (bằng: tiếp xúc ngoài) ``` | Số điểm chung | Vị trí | Hệ thức | |---|---|---| | 2 | cắt nhau | $R - r < OO' < R + r$ | | 1 | tiếp xúc ngoài | $OO' = R + r$ | | 1 | tiếp xúc trong | $OO' = R - r > 0$ | | 0 | ở ngoài nhau | $OO' > R + r$ | | 0 | đựng nhau (đồng tâm khi $OO' = 0$) | $OO' < R - r$ | ## Lỗi hay gặp - **Chỉ so với $R + r$, quên $R - r$.** Thấy $OO' < R + r$ liền kết luận "cắt nhau" — sai nếu $OO'$ còn nhỏ hơn cả $R - r$ (khi đó là đựng nhau). - **Nhầm tiếp xúc trong với tiếp xúc ngoài.** "Tiếp xúc" không có nghĩa là luôn cộng: chạm từ **bên trong** thì $OO' = R - r$. - **Lấy $R$ là bán kính của $(O)$ một cách máy móc.** $R$ là bán kính **lớn hơn**; nếu $(O')$ to hơn thì hiệu là bán kính $(O')$ trừ bán kính $(O)$. - **"Không cắt nhau" chưa chắc là "không giao nhau".** Không cắt nhau còn gồm cả trường hợp tiếp xúc (1 điểm chung). - **Quên đổi đơn vị** trước khi so (m với cm). --- ## Bài tập theo dạng ### Dạng 1. Xác định vị trí tương đối Cách làm: tính $R + r$ và $R - r$ (lớn trừ nhỏ) → đặt $OO'$ lên thước → đọc vị trí. **Bài 1.** Cho đường tròn $(O; 5\text{ cm})$ và điểm $O'$ với $OO' = 7$ cm. Xác định vị trí tương đối của $(O)$ và $(O'; r)$ khi: a) $r = 3$ cm b) $r = 2$ cm c) $r = 13$ cm
Đáp án a) Tổng 8, hiệu 2: $2 < 7 < 8$ ⇒ **cắt nhau**. b) Tổng $5 + 2 = 7 = OO'$ ⇒ **tiếp xúc ngoài**. c) Tổng 18 nhưng hiệu $13 - 5 = 8$ và $7 < 8$ ⇒ **$(O')$ đựng $(O)$** (không phải cắt nhau!).
**Bài 2.** Hai đường tròn $(A; 6\text{ cm})$ và $(B; 2{,}5\text{ cm})$. Chúng nằm thế nào nếu a) $AB = 10$ cm; b) $AB = 3$ cm; c) $AB = 0$?
Đáp án Tổng $8{,}5$, hiệu $3{,}5$. a) $10 > 8{,}5$ ⇒ ở ngoài nhau. b) $3 < 3{,}5$ ⇒ $(A)$ đựng $(B)$. c) Hai tâm trùng nhau ⇒ hai đường tròn đồng tâm.
### Dạng 2. Tiếp xúc trong hay tiếp xúc ngoài Cách làm: $OO' = R + r$ ⇒ tiếp xúc ngoài; $OO' = R - r$ ⇒ tiếp xúc trong. **Bài 3.** Cho $(O; 9\text{ cm})$ và $(O'; 4\text{ cm})$. a) $OO' = 13$ cm. b) $OO' = 5$ cm. c) Biết $(O; 7\text{ cm})$ tiếp xúc trong với $(O'; x)$ và $OO' = 3$ cm. Tìm $x$.
Đáp án a) $9 + 4 = 13$ ⇒ tiếp xúc ngoài. b) $9 - 4 = 5$ ⇒ tiếp xúc trong (đừng kết luận "không tiếp xúc" chỉ vì $5 \ne 13$). c) $|7 - x| = 3$ ⇒ $x = 4$ (khi $(O')$ nhỏ hơn) hoặc $x = 10$ (khi $(O')$ lớn hơn).
**Bài 4.** Hai đường tròn $(M; 3\text{ cm})$ và $(N; 5\text{ cm})$ tiếp xúc nhau. Tính $MN$ trong từng trường hợp.
Đáp án Tiếp xúc ngoài: $MN = 8$ cm. Tiếp xúc trong: $MN = 2$ cm.
### Dạng 3. Bài toán thực tế **Bài 5.** Hai vòi tưới xoay tròn: vòi thứ nhất tưới xa 5 m, vòi thứ hai tưới xa 3 m. a) Đặt hai vòi cách nhau 9 m. Hai vùng tưới có chạm nhau không? b) Muốn hai vòng tưới cắt nhau thì hai vòi phải cách nhau bao nhiêu?
Đáp án a) $9 > 5 + 3 = 8$ ⇒ ở ngoài nhau, không chạm (dải cỏ ở giữa bị khô). b) $5 - 3 < d < 5 + 3$, tức $2\text{ m} < d < 8\text{ m}$. Nếu $d < 2$ m thì vòng nhỏ nằm trọn trong vòng lớn — vòi thứ hai chỉ tưới lại chỗ đã ướt.
**Bài 6.** Một đồng hồ treo tường hình tròn bán kính 15 cm. Bạn muốn dán một hình tròn trang trí bán kính 4 cm **bên trong** mặt đồng hồ, chạm vào viền. Tâm hình trang trí cách tâm đồng hồ bao nhiêu?
Đáp án Tiếp xúc trong: $15 - 4 = 11$ cm.
--- ## Trò chơi ở nhà (5 phút): "Hai cái đĩa" Lấy hai cái đĩa (hoặc hai nắp nồi) khác cỡ và một cây thước. 1. Người thứ nhất đặt hai đĩa trên bàn, **đo bán kính** mỗi đĩa và **khoảng cách hai tâm** (đo từ tâm này sang tâm kia). 2. Người thứ hai, **chưa nhìn**, chỉ nghe ba con số rồi đoán: cắt nhau, tiếp xúc ngoài/trong, ở ngoài nhau hay đựng nhau. 3. Nhìn lại hai chiếc đĩa để kiểm tra. Đổi vai. Thử cố tình đặt sao cho **vừa chạm mép** — đó là lúc khó đoán nhất! ## Lời thoại video ### 0:00 Mở đầu Hai đường tròn đang tiến lại gần nhau. Lúc đầu, chúng không có điểm chung nào. Rồi chạm nhau ở một điểm. Rồi cắt nhau ở hai điểm. Đi tiếp vào trong, lại chạm ở một điểm, rồi nằm gọn bên trong, không còn điểm chung. Làm sao biết trước chúng gặp nhau ở mấy điểm, mà không cần vẽ? Bí mật nằm ở đoạn nối hai tâm. ### 0:24 Hai đường tròn cắt nhau Xét hai đường tròn (O; R) và (O'; r), trong đó R là bán kính lớn hơn. Nếu hai đường tròn có đúng hai điểm chung, ta nói chúng cắt nhau. Hai điểm chung gọi là hai giao điểm. Khi đó, đoạn nối tâm OO' nằm giữa hiệu và tổng hai bán kính: R − r < OO' < R + r. Ví dụ 1: ném hai viên sỏi xuống hồ. Hai vòng sóng có bán kính 50 cm và 30 cm, hai tâm cách nhau 60 cm. Hiệu hai bán kính là 20, tổng là 80. 60 nằm giữa hai số đó, nên hai vòng sóng cắt nhau. Ví dụ 2: hai đường tròn cùng bán kính 4 cm, tâm cách nhau 3 cm. Bán kính bằng nhau thì hiệu bằng 0. 0 < 3 < 8, nên chúng vẫn cắt nhau. ### 1:22 Tiếp xúc ngoài, tiếp xúc trong Nếu hai đường tròn chỉ có đúng một điểm chung, ta nói chúng tiếp xúc nhau. Điểm chung đó gọi là tiếp điểm. Tiếp điểm luôn nằm trên đường thẳng nối hai tâm. Có hai kiểu. Tiếp xúc ngoài: hai đường tròn nằm ngoài nhau và chạm nhau. Khi đó OO' = R + r. Tiếp xúc trong: đường tròn nhỏ nằm bên trong, chạm vào đường tròn lớn. Khi đó OO' = R − r. Ví dụ 1: một chiếc nắp chai bán kính 1,5 cm, đặt sát một nắp hũ bán kính 4 cm. Chạm từ bên ngoài, nên hai tâm cách nhau 4 + 1,5 = 5,5 cm. Ví dụ 2: thả nắp chai vào lòng một chiếc đĩa bán kính 10 cm, cho chạm vành đĩa. Lần này chạm từ bên trong, nên hai tâm cách nhau 10 − 1,5 = 8,5 cm. Nhớ nhé: ngoài thì cộng, trong thì trừ. ### 2:22 Ngoài nhau, đựng nhau Nếu hai đường tròn không có điểm chung nào, ta nói chúng không giao nhau. Cũng có hai kiểu. Ở ngoài nhau: OO' > R + r. Đựng nhau: đường tròn lớn chứa trọn đường tròn nhỏ, OO' < R − r. Đặc biệt, khi hai tâm trùng nhau (OO' = 0), ta có hai đường tròn đồng tâm. Ví dụ 1: hai bánh xe đạp cùng bán kính 33 cm, hai trục cách nhau 1 m. Đổi 1 m = 100 cm. Tổng hai bán kính là 66 < 100, nên hai bánh xe ở ngoài nhau. Ví dụ 2: một quả trứng ốp la. Lòng trắng bán kính 5 cm, lòng đỏ bán kính 2 cm, hai tâm lệch nhau 1 cm. Hiệu hai bán kính là 3 > 1, nên lòng trắng đựng lòng đỏ. ### 3:16 Thước đo OO' Gom tất cả lên một cái thước, đo độ dài OO'. Trên thước, đánh dấu hai mốc: R − r và R + r. Bây giờ cho OO' chạy từ số 0 trở đi. OO' < R − r: đựng nhau. OO' = R − r: tiếp xúc trong. R − r < OO' < R + r: cắt nhau. OO' = R + r: tiếp xúc ngoài. OO' > R + r: ở ngoài nhau. Vì vậy, phải so với cả hai mốc, đừng chỉ so với tổng. ### 3:46 Dạng 1: Xác định vị trí Dạng một: biết hai bán kính và đoạn nối tâm, xác định vị trí tương đối. Cách làm: tính R + r và R − r, đặt OO' lên thước, rồi đọc kết quả. Bài 1. (O; 5 cm), OO' = 7 cm. Hai đường tròn nằm thế nào, nếu bán kính (O') lần lượt là 3, 2 và 13 cm? Bạn tạm dừng video và thử làm nhé. Câu a: tổng là 8, hiệu là 2. 2 < 7 < 8, nên hai đường tròn cắt nhau. Câu b: tổng là 5 + 2 = 7 = OO'. Vậy hai đường tròn tiếp xúc ngoài. Câu c: tổng là 18. 7 < 18, vậy là cắt nhau? Sai rồi! Còn phải so với hiệu. Hiệu là 13 − 5 = 8. 7 < 8, nên (O') đựng (O). ### 4:51 Dạng 2: Tiếp xúc trong hay ngoài Dạng hai: tiếp xúc trong hay tiếp xúc ngoài. Cách làm: so OO' với tổng và hiệu. Bằng tổng: tiếp xúc ngoài; bằng hiệu: tiếp xúc trong. Bài 2. (O; 9 cm) và (O'; 4 cm). Câu a: OO' = 13. Câu b: OO' = 5. Tạm dừng video và thử nhé. Câu a: 9 + 4 = 13 = OO'. Vậy hai đường tròn tiếp xúc ngoài. Câu b: có bạn thấy 5 ≠ 13, liền kết luận là không tiếp xúc. Nhầm rồi. 9 − 4 = 5 = OO', nên hai đường tròn tiếp xúc trong. Câu c, làm ngược lại: (O; 7 cm) tiếp xúc trong với (O'; x), biết OO' = 3 cm. Tìm x. Tiếp xúc trong thì hiệu hai bán kính bằng 3. Nếu (O') nhỏ hơn: x = 7 − 3 = 4. Nếu (O') lớn hơn: x = 7 + 3 = 10. Vậy có hai đáp án: 4 cm hoặc 10 cm. ### 6:14 Dạng 3: Bài toán thực tế Dạng ba: bài toán thực tế. Cách làm: nhận ra hai đường tròn, tìm hai bán kính và khoảng cách hai tâm, rồi dùng cái thước vừa học. Bài 3. Trên bãi cỏ có hai vòi tưới xoay tròn. Vòi thứ nhất tưới xa 5 m, vòi thứ hai tưới xa 3 m. Câu a: đặt hai vòi cách nhau 9 m, hai vùng tưới có chạm nhau không? Câu b: muốn hai vòng tưới cắt nhau, hai vòi phải cách nhau bao nhiêu? Tạm dừng video và thử nhé. Câu a: tổng hai bán kính là 8 m. 9 > 8, nên hai vòng tưới ở ngoài nhau, không chạm. Dải cỏ ở giữa sẽ bị khô. Câu b: cắt nhau khi hiệu < khoảng cách < tổng: 2 m < d < 8 m. Nếu đặt gần hơn 2 m, vòng nhỏ lọt thỏm trong vòng lớn, vòi thứ hai chỉ tưới lại chỗ đã ướt. ### 7:17 Kết bài Hôm nay bạn đã biết năm vị trí của hai đường tròn, chỉ cần so OO' với R + r và R − r. Cùng ba dạng bài: xác định vị trí, tiếp xúc trong hay ngoài, và bài toán thực tế. Làm thêm bài tập về nhà để nhớ lâu nhé!